河北省衡水中学2016届高三（上）七调数学试卷（理科）（解析版）

这是一份河北省衡水中学2016届高三（上）七调数学试卷（理科）（解析版），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）七调数学试卷（理科）
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．已知全集U=R，集合A={x|y=log2（﹣x2+2x）}，B={y|y=1+}，那么A∩∁UB=（　　）
A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}
2．在复平面内，复数g（x）满足，则z的共轭复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在各项均为正数的等比数列{an}中，若am+1•am﹣1=2am（m≥2），数列{an}的前n项积为Tn，若T2m﹣1=512，则m的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+），（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）在区间[0，]上的值域为（　　）
A．[0，] B．[﹣，] C．[﹣，1] D．[﹣，]
5．执行如图的程序框图，那么输出S的值是（　　）

A．2 B． C．﹣1 D．1
6．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cosA+sinA﹣=0，则的值是（　　）
A．1 B． C． D．2
8．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示 （单位：cm），则该几何体的体积为（　　）

A．120 cm3 B．80 cm3 C．100 cm3 D．60 cm3
9．在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且=5，则△ABC的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能
10．平行四边形ABCD中， •=0，沿BD将四边形折起成直二面角A一BD﹣C，且2||2+||2=4，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（　　）
A． B． C．4π D．2π
11．已知双曲线C的方程为﹣=1，其左、右焦点分别是F1、F2，已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0 ） （x0＞0，y0＞0）满足=，则S﹣S=（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
12．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=函数g（x）=x3+3x2+m．若∀s∈[﹣4，2），∃t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣12] B．（﹣∞，﹣4] C．（﹣∞，8] D．（﹣∞，]
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设a=（sinx﹣1+2cos2）dx，则（a﹣）6•（x2+2）的展开式中常数项是　　．
14．以下四个命题中：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样，
②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，
③某项测量结果ξ服从正态分布N （1，a2），P（ξ≤5）=0.81，则P（ξ≤﹣3）=0.19，
④对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．
以上命题中其中真命题的个数为　　．
15．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上不存在点P，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围是　　．
16．f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）﹣f′（x）＜1，f（0）=2016，则不等式f（x）＞2015•ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集为　　．
　
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，向量=（Sn，1），=（2n﹣1，），满足条件∥，
（1）求数列{an}的通项公式，
（2）设函数f（x）=（）x，数列{bn}满足条件b1=1，f（bn+1）=．
①求数列{bn}的通项公式，
②设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．
18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA丄底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．
（1）求证：AM∥平面SCD；
（2）求平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值；
（3）设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．

19．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）

几何题
代数题
总计
男同学
22
8
30
女同学
8
12
20
总计
30
20
50
（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X的分布列及数学期望 EX．
附表及公式
P（k2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2=．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12=0相切．
（1）求椭圆C的方程，
（2）设A（﹣4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线L交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x=于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1 k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x．
（1）求f（x）的单调区间，
（2）若k∈Z，且f（x﹣1）+x＞k （1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值，
（3）对于在区间（0，1）上的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得ef（x0）＜1﹣x02成立？请说明理由．
　
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4一1：几何证明选讲]
22．（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

　
[选修4一4坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsinθ=2acos θ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线L的参数方程为，t（为参数），直线L与曲线C分别交于M，N两点．
（1）写出曲线C的平面直角坐标方程和直线L的普通方程；
（2）若PM，MN，PN成等比数列，求实数a的值．
　
[选修4一5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
　

