高考数学一轮复习第6章第4节直线、平面垂直的判定与性质学案

第四节　直线、平面垂直的判定与性质

考试要求：1．能以立体几何中的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．

2．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形中垂直关系的简单命题．

一、教材概念·结论·性质重现

1．直线与平面垂直

(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．

(2)判定定理与性质定理

2．平面与平面垂直

(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(2)判定定理与性质定理

3．线面角与二面角

(1)直线与平面所成的角(线面角)

①平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

②特例：若一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°．

若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°．

③直线与平面所成的角θ的取值范围是：0°≤θ≤90°．

(2)二面角

①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．

③二面角的平面角的范围：0≤θ≤π．

4．常用结论

(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．

(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．

(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．

(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)若直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α． (　×　)

(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直． (　√　)

(3)若直线a⊥α，b⊥α，则a∥b．  (　√　)

(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α．  (　×　)

(5)a⊥α，a⊂β⇒α⊥β．  (　√　)

2．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，则下列说法正确的是(　　)

A．若l⊥β，则α⊥β

B．若α⊥β，则l⊥m

C．若l∥β，则α∥β

D．若α∥β，则l∥m

A　解析：因为l⊥β，l⊂α，所以α⊥β(面面垂直的判定定理)．

3．(多选题)如图，圆柱的轴截面是四边形ABCD，E是底面圆周上异于A，B的一点，则下列结论中正确的是(　　)

A．AE⊥CE 

B．BE⊥DE

C．DE⊥平面CEB 

D．平面ADE⊥平面BCE

ABD　解析：由AB是底面圆的直径，得∠AEB＝90°，即AE⊥EB．因为圆柱的轴截面是四边形ABCD, BC⊥底面AEB，所以BC⊥AE．又EB∩BC＝B，BC，BE⊂平面BCE，

所以AE⊥平面BCE，所以AE⊥CE，故A正确．

同理可得，BE⊥DE，故B正确．

若DE⊥平面CEB，则DE⊥BC．因为BC∥AD，所以DE⊥AD．在△ADE中AD⊥AE，所以DE⊥AD不成立，所以DE⊥平面CEB不成立，故C错误．

由A的证明可知AE⊥平面BCE．因为AE⊂平面ADE，所以平面BCE⊥平面ADE，故D正确．故选ABD．

4．“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的________条件．

必要不充分　解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面α垂直”，反之则可以，所以应是必要不充分条件．

5．如图，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

4　解析：因为PA⊥平面ABC，

所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，

则△PAB，△PAC为直角三角形．

由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，

所以BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC．

因此△ABC，△PBC也是直角三角形．

故图中共有4个直角三角形．

考点1　垂直关系的基本问题——基础性

1．已知平面α和直线a，b，若a∥α，则“b⊥a”是“b⊥α”的(　　)

A．充分不必要条件 

B．必要不充分条件

C．充分必要条件 

D．既不充分也不必要条件

B　解析：根据空间中直线与平面之间的位置关系，由a∥α，b⊥α，可得b⊥a．反之不成立，可能b与α相交或平行．所以“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分条件．

2．(多选题)已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法正确的是(　　)

A．若a⊥α，b⊥β，α∥β，则a∥b

B．若a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β

C．若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥β

D．若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β

ABD　解析：对于A，若a⊥α，α∥β，则a⊥β，又b⊥β，所以a∥b，故A正确；

对于B，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，所以存在直线m⊂α，使得m∥b，又b⊥β，所以m⊥β，所以α⊥β．故B正确；

对于C，若a⊥α，a⊥b，则b⊂α或b∥α，又α∥β，所以b⊂β或b∥β，故C错误；

对于D，若α∩β＝a，a∥b，则b∥α或b∥β，故D正确．

3．在三棱锥SABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜边AB＝a的等腰直角三角形，则以下结论：

①异面直线SB与AC所成的角为90°；

②直线SB⊥平面ABC；

③平面SBC⊥平面SAC；

④点C到平面SAB的距离是a．

其中正确的是________．(填序号)

