2023年湖南省邵阳市新宁县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年湖南省邵阳市新宁县中考数学一模试卷（含解析），共33页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省邵阳市新宁县中考数学一模试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在﹣1，，0，﹣3这四个数中，比﹣2小的是（　　）
A．﹣1 B． C．0 D．﹣3
2．在下列运算中，正确的是（　　）
A．a3•a4＝a12 B．（ab2）3＝a6b6
C．（a3）4＝a7 D．a4÷a3＝a
3．已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（　　）
A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106 D．8.23×107
4．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x＝3 C．x≠0 D．x≠3
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
6．若y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
7．若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．k＞0 B．b＝2
C．y随x的增大而增大 D．x＝3时，y＝0
8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，若一次函数y＝ax+b的图象经过二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF，有以下结论：
①AN＝EN
②当AE＝AF时，＝2﹣
③BE+DF＝EF
④存在点E、F，使得NF＞DF
其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
12．如图，直线a∥b，将含有45°角的三角形板ABC的直角顶点C放在直线b上，若∠1＝27°，则∠2的度数为　 　．

13．在平面直角坐标系中，抛物线y＝（m+2）x2﹣3x+m开口向下，那么m的取值范围是 　 　．
14．已知﹣1是一元二次方程2x2﹣mx﹣3＝0的一个根，那么该方程的另一个根是 　 　．
15．如图，已知⊙O的直径AB为10，弦CD＝8，CD⊥AB于点E，则sin∠OCE的值为 　 　．

16．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成两部分，S△ADE：S四边形BDEC＝4：5，则的值是 　 　．

17．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，点A在反比例函数y＝的图象上，若点B在反比例函数y＝的图象上，则k＝　 　．

18．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，若DE＝5，AB＝8，则S△ABF：S△FCE＝　 　．

三、解答题（共8小题，满分0分）
19．计算：2sin60°++|﹣5|﹣（﹣2023）0．
20．先化简÷+，然后从0，1，2，3中选一个合适的a值代入求解．
21．为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，2～4小时（含2小时），4～6小时（含4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．

（1）本次调查共随机抽取了　 　名中学生，其中课外阅读时长“2～4小时”的有　 　人；
（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4～6小时”对应的圆心角度数为　 　°；
（3）若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．
22．为满足市场需求，某服装超市在六月初购进一款短袖T恤衫，每件进价是80元；超市规定每件售价不得少于90元，根据调查发现：当售价定为90元时，每周可卖出600件，一件T恤衫售价每提高1元，每周要少卖出10件．若设售价为x（x≥90）元，每周所获利润为Q（元），请解答下列问题：
（1）每周短袖T恤衫销量为y（件），则y＝　 　（含x的代数式表示），并写出Q与x的函数关系式；
（2）当售价x定为 　 　元时，该服装超市所获利润最大，最大利润为 　 　元；
（3）该服装超市每周想从这款T恤衫销售中获利8500元，又想尽量给客户实惠，该如何给这款T恤衫定价？
23．如图，四边形ABCD是某水库大坝的横截面示意图，坝高8米，背水坡的坡角为45°，现需要对大坝进行加固，使上底加宽2米，且加固后背水坡的坡度i＝1：2，求加固后坝底增加的宽度AF的长．

24．如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且＝，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若∠CAD＝30°，CD＝，求的长．

25．如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？

26．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．



参考答案
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．在﹣1，，0，﹣3这四个数中，比﹣2小的是（　　）
A．﹣1 B． C．0 D．﹣3
【分析】根据正数＞0＞负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可．
解：∵|﹣1|＝1，|﹣|＝，|﹣2|＝2，|﹣3|＝3，而，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较方法是解答此题的关键．
2．在下列运算中，正确的是（　　）
A．a3•a4＝a12 B．（ab2）3＝a6b6
C．（a3）4＝a7 D．a4÷a3＝a
【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘分别进行计算即可．
解：A、底数不变指数相加，即a3•a4＝a7，故A错误；
B、积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即（ab2）3＝a3b6，故B错误；
C、底数不变指数相乘，即（a3）4＝a12，故C错误；
D、底数不变指数相减，即a4÷a3＝a，故D正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除法和幂的乘方、积的乘方，解题的关键是熟练掌握各计算法则．
3．已知某种新型感冒病毒的直径为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（　　）
A．8.23×10﹣6 B．8.23×10﹣7 C．8.23×106 D．8.23×107
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000000823＝8.23×10﹣7．
故选：B．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x＝3 C．x≠0 D．x≠3
【分析】分式的分母不等于零．
解：依题意得：3﹣x≠0．
解得x≠3．
故选：D．
【点评】考查了分式有意义的条件．分式有意义的条件是分母不等于零．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则cosB的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】如图，由∠C＝90°，AC＝2BC＝x，根据勾股定理得AB＝．再根据余弦值的定义得cosB＝．
解：如图．

