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2023年河南省南阳第二十一学校中考数学模拟试卷（含答案）
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这是一份2023年河南省南阳第二十一学校中考数学模拟试卷（含答案），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省南阳第二十一学校中考数学模拟试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．
2．（3分）2022年，某县完成生产总值（GDP）396.1亿元，同比增长5.8%，数据396.1亿元用科学记数法可表示为（ ）
A．3.961×108元 B．3.961×109元
C．39.61×1010元 D．3.961×1010元
3．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．57.5° D．65°
5．（3分）下列各项调查中，最适合用全面调查（普查）的是（ ）
A．了解国内外观众对电影《流浪地球》的观影感受
B．了解太原市九年级学生每日睡眠时长
C．“长征﹣3B火箭”发射前，检查其各零部件的合格情况
D．检测一批新出厂的手机的使用寿命
6．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a＜1 C．a＜2且a≠0 D．a＜1且a≠0
7．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x+1向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y＝x2+bx+c，则b，c的值为 （ ）
A．b＝﹣8，c＝18 B．b＝8，c＝14 C．b＝﹣4，c＝6 D．b＝4，c＝6
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，在对角线BD上取一点E，使得DE＝AD，连接AE，若BD＝8，AE＝，则AD的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．2
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，分别以点A、O为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交x轴于点B，C是MN上一点，连接AC、OC，将OC绕点O逆时针旋转60°，点C落到点D处，CD交y轴于点E．若∠OCA＝60°，点A的坐标是（6，0），则点D关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．当x的值增大时，y的值随之减小
B．当焦距x为0.2m时，近视眼镜的度数y为500度
C．当焦距x为0.3m时，近视眼镜的度数y约333度
D．某人近视度数400度，镜片焦距应该调试为0.5m
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B °．
13．（3分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，灯泡不能够发光的概率是 ．
14．（3分）如图，以AB为直径作半圆O，C为的中点，连接BC，以OB为直径作半圆P，交BC于点D．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2AC＝4，CO为斜边中线，点P为线段AO上一动点，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得线段PQ，连接CQ，OQ，当PC垂直于△ABC的一边时，线段OQ的值为 ．
三、解答题（共75分）
16．（10分）计算：
（1）2cos60°﹣4×2﹣2﹣（π﹣3.14）0；
（2）化简：（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x．
17．（9分）为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了A（围棋社团）、B（书法社团）、C（ 唱社团）、D（剪纸社团）活动．该校从全校1500名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪 种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的 统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是 ，条形统计图中m的值为 ；
（2）求扇形统计图中α的度数；
（3）根据调查结果，可估计该校1500名学生中最喜欢“书法社团”的约有多少人？
18．（9分）春天是放风筝的好季节，如图，小张同学在花雨广场B处放风筝，风筝位于A处，风筝线AB长为150m，从B处看风筝的仰角为37°，小张的父母从C处看风筝的仰角为60°．
（1）风筝离地面多少米？
（2）小张和父母的直线距离BC是多少米？（结果精确到0.1，参考数据：sin37°＝0.6．cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）
19．（9分）如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B两点．
（1）求反比例函数的解析式及点B坐标；
（2）在第一象限内，当一次函数y＝﹣x+5的值大于反比例函数y＝（k≠0）的值时，写出自变量x的取值范围．
20．（9分）独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在△ABC中，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点P，PD是⊙O的切线，且PD⊥BC，垂足为点D．
（1）求证：∠A＝∠C；
（2）若PD＝2BD＝4，求⊙O的半径．
21．（9分）为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买6个A品牌足球和4个B品牌足球共需960元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元．
（1）求A，B两种品牌足球的单价．
（2）若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，则该校购买这些足球最少需要多少钱？
22．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于C（0，3），将该抛物线位于直线y＝m（m为常数，m≥0）下方的部分沿直线y＝m翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若m＝0时，直线y＝x+n与图象W有三个交点，求n的值；
（3）若直线y＝x与图象W有四个交点，直接写出m的取值范围．
23．（10分）综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作发现
某数学小组对图1的矩形纸片ABCD进行如下折叠操作：
第一步：如图2，把矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，然后把纸片展开；
第二步：如图3，将图2中的矩形纸片沿过点B的直线折叠，使得点A落在MN上的点A'处，折痕与AD交于点E，然后展开纸片，连接AA'，BA'，EA'．
问题解决
（1）请在图2中利用尺规作图，作出折痕BE；（保留作图痕迹）
（2）请你判断图3中△ABA'的形状，并说明理由；
（3）如图4，折痕BE与MN交于点F，BA'的延长线交直线CD于点P，若MF＝1，BC＝7，请你直接写出PD的长．
2023年河南省南阳第二十一学校中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．
【分析】根据绝对值的性质：|a|＝即可得出答案．
【解答】解：﹣3的绝对值：|﹣3|＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值的相关概念，解题关键在于熟记绝对值的定义．
2．（3分）2022年，某县完成生产总值（GDP）396.1亿元，同比增长5.8%，数据396.1亿元用科学记数法可表示为（ ）
A．3.961×108元 B．3.961×109元
C．39.61×1010元 D．3.961×1010元