2015-2016学年河北省衡水中学高三（上）七调数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在下列四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．已知全集U=R，集合A={x|y=log2（﹣x2+2x）}，B={y|y=1+}，那么A∩∁UB=（　　）
A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据真数大于零得﹣x2+2x＞0，求出x的范围即求出集合A，再由求出集合B，根据补集和交集得运算求解．
【解答】解：由﹣x2+2x＞0得，0＜x＜2，
∴A={x|y=log2（﹣x2+2x）}={x|0＜x＜2}，
又，∴1+≥1，
则B={y|y=1+}={y|y≥1}，∴∁UB={y|y＜1}，
则A∩∁UB={x|0＜x＜1}，
故选：A．
　
2．在复平面内，复数g（x）满足，则z的共轭复数对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求出复数，得到复数对应点的坐标，即可得到结果
【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|，
可得z==1﹣i，
复数z对应的点为（1，﹣1），
在复平面内z的共轭复数=1+i对应的点为（1，1），在第一象限．
故选：A．
　
3．在各项均为正数的等比数列{an}中，若am+1•am﹣1=2am（m≥2），数列{an}的前n项积为Tn，若T2m﹣1=512，则m的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由已知条件推导出am=2，从而Tn=2n，由T2m﹣1=512，得22m﹣1=512=29，由此能求出结果．
【解答】解：设数列{an}公比为q
am﹣1=，am+1=am•q，
∵am+1•am﹣1=2am，∴，
∴，
解得am=2，或am=0（舍），
∵T2m﹣1=（am）2m﹣1=512，∴22m﹣1=512=29，
∴2m﹣1=9，解得m=5．
故选：B．
　
4．已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+），（ω＞0）的最小正周期为π，则f（x）在区间[0，]上的值域为（　　）
A．[0，] B．[﹣，] C．[﹣，1] D．[﹣，]
【考点】三角函数中的恒等变换应用．
【分析】化简可得f（x）=sin（2ωx﹣）+，由周期公式可得ω=1，可得f（x）=sin（2x﹣）+，由x的范围，可得所求．
【解答】解：化简可得f（x）=sin2ωx+）+sinωxsin（ωx
=+sinωxcosωx=+sin2ωxcos2ωx
=sin（2ωx﹣）+，
∵函数的最小正周期为π，
∴=π，解得ω=1，
∴f（x）=sin（2x﹣）+，
∵x∈[0，]，
∴2x﹣∈[，]，
∴sin（2x﹣）∈[，1]，
∴f（x）=sin（2x﹣）+的值域为[0，]
故选：A
　
5．执行如图的程序框图，那么输出S的值是（　　）

A．2 B． C．﹣1 D．1
【考点】程序框图．
【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，寻找规律，求出正确的结果．
【解答】解：模拟程序框图的运行情况，如下；
开始，s=2，k=1；1＜2013，是，s==﹣1，k=1+1=2，
2＜2013，是，s==，k=2+1=3，
3＜2013，是，s==2，
…
∴程序框图计算s的值是以3为周期的函数，
当k=2012+1=2013时，2013＜2013，否，输出s=，结束；
故选：B．
　
6．在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都不相邻的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】二项式定理；等差数列的性质；等可能事件的概率．
【分析】求出二项展开式的通项，求出前三项的系数，列出方程求出n；求出展开式的项数；令通项中x的指数为整数，求出展开式的有理项；利用排列求出将9项排起来所有的排法；利用插空的方法求出有理项不相邻的排法；利用古典概型的概率公式求出概率．
【解答】解：展开式的通项为
∴展开式的前三项系数分别为
∵前三项的系数成等差数列
∴解得n=8
所以展开式共有9项，
所以展开式的通项为=
当x的指数为整数时，为有理项
所以当r=0，4，8时x的指数为整数即第1，5，9项为有理项共有3个有理项
所以有理项不相邻的概率P=．
故选D
　
7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对边的边长，若cosA+sinA﹣=0，则的值是（　　）
A．1 B． C． D．2
【考点】正弦定理．
【分析】已知等式变形后，利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，根据正弦、余弦函数的值域确定出cos（A﹣B）与sin（A+B）的值，进而求出A﹣B与A+B的度数，得到A，B，C的度数，利用正弦定理化简所求式子，计算即可得到结果．
【解答】解：由cosA+sinA﹣=0，
整理得：（cosA+sinA）（cosB+sinB）=2，
即cosAcosB+sinBcosA+sinAcosB+sinAsinB=cos（A﹣B）+sin（A+B）=2，
∴cos（A﹣B）=1，sin（A+B）=1，
∴A﹣B=0，A+B=，
即A=B=，C=，
利用正弦定理===2R，得：a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
则====．
故选B
　
8．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示 （单位：cm），则该几何体的体积为（　　）

A．120 cm3 B．80 cm3 C．100 cm3 D．60 cm3
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由题意，几何体是长宽高分别是5，4，6cm的长方体剪去一个角，画出图形，明确对应数据，计算体积即可．
【解答】解：由题意，几何体是长宽高分别是5，4，6cm的长方体剪去一个角，如图：所以几何体的体积为5×4×6=100cm3；
故选C．

　
9．在△ABC中，BC=5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且=5，则△ABC的形状是（　　）
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，运用重心和外心的性质，运用向量的三角形法则和中点的向量形式，以及向量的平方即为模的平方，可得，又BC=5，则有||2=||2+||2＞||2+||2，运用余弦定理即可判断三角形的形状．
【解答】解：在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，
取BC的中点为D，连接AD、OD、GD，如图：
则OD⊥BC，GD=AD，
∵，，
由=5，
则（）=
=﹣•=5，
即﹣•（）=5，
则，
又BC=5，
则有||2=||2+||2＞||2+||2，
由余弦定理可得cosC＜0，
即有C为钝角．
则三角形ABC为钝角三角形．
故选：B．

　
10．平行四边形ABCD中， •=0，沿BD将四边形折起成直二面角A一BD﹣C，且2||2+||2=4，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为（　　）
A． B． C．4π D．2π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由已知中•=0，可得AB⊥BD，沿BD折起后，将四边形折起成直二面角A一BD﹣C，可得平面ABD⊥平面BDC，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC，进而根据2||2+||2=4，求出三棱锥A﹣BCD的外接球的半径，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积．
【解答】解：平行四边形ABCD中，
∵•=0，∴AB⊥BD，
沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，
∵将四边形折起成直二面角A一BD﹣C，
∴平面ABD⊥平面BDC
∴三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC，
∴AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2，
∵2||2+||2=4，
∴AC2=4
∴外接球的半径为1，
故表面积是4π．
故选：C．
　
11．已知双曲线C的方程为﹣=1，其左、右焦点分别是F1、F2，已知点M坐标为（2，1），双曲线C上点P（x0，y0 ） （x0＞0，y0＞0）满足=，则S﹣S=（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．4
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用 =，得出∠MF1P=∠MF1F2，进而求出直线PF1的方程为y=（x+3），与双曲线联立可得P（3，），由此即可求出S﹣S的值．
【解答】解：∵=，∴|MF1|•cos∠MF1P=|MF1|•cos∠MF1F2，∴∠MF1P=∠MF1F2．
∵F1 （﹣3，0）、F2（3，0），点M（2，1），∴|MF1|=，|MF2|=，|F1F2|=2c=6，
故由余弦定理可得 cos∠MF1F2==，∴cos∠PF1F2=2cos2∠MF1F2﹣1=，
∴sin∠PF1F2==，∴tan∠PF1F2==，
∴直线PF1的方程为y=（x+3）．
把它与双曲线联立可得P（3，），∴|PF1|=，
∴sin∠MF1F2=，∴S△PMF1==，
∵S==，
∴S﹣S=﹣=2．
　
12．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=函数g（x）=x3+3x2+m．若∀s∈[﹣4，2），∃t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣12] B．（﹣∞，﹣4] C．（﹣∞，8] D．（﹣∞，]
【考点】其他不等式的解法；特称命题．
【分析】由f（x+2）=f（x）得f（﹣）=2f（）=2×（﹣2）=﹣4，x∈[﹣4，﹣3]，f（﹣）=2f（﹣）=﹣8，
∀s∈[﹣4，2），f（s）最小=﹣8，借助导数判断：∀t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，
不等式f（s）﹣g（t）≥0恒成立，得出f（s）小=﹣8≥g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，求解即可．
【解答】解：∵当x∈[0，2）时，f（x）=，
∴x∈[0，2），f（0）=为最大值，
∵f（x+2）=f（x），
∴f（x）=2f（x+2），
∵x∈[﹣2，0]，
∴f（﹣2）=2f（0）=2×=1，
∵x∈[﹣4，﹣3]，
∴f（﹣4）=2f（﹣2）=2×1=2，
∵∀s∈[﹣4，2），
∴f（s）最大=2，
∵f（x）=2f（x+2），
x∈[﹣2，0]，
∴f（﹣）=2f（）=2×（﹣2）=﹣4，
∵x∈[﹣4，﹣3]，
∴f（﹣）=2f（﹣）=﹣8，
∵∀s∈[﹣4，2），
∴f（s）最小=﹣8，
∵函数g（x）=x3+3x2+m，
∴g′（x）=3x2+6x，
3x2+6x＞0，x＞0，x＜﹣2，
3x2+6x＜0，﹣2＜x＜0，
3x2+6x=0，x=0，x=﹣2，
∴函数g（x）=x3+3x2+m，在（﹣∞，﹣2）（0，+∞）单调递增．
在（﹣2，0）单调递减，
∴∃t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，
∵不等式f（s）﹣g（t）≥0，
∴﹣8≥m﹣16，
故实数满足：m≤8，
故选C．
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设a=（sinx﹣1+2cos2）dx，则（a﹣）6•（x2+2）的展开式中常数项是　﹣332　．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得常数项的值．
【解答】解：设==（﹣cosx+sinx）=1+1=2，
则多项式（a﹣）6•（x2+2）=（2﹣）6•（x2+2）
=[••+++…+]（x2+2），
故展开式的常数项为﹣×2×1﹣×2=﹣12﹣320=﹣332，
故答案为：﹣332．
　
14．以下四个命题中：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样，
②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，
③某项测量结果ξ服从正态分布N （1，a2），P（ξ≤5）=0.81，则P（ξ≤﹣3）=0.19，
④对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．
以上命题中其中真命题的个数为　2　．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①根据抽样方法的定义和特点即可判断；
②利用相关性系数r的意义去判断；
③根据正态分布的特点和曲线表示的意义来判断．
④根据随机变量k2的观测值k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，判断④是否为真命题．
【解答】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①错误，