∵∠C＝90°，AC＝2BC＝x，
∴AB＝．
∴cosB＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查勾股定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握勾股定理以及锐角三角函数的定义是解决本题的关键．
6．若y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的另一个解为（　　）

A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【分析】根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与x轴的两个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方程ax2+bx+c＝0的解．
解：∵根据图示知，抛物线与x轴的一个交点是（3，0）对称轴为直线x＝1，
∴根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为（﹣1，0），
∴令y＝0，即ax2+bx+c＝0，
∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3．
即方程的另一解为﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，解题时，注意二次函数y＝ax2+bx+c与方程ax2+bx+c＝0间的关系．
7．若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．k＞0 B．b＝2
C．y随x的增大而增大 D．x＝3时，y＝0
【分析】根据一次函数的性质结合图象即可得出结论．
解：观察一次函数图象发现，图象过第一、二、四象限，
∴k＜0，A错误；
∴函数值y随x的增大而减小，C错误；
∵图象与y轴的交点为（0，2）
∴b＝2，B正确；
∵图象与x轴的交点为（4，0）
∴x＝4时，y＝0，D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，
∴y＝x+4.5；
∵将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，
∴y＝x﹣1．
∴所列方程组为．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9．如图，若一次函数y＝ax+b的图象经过二、三、四象限，则二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用一次函数图象经过的象限得出a，b的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案．
解：∵一次函数y＝ax+b的图象经过二、三、四象限，
∴a＜0，b＜0，
∴二次函数y＝ax2+bx的图象可能是：开口方向向下，对称轴在y轴左侧，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数以及二次函数的图象，正确确定a，b的符号是解题关键．
10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF，有以下结论：
①AN＝EN
②当AE＝AF时，＝2﹣
③BE+DF＝EF
④存在点E、F，使得NF＞DF
其中正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①如图1，证明△AMN∽△BME和△AMB∽△NME，可得∠NAE＝∠AEN＝45°，则△AEN是等腰直角三角形可作判断；
②先证明CE＝CF，假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，表示AC的长为AO+OC可作判断；
③如图3，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，证明△AEF≌△AEH（SAS），则EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，可作判断；
④在△ADN中根据比较对角的大小来比较边的大小．
解：①如图1，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EBM＝∠ADM＝∠FDN＝∠ABD＝45°，
∵∠MAN＝∠EBM＝45°，∠AMN＝∠BME，
∴△AMN∽△BME，
∴，
∵∠AMB＝∠EMN，
∴△AMB∽△NME，
∴∠AEN＝∠ABD＝45°
∴∠NAE＝∠AEN＝45°，
∴△AEN是等腰直角三角形，
∴AN＝EN，
故①正确；
②在△ABE和△ADF中，
∵，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∵BC＝CD，
∴CE＝CF，
假设正方形边长为1，设CE＝x，则BE＝1﹣x，
如图2，连接AC，交EF于O，

∵AE＝AF，CE＝CF，
∴AC是EF的垂直平分线，
∴AC⊥EF，OE＝OF，
Rt△CEF中，OC＝EF＝x，
△EAF中，∠EAO＝∠FAO＝22.5°＝∠BAE＝22.5°，
∴OE＝BE，
∵AE＝AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AOE（HL），
∴AO＝AB＝1，
∴AC＝＝AO+OC，
∴1+x＝，
x＝2﹣，
∴＝＝＝；
故②不正确；
③如图3，

∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF＝AH，∠DAF＝∠BAH，
∵∠EAF＝45°＝∠DAF+∠BAE＝∠HAE，
∵∠ABE＝∠ABH＝90°，
∴H、B、E三点共线，
在△AEF和△AEH中，
，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EF＝EH＝BE+BH＝BE+DF，
故③正确；
④△ADN中，∠FND＝∠ADN+∠NAD＞45°，
∠FDN＝45°，
∴DF＞FN，
故不存在点E、F，使得NF＞DF，
故④不正确；
故选：B．