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：396.1亿元＝39610000000元＝3.961×1010元．
故选：D．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据视图的定义，画出这个几何体的主视图即可．
【解答】解：这个几何体的主视图如下：
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确判断的前提．
4．（3分）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．57.5° D．65°
【分析】根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠AEC＝∠1＝65°．根据角平分线的定义，得EC平分∠AED，那么∠AED＝2∠AEC＝130°，进而求得∠2＝180°﹣∠AED＝50°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠1＝65°．
∵EC平分∠AED，
∴∠AED＝2∠AEC＝130°．
∴∠2＝180°﹣∠AED＝50°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义是解决本题的关键．
5．（3分）下列各项调查中，最适合用全面调查（普查）的是（ ）
A．了解国内外观众对电影《流浪地球》的观影感受
B．了解太原市九年级学生每日睡眠时长
C．“长征﹣3B火箭”发射前，检查其各零部件的合格情况
D．检测一批新出厂的手机的使用寿命
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、了解国内外观众对电影《流浪地球》的观影感受，适合抽样调查；
B、了解太原市九年级学生每日睡眠时长，适合抽样调查；
C、“长征﹣3B火箭”发射前，检查其各零部件的合格情况，适合全面调查；
D、检测一批新出厂的手机的使用寿命，适合抽样调查；
故选：C．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a＜1 C．a＜2且a≠0 D．a＜1且a≠0
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ＝（﹣6）2﹣4×a×9＝36﹣36a＞0，
解得：a＜1且a≠0．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
7．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x+1向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y＝x2+bx+c，则b，c的值为 （ ）
A．b＝﹣8，c＝18 B．b＝8，c＝14 C．b＝﹣4，c＝6 D．b＝4，c＝6
【分析】根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式即可．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位，
∴平移后解析式为：y＝（x﹣1+3）2+2＝（x+2）2+2＝x2+4x+6，
则b＝4，c＝6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据题意得出平移后解析式是解题关键．
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，在对角线BD上取一点E，使得DE＝AD，连接AE，若BD＝8，AE＝，则AD的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．2
【分析】连接AC交BD于点O，设AD＝x，则DE＝AD＝x，由菱形的性质得OB＝OD＝4，AC⊥BD，∴∠AOE＝∠AOD＝90°，再由勾股定理得OA2＝AE2﹣OE2，OA2＝AD2﹣OD2，则AE2﹣OE2＝AD2﹣OD2，得出方程，解方程即可．
【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，
设AD＝x，则DE＝AD＝x，
∵四边形ABCD是菱形，BD＝8，
∴OB＝OD＝BD＝4，AC⊥BD，
∴∠AOE＝∠AOD＝90°，
在Rt△AOE和Rt△AOD中，由勾股定理得：OA2＝AE2﹣OE2，OA2＝AD2﹣OD2，
∴AE2﹣OE2＝AD2﹣OD2，
即（）2﹣（x﹣4）2＝x2﹣42，
整理得：x2﹣4x﹣5＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1（不符合题意舍去），
∴x＝5，
∴AD＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，分别以点A、O为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交x轴于点B，C是MN上一点，连接AC、OC，将OC绕点O逆时针旋转60°，点C落到点D处，CD交y轴于点E．若∠OCA＝60°，点A的坐标是（6，0），则点D关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用基本作图方法得出直线MN垂直平分OA，再利用等边三角形的判定与性质，结合旋转的性质、勾股定理得出答案．
【解答】解：由作图方法可得，直线MN垂直平分OA，
则CO＝AC，
又∠OCA＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝OC＝AC＝6，
∵将OC绕点O逆时针旋转60°，
∴∠COD＝60°，OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DCO＝∠COA＝60°，
∴DC∥AO，
∴DE＝EC＝DC＝3，
∴EO＝＝3，
∴D（﹣3，3），
∴点D关于x轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣3）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了基本作图以及等边三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，正确掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．
10．（3分）近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．当x的值增大时，y的值随之减小
B．当焦距x为0.2m时，近视眼镜的度数y为500度
C．当焦距x为0.3m时，近视眼镜的度数y约333度
D．某人近视度数400度，镜片焦距应该调试为0.5m
【分析】根据反比例函数的性质可以判断A；利用已知解析式代入相关数据可以判断B，C，D．
【解答】解：∵近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的关系式为，
∴当x的值增大时，y的值随之减小，故A正确，不符合题意；
将x＝0.2代入，y值为500，故B正确，不符合题意；
将x＝0.3．代入，y值约为333，故C正确，不符合题意；
将y＝400代入，x值为0.25，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确利用反比例函数的性质是解题关键．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≥5 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣5≥0，
解得：x≥5．
故答案为：x≥5．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
12．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B ＝50 °．
【分析】根据CD是⊙O的直径，则∠DAC＝90°，从而有∠D+∠ACD＝90°，从而求得∠D，再根据圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC＝90°，
∴∠D+∠ACD＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠D＝50°，
∴∠B＝∠D＝50°．
故答案为：＝50．
