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高中数学（文）易错知识清单
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文科数学
一 、集合与常用逻辑用语
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1.集合的概念与运算
（1）解题时要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素（集合是点集、数集还是图形集）.
（2）集合中的元素具有确定性、无序性和互异性，在求解有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.
（3）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，要时刻注意对空集的讨论，防止漏解.
（4）解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系二是集合与集合的包含关系（5）Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.
（6）处理集合问题时，一定要注意检验结果是否与题设相矛盾.
2.命题及其关系、充分条件与必要条件
（1）当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.
（2）判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构可以先把命题改写成“若 p 则 q”的形式.
（3）判断条件之间的关系时要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是 q”等语言.
3.简单的逻辑联结词、命题的否定与否命题
（1）p∨q 为真命题，只需 p、q 有一个为真即可;p∧q 为真命题，必须 p、q 同时为真.
（2）p 或 q 的否定：非 p 且非 q;p 且 q 的否定:非 p 或非 q.
（3）命题的否定与否命题：
“否命题”是对原命题“若 p，则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论;“命题的否定”即“非 p”，只是否定命题 p 的结论.
二、 函数与导数
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1.分段函数
在求分段函数的值 f (x0 ) 时，要先判断 x0 属于定义域的哪个子集，然后代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.
2.函数的单调性与最值
（1）区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者是指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.
（2）函数的单调区间不一定是整个定义域，可能是定义域的子集，但一定是连续的.
（3）函数的额单调性是针对定义域内的某个区间而言的，函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函
数，如函数 y= 1x 在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，但在定义域上不具有单调性.
（4）若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集.例如，函数 f(x)在区间(-1，0)上是减函数，在（0，1）上也是减函数，但在(-1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数 f (x) = 1x .
3.函数的奇偶性与周期性
（1）f(0)=0 既不是函数 f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.
（2）判断分段函数的奇偶性要有整体的观点，可以分类讨论也可以利用图象进行判断.
4.二次函数与幂函数
（1）对于函数 y = ax2 + bx + c ，要认为它是二次函数，就必须满足 a ≠0，当题目条件未说明 a≠0 时，就要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况.
（2）幂函数 y = xa （α是常数）中,α的取值不一样，对应的幂函数的定义域不一样.注意α是正分数或负分数（正整数或负整数时的不同.
（3）幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
5.指数与指数函数
（1）指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分 a>1 和 0
（2）解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，弄清复合函数的结构，利用换元法求解时要注意“新元”的取值范围.
（3）对可化为 a2 x + bax + c = 0 或a2 x + ba2 x + c ³ 0 (≤0)形式的方程或不等式常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.
6.对数与对数函数
（1）在运用性质loga M a = a loga M (a>0，且 a≠1)时，要特别注意条件
M>0，在无 M>0 的条件下应为log a M a = a log a M |(α为偶数).
（2）指数函数 y = a x (a>0，且 a≠1)与对数函数 y = loga x (a>0，且 a≠
1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间
的联系与区别.
（3）解决与对数函数有关的问题时需注意两点：①务必先研究函数的定义域;②注意对数底数的取值范围.
7.函数的图象
（1）函数图象的每次变换都是针对自变量“x”而言，如从 f(-2x) 的图象到 f(-2x+1)的图象是向右平移1 个单位，即把 x 变成 x-1 .
2 2
（2）当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确性进行求解，解题过程中要注重数形结合思想的运用.
8.函数与方程
（1）函数 f(x)的零点是一个实数，是方程 f(x)=0 的根，也是函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标.
（2）函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件;判断零点个数还要依据函数的单调性、对称性或结合函数图象.
9.函数模型及其应用
（1）函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以要正确理解题意，选择适当的函数模型.（2）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.
（3）注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.
10.导数的概念及运算
（1）利用公式求导时要特别注意除法公式中分子中的符号，防止与乘法公式混淆.复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导.
（2）求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过点 P 的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.
（3）曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个. 11.导数与函数的单调性、极值、最值
（1）求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减小失分的可能性.
（2）求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.（3）解题时要注意区别求单调性和已知单调性的问题，处理好 f ′(x)=0 时的情况;区分极值点和导数为 0 的点.
12.导数的综合应用
（1）若函数 f(x)在某个区间内单调递增，则 f ′(x)≥0，而不
是 f ′(x)>0(f ′(x)=0 在有限个点处取到).
（2）利用导数解决实际生活中的优化问题时，要注意问题的实际意义.
三、数列
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1.数列的概念及简单表示法
（1）数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列 an = f (n) )和函数 y = f (x) 的单调性是
不同的.
（2）数列的通项公式不一定唯一.
2.等差数列及其前 n 项和
（1）当公差 d≠0 时，an 是 n 的一次函数，当公差 d=0 时，an 为常数.
（2）公差不为 0 的等差数列的前 n 项和sn 是 n 的二次函数，且常数项为 0.若某数列的前 n 项和 Sn 是常数项不为 0 的二次函数则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列.