【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．函数y＝中，自变量x的取值范围是　x＞2或x≤1　．
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式组，基本都是在得到答案．
解：由题意得，≥0，
则或，
解得，x＞2或x≤1，
故答案为：x＞2或x≤1．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0是解题的关键．
12．如图，直线a∥b，将含有45°角的三角形板ABC的直角顶点C放在直线b上，若∠1＝27°，则∠2的度数为　18°　．

【分析】过B作BE∥直线a，推出a∥b∥BE，根据平行线性质得出∠2＝∠ABE，∠1＝∠CBE＝27°，根据∠ABC＝45求出∠ABE，即可得出答案．
【解答】
解：过B作BE∥直线a，
∵直线a∥b，
∴a∥b∥BE，
∴∠2＝∠ABE，∠1＝∠CBE＝27°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠2＝∠ABE＝45°﹣27°＝18°，
故答案为：18°．
【点评】本题考查了平行线性质的应用，解此题的关键是正确作出辅助线．
13．在平面直角坐标系中，抛物线y＝（m+2）x2﹣3x+m开口向下，那么m的取值范围是 　m＜﹣2　．
【分析】根据抛物线开口向下可得m+2＜0，进而求解．
解：∵抛物线y＝（m+2）x2﹣3x+m开口向下，
∴m+2＜0，
∴m＜﹣2．
故答案为：m＜﹣2．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．
14．已知﹣1是一元二次方程2x2﹣mx﹣3＝0的一个根，那么该方程的另一个根是 　　．
【分析】设方程另一根为x2，根据根与系数的关系得到﹣1×x2＝﹣，然后解此方程即可．
解：设方程另一根为x2，
则﹣1×x2＝﹣，
解得：x2＝．
故方程的另一个根是．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
15．如图，已知⊙O的直径AB为10，弦CD＝8，CD⊥AB于点E，则sin∠OCE的值为 　　．

【分析】由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理，可求得CE的长，然后由勾股定理即可求得OE，继而求得sin∠OCE的值．
解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CE＝CD＝×8＝4，OC＝AB＝×10＝5，
∴OE＝＝＝3，
∴sin∠OCE＝＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
16．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成两部分，S△ADE：S四边形BDEC＝4：5，则的值是 　　．

【分析】利用相似三角形的判定与性质得到，再利用比例的性质解答即可得出结论．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴．
∵S△ADE：S四边形BDEC＝4：5，
∴．
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，比例的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
17．如图，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，点A在反比例函数y＝的图象上，若点B在反比例函数y＝的图象上，则k＝　﹣6　．

【分析】要求函数的解析式只要求出B点的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．根据条件得到△ACO∽△ODB，得到：＝＝＝，然后用待定系数法即可．
解：过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．
设点A的坐标是（m，n），则AC＝n，OC＝m．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°．
∵∠DBO+∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC．
∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA．
∵∠AOB＝90°，∠ABO＝30°，
∴＝，
∴＝＝＝，
设A（m，n），则B（﹣n，m），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴mn＝2，
∴﹣n•m＝﹣3×2＝﹣6，
∴k＝﹣6．
故答案为：﹣6．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求得点B的坐标（用含n的式子表示）是解题的关键．
18．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，若DE＝5，AB＝8，则S△ABF：S△FCE＝　4　．

【分析】由矩形的性质可得∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝8，由折叠的性质可得DE＝EF＝5，∠D＝∠AFE＝90°，由勾股定理可求FC＝4，由相似三角形的性质可求S△ABF：S△FCE的值．
解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝8
∵DE＝5，
∴EC＝3
∵折叠
∴DE＝EF＝5，∠D＝∠AFE＝90°
在Rt△EFC中，FC＝＝4
∵∠AFE＝90°，∠C＝90°
∴∠AFB+∠EFC＝90°，∠EFC+∠FEC＝90°
∴∠AFB＝∠FEC，且∠B＝∠C＝90°
∴△ABF∽△FCE
∴＝（）2＝4
故答案为：4
【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，证△ABF∽△FCE是本题的关键．
三、解答题（共8小题，满分0分）
19．计算：2sin60°++|﹣5|﹣（﹣2023）0．
【分析】直接利用零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值，分别化简得出答案．
解：原式＝2×+2+5﹣1
＝+2+5﹣1
＝3+4．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质、二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值等知识，正确化简各数是解题关键．
20．先化简÷+，然后从0，1，2，3中选一个合适的a值代入求解．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
解：原式＝•+
＝a+a
＝2a，
∵a＝0，1，2时分式无意义，
∴a＝3，
当a＝3时，原式＝2×3＝6．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21．为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，2～4小时（含2小时），4～6小时（含4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示尚不完整的统计图．