①②③④　解析：由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故①正确；再根据SB⊥AC，SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故②③正确；取AB的中点E，连接CE(图略)，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为点C到平面SAB的距离，为a，故④正确．

考点2　 空间角及其应用——应用性

(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为(　　)

A．8   B．6 

C．8   D．8

C　解析：如图，连接AC1，BC1，AC．

因为AB⊥平面BB1C1C，

所以∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，

所以∠AC1B＝30°．又AB＝BC＝2，

所以在Rt△ABC1中，AC1＝＝4．

在Rt△ACC1中，

CC1＝＝＝2，

所以V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×2＝8．

(2)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，若AB＝AD＝2，CC1＝，则二面角C1BDC的大小为__________．

30°　解析：如图，连接AC交BD于点O，连接C1O．

因为C1D＝C1B，O为BD的中点，所以C1O⊥BD．

因为AC⊥BD，所以∠C1OC是二面角C1BDC的平面角．

在Rt△C1CO中，C1C＝，CO＝AC＝，

则C1O＝2，所以sin∠C1OC＝＝．

由图可知，二面角C1­BD­C为锐二面角，

所以∠C1OC＝30°，即二面角C1­BD­C的大小为30°．

在四棱锥V­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角V­AB­C的大小为________．

60°　解析：如图，作VO⊥平面ABCD，垂足为O，则VO⊥AB．取AB的中点H，连接VH，OH，则VH⊥AB．

因为VH∩VO＝V，所以AB⊥平面VHO，所以AB⊥OH，所以∠VHO为二面角V­AB­C的平面角．易求VH2＝VA2－AH2＝4，所以VH＝2．而OH＝BC＝1，所以∠VHO＝60°．故二面角V­AB­C的大小是60°．

考点3　线面、面面垂直的判定与性质——综合性

考向1　线面垂直的判定与性质

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′＝．求证：D′H⊥平面ABCD．

证明：由已知得AC⊥BD，AD＝CD．又由AE＝CF得＝，故AC∥EF，因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H．

由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4．

由EF∥AC得＝＝，所以OH＝1，D′H＝DH＝3．

于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，

故D′H⊥OH．

又D′H⊥EF，而OH∩EF＝H，且OH，EF⊂平面ABCD，所以D′H⊥平面ABCD．

考向2　面面垂直的判定与性质

如图，在四棱锥P­ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．

求证：(1)CE∥平面PAD；

(2)平面EFG⊥平面EMN．

证明：(1)(方法一)取PA的中点H，连接EH，DH．

因为E为PB的中点，所以EH∥AB且EH＝AB．

又CD∥AB且CD＝AB，所以EH∥CD且EH＝CD．

所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH．

又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD．

(方法二)连接CF．

因为F为AB的中点，所以AF＝AB．又CD＝AB，所以AF＝CD．

又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，

因此CF∥AD．又CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

所以CF∥平面PAD．

因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA．

又EF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD．

因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD．

又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD．

(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA．

又因为AB⊥PA，所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG．

又因为EF∩FG＝F，EF，FG⊂平面EFG，所以AB⊥平面EFG．

又因为M，N分别为PD，PC的中点，

所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG．

又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN．

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°．将△ABD沿对角线BD折起，记折起后点A的位置为点P，且使平面PBD⊥平面BCD．

求证：(1)CD⊥平面PBD；

(2)平面PBC⊥平面PCD．

证明：(1)因为AD＝AB，∠BAD＝90°，所以∠ABD＝∠ADB＝45°．

又因为AD∥BC，所以∠DBC＝45°．

又∠DCB＝45°，所以∠BDC＝90°，即BD⊥CD．

因为平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD＝BD，

所以CD⊥平面PBD．

(2)由CD⊥平面PBD，得CD⊥BP．

又BP⊥PD，PD∩CD＝D，所以BP⊥平面PCD．

又BP⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD．