2022-2023学年山东省聊城第一中学高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年山东省聊城第一中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知函数在处的导数，则（    ）．

A． B．1 C． D．

【答案】D

【分析】根据题意由导数的定义即可得答案．

【详解】根据题意，函数在处的导数为，

而，

故选：D.

2．学校食堂的一个窗口共卖种菜，甲、乙、丙名同学每人从中选一种，假设每种菜足量，则不同的选法共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】B

【分析】根据分步乘法计数原理进行计算，即每人有5种选法，分三步完成，可求得答案.

【详解】窗口共卖种菜，甲、乙、丙名同学每人从中选一种，

即每人都有5种选法，分3步完成，故不同的选法有 种，

故选：B

3．设某芯片制造厂有甲、乙两条生产线均生产规格的芯片， 现有 20 块该规格的芯片， 其中甲、乙生产的芯片分别为 12 块， 8 块， 且乙生产该芯片的次品率为， 现从这 20 块芯片中任取一块芯片， 若取得芯片的次品率为， 则甲厂生产该芯片的次品率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先设分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，甲厂生产该芯片的次品率为，得到则，，，，再利用全概率公式求解即可.

【详解】设分别表示取得的这块芯片是由甲厂、乙厂生产的，B表示取得的芯片为次品，

甲厂生产该芯片的次品率为，

则，，，，

则由全概率公式得：，解得，

故选：B．

4．若的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该项式的展开式中常数项为（    ）

A．90 B．-90 C．180 D．-180

【答案】C

【分析】由已知可知项数n=10，再表示通项并令其中x的指数为零，求得指定项的系数即可.

【详解】解：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则项数n=10，即，

则通项为，

令，则.

故选：C.

5．函数的图像大致为 (　　)

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.

详解：为奇函数，舍去A,

舍去D;

，

所以舍去C；因此选B.

点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．

6．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】A

【分析】该题属于有限制条件的排列问题，在解题的过程中，需要分情况讨论，因为“数”必须排在前三节，这个就是不动的，就剩下了五个不同的元素，所以需要对“数”的位置分三种情况，对于相邻元素应用捆绑法来解决即可.

【详解】当“数”排在第一节时有排法；

当“数”排在第二节时有种排法；

当“数”排在第三节时，当“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有种排法，当“射”和“御”两门课程排在后三节的时候有种排法，

所以满足条件的共有种排法，

故选：A.

【点睛】在解决问题时一是注意对“数”的位置分三种情况，二是在“数”排在第三节时，要对两个相邻元素的位置分类讨论，再者还要注意“数”排在第二节时，两个相邻元只能排在后四节.

7．在的展开式中，的系数为（    ）

A．120 B．84 C．210 D．126

【答案】C

【分析】先通过求出各项二项式中的系数，再利用组合数的性质即可得解.

【详解】因为的展开通项为，

所以的展开式中没有这一项，

的展开式中没有这一项，

的展开式中的系数为，

的展开式中的系数为，

……

的展开式中的系数为，

所以所求的系数为.

故选：C.

8．已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，构造函数，结合函数的单调性解不等式，即可求解.

【详解】根据题意，构造函数，，则，

所以函数的图象在上单调递减.

又因为，所以，

所以，解得或（舍）.

所以不等式的解集是.

故选：B.

二、多选题

9．已知函数，若函数有3个零点，则实数a可能的取值有（    ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】CD

【分析】函数有3个零点，即方程有3个不同的实根，即函数与的图象有3个不同的交点，令，利用导数求出函数的单调区间，得出函数的变化趋势，再作出函数的大致图像，结合图像即可得出答案.

【详解】解：函数有3个零点，即方程有3个不同的实根，

即函数与的图象有3个不同的交点，

令，

当时，，

当时，，当时，，

所以函数在上递增，在上递减，

故当时，，

又，当时，，

当时，在上递增，

又，当时，，

如图，作出函数的大致图像，

结合图像可知，

要使函数与的图象有3个不同的交点，

则a的范围为.

故选：CD.

10．现有来自两个社区的核酸检验报告表，分装2袋，第一袋有5名男士和5名女士的报告表，第二袋有6名男士和4名女士的报告表．随机选一袋，然后从中随机抽取2份，则（    ）

A．在选第一袋的条件下，两份报告表都是男士的概率为

B．两份报告表都是男士的概率为

C．在选第二袋的条件下，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为

D．两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为

【答案】BC

【分析】对于A：直接求出概率，即可判断；

对于B：先求出选中第一袋的概率为；再选中第二袋的概率为，即可得到两份报告表都是男士的概率；

对于C：直接求出概率，即可判断；

对于D：先求出选中第一袋的概率为；再选中第二袋的概率为，即可得到两份报告表恰好男士和女士各1份的概率；

【详解】对于A：在选第一袋的条件下，两份报告表都是男士的概率为，故A错误；

对于B：若选中第一袋，且两份报告表都是男士的概率为；

若选中第二袋，且两份报告表都是男士的概率为

所以两份报告表都是男士的概率为.故B正确；

对于C：在选第二袋的条件下，两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为.故C正确；

对于D：若选中第一袋，且恰好男士和女士各1份的概率为；

若选中第二袋，且恰好男士和女士各1份的概率为

所以两份报告表恰好男士和女士各1份的概率为.故D错误.

故选：BC

11．设，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据二项展开式的通项公式，先求出和；再分别令，，代入题中式子，逐项判断，即可得出结果.

【详解】因为展开式的第项为，

又，

所以，，则，故A正确；

令，则，

令，则；

令，则，

故，即B错；

，即C正确；

，即D正确；

故选：ACD.

【点睛】方法点睛：

求解二项展开式各项系数和或部分项的系数和时，一般利用赋值法，结合所给二项展开式进行求解即可.

12．已知函数是奇函数，对于任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【分析】构造函数，其中，结合奇偶性的定义判断奇偶性，利用导数判断函数在的单调性，然后利用函数的单调性判断出各选项的正误.

【详解】构造函数，其中，则，

因为对于任意的满足

当时，，则函数在上单调递增，

又函数是奇函数，

所以，所以在上为偶函数，

所以函数在上单调递减，

，则，即，即，

化简得，A选项错误；

同理可知，即，即，

化简得，B选项正确；

，且即，即，

化简得，C选项正确，

，且即，即，

化简得，D选项错误，

故选：BC.

【点睛】本题考查利用函数的单调性判断函数不等式是否成立，解题时要根据导数不等式的结构构造合适的函数，利用函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.

三、填空题

13．若函数满足，则___________.

【答案】1

【分析】对求导，利用赋值法求出即可.

【详解】

令，则

.

故答案为：.

14．党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”.为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作、若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为_____.

【答案】150

【分析】先将5名毕业生分组，然后再排列即可.

【详解】将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，可以分成或两种情况，

将5名毕业生按分组，则方法有，将5名毕业生按分组，则方法有，分配到3所乡村小学，共有，

所以分配方案的总数为.

故答案为：150.

四、双空题

15．已知对任意恒成立，且，，则___________；___________.

【答案】         

【分析】先换元，令，把原等式变为，通过、求得和，然后将等式两端求导之后再赋值可得结果.

【详解】设，则，

由此得，解得，

另一方面，等式两边对求导，得，

再令，得.

故答案为:；

五、填空题

16．下列说法不正确的有__________．

（1）曲线在点处的切线方程为．

（2）函数在上存在极值点，则a的取值范围是．

（3）已知函数在处有极值10，则或．

（4）已知函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是．

【答案】（3）（4）

【分析】利用导数求出切线方程判断（1），求出导数的变号零点，列出不等式得解可判断（2），

根据函数的极值及极值点列出方程求解判断（3），根据分段函数单调性列出不等式组求解判断（4）.

【详解】（1），故，所以切线方程为，即，故正确；

（2），令可得， 且 3是变号零点，

函数在上存在极值点，则且，解得，故正确；

（3）由题意知，又，

且在处有极值，所以 且，

联立解得，故，故不正确；

（4）函数在R上单调递增，

由分段函数单调性知，需满足，

解得，故不正确.

故答案为：（3）（4）

六、解答题

17．在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答．

条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为22；条件②：展开式中所有项的二项式系数之和减去展开式中所有项的系数之和等于64；条件③：展开式中常数项为第三项．

问题：已知二项式，若______，求：

(1)展开式中二项式系数最大的项；

(2)展开式中所有的有理项．

【答案】(1)；

(2)，，，.

【分析】（1）利用二项展开式的性质求出，再求展开式中二项式系数最大的项；

（2）设第项为有理项，，求出即得解.