（1）本次调查共随机抽取了　200　名中学生，其中课外阅读时长“2～4小时”的有　40　人；
（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4～6小时”对应的圆心角度数为　144　°；
（3）若该地区共有20000名中学生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．
【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生数和课外阅读时长“2～4小时”的人数；
（2）根据统计图中的数据可以求得扇形统计图中，课外阅读时长“4～6小时”对应的圆心角度数；
（3）根据统计图的数据可以计算出该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．
解：（1）本次调查共随机抽取了：50÷25%＝200（名）中学生，
其中课外阅读时长“2～4小时”的有：200×20%＝40（人），
故答案为：200，40；
（2）扇形统计图中，课外阅读时长“4～6小时”对应的圆心角度数为：360°×（1﹣﹣20%﹣25%）＝144°，
故答案为：144；
（3）20000×（1﹣﹣20%）＝13000（人），
答：估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的有13000人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．为满足市场需求，某服装超市在六月初购进一款短袖T恤衫，每件进价是80元；超市规定每件售价不得少于90元，根据调查发现：当售价定为90元时，每周可卖出600件，一件T恤衫售价每提高1元，每周要少卖出10件．若设售价为x（x≥90）元，每周所获利润为Q（元），请解答下列问题：
（1）每周短袖T恤衫销量为y（件），则y＝　﹣10x+1500　（含x的代数式表示），并写出Q与x的函数关系式；
（2）当售价x定为 　115　元时，该服装超市所获利润最大，最大利润为 　12250　元；
（3）该服装超市每周想从这款T恤衫销售中获利8500元，又想尽量给客户实惠，该如何给这款T恤衫定价？
【分析】（1）根据“当售价定为90元时，每周可卖出600件，一件T恤衫售价每提高1元，每周要少卖出10件．“即可得出每天的销售量与每件售价x（元）之间的函数关系式；根据利润＝每件的利润×销售量列出函数解析式；
（2）把（1）中Q关于x的解析式化为顶点式，由函数的性质求最值；
（3）当Q＝8500时，解一元二次方程求出方程的根，取较小的值．
解：（1）每周短袖T恤衫销量为y＝600﹣10×（x﹣90）＝﹣10x+1500，
∴y＝﹣10x+1500，
故答案为：﹣10x+1500；
根据题意得：Q＝（x﹣80）y＝（x﹣80）（﹣10x+1500）＝﹣10x2+2300x﹣120000，
∴Q与x的函数关系式为Q＝﹣10x2+2300x﹣120000；
（2）Q＝﹣10x2+2300x﹣120000＝﹣10（x﹣115）2+12250，
∵﹣10＜0，
∴当x＝115时，Q有最大值，最大值为12250，
故答案为：115，12250；
（3）当Q＝8500时，﹣10（x﹣115）2+12250＝8500，
解得x1＝95，x2＝135，
∵尽量给客户实惠，
∴x＝95．
答：这款T恤衫定价为95元/件．
【点评】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用以及二次函数的最值，解题的关键是找出等量关系，列出函数解析式．
23．如图，四边形ABCD是某水库大坝的横截面示意图，坝高8米，背水坡的坡角为45°，现需要对大坝进行加固，使上底加宽2米，且加固后背水坡的坡度i＝1：2，求加固后坝底增加的宽度AF的长．

【分析】分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H．在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出FG的长，同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF＝FG+GH﹣AH求出AF的长．
解：分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，

∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴DH平行且等于EG，
故四边形EGHD是矩形，
∴ED＝GH，
在Rt△ADH中，AH＝DH÷tan∠DAH＝8÷tan45°＝8（米），
在Rt△FGE中，i＝1：2＝，
∴FG＝2EG＝16（米），
∴AF＝FG+GH﹣AH＝16+2﹣8＝10（米）．
答：加固后坝底增加的宽度AF的长是10米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是理解坡度、坡比的含义，构造直角三角形，利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般．
24．如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且＝，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若∠CAD＝30°，CD＝，求的长．

