2022-2023学年山东省枣庄市枣庄市第八中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年山东省枣庄市枣庄市第八中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．若，则（    ）

A．2 B．5 C．2或5 D．7

【答案】C

【分析】由组合数的性质，即可求解.

【详解】由组合数性质，可知或.

故选：C

2．的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（    ）

A．0 B． C． D．32

【答案】D

【分析】根据的二项展开式系数之和为求解即可

【详解】的二项展开式中所有项的二项式系数之和为

故选：D

3．如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有4种不同颜色的花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，则不同的绿化方案有（    ）

A．48种 B．72种 C．64种 D．256种

【答案】A

【分析】利用分步乘法原理求解即可

【详解】从A开始摆放花卉，A有4种颜色花卉摆放方法，

C有3种颜色花卉摆放方法，B有2种颜色花卉摆放方法；

由D区与A，B花卉颜色不一样，与C区花卉颜色可以同色也可以不同色，

则D有2种颜色花卉摆放方法.

故共有种绿化方案.

故选：A

4．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（    ）

A．48 B．54 C．60 D．72

【答案】C

【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.

【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，

共有 种方法；

由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，

所以由 种方法；

按照分步乘法原理，共有 种方法；

故选：C.

5．函数的单调递减区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出导函数，由得减区间．

【详解】由已知，

时，，时，，

所以的减区间是，增区间是；

故选：A．

6．已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则下面四个图象中，的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先利用函数的图象求得函数的单调区间，进而得到正确选项.

【详解】由题给函数的图象，可得

当时，，则，则单调递增；

当时，，则，则单调递减；

当时，，则，则单调递减；

当时，，则，则单调递增；

则单调递增区间为，；单调递减区间为

故仅选项C符合要求.

故选：C

7．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将问题转化为方程有三个根，令（），分析的单调性，作出的图像，结合函数图像可得答案

【详解】解：因为函数有三个零点，

所以方程有三个根，即方程有三个根，

令（），

当时，，则，

当时，，当时，，

所以在上递增，在上递减，

所以当时，取得极大值，

当时，，

当时，，则， 所以在上递减，

所以的大致图像如图所示，

由图像可得当时，直线与的图像有三个交点，

所以实数的取值范围是，

故选：D

8．对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将不等式等价变形，构造函数，再借助函数单调性、最值求解作答.

【详解】依题意，，令，，

则对任意的，当时，，即有函数在上单调递减，

因此，，，而，则，

所以实数的取值范围是.

故选：C

二、多选题

9．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】CD

【分析】根据函数求导公式和运算法则，计算即可.

【详解】对于A选项：（，所以A选项错误；

对于B选项：，所以B选项错误；

对于C选项：由公式得，所以C选项正确；

对于D选项：，所以D选项正确；

故选：CD.

10．已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则（    ）

A．

B．的展开式中项的系数为56

C．奇数项的二项式系数和为128

D．的展开式中项的系数为56

【答案】AC

【分析】利用二项式定理求得的展开通项公式，从而得到关于的方程，解出的值判断AB，利用所有奇数项的二项式系数和为判断C，根据二项式定理判断D.

【详解】因为的展开式通项为，

所以的展开式的第项的二项式系数为，

所以，解得，A正确；

的系数为，B错误；

奇数项的二项式系数和为，C正确；

根据二项式定理，表示8个相乘，

所以中有1个选择，1个选择，6个选择，

所以的展开式中项的系数为，D错误；

故选：AC

11．（多选）将《红楼梦》《西游记》《三国演义》《水浒传》《唐诗三百首》《徐志摩诗集》和《中华戏曲》7本书放在一排，则（    ）

A．戏曲书放在正中间位置的不同放法有种

B．诗集相邻的不同放法有种

C．四大名著互不相邻的不同放法有种

D．四大名著不放在两端的不同放法有种

【答案】BC

【分析】根据题设，依次分析各选项的条件，再列式即可判断作答.

【详解】对于A，戏曲书只有1本，将戏曲书放在正中间，其余6本书全排列，不同放法种数为，A错误；

对于B，诗集共2本，把2本诗集看为一个整体，则7本书的不同放法种数为， B正确；

对于C，四大名著互不相邻，先将四大名著全排列，再在每种排列的中间3个空隙中放置其他书，共有种放法，则不同放法种数为，C正确；

对于D，在第2至第6这5个位置上任选4个位置放四大名著，共有种放法，其余3本书在剩下的3个位置上全排列，则不同放法种数为，D错误．

故选：BC

12．已知函数为定义在上的奇函数，若当时，，且，则（    ）

A． B．当时，

C． D．不等式解集为

【答案】CD

【分析】构造函数，其中，分析函数的奇偶性与单调性，利用函数的单调性与奇偶性可判断AC选项；取可判断B选项；分、解不等式，可判断D选项.

【详解】构造函数，其中，

因为函数为定义在上的奇函数，则，

所以，，故函数为偶函数，

当时，，

所以，函数在上单调递增，在上单调递减，

因为，则，则.