②根据线性相关系数r的意义可知，当两个随机变量线性相关性越强，r的绝对值越接近于1，故②正确；
③某项测量结果ξ服从正态分布N（1，a2），则曲线关于直线x=1对称，P（ξ≤5）=P（1＜ξ＜5）+0.5=0.81，
则P（1＜ξ＜5）=0.31，故P（﹣3＜ξ＜1）=0.31，即有P（ξ≤﹣3）=P（ξ＜1）﹣P（﹣3＜ξ＜1）=0.5﹣0.31=0.19，故③正确．
④根据两个分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k越大，判断“X与Y有关系”的把握程度越大，得④是假命题．故④错误，
故正确的是②③，
故答案为：2
　
15．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上不存在点P，使得∠APB为直角，则实数m的取值范围是　（0，4）∪（6，+∞）　．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），由已知得m2=a2+b2=|OP|2，m的最值即为|OP|的最值，可得结论．
【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径r=1，
设P（a，b）在圆C上，则=（a+m，b），=（a﹣m，b），
若∠APB=90°，则⊥，
∴•=（a+m）（a﹣m）+b2=0，
∴m2=a2+b2=|OP|2，
∴m的最大值即为|OP|的最大值，等于|OC|+r=5+1=6．最小值为5﹣1=4，
∴m的取值范围是（0，4）∪（6，+∞）．
故答案为：（0，4）∪（6，+∞）．
　
16．f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）﹣f′（x）＜1，f（0）=2016，则不等式f（x）＞2015•ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集为　（0，+∞）　．
【考点】函数的单调性与导数的关系．
【分析】设g（x）=e﹣xf（x）﹣e﹣x，利用导数性质得y=g（x）在定义域上单调递增，从而得到g（x）＞g（0），由此能求出f（x）＞2015•ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集．
【解答】解：设g（x）=e﹣xf（x）﹣e﹣x，
则g′（x）=﹣e﹣xf（x）+e﹣xf′（x）+e﹣x=﹣e﹣x[f（x）﹣f′（x）﹣1]，
∵f（x）﹣f′（x）＜1，∴f（x）﹣f′（x）﹣1＜0，
∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，
∵f（x）＞2015•ex+1，∴g（x）＞2015，
∵g（0）=e﹣0f（0）﹣e﹣0=f（0）﹣1=2016﹣1=2015，
∴g（x）＞g（0）．∴x＞0，
∴f（x）＞2015•ex+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）．
　
三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知数列{an}的前n项和为Sn，向量=（Sn，1），=（2n﹣1，），满足条件∥，
（1）求数列{an}的通项公式，
（2）设函数f（x）=（）x，数列{bn}满足条件b1=1，f（bn+1）=．
①求数列{bn}的通项公式，
②设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式；平面向量共线（平行）的坐标表示．
【分析】（1）运用向量共线的坐标表示，可得Sn=2n+1﹣2，再由当n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1，n=1时，a1=S1，即可得到所求通项公式；
（2）①运用指数的运算性质和等差数列的定义，即可得到所求通项公式；
②求得Cn==，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．
【解答】解：（1）由向量=（Sn，1），=（2n﹣1，），∥，
可得Sn=2n﹣1，即Sn=2n+1﹣2，
当n＞1时，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n+1﹣2）﹣（2n﹣2）=2n，
当n=1时，a1=S1=2，满足上式．
则有数列{an}的通项公式为an=2n，n∈N*；
（2）①f（x）=（）x，b1=1，f（bn+1）=．
可得（）==（），
即有bn+1=bn+1，可得{bn}为首项和公差均为1的等差数列，
即有bn=n；
②Cn==，前n项和Tn=1•+2•（）2+…+（n﹣1）•（）n﹣1+n•（）n，
Tn=1•（）2+2•（）3+…+（n﹣1）•（）n+n•（）n+1，
相减可得， Tn=+（）2+…+（）n﹣1+（）n﹣n•（）n+1
=﹣n•（）n+1，
化简可得，前n项和Tn=2﹣．
　
18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA丄底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．
（1）求证：AM∥平面SCD；
（2）求平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值；
（3）设点N是直线CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为θ，求sinθ的最大值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）以点A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AM∥平面SCD．
（2）求出平面SAB的一个法向量和平面SCD的一个法向量，由此利用向量法能求出平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值．
（3）设N（x，2x﹣2，0），则=（x，2x﹣3，﹣1），利用向量法能求出sinθ的得最大值．
【解答】证明：（1）∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA丄底面ABCD，
AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点，
∴以点A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（0，1，1），
∴=（0，1，1），=（1，0，﹣2），=（﹣1，﹣2，0），
设平面SCD的一个法向量为=（x，y，z），
则，令z=1，得=（2，﹣1，1），
∵=0，∴，
∵AM⊄平面SCD，∴AM∥平面SCD．
解：（2）由题意平面SAB的一个法向量=（1，0，0），
设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α，由题意0，
则cosα===，
∴平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值为．
（3）设N（x，2x﹣2，0），则=（x，2x﹣3，﹣1），
∵平面SAB的一个法向量=（1，0，0），MN与平面SAB所成的角为θ
∴sinθ=|cos＜＞|==||
=
=．
当，即x=时，sinθ取得最大值（sinθ）max=．

