辽宁省鞍山市2023届高三第九次模拟数学试题（含解析）

辽宁省鞍山市2023届高三第九次模拟数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

2．等差数列中，，则的前9项和为（    ）

A． B． C．90 D．180

3．据统计，在某次联考中，考生数学单科分数X服从正态分布，考生共50000人，估计数学单科分数在130～150分的学生人数约为（    ）

（附：若随机变量服从正态分布，则，，）

A．1070 B．2140 C．4280 D．6795

4．用模型拟合一组数据组，其中；设，得变换后的线性回归方程为，则（    ）

A． B．70 C． D．35

5．任给，对应关系使方程的解与对应，则是函数的一个充分条件是（    ）

A．  B．  C．  D．

6．如图，在三棱柱中，底面ABC，，点D是棱上的点，，若截面分这个棱柱为两部分，则这两部分的体积比为（    ）

A．1:2 B．4:5 C．4:9 D．5:7

7．“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为（    ）

A．130 B．132 C．134 D．141

8．函数的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移1个单位长度后得到函数的图象，则（    ）

A． B． C． D．1

二、多选题

9．已知向量，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．的最大值为2 D．的取值范围是

10．下列关于复数的四个命题正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则的共轭复数的虚部为1

C．若，则的最大值为3

D．若复数，满足，，，则

11．将一组数据从小到大排列为：，中位数和平均数均为a，方差为，从中去掉第6项，从小到大排列为：，方差为，则下列说法中一定正确的是（    ）

A． B．的中位数为a

C．的平均数为a D．

12．已知双曲线C的左､右焦点分别为，，双曲线具有如下光学性质：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示.若双曲线C的一条渐近线的方程为，则下列结论正确的有（    ）

A．双曲线C的方程为

B．若，则

C．若射线n所在直线的斜率为k，则

D．当n过点M（8，5）时，光由所经过的路程为10

三、填空题

13．若，则_________.

14．一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有3个红色球，2个白色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则第2次摸到红色球的概率为__________.

15．阿波罗尼奥斯在其著作《圆锥曲线论》中提出：过椭圆上任意一点的切线方程为．若已知△ABC内接于椭圆E：，且坐标原点O为△ABC的重心，过A，B，C分别作椭圆E的切线，切线分别相交于点D，E，F，则______．

16．已知函数有两个极值点，，且，则实数m的取值范围是__________.

四、解答题

17．已知数列的前项和为，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前项和．

18．在中，角、、所对的边分别为、、，已知.

(1)求；

(2)若，的内切圆半径为，求的周长.

19．如图所示，在直四棱柱ABCD-中，底面ABCD为菱形，，，E为线段上一点.

(1)求证：；

(2)若平面与平面ABCD的夹角的余弦值为，求直线BE与平面所成角的正弦值.

20．已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，右焦点为，O为坐标原点，OB的中点为D（D在的左方），．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设过点D且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别是，，试问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

21．已知．

(1)求在上的最值；

(2)若恒成立，求a的取值范围．

22．为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为，如此往复．

（1）求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率；

（2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为．

（i）证明：为等比数列；

（ii）证明：当时，．

参考答案：

1．D

【分析】根据补集的定义结合指数函数分析运算.

【详解】由题意可得：.

故选：D.

2．C

【分析】根据下标和性质求出，再根据等差数列前项和公式及下标和性质计算即可.

【详解】因为，所以，

又，所以，

所以.

故选：C.

3．A

【分析】利用区间上的概率及正态分布的对称性求，进而估计区间人数.

【详解】由题设

，

所以数学单科分数在130～150分的学生人数约为人.

故选：A

4．C

【分析】根据回归直线方程，必过样本点中心，再利用换元公式，以及对数运算公式，化简求值.

【详解】因为，所以，，

即，

所以.

故选：C

5．A

【分析】根据函数的定义，，，则的范围要包含.

【详解】根据函数的定义，对任意，按，在的范围中必有唯一的值与之对应，，则，则的范围要包含，

故选：A．

6．D

【分析】根据题设易知为直三棱柱，即侧面为矩形，利用柱体体积公式、锥体体积公式求，进而确定比值.

【详解】不妨令，且上下底面等边三角形，

又底面ABC，易知为直三棱柱，即侧面为矩形，

所以三棱柱体积，

而，故，

所以，故，

所以.

故选：D

7．B

【分析】利用等差数列求和公式及素数的定义即可求解.

【详解】由题可知，2到20的全部整数和为，

2到20的全部素数和为，

所以挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为.

故选：B.

8．D

【分析】先根据函数的图象求出函数的解析式，然后再根据平移得到，最后求出的值.

【详解】由图象可知，，得，所以，

所以，，

又因为在函数的图象上，

所以，

所以，，即，，

又，所以，即.

又在函数的图象上，

所以，即，

即.

所以，

所以.

故选：D.

9．ACD

【分析】根据数量积的坐标表示判断A，根据向量平行的坐标表示得到，求出，即可判断B，根据数量积的坐标表示及三角函数的性质判断C、D.

【详解】对于A：当时，，

此时，故，即A正确；

对于B：若，则，所以，所以，，故B错误；

对于C：，故C正确；

对于D：因为，，所以，，

所以

，因为，所以，

所以，故D正确；

故选：ACD

10．ACD

【分析】根据复数模、共轭复数的积运算即可判断A，由复数除法的运算及共轭复数、虚部的概念判断B，根据复数模的几何意义及圆的性质判断C，利用复数的加减运算、模的运算求解可判断D.

【详解】设，

对A，，，故正确；

对B，，所以，

，其虚部为，故错误；

对C，由的几何意义，知复数对应的动点 到定点的距离为1，

即动点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，表示动点到定点的距离，由圆的性质知，，故正确；

对D，设，因为，，

所以，又，所以，

所以，所以

，故正确.

故选：ACD

11．AC

【分析】由中位数的定义即可判断A、B选项；由平均数的定义即可判断C选项；由方差的定义即可判断D选项.

【详解】由的中位数和平均数均为a，可知，，故A正确；

的中位数为，不一定等于，故的中位数不一定为a，B错误；

，故的平均数为a，C正确；

，由于，

故，

故，D错误.

故选：AC.

12．AC

【分析】利用双曲线的渐近线方程及勾股定理，结合双曲线的定义及两点间的距离公式即可求解.

【详解】对于A ，由题意可知，因为双曲线C的一条渐近线的方程为，

所以，即，所以双曲线的方程为故A正确；

对于B，由，得，解得，

在中，，由勾股定理及双曲线的定义知，，

即，解得，故B错误；

对于C，由题意可知，双曲线的渐近线方程为，

由双曲线的性质可得射线所在直线的斜率范围为，故C正确；

对于D，由题意可知，，当过点时，

由双曲线定义可得光由所经过的路程为，故D错误.

故选：AC.

13．34

【分析】令，得，令，得，即可得到答案.

【详解】依题意，

令，得，

令，得.

故.

故答案为：34

14．/0.6

【分析】通过分析第一次不放回摸出的球的不同情况，即可得到第2次摸到红色球的概率.

【详解】由题意，

袋子中有相同的5个球，3个红球，2个白球，

不放回地依次随机摸出2个球，

∴第1次可能摸到1白色球或1红色球

∴第2次摸到红色球的概率为：，

故答案为：.

15．4

【分析】设、、，由重心的性质有、、，写出过切线方程并求交点坐标，进而判断△重心也为O，再由在椭圆上可得、、共线，即分别是的中点，即可确定面积比.

【详解】若、、，则的中点、、，

由O为△ABC的重心，则、、，

所以、、，可得，

由题设，过切线分别为、、，

所以，，，

所以，同理，即△重心也为O，

又、、，可得、、，

所以，同理可得、，

所以、、共线，

综上，分别是的中点，则

【点睛】关键点点睛：设点坐标及过切线方程，并求出坐标，利用重心的性质确定△重心为O，并求证分别是的中点即可.

16．

【分析】根据极值点的定义，结合函数零点的定义，通过构造函数，利用数形结合思想进行求解即可.

【详解】由有两个不同实根，

且，

设，

当时，，当时，，

在单调递减，在单调递增，所以，

显然当时，，当时，，

图象如下：

所以有，则有，

当时，即.，

时，，

故答案为：

【点睛】关键点睛：根据函数极值的定义，结合构造函数法、数形结合法进行求解是解题的关键.

17．(1)

(2)

【分析】（1）根据求出首项及，构造法求出通项公式；

（2）求出，从而利用裂项相消法求和.

【详解】（1）当时，，解得，

当时，．

可得，

整理得：，

从而，

又，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列；

所以，

所以，经检验，满足，

综上，数列的通项公式为；

（2）由（1）得，所以，所以，

，

所以

18．(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；

（2）利用三角形的面积公式可得出，结合余弦定理可求得的值，即可求得的周长.

【详解】（1）解：因为，

由正弦定理可得，①

因为，所以，

代入①式整理得，

又因为、，，则，所以，

又因为，解得.

（2）解：由（1）知，，因为内切圆半径为，

所以，即，

所以，②，

由余弦定理得，所以③，

联立②③，得，解得，

所以的周长为.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，利用线面垂直的判定定理和性质即可证明；

（2）根据线面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面的法向量，由题意和向量的数量积的定义求出点E的坐标，结合线面角的定义即可求解.

【详解】（1）连接，

底面为菱形，.

又平面平面.

又面，

平面.又平面.

（2）设的中点为，连接，如图：

为等边三角形，，又，则.

又平面，则.

以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，

则，，

，

设平面的一个法向量为，

令，则.

又平面的一个法向量为，

则.

又平面与平面的夹角的余弦值为，

，

，，

.

直线与平面所成角的正弦值为.

20．(1)

(2)是定值，定值为.

【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出，可得椭圆的标准方程；

（2）设过点D且斜率不为0的直线方程为，代入，设，，根据韦达定理得和，再利用斜率公式得，代入和，化简可得.

【详解】（1）依题意，，，，，

所以，

所以椭圆C的标准方程为：.

（2）设过点D且斜率不为0的直线方程为，

联立，消去并整理得，

，

设，，

则，，

所以

.

所以为定值.

21．(1)最大值为，最小值为

(2)

【分析】（1）求导后根据函数的单调性确定极值即可；（2）将不等式转化后求导，分类讨论即可得解.

【详解】（1）由题意知，

令，得，

令，得，

所以在上单调递增，在上单调递减．

因为，，，

所以在上的最大值为，最小值为．

（2）恒成立，

即恒成立，

设，

则，．

①当时，取，则

，

所以当时，不恒成立．

②当时，在上单调递减，在上单调递增，

所以要使，只需，

即，

解得，

所以．

综上，实数a的取值范围是．

22．（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

【分析】（1）设“第天选择米饭套餐”，“第天选择米饭套餐”，“第天不选择米饭套餐”．由全概率公式有，计算可得；

（2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，依照（1）可得与的关系，然后根据等比数列定义证明；

（ii）求出通项公式，然后分类讨论证明结论．

【详解】解：（1）设“第天选择米饭套餐”，“第天选择米饭套餐”，

则“第天不选择米饭套餐”．

根据题意，，，．

由全概率公式，得．

（2）（i）设“第天选择米饭套餐”，则，，

根据题意，．

由全概率公式，得．

因此．

因为，

所以是以为首项，为公比的等比数列．

（ii）由（i）可得．

当为大于的奇数时，．

当为正偶数时，．

因此当时，．