对于A选项，，即，所以，，A错；

对于B选项，不妨取，则，即，此时，B错；

对于C选项，因为偶函数在上单调递减，

则，即，整理可得，C对；

对于D选项，当时，由可得，解得，

当时，由可得，解得.

综上所述，不等式解集为，D对.

故选：CD.

【点睛】结论点睛：四种常用的导数构造法：

（1）对于不等式（或），构造函数；

（2）对于不等式（或），构造函数；

（3）对于不等式（或）（其中为常数且），构造函数；

（4）对于不等式（或）（其中为常数），构造函数.

三、填空题

13．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．

【答案】/0.3

【分析】根据古典概型计算即可

【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，

有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；

其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率.

故答案为：.

解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为

甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率

故答案为：

14．已知，则=____________  .

【答案】28

【分析】由已知条件，利用组合数公式求出m的值，即可求解的值.

【详解】解：，

，且，

两边乘以，得，即，解得m=2或m=21，

，，

.

故答案为：28．

15．设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为___________.

【答案】

【分析】设函数与直线平行的切线为，利用导数的几何意义得出切点，再由距离公式得出的最小值.

【详解】设函数与直线平行的切线为，则的斜率为，

由，得，所以切点为，

则点到直线的距离就是的最小值，即.

故答案为：.

16．若，则值为________．

【答案】2023

【分析】利用对数运算法则得到，构造函数，利用其单调性得到，进而求出结果.

【详解】因为，

令，则在区间上恒成立，即在区间上单调递增，所以，

则，

故答案为：.

四、解答题

17．若展开式的常数项为，求正整数n的值

【答案】4

【分析】由题可得，然后利用通项公式即得.

【详解】因为，其通项公式为，

则由通项知，展开式的常数项为，

因为，故n为偶数，解得.

18．一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，

（1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？

（2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？

【答案】（1）115（2）186

【详解】（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，

红球4个，取法有种，

红球3个和白球1个，取法有种；

红球2个和白球2个，取法有种；

根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有种．

（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.

第一种，4红1白，取法有种；

第二种，3红2白，取法有种，

第三种，2红3白，取法有种，

根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有

19．已知

(1)若，求曲线在处的切线方程；

(2)若过点的直线与曲线在处相切，求实数a的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先对函数求导得到，从而得到曲线在处的切线斜率，再求得点，结合直线的点斜式方程，即可求解；

（2）利用导数的几何意义得到，再根据两点间的斜率公式得到关于方程，即可求解.

【详解】（1）当时，，则，

所以，

所以曲线在处的切线方程为，

即.

（2）由，得，

因为直线与曲线在处相切，所以直线的斜率，

又，

所以，解得：，

故实数a的值为.

20．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a.

（1）求函数f(x)＝x＋在上的值域；

（2）若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）先求导数，判断函数单调性，结合单调性求解值域；

（2）把条件转化为，分别求解的最小值可得实数a的范围.

【详解】（1），

因为，所以，即函数为减函数，

因为，所以值域为.

（2）因为∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，

所以，

因为，所以，

所以，即.

21．设.

(1)求函数的极小值点.

(2)若函数满足，求a的值.

(3)求函数的单调区间.

【答案】(1)

(2)

(3)在和上严格增，在上严格减

【分析】(1)先对函数求导，求出导函数的零点，列表表示出函数随自变量变化情况，即可求解；

(2)根据题意，写出函数的解析式，对函数求导，根据导函数的值即可求解；

(3)结合（1）求出函数的解析式，对其求导，并用表格列出函数随自变量变化情况，即可求出结果.

【详解】（1）因为函数，所以，

令，解得：，列表如下：

所以极小值点为.

（2）因为，

所以，又因为，

所以.

（3）由（1）可知：，

所以，令，解得：或，列表如下：

所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减.

22．已知函数.

(1)讨论的单调性

(2)若函数有且只有两个零点，证明：.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）求得，分和，两种情况分类讨论，结合导数的符号，即可求得函数的单调区间；

（2）化简，令，得到，令，利用导数求得函数的单调性转化为有且只有两个零点等价于函数有且只有两个零点，利用导数求得的单调性，分和，两种情况讨论得到要使有两个零点，转化为，不妨令，令，利用导数求得函数单调性，即可求解.

【详解】（1）解：因为，所以.

若，则恒成立；

若，令，解得，

当时，；当时，，

综上所述，当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

（2）证明：，

令，则，

令函数，则，

可得在上单调递增，在上单调递减，

又由，所以有且仅有一个零点，即，

故函数有且只有两个零点等价于函数有且只有两个零点，

可得，

若，则恒成立，在上单调递增，

则最多只有一个零点，不符合题意；

若，则当时，单调递增；

当单调递减.

当或时，，故要使有两个零点，

则需，即，

不妨令，

今函数，

则，

因为，所以，

故在上单调递增，

又因为，所以，即，

因为在上单调递减，

所以，即.