　
19．心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）

几何题
代数题
总计
男同学
22
8
30
女同学
8
12
20
总计
30
20
50
（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X的分布列及数学期望 EX．
附表及公式
P（k2≥k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2=．
【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到结论；
（2）利用面积比，求出乙比甲先解答完的概率；
（3）确定X的可能值有0，1，2．依次求出相应的概率求分布列，再求期望即可．
【解答】解：（1）由表中数据得K2的观测值，
所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；

（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为（如图所示）

设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为x＞y，
∴由几何概型即乙比甲先解答完的概率为；

（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种，
∴X可能取值为0，1，2，，，
X的分布列为：
X
0
1
2
P



∴．
　
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12=0相切．
（1）求椭圆C的方程，
（2）设A（﹣4，0），过点R（3，0）作与x轴不重合的直线L交椭圆C于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线x=于M，N两点，若直线MR、NR的斜率分别为k1，k2，试问：k1 k2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和直线与圆相切的条件，解方程可得a，b的值，进而得到椭圆方程；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程，运用韦达定理和三点共线斜率相等，运用直线的斜率公式，化简整理，即可得到定值．
【解答】解：（1）由题意得e==，a2﹣b2=c2，
以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+12=0相切，
可得d═=b，解得a=4，b=2，c=2，
故椭圆C的方程为=1；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
直线PQ的方程为x=my+3，代入椭圆方程3x2+4y2=48，
得（4+3m2）y2+18my﹣21=0，
∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣，
由A，P，M三点共线可知， =，即yM=•；
同理可得yN=•．
所以k1k2==．
因为（x1+4）（x2+4）=（my1+7）（my2+7=m2y1y2+7m（y1+y2）+49，
所以k1k2===﹣．
即k1k2为定值﹣．
　
21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x．
（1）求f（x）的单调区间，
（2）若k∈Z，且f（x﹣1）+x＞k （1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值，
（3）对于在区间（0，1）上的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得ef（x0）＜1﹣x02成立？请说明理由．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求导f′（x），解关于导函数的不等式，从而判断函数的单调区间；
（2）化简可得xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，求导g′（x）=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k，从而讨论判断函数的单调性，从而求最大值；
（3）假设存在这样的x0满足题意，从而化简可得x02+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，取x0=﹣lna，从而可得hmin，根据函数的单调性求出x0的值即可．
【解答】解：（1）∵f（x）=ln（x+1）﹣x，
∴f′（x）=﹣1=﹣，
∴当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0；
故f（x）的单调增区间为（﹣1，0），单调减区间为（0，+∞）；
（2）∵f（x﹣1）+x＞k（1﹣），
∴lnx﹣（x﹣1）+x＞k（1﹣），
∴lnx+1＞k（1﹣），
即xlnx+x﹣kx+3k＞0，
令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，
则g′（x）=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k，
∵x＞1，
∴lnx＞0，
若k≤2，g′（x）＞0恒成立，
即g（x）在（1，+∞）上递增；
∴g（1）=1+2k≥0，
解得，k≥﹣；
故﹣≤k≤2，
故k的最大值为2；
若k＞2，由lnx+2﹣k＞0解得x＞ek﹣2，
故g（x）在（1，ek﹣2）上单调递减，在（ek﹣2，+∞）上单调递增；
∴gmin（x）=g（ek﹣2）=3k﹣ek﹣2，