【点评】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，直角三角形的两锐角互余等知识，熟练掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．
13．（3分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，灯泡不能够发光的概率是 ．
【分析】采用列表法列出所有情况，再根据不能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解．
【解答】解：根据题意列表如下：
S1
S2
S3
S1
S1，S2
S1，S3
S2
S2，S1
S2，S3
S3
S3，S1
S3，S2
共有6种等可能的情况数，其中灯泡不发光的有2种，
即能让灯泡发光的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查列表法与树状图法求概率，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
14．（3分）如图，以AB为直径作半圆O，C为的中点，连接BC，以OB为直径作半圆P，交BC于点D．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为 π+1 ．
【分析】连接OC．根据S阴＝S扇形AOC+S△CDO，求解即可．
【解答】解：如图，连接OC．
∵，
∴OC⊥AB，
∵OB是小圆的直径，
∴∠ODB＝90°，
∴OD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵OA＝OB＝OC＝2，
∴，
∴，
∴S阴＝S扇形AOC+S△CDO＝＝π+1，
故答案为：π+1．
【点评】本题考查扇形的面积的计算，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分割法求面积．
15．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2AC＝4，CO为斜边中线，点P为线段AO上一动点，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得线段PQ，连接CQ，OQ，当PC垂直于△ABC的一边时，线段OQ的值为 或 ．
【分析】根据CP⊥AB和CP⊥BC两种情况进行讨论，当CP⊥AB时，根据得到∠B＝30°，在Rt△PCQ中根据直角三角函数计算出PC和PO，从而计算出OQ，当CP⊥BC时，证明AQ∥CB，得到∠OAQ＝30°，得到，再根据勾股定理计算出OQ．
【解答】解：①当CP⊥AB时，如图1所示，
∵，
∴∠B＝30°．
∵OB＝OC，
∴∠POC＝2∠B＝60°．
在Rt△PCQ中，，∠POC＝60°，
∴CP＝CO•sin60°＝，PO＝CO•cos60°＝1，
∵，PO＝1，
∴；
②当CP⊥BC时；如图2所示，过点Q作QD⊥AB于点D．
∵∠CPQ＝90°，∠ACB＝90°，
∴AQ∥CB．
∴∠OAQ＝30°．
∴，．
∴．
在Rt△ODQ中，．
综上，线段OQ的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查直角三角形的性质和直角三角函数，解题的关键是掌握直角三角函数的相关知识．
三、解答题（共75分）
16．（10分）计算：
（1）2cos60°﹣4×2﹣2﹣（π﹣3.14）0；
（2）化简：（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用多项式乘多项式以及整式的除法运算法则计算，进而得出答案．
【解答】解：（1）2cos60°﹣4×2﹣2﹣（π﹣3.14）0
＝2×﹣4×﹣1
＝1﹣1﹣1
＝﹣1；
（2）（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x
＝x2﹣3xy+xy﹣3y2+xy+3y2
＝x2﹣xy．
【点评】此题主要考查了实数的运算以及整式的除法运算、多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17．（9分）为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了A（围棋社团）、B（书法社团）、C（ 唱社团）、D（剪纸社团）活动．该校从全校1500名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪 种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的 统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是 B（书法社团） ，条形统计图中m的值为 11 ；
（2）求扇形统计图中α的度数；
（3）根据调查结果，可估计该校1500名学生中最喜欢“书法社团”的约有多少人？
【分析】（1）根据众数的定义可得众数是B（书法社团）；利用24÷40%即可求出参加问卷调查的学生人数为60；根据m＝60﹣10﹣24﹣15可得答案；
（2）α＝360°×即可得出答案；
（3）用该校总人数乘以样本中最喜欢“书法社团”的占比即可．
【解答】解：（1）你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是B（或法社团）；
样本容量为：24÷40%＝60，
故m＝60﹣10﹣24﹣15＝11．
故答案为：B（书法社团）；11；
（2）由题意得，α＝360°×＝90°；
（3）1500×40%＝600（名），
答：估计该校1500名学生中最喜欢“书法社团”的约有600人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．（9分）春天是放风筝的好季节，如图，小张同学在花雨广场B处放风筝，风筝位于A处，风筝线AB长为150m，从B处看风筝的仰角为37°，小张的父母从C处看风筝的仰角为60°．
（1）风筝离地面多少米？
（2）小张和父母的直线距离BC是多少米？（结果精确到0.1，参考数据：sin37°＝0.6．cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）
【分析】（1）作AD⊥AC，然后根据AB＝150m，∠BAD＝37°，即可计算出BD的长；
（2）根据题意和（1）中的结果，利用勾股定理和锐角三角函数可以计算出BD和CD的长，然后将它们相加，即可得到BC是多少米．
【解答】解：（1）作AD⊥BC于点D，
∵AB＝150m，∠ABD＝37°，
∴sin37°＝＝0.6，
∴AD＝AB×0.6＝150×0.6＝90（m），
即风筝离地面90m；
（2）∵AD⊥AC，AB＝150m，AD＝90m，∠C＝60°，
∴BD＝＝＝120（m），CD＝＝30≈51.9（m），
∴BC＝BD+CD＝120+51.9＝171.9（m），
即BC是171.9m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（9分）如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B两点．
（1）求反比例函数的解析式及点B坐标；
（2）在第一象限内，当一次函数y＝﹣x+5的值大于反比例函数y＝（k≠0）的值时，写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）将点A 的横坐标代入直线的解析式求出点A的坐标，然后将的A的坐标代入反比例函数的解析式即可．
（2）一次函数y＝﹣x+5的值大于反比例函数y＝（k≠0）的值时，双曲线便在直线的下方，所以求出直线与双曲线及x轴的交点后可由图象直接写出其对应的x取值范围．
【解答】解：（1）∵点A（1，n）在一次函数y＝﹣x+5的图象上，
∴当x＝1时，y＝﹣1+5＝4
即：A点的坐标为：（1，4）
∵点A（1，4）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）如下图所示：
解方程组：得或
∴B点的坐标为（4，1）
直线与x轴的交点C为（5，0）
由图象可知：当 1＜x＜4时一次函数y＝﹣x+5的值大于反比例函数y＝（k≠0）的值．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握反比例函数与一次函数的交点与它们的解析式的关系．
20．（9分）独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在△ABC中，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点P，PD是⊙O的切线，且PD⊥BC，垂足为点D．
（1）求证：∠A＝∠C；
（2）若PD＝2BD＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OP，如图2，先根据切线的性质得到OP⊥PD，则可判断OP∥BC，所以∠OPA＝∠C，然后利用∠OPA＝∠A可得到结论；
（2）连接PB，如图2，先利用勾股定理计算出PB＝2，再根据圆周角定理得到∠APB＝90°，接着证明△BDP∽△BPC，则利用相似比可计算出BC＝10，然后利用∠A＝∠C得到BA＝10，从而得到⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OP，如图2，
∵PD是⊙O的切线，
∴OP⊥PD，
∵PD⊥BC，
∴OP∥BC，
∴∠OPA＝∠C，
∵OA＝OP，
∴∠OPA＝∠A，
∴∠A＝∠C；
（2）解：连接PB，如图2，
在Rt△PBD中，∵PD＝2BD＝4，
∴PB＝＝2，
∵AB为直径，
∴∠APB＝90°，
∵∠BDP＝∠BPC，∠DBP＝∠PBC，
∴△BDP∽△BPC，
∴BP：BC＝BD：BP，即2：BC＝2：2，
解得BC＝10，
∵∠A＝∠C，
∴BA＝BC＝10，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
21．（9分）为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买6个A品牌足球和4个B品牌足球共需960元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元．
（1）求A，B两种品牌足球的单价．
（2）若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，则该校购买这些足球最少需要多少钱？
【分析】（1）根据购买6个A品牌的足球和4个B品牌的足球共需960元；购买5个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需640元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）设购买A种品牌的足球x个，则B两种品牌的足球（20﹣x）个，然后根据购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到学校最少需要花多少钱．
【解答】解：（1）设A种品牌的足球单价为a元，B种品牌的足球单价为b元，
由题意可得：，
解得，
答：A种品牌的足球单价为80元，B种品牌的足球单价为120元；
（2）若购买A品牌的足球x个，则购买B品牌的足球（20﹣x）个，
由题意可得：80x+120（20﹣x）＝﹣40x+2400，
∴整式随x的增大而减小，
∵购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，
∴3≤x≤7，
∴当x＝7时，式子取得最小值，原式＝2120，
答：学校最少需要花费2120元．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
22．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于C（0，3），将该抛物线位于直线y＝m（m为常数，m≥0）下方的部分沿直线y＝m翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若m＝0时，直线y＝x+n与图象W有三个交点，求n的值；
（3）若直线y＝x与图象W有四个交点，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）利用数形结合找出当y＝x+n经过点A或者y＝x+n与y＝﹣x2+4x﹣3相切时，直线y＝x+n与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线y＝x+n经过点A（1，0）时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出n值；②当y＝x+n与y＝﹣x2+4x﹣3相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式Δ＝0，即可求出n值．综上即可得出结论；
（3）求得直线y＝x与y＝x2﹣4x+3的交点，以及当y＝x+n与y＝﹣x2+4x﹣3+2m相切时m的值，即可求得m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，解得，
∴该抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）m＝0时，由图象得直线y＝x+n与图象W有三个交点时，存在两种情况：
①当直线y＝x+n过点A时，与图象W有三个交点，此时n＝﹣1；
②当直线y＝x+n与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，
x+n＝﹣x2+4x﹣3，
x2﹣3x+n+3＝0，
Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（n+3）＝0，
∴n＝﹣，
综上，n的值是﹣1或﹣；
（3）将该抛物线位于直线y＝m（m为常数，m≥0）下方的部分沿直线y＝m翻折，得到y＝﹣x2+4x﹣3+2m，
令x＝﹣x2+4x﹣3+2m，则x2﹣3x+3﹣2m＝0，
Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（3﹣2m）＝0，
∴m＝，
由，解得x＝y＝，
∴若直线y＝x与图象W有四个交点，m的取值范围是＜m＜．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，翻折的性质，两函数交点问题以及根的判别式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用数形结合找出直线y＝x+n与新图象恰好有三个不同的交点的情况；（3）找出直线y＝x与新图象y＝﹣x2+4x﹣3+2m恰好有三个不同的交点以及直线y＝x与y＝x2﹣4x+3的交点是关键．
23．（10分）综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作发现
某数学小组对图1的矩形纸片ABCD进行如下折叠操作：
第一步：如图2，把矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，然后把纸片展开；
第二步：如图3，将图2中的矩形纸片沿过点B的直线折叠，使得点A落在MN上的点A'处，折痕与AD交于点E，然后展开纸片，连接AA'，BA'，EA'．
问题解决
（1）请在图2中利用尺规作图，作出折痕BE；（保留作图痕迹）
（2）请你判断图3中△ABA'的形状，并说明理由；
（3）如图4，折痕BE与MN交于点F，BA'的延长线交直线CD于点P，若MF＝1，BC＝7，请你直接写出PD的长．
【分析】（1）由题意画出图形即可；
（2）由折叠的性质可得AB＝AB'，MN⊥AB，AM＝BM，可证出A'A＝A'B＝AB，则可得出结论；
（3）由等边三角形的性质及直角三角形的性质求出DH和CD的长，证明△PDH∽△PCB，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】解：如图2，BE为所求．
（2）△ABA'是等边三角形．
理由如下：由折叠的性质可得AB＝AB'，MN⊥AB，AM＝BM，
∴MN是AB的垂直平分线，
∴A'A＝A'B，
∴A'A＝A'B＝AB，
∴△ABA'是等边三角形；
（3）如图4，
∵△ABA'是等边三角形，
∴∠ABA'＝60°，
∴∠MBF＝30°，
在Rt△BMF中，MF＝1，
∴BM＝，
∴AB＝2BM＝2，
在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，
∴AH＝AB•tan60°＝2＝6，
∵BC＝AD＝1，
∴DH＝AD﹣AH＝7﹣6＝1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DH∥BC，AB＝CD＝2，
∴△PDH∽△PCB，
∴，
设PD＝x，
∴，
解得x＝，
∴PD＝．
【点评】本题是四边形综合题，考查了尺规作图，翻折变换，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，证明△ABA'是等边三角形是解题的关键．
2023年河南省南阳第二十一学校中考数学模拟试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．
2．（3分）2022年，某县完成生产总值（GDP）396.1亿元，同比增长5.8%，数据396.1亿元用科学记数法可表示为（ ）
A．3.961×108元 B．3.961×109元
C．39.61×1010元 D．3.961×1010元
3．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．57.5° D．65°
5．（3分）下列各项调查中，最适合用全面调查（普查）的是（ ）
A．了解国内外观众对电影《流浪地球》的观影感受
B．了解太原市九年级学生每日睡眠时长
C．“长征﹣3B火箭”发射前，检查其各零部件的合格情况
D．检测一批新出厂的手机的使用寿命
6．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a＜1 C．a＜2且a≠0 D．a＜1且a≠0
7．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x+1向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y＝x2+bx+c，则b，c的值为 （ ）
A．b＝﹣8，c＝18 B．b＝8，c＝14 C．b＝﹣4，c＝6 D．b＝4，c＝6
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，在对角线BD上取一点E，使得DE＝AD，连接AE，若BD＝8，AE＝，则AD的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．2
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，分别以点A、O为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交x轴于点B，C是MN上一点，连接AC、OC，将OC绕点O逆时针旋转60°，点C落到点D处，CD交y轴于点E．若∠OCA＝60°，点A的坐标是（6，0），则点D关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．当x的值增大时，y的值随之减小
B．当焦距x为0.2m时，近视眼镜的度数y为500度
C．当焦距x为0.3m时，近视眼镜的度数y约333度
D．某人近视度数400度，镜片焦距应该调试为0.5m
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B °．
13．（3分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，灯泡不能够发光的概率是 ．
14．（3分）如图，以AB为直径作半圆O，C为的中点，连接BC，以OB为直径作半圆P，交BC于点D．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2AC＝4，CO为斜边中线，点P为线段AO上一动点，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得线段PQ，连接CQ，OQ，当PC垂直于△ABC的一边时，线段OQ的值为 ．
三、解答题（共75分）
16．（10分）计算：
（1）2cos60°﹣4×2﹣2﹣（π﹣3.14）0；
（2）化简：（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x．
17．（9分）为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了A（围棋社团）、B（书法社团）、C（ 唱社团）、D（剪纸社团）活动．该校从全校1500名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪 种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的 统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是 ，条形统计图中m的值为 ；
（2）求扇形统计图中α的度数；
（3）根据调查结果，可估计该校1500名学生中最喜欢“书法社团”的约有多少人？
18．（9分）春天是放风筝的好季节，如图，小张同学在花雨广场B处放风筝，风筝位于A处，风筝线AB长为150m，从B处看风筝的仰角为37°，小张的父母从C处看风筝的仰角为60°．
（1）风筝离地面多少米？
（2）小张和父母的直线距离BC是多少米？（结果精确到0.1，参考数据：sin37°＝0.6．cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）
19．（9分）如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B两点．
（1）求反比例函数的解析式及点B坐标；
（2）在第一象限内，当一次函数y＝﹣x+5的值大于反比例函数y＝（k≠0）的值时，写出自变量x的取值范围．
20．（9分）独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在△ABC中，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点P，PD是⊙O的切线，且PD⊥BC，垂足为点D．
（1）求证：∠A＝∠C；
（2）若PD＝2BD＝4，求⊙O的半径．
21．（9分）为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买6个A品牌足球和4个B品牌足球共需960元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元．
（1）求A，B两种品牌足球的单价．
（2）若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，则该校购买这些足球最少需要多少钱？
22．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于C（0，3），将该抛物线位于直线y＝m（m为常数，m≥0）下方的部分沿直线y＝m翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若m＝0时，直线y＝x+n与图象W有三个交点，求n的值；
（3）若直线y＝x与图象W有四个交点，直接写出m的取值范围．
23．（10分）综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作发现
某数学小组对图1的矩形纸片ABCD进行如下折叠操作：
第一步：如图2，把矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，然后把纸片展开；
第二步：如图3，将图2中的矩形纸片沿过点B的直线折叠，使得点A落在MN上的点A'处，折痕与AD交于点E，然后展开纸片，连接AA'，BA'，EA'．
问题解决
（1）请在图2中利用尺规作图，作出折痕BE；（保留作图痕迹）
（2）请你判断图3中△ABA'的形状，并说明理由；
（3）如图4，折痕BE与MN交于点F，BA'的延长线交直线CD于点P，若MF＝1，BC＝7，请你直接写出PD的长．
2023年河南省南阳第二十一学校中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）﹣3的绝对值是（ ）
A．±3 B．3 C．﹣3 D．
【分析】根据绝对值的性质：|a|＝即可得出答案．
【解答】解：﹣3的绝对值：|﹣3|＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值的相关概念，解题关键在于熟记绝对值的定义．
2．（3分）2022年，某县完成生产总值（GDP）396.1亿元，同比增长5.8%，数据396.1亿元用科学记数法可表示为（ ）
A．3.961×108元 B．3.961×109元
C．39.61×1010元 D．3.961×1010元
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：396.1亿元＝39610000000元＝3.961×1010元．
故选：D．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