【详解】（1）解：选①，由，得（负值舍去）．

选②，令，可得展开式中所有项的系数之和为0．

由得．

选③，设第项为常数项，，由，得．

由得展开式的二项式系数最大为，

则展开式中二项式系数最大的项为．

（2）解：设第项为有理项，，

因为，，，

所以，

则有理项为，，，．

18．袋中装有10个除颜色外完全一样的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是.

（1）求白球的个数；

（2）从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.

【答案】（1）5个；（2）见解析.

【分析】（1）设白球的个数为x，则黑球的个数为10﹣x，记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，则两个都是黑球与事件A为对立事件，由此能求出白球的个数；（2）随机变量X的取值可能为：0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．

【详解】（1）设白球的个数为x，则黑球的个数为10﹣x，记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，则,解得.故白球有5个.

（2）X服从以10，5，3为参数的超几何分布，.

于是可得其分布列为:

【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列,超几何分布，求出离散型随机变量取每个值的概率，是解题的关键，属于中档题．

19．某学习小组有3个男生和4个女生共7人：

(1)将此7人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种？

(2)将此7人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种？

(3)现有7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种？

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）按照插空法，先排男生，再排女生，即可求解；

（2）分男生甲在最右边和男生甲不站最左边也不在最右边两种情况，结合排列数公式，即可求解；

（3）将4名女生全排列，排好后有5个空位可插，将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，即可得到答案.

【详解】（1）根据题意，分2步进行分析：

①将3个男生全排列，有种排法，排好后有4个空位，

②将4名女生全排列，安排到4个空位中，有种排法，

则一共有种排法．

（2）根据题意，分2种情况讨论：

①男生甲在最右边，有，

②男生甲不站最左边也不在最右边，有，

则有种排法．

（3）根据题意，7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，还有3个空座位，分2步进行分析：

①将4名女生全排列，有种情况，排好后有5个空位可插，

②将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，有种情况，

则有种排法．

20．已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)求在区间上的最值．

【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为

(2)在区间上的最小值是，最大值是

【分析】（1）对函数求导，通过导函数的正负判断的增加区间；

（2）根据（1）中的单调性可得的极值，与区间端点值比较可得最值.

【详解】（1）由题意知：．

令，解得．

把定义域划分成两个区间，在各区间上的正负，

以及的单调性如下表所示.

所以的单调递减区间为，单调递增区间为．

（2）结合（1）的结论，列表如下：

所以在区间上的最小值是，最大值是．

21．某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.

(1)求男生甲被选中的概率；

(2)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；

(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）先找到从7名成员中挑选2名成员所包含的基本事件数，再找到“男生甲被选中”所包含的基本事件数，根据公式即可求解；

（2）先求得“男生甲被选中，女生乙被选中”的概率，结合（1）的结果，根据条件概率公式求解即可；

（3）先找到“挑选的2人一男一女”所包含的基本事件数，即可求得概率，再求得“挑选的2人一男一女，女生乙被选中”的概率，根据条件概率公式求解即可.

【详解】（1）从7名成员中挑选2名成员，共有种情况，

记“男生甲被选中”为事件，事件所包含的基本事件数为种，

故.

（2）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，

由（1），则，

且由（1）知，

故.

（3）记“挑选的2人一男一女”为事件，事件所包含的基本事件数为种，

由（1），则，

“女生乙被选中”为事件，则，

故.

22．已知函数，.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，证明：.

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）求得函数的定义域与导数，分和两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间；

（2）由（1）可得，利用分析法可知，要证不等式成立，即证，构造函数，利用导数得出，由此可证得结论成立.

【详解】（1）函数的定义域为，且.

①当时，对任意的，，此时，函数在上单调递增；

②当时，令，可得；令，可得.

此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；

当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2）由（1）可知，当时，，

要证，只需证，即证.

构造函数，其中，则.

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增.

所以，，所以恒成立，

因此，.

【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查分类讨论思想的应用以及推理论证能力，属于中等题.

23．已知函数.

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)设，记函数在上的最大值为，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用导数求出切线斜率，即可求出切线方程；

（2）利用导数判断出在上单调递增，在上单调递减，得到.令，，求出，即可证明.

【详解】（1）由题意可得，所以.

又知，所以曲线在点处的切线方程为，

即.

（2）由题意，

则.

当时，.

令，则，所以在上单调递增.

因为，，

所以存在，使得，即，即，

故当时，，又，故此时；

当时，，又，故此时.

即在上单调递增，在上单调递减，

则.

令，，则，

所以在上单调递增，则，

所以.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．

(4)利用导数证明不等式．