令h（k）=3k﹣ek﹣2，h′（k）=3﹣ek﹣2，
∴h（k）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+∞）上单调递减；
∵h（2+ln3）=3+3ln3＞0，h（4）=12﹣e2＞0，h（5）=15﹣e3＜0；
∴k的最大取值为4，
综上所述，k的最大值为4．
（3）假设存在这样的x0满足题意，
∵e f（x0）＜1﹣x02，
∴x02+﹣1＜0，
令h（x）=x2+﹣1，
∵h′（x）=x（a﹣），
令h′（x）=x（a﹣）=0得ex=，
故x=﹣lna，取x0=﹣lna，
在0＜x＜x0时，h′（x）＜0，当x＞x0时，h′（x）＞0；
∴hmin（x）=h（x0）=（﹣lna）2﹣alna+a﹣1，
在a∈（0，1）时，令p（a）=（lna）2﹣alna+a﹣1，
则p′（a）=（lna）2≥0，
故p（a）在（0，1）上是增函数，
故p（a）＜p（1）=0，
即当x0=﹣lna时符合题意．
　
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4一1：几何证明选讲]
22．（选修4﹣1：几何证明选讲）
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．
（Ⅰ）证明：DB=DC；
（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．

【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．
（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．
【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．
由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，
∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．
又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．
∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．
（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．
故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．
设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．
从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．
∴CF⊥BF．
∴Rt△BCF的外接圆的半径=．

　
[选修4一4坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsinθ=2acos θ（a＞0），过点P（﹣2，﹣4）的直线L的参数方程为，t（为参数），直线L与曲线C分别交于M，N两点．
（1）写出曲线C的平面直角坐标方程和直线L的普通方程；
（2）若PM，MN，PN成等比数列，求实数a的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ可得曲线C的普通方程；直接消掉参数t可得直线l的普通方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的方程可得关于t的二次方程，由|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，得|MN|2=|PM||PN|，变形后代入韦达定理可得a的方程．
【解答】解：（1）由ρsin2θ=2acosθ，得ρ2sin2θ=2aρcosθ，即y2=2ax，
由消掉t，得y=x﹣2，
所以曲线C和直线l的普通方程分别为：y2=2ax，y=x﹣2；
（2）把直线l的参数方程代入y2=2ax，得t2﹣2（4+a）t+8（4+a）=0，
设点M，N分别对应参数t1，t2，则有t1+t2=2（4+a），t1t2=8（4+a），
因为|MN|2=|PM||PN|，
所以（t1﹣t2）2=（t1+t2）2﹣4t1t2=t1t2，即8（4+a）2=5×8（4+a），
解得a=1．
　
[选修4一5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】带绝对值的函数．
【分析】（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，写出分段函数，即可解不等式f（x）＜4；
（Ⅱ）不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立等价于|a+1|≤2，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（I）．…
当x≤﹣1时，由﹣3x+1＜4得x＞﹣1，此时无解；
当﹣1＜x≤1时，由﹣x+3＜4得x＞﹣1，∴﹣1＜x≤1；
当x＞1时，由3x﹣1＜4得，∴．…
综上，所求不等式的解集为．…
（II）由（I）的函数解析式可以看出函数f（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，故f（x）在x=1处取得最小值，最小值为f（1）=2，…
不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立等价于|a+1|≤2，
即﹣2≤a+1≤2，解得﹣3≤a≤1，故a的取值范围为{a|﹣3≤a≤1}．…
　

2016年11月24日