3．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据视图的定义，画出这个几何体的主视图即可．
【解答】解：这个几何体的主视图如下：
故选：B．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确判断的前提．
4．（3分）如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED，若∠1＝65°，则∠2的度数为（ ）
A．45° B．50° C．57.5° D．65°
【分析】根据平行线的性质，由AB∥CD，得∠AEC＝∠1＝65°．根据角平分线的定义，得EC平分∠AED，那么∠AED＝2∠AEC＝130°，进而求得∠2＝180°﹣∠AED＝50°．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠AEC＝∠1＝65°．
∵EC平分∠AED，
∴∠AED＝2∠AEC＝130°．
∴∠2＝180°﹣∠AED＝50°．
故选：B．
【点评】本题主要考查平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义是解决本题的关键．
5．（3分）下列各项调查中，最适合用全面调查（普查）的是（ ）
A．了解国内外观众对电影《流浪地球》的观影感受
B．了解太原市九年级学生每日睡眠时长
C．“长征﹣3B火箭”发射前，检查其各零部件的合格情况
D．检测一批新出厂的手机的使用寿命
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、了解国内外观众对电影《流浪地球》的观影感受，适合抽样调查；
B、了解太原市九年级学生每日睡眠时长，适合抽样调查；
C、“长征﹣3B火箭”发射前，检查其各零部件的合格情况，适合全面调查；
D、检测一批新出厂的手机的使用寿命，适合抽样调查；
故选：C．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a＜1 C．a＜2且a≠0 D．a＜1且a≠0
【分析】根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根，
∴a≠0，Δ＝（﹣6）2﹣4×a×9＝36﹣36a＞0，
解得：a＜1且a≠0．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
7．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x+1向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到抛物线y＝x2+bx+c，则b，c的值为 （ ）
A．b＝﹣8，c＝18 B．b＝8，c＝14 C．b＝﹣4，c＝6 D．b＝4，c＝6
【分析】根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，进而得出平移后解析式即可．
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2的图象向上平移2个单位，再向左平移3个单位，
∴平移后解析式为：y＝（x﹣1+3）2+2＝（x+2）2+2＝x2+4x+6，
则b＝4，c＝6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，根据题意得出平移后解析式是解题关键．
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，在对角线BD上取一点E，使得DE＝AD，连接AE，若BD＝8，AE＝，则AD的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．2
【分析】连接AC交BD于点O，设AD＝x，则DE＝AD＝x，由菱形的性质得OB＝OD＝4，AC⊥BD，∴∠AOE＝∠AOD＝90°，再由勾股定理得OA2＝AE2﹣OE2，OA2＝AD2﹣OD2，则AE2﹣OE2＝AD2﹣OD2，得出方程，解方程即可．
【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，
设AD＝x，则DE＝AD＝x，
∵四边形ABCD是菱形，BD＝8，
∴OB＝OD＝BD＝4，AC⊥BD，
∴∠AOE＝∠AOD＝90°，
在Rt△AOE和Rt△AOD中，由勾股定理得：OA2＝AE2﹣OE2，OA2＝AD2﹣OD2，
∴AE2﹣OE2＝AD2﹣OD2，
即（）2﹣（x﹣4）2＝x2﹣42，
整理得：x2﹣4x﹣5＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1（不符合题意舍去），
∴x＝5，
∴AD＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，分别以点A、O为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交x轴于点B，C是MN上一点，连接AC、OC，将OC绕点O逆时针旋转60°，点C落到点D处，CD交y轴于点E．若∠OCA＝60°，点A的坐标是（6，0），则点D关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【分析】直接利用基本作图方法得出直线MN垂直平分OA，再利用等边三角形的判定与性质，结合旋转的性质、勾股定理得出答案．
【解答】解：由作图方法可得，直线MN垂直平分OA，
则CO＝AC，
又∠OCA＝60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝OC＝AC＝6，
∵将OC绕点O逆时针旋转60°，
∴∠COD＝60°，OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠DCO＝∠COA＝60°，
∴DC∥AO，
∴DE＝EC＝DC＝3，
∴EO＝＝3，
∴D（﹣3，3），
∴点D关于x轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣3）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了基本作图以及等边三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理等知识，正确掌握等边三角形的判定与性质是解题关键．
10．（3分）近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰看到远距离物体的凹透镜片．研究发现，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的函数关系如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．当x的值增大时，y的值随之减小
B．当焦距x为0.2m时，近视眼镜的度数y为500度
C．当焦距x为0.3m时，近视眼镜的度数y约333度
D．某人近视度数400度，镜片焦距应该调试为0.5m
【分析】根据反比例函数的性质可以判断A；利用已知解析式代入相关数据可以判断B，C，D．
【解答】解：∵近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）的关系式为，
∴当x的值增大时，y的值随之减小，故A正确，不符合题意；
将x＝0.2代入，y值为500，故B正确，不符合题意；
将x＝0.3．代入，y值约为333，故C正确，不符合题意；
将y＝400代入，x值为0.25，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，正确利用反比例函数的性质是解题关键．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≥5 ．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣5≥0，
解得：x≥5．
故答案为：x≥5．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
12．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B ＝50 °．
【分析】根据CD是⊙O的直径，则∠DAC＝90°，从而有∠D+∠ACD＝90°，从而求得∠D，再根据圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC＝90°，