【分析】（1）根据圆周角定理得∠FAC＝∠BAC，而∠OAC＝∠OCA，则∠FAC＝∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，根据圆周角定理、邻补角定义求出∠AOC＝120°，根据含30°角的直角三角形的性质、勾股定理求出AB＝4，则OA＝2，根据弧长计算公式求解即可．
【解答】（1）证明：∵＝，
∴∠FAC＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠FAC＝∠OCA，
∴OC∥AF，
∵CD⊥AF，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BC，

∵∠CAD＝30°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝2∠CAD＝60°，
∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝AB，
∵CD⊥AD，∠CAD＝30°，CD＝，
∴AC＝2CD＝2，
∴AB2﹣＝，
∴AB＝4或AB＝﹣4（舍去），
∴OA＝2，
∴的长＝＝π．
【点评】此题考查了切线的判定、圆周角定理、弧长计算公式，熟练掌握切线的判定、圆周角定理、弧长计算公式是解题的关键．
25．如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HG，HG交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG＝90°；
②若AB＝AC＝4，当EH的长度为多少时△AQG为等腰三角形？

【分析】（1）根据SAS可证明△AHB≌△AGC；
（2）①证明△AEH≌△AFG（SAS），可得∠AFG＝∠AEH＝45°，从而根据两角的和可得结论；
②分两种情况：i）如图3，AQ＝QG时，ii）如图4，当AG＝QG时，分别根据等腰三角形的性质可得结论．
【解答】（1）证明：如图1，

由旋转得：AH＝AG，∠HAG＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAH＝∠CAG，
∵AB＝AC，
∴△ABH≌△ACG（SAS）；
（2）①证明：如图2，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵点E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，AE＝AB，AF＝AC，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠ABC＝45°，∠AFE＝∠ACB＝45°，
∵∠EAH＝∠FAG，AH＝AG，
∴△AEH≌△AFG（SAS），
∴∠AFG＝∠AEH＝45°，
∴∠HFG＝45°+45°＝90°；
②分两种情况：
i）如图3，AQ＝QG时，

∵AQ＝QG，
∴∠QAG＝∠AGQ，
∵∠HAG＝∠HAQ+∠QAG＝∠AHG+∠AGH＝90°，
∴∠QAH＝∠AHQ，
∴AQ＝QH＝QG，
∵AH＝AG，
∴AQ⊥GH，
∵∠AFG＝∠AFH＝45°，
∴∠FGQ＝∠FHQ＝45°，
∴∠HFG＝∠AGF＝∠AHF＝90°，
∴四边形AHFG是正方形，
∵AC＝4，
∴AF＝2，
∴FG＝EH＝，
∴当EH的长度为时，△AQG为等腰三角形；
ii）如图4，当AG＝QG时，∠GAQ＝∠AQG，

∵∠AEH＝∠AGQ＝45°，∠EAH＝∠GAQ，
∴∠AHE＝∠AQG＝∠EAH，
∴EH＝AE＝2，
∴当EH的长度为2时，△AQG为等腰三角形；
综上，当EH的长度为或2时，△AQG为等腰三角形．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，也考查了全等三角形的判定与性质，第二问要注意分类讨论，不要丢解．
26．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A和点B，其中点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴x＝1与抛物线交于点D，与直线BC交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点，是否存在点F使四边形ABFC的面积为17，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于DE的一条动直线l与直线BC相交于点P，与抛物线相交于点Q，若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．

【分析】方法一：
（1）先把C（0，4）代入y＝ax2+bx+c，得出c＝4①，再由抛物线的对称轴x＝﹣＝1，得到b＝﹣2a②，抛物线过点A（﹣2，0），得到0＝4a﹣2b+c③，然后由①②③可解得，a＝﹣，b＝1，c＝4，即可求出抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；
（2）假设存在满足条件的点F，连接BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G．设点F的坐标为（t，﹣t2+t+4），则FH＝﹣t2+t+4，FG＝t，先根据三角形的面积公式求出S△OBF＝OB•FH＝﹣t2+2t+8，S△OFC＝OC•FG＝2t，再由S四边形ABFC＝S△AOC+S△OBF+S△OFC，得到S四边形ABFC＝﹣t2+4t+12．令﹣t2+4t+12＝17，即t2﹣4t+5＝0，由△＝（﹣4）2﹣4×5＝﹣4＜0，得出方程t2﹣4t+5＝0无解，即不存在满足条件的点F；
（3）先运用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+4，再求出抛物线y＝﹣x2+x+4的顶点D（1，），由点E在直线BC上，得到点E（1，3），于是DE＝﹣3＝．若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE＝PQ，设点P的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣m2+m+4）．分两种情况进行讨论：①当0＜m＜4时，PQ＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，解方程﹣m2+2m＝，求出m的值，得到P1（3，1）；②当m＜0或m＞4时，PQ＝（﹣m+4）﹣（﹣m2+m+4）＝m2﹣2m，解方程m2﹣2m＝，求出m的值，得到P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．
方法二：
（1）略．
（2）利用水平底与铅垂高乘积的一半，可求出△BCF的面积函数，进而求出点F坐标，因为，所以无解．
（3）因为PQ∥DE，所以只需PQ＝AC即可，求出PQ的参数长度便可列式求解．
【解答】方法一：
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点C（0，4），
∴c＝4 ①．
∵对称轴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a②．
∵抛物线过点A（﹣2，0），
∴0＝4a﹣2b+c③，
由①②③解得，a＝﹣，b＝1，c＝4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；

（2）假设存在满足条件的点F，如图所示，连接BF、CF、OF，过点F作FH⊥x轴于点H，FG⊥y轴于点G．
设点F的坐标为（t，﹣t2+t+4），其中0＜t＜4，
则FH＝﹣t2+t+4，FG＝t，
∴S△OBF＝OB•FH＝×4×（﹣t2+t+4）＝﹣t2+2t+8，
S△OFC＝OC•FG＝×4×t＝2t，
∴S四边形ABFC＝S△AOC+S△OBF+S△OFC＝4﹣t2+2t+8+2t＝﹣t2+4t+12．
令﹣t2+4t+12＝17，
即t2﹣4t+5＝0，
则△＝（﹣4）2﹣4×5＝﹣4＜0，
∴方程t2﹣4t+5＝0无解，
故不存在满足条件的点F；

（3）设直线BC的解析式为y＝kx+n（k≠0），
∵B（4，0），C（0，4），
∴，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
由y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
∴顶点D（1，），
又点E在直线BC上，则点E（1，3），
于是DE＝﹣3＝．
若以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，因为DE∥PQ，只须DE＝PQ，
设点P的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣m2+m+4）．
①当0＜m＜4时，PQ＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，
由﹣m2+2m＝，
解得：m＝1或3．
当m＝1时，线段PQ与DE重合，m＝1舍去，
∴m＝3，P1（3，1）．
②当m＜0或m＞4时，PQ＝（﹣m+4）﹣（﹣m2+m+4）＝m2﹣2m，
由m2﹣2m＝，
解得m＝2±，经检验适合题意，
此时P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．
综上所述，满足题意的点P有三个，分别是P1（3，1），P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．
方法二：
（1）略．
（2）∵B（4，0），C（0，4），
∴lBC：y＝﹣x+4，
过F点作x轴垂线，交BC于H，设F（t，﹣t2+t+4），
∴H（t，﹣t+4），
∵S四边形ABFC＝S△ABC+S△BCF＝17，
∴（4+2）×4+（﹣t2+t+4+t﹣4）×4＝17，
∴t2﹣4t+5＝0，
∴△＝（﹣4）2﹣4×5＜0，
∴方程t2﹣4t+5＝0无解，故不存在满足条件的点F．

（3）∵DE∥PQ，
∴当DE＝PQ时，以D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，
∵y＝﹣x2+x+4，
∴D（1，），
∵lBC：y＝﹣x+4，
∴E（1，3），
∴DE＝﹣3＝，
设点F的坐标是（m，﹣m+4），则点Q的坐标是（m，﹣m2+m+4），
∴|﹣m+4+m2﹣m﹣4|＝，
∴m2﹣2m＝或m2﹣2m＝﹣，
∴m＝1，m＝3，m＝2+，m＝2﹣，
经检验，当m＝1时，线段PQ与DE重合，故舍去．
∴P1（3，1），P2（2+，2﹣），P3（2﹣，2+）．



【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，四边形的面积，平行四边形的判定等知识，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．