∴∠D+∠ACD＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠D＝50°，
∴∠B＝∠D＝50°．
故答案为：＝50．
【点评】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为直角，直角三角形的两锐角互余等知识，熟练掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．
13．（3分）如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，灯泡不能够发光的概率是 ．
【分析】采用列表法列出所有情况，再根据不能让灯泡发光的情况利用概率公式进行计算即可求解．
【解答】解：根据题意列表如下：
S1
S2
S3
S1
S1，S2
S1，S3
S2
S2，S1
S2，S3
S3
S3，S1
S3，S2
共有6种等可能的情况数，其中灯泡不发光的有2种，
即能让灯泡发光的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查列表法与树状图法求概率，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．
14．（3分）如图，以AB为直径作半圆O，C为的中点，连接BC，以OB为直径作半圆P，交BC于点D．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为 π+1 ．
【分析】连接OC．根据S阴＝S扇形AOC+S△CDO，求解即可．
【解答】解：如图，连接OC．
∵，
∴OC⊥AB，
∵OB是小圆的直径，
∴∠ODB＝90°，
∴OD⊥BC，
∴CD＝BD，
∵OA＝OB＝OC＝2，
∴，
∴，
∴S阴＝S扇形AOC+S△CDO＝＝π+1，
故答案为：π+1．
【点评】本题考查扇形的面积的计算，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分割法求面积．
15．（3分）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2AC＝4，CO为斜边中线，点P为线段AO上一动点，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得线段PQ，连接CQ，OQ，当PC垂直于△ABC的一边时，线段OQ的值为 或 ．
【分析】根据CP⊥AB和CP⊥BC两种情况进行讨论，当CP⊥AB时，根据得到∠B＝30°，在Rt△PCQ中根据直角三角函数计算出PC和PO，从而计算出OQ，当CP⊥BC时，证明AQ∥CB，得到∠OAQ＝30°，得到，再根据勾股定理计算出OQ．
【解答】解：①当CP⊥AB时，如图1所示，
∵，
∴∠B＝30°．
∵OB＝OC，
∴∠POC＝2∠B＝60°．
在Rt△PCQ中，，∠POC＝60°，
∴CP＝CO•sin60°＝，PO＝CO•cos60°＝1，
∵，PO＝1，
∴；
②当CP⊥BC时；如图2所示，过点Q作QD⊥AB于点D．
∵∠CPQ＝90°，∠ACB＝90°，
∴AQ∥CB．
∴∠OAQ＝30°．
∴，．
∴．
在Rt△ODQ中，．
综上，线段OQ的长为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查直角三角形的性质和直角三角函数，解题的关键是掌握直角三角函数的相关知识．
三、解答题（共75分）
16．（10分）计算：
（1）2cos60°﹣4×2﹣2﹣（π﹣3.14）0；
（2）化简：（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x．
【分析】（1）直接利用特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用多项式乘多项式以及整式的除法运算法则计算，进而得出答案．
【解答】解：（1）2cos60°﹣4×2﹣2﹣（π﹣3.14）0
＝2×﹣4×﹣1
＝1﹣1﹣1
＝﹣1；
（2）（x+y）（x﹣3y）+（2x2y+6xy2）÷2x
＝x2﹣3xy+xy﹣3y2+xy+3y2
＝x2﹣xy．
【点评】此题主要考查了实数的运算以及整式的除法运算、多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
17．（9分）为落实国家“双减”政策，某中学在课后托管时间里开展了A（围棋社团）、B（书法社团）、C（ 唱社团）、D（剪纸社团）活动．该校从全校1500名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪 种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的 统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是 B（书法社团） ，条形统计图中m的值为 11 ；
（2）求扇形统计图中α的度数；
（3）根据调查结果，可估计该校1500名学生中最喜欢“书法社团”的约有多少人？
【分析】（1）根据众数的定义可得众数是B（书法社团）；利用24÷40%即可求出参加问卷调查的学生人数为60；根据m＝60﹣10﹣24﹣15可得答案；
（2）α＝360°×即可得出答案；
（3）用该校总人数乘以样本中最喜欢“书法社团”的占比即可．
【解答】解：（1）你最喜欢社团活动问卷调查中，众数是B（或法社团）；
样本容量为：24÷40%＝60，
故m＝60﹣10﹣24﹣15＝11．
故答案为：B（书法社团）；11；
（2）由题意得，α＝360°×＝90°；
（3）1500×40%＝600（名），
答：估计该校1500名学生中最喜欢“书法社团”的约有600人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．（9分）春天是放风筝的好季节，如图，小张同学在花雨广场B处放风筝，风筝位于A处，风筝线AB长为150m，从B处看风筝的仰角为37°，小张的父母从C处看风筝的仰角为60°．
（1）风筝离地面多少米？
（2）小张和父母的直线距离BC是多少米？（结果精确到0.1，参考数据：sin37°＝0.6．cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.41，≈1.73）
【分析】（1）作AD⊥AC，然后根据AB＝150m，∠BAD＝37°，即可计算出BD的长；
（2）根据题意和（1）中的结果，利用勾股定理和锐角三角函数可以计算出BD和CD的长，然后将它们相加，即可得到BC是多少米．
【解答】解：（1）作AD⊥BC于点D，
∵AB＝150m，∠ABD＝37°，
∴sin37°＝＝0.6，
∴AD＝AB×0.6＝150×0.6＝90（m），
即风筝离地面90m；
（2）∵AD⊥AC，AB＝150m，AD＝90m，∠C＝60°，
∴BD＝＝＝120（m），CD＝＝30≈51.9（m），
∴BC＝BD+CD＝120+51.9＝171.9（m），
即BC是171.9m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．（9分）如图，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）和B两点．
（1）求反比例函数的解析式及点B坐标；
（2）在第一象限内，当一次函数y＝﹣x+5的值大于反比例函数y＝（k≠0）的值时，写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）将点A 的横坐标代入直线的解析式求出点A的坐标，然后将的A的坐标代入反比例函数的解析式即可．
（2）一次函数y＝﹣x+5的值大于反比例函数y＝（k≠0）的值时，双曲线便在直线的下方，所以求出直线与双曲线及x轴的交点后可由图象直接写出其对应的x取值范围．
【解答】解：（1）∵点A（1，n）在一次函数y＝﹣x+5的图象上，
∴当x＝1时，y＝﹣1+5＝4
即：A点的坐标为：（1，4）
∵点A（1，4）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上
∴k＝1×4＝4，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）如下图所示：
解方程组：得或
∴B点的坐标为（4，1）
直线与x轴的交点C为（5，0）
由图象可知：当 1＜x＜4时一次函数y＝﹣x+5的值大于反比例函数y＝（k≠0）的值．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握反比例函数与一次函数的交点与它们的解析式的关系．
20．（9分）独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在△ABC中，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点P，PD是⊙O的切线，且PD⊥BC，垂足为点D．
（1）求证：∠A＝∠C；
（2）若PD＝2BD＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OP，如图2，先根据切线的性质得到OP⊥PD，则可判断OP∥BC，所以∠OPA＝∠C，然后利用∠OPA＝∠A可得到结论；
（2）连接PB，如图2，先利用勾股定理计算出PB＝2，再根据圆周角定理得到∠APB＝90°，接着证明△BDP∽△BPC，则利用相似比可计算出BC＝10，然后利用∠A＝∠C得到BA＝10，从而得到⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OP，如图2，
∵PD是⊙O的切线，
∴OP⊥PD，
∵PD⊥BC，
∴OP∥BC，
∴∠OPA＝∠C，
∵OA＝OP，
∴∠OPA＝∠A，
∴∠A＝∠C；
（2）解：连接PB，如图2，
在Rt△PBD中，∵PD＝2BD＝4，
∴PB＝＝2，
∵AB为直径，
∴∠APB＝90°，
∵∠BDP＝∠BPC，∠DBP＝∠PBC，
∴△BDP∽△BPC，
∴BP：BC＝BD：BP，即2：BC＝2：2，
解得BC＝10，
∵∠A＝∠C，
∴BA＝BC＝10，
∴⊙O的半径为5．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
21．（9分）为了响应“足球进校园”的号召，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买6个A品牌足球和4个B品牌足球共需960元；购买5个A品牌足球和2个B品牌足球共需640元．
（1）求A，B两种品牌足球的单价．
（2）若该校计划从某商城网购A，B两种品牌的足球共20个，其中购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，则该校购买这些足球最少需要多少钱？
【分析】（1）根据购买6个A品牌的足球和4个B品牌的足球共需960元；购买5个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需640元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）设购买A种品牌的足球x个，则B两种品牌的足球（20﹣x）个，然后根据购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到学校最少需要花多少钱．
【解答】解：（1）设A种品牌的足球单价为a元，B种品牌的足球单价为b元，
由题意可得：，
解得，
答：A种品牌的足球单价为80元，B种品牌的足球单价为120元；
（2）若购买A品牌的足球x个，则购买B品牌的足球（20﹣x）个，
由题意可得：80x+120（20﹣x）＝﹣40x+2400，
∴整式随x的增大而减小，
∵购买A品牌的足球不少于3个且不多于7个，
∴3≤x≤7，
∴当x＝7时，式子取得最小值，原式＝2120，
答：学校最少需要花费2120元．
【点评】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
22．（10分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于C（0，3），将该抛物线位于直线y＝m（m为常数，m≥0）下方的部分沿直线y＝m翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若m＝0时，直线y＝x+n与图象W有三个交点，求n的值；
（3）若直线y＝x与图象W有四个交点，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）利用数形结合找出当y＝x+n经过点A或者y＝x+n与y＝﹣x2+4x﹣3相切时，直线y＝x+n与新图象恰好有三个不同的交点，①当直线y＝x+n经过点A（1，0）时，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出n值；②当y＝x+n与y＝﹣x2+4x﹣3相切时，联立一次函数解析式和抛物线解析式，利用根的判别式Δ＝0，即可求出n值．综上即可得出结论；
（3）求得直线y＝x与y＝x2﹣4x+3的交点，以及当y＝x+n与y＝﹣x2+4x﹣3+2m相切时m的值，即可求得m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意得，解得，
∴该抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）m＝0时，由图象得直线y＝x+n与图象W有三个交点时，存在两种情况：
①当直线y＝x+n过点A时，与图象W有三个交点，此时n＝﹣1；
②当直线y＝x+n与图象W位于线段AB上方部分对应的函数图象相切时，
x+n＝﹣x2+4x﹣3，
x2﹣3x+n+3＝0，
Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（n+3）＝0，
∴n＝﹣，
综上，n的值是﹣1或﹣；
（3）将该抛物线位于直线y＝m（m为常数，m≥0）下方的部分沿直线y＝m翻折，得到y＝﹣x2+4x﹣3+2m，
令x＝﹣x2+4x﹣3+2m，则x2﹣3x+3﹣2m＝0，
Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（3﹣2m）＝0，
∴m＝，
由，解得x＝y＝，
∴若直线y＝x与图象W有四个交点，m的取值范围是＜m＜．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，翻折的性质，两函数交点问题以及根的判别式，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）利用数形结合找出直线y＝x+n与新图象恰好有三个不同的交点的情况；（3）找出直线y＝x与新图象y＝﹣x2+4x﹣3+2m恰好有三个不同的交点以及直线y＝x与y＝x2﹣4x+3的交点是关键．
23．（10分）综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
操作发现
某数学小组对图1的矩形纸片ABCD进行如下折叠操作：
第一步：如图2，把矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，然后把纸片展开；
第二步：如图3，将图2中的矩形纸片沿过点B的直线折叠，使得点A落在MN上的点A'处，折痕与AD交于点E，然后展开纸片，连接AA'，BA'，EA'．
问题解决
（1）请在图2中利用尺规作图，作出折痕BE；（保留作图痕迹）
（2）请你判断图3中△ABA'的形状，并说明理由；
（3）如图4，折痕BE与MN交于点F，BA'的延长线交直线CD于点P，若MF＝1，BC＝7，请你直接写出PD的长．
【分析】（1）由题意画出图形即可；
（2）由折叠的性质可得AB＝AB'，MN⊥AB，AM＝BM，可证出A'A＝A'B＝AB，则可得出结论；
（3）由等边三角形的性质及直角三角形的性质求出DH和CD的长，证明△PDH∽△PCB，由相似三角形的性质得出，则可得出答案．
【解答】解：如图2，BE为所求．
（2）△ABA'是等边三角形．
理由如下：由折叠的性质可得AB＝AB'，MN⊥AB，AM＝BM，
∴MN是AB的垂直平分线，
∴A'A＝A'B，
∴A'A＝A'B＝AB，
∴△ABA'是等边三角形；
（3）如图4，
∵△ABA'是等边三角形，
∴∠ABA'＝60°，
∴∠MBF＝30°，
在Rt△BMF中，MF＝1，
∴BM＝，
∴AB＝2BM＝2，
在Rt△ABH中，∠ABH＝60°，
∴AH＝AB•tan60°＝2＝6，
∵BC＝AD＝1，
∴DH＝AD﹣AH＝7﹣6＝1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DH∥BC，AB＝CD＝2，
∴△PDH∽△PCB，
∴，
设PD＝x，
∴，
解得x＝，
∴PD＝．
【点评】本题是四边形综合题，考查了尺规作图，翻折变换，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质等知识，证明△ABA'是等边三角形是解题的关键．
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