3.等比数列及其前 n 项和
（1）注意等比数列中的分类讨论.
（2）由an+1 = q · an (q≠0)，并不能判断数列｛an ｝是等比数列，还要验证a1 是否为 0.
4.数列求和
（1）直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数时，应对公比是否为 1 进行分类讨论. （2）在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 an，an+1 的式子要合并.
（3）在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项后剩多少项.
四、三角函数
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1.任意角的三角函数
（1）注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二类、第三类是区间角.
（2）角度制与弧度制可利用 180°= πrad 进行互化，在同一
个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
（3）已知三角函数值的符号确定角的终边位置时不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
2 同角三角函数的基本关系与诱导公式
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤为：去负—脱周—化锐.要特别注意函数名称和符号的确定.
（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
（3）注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化. 3.三角函数的图象与性质
（1）闭区间上最值或值域问题，要先在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.
（2）要注意求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0 时的情况.
（3）三角函数的最值不一定在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.
4.函数 y=A sin(ωx+φ)的图象及应用
（1）由函数 y=sin x 的图象经过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象如先伸缩，再平移时，要把 x 前面的系数提取出来.
（2）复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数 y=Asin(ωx+ φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx+φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.
（3）求函数 y=Asin(ωx+φ)在 x∈[m，n]上的最值，可先求 t= ωx+φ的范围，再结合图象得出 y=Asin t 的值域，即得原函数的最值.
5.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）运用公式时注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.
（2）在（0， π）范围内，sin(α+β)= 22 所对应的角α+β不
是唯一的.
（3）在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值. 6.简单的三角恒等变换
（1）利用辅助角公式 asin x+bcos x 进行转化时，一定要严格对照和、差公式，防止弄错辅助角.
（2）计算形如 y=sin(ωx+φ)，x∈[a，b]的函数最值时，不要将ωx+φ的范围和 x 的范围混淆.
7.正弦定理、余弦定理
（1）在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解、无解的情况，所以要进行分类讨论.
（2）利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.
8.三角形的实际应用
在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易弄错.
五、不等式
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1.不等关系与不等式
（1）a>bÞac>bc 或 a
（2）a>bÞ
1
<
1
或 a
>
1
，当 ab≤0 时不成立.
a
b
a
b
（3）a>bÞan>bn，对于正数 a、b 才成立.
a >1Û a>b，对于正数 a、b 才成立.
（4）b
（5）注意不等式性质中“Þ ”与“Û ”的区别，如 a>b，b>c
a>c，反过来 a>c，不能推出 a>b，b>c.
（6）作商法比较大小时，要注意两式的符号.
（7）求范围问题时，如果多次利用不等式，则可能扩大变量的取值范围.
2.不等式的解法及应用
（1）对于不等式 ax2+bx+c>0，求解时不要忘记讨论 a=0 时的情况.
（2）当 <0 时，要注意区分 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为 R 还是空集.
（3）对于含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.
（4）注意用“根轴法”解整式不等式的注意事项及解分式不等式 f (x) >a(a≠0)的一般思路——移项通分.
g(x)
（5）求解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”.注意：求解完之后要写上“综上原不等式的解集是……”;若按参数讨论，最后应按参数取值分
别说明其解集;若按未知数讨论，最后应求并集.
提醒：①解不等式就是求不等式的解集，最后务必用集合的形
式表示;
②不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式
有意义范围的端点值.
（6）解决恒成立问题一定要弄清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
（1）画二元一次不等式（组）表示的平面区域时，避免错误的重要方法就是使二元一次不等式（组）标准化.
（2）通过求直线的截距 bz 的最值间接的求 z 的最值时，要注意
当 b>0 时，若截距 b 取最大值，则 z 也取最大值，若截距 bz 取最小值，则 z 也取最小值；当 b<0 时，若截距 bz 取最大值，则 z 取
最小值，若截距 bz 取最小值，则 z 取最大值. 4.基本不等式及其应用
（1）利用基本不等式求最值时应注意“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.
（2）连续使用基本不等式求最值时要求每次等号成立的条件一致.
（3）对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘.一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正由此可得自变量的取值范围，然后利用基本不等式求最值.
六、平面向量
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1.平面向量的概念及线性运算
（1）求解向量的概念问题时要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；二是要考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
（2）在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得的向量是所求向量的相反向量，导致错误.
（3）两个向量共线有方向相同、相反两种情况，要考虑全面.
2.平面向量的基本定理及坐标表示
（1）要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息.
（2）若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成 x1 = y1
x2 y2
因为 x2,y2 有可能等于 0，所以应该表示为 x1y2-x2y1=0.
（3）使用平面向量基本定理时一定要注意两个基底向量不共线
3.平面向量的数量积
（1）对数量积的运算律要准确理解、应用.例如,a·b=a·c（a ≠0）不能得出 b=c,因为两边不能同时约去向量 a.
（2）若两个向量的夹角为锐角，则有 a·b>0,反之不成立;若两个向量的夹角为钝角，则有 a·b<0，反之不成立.
4.平面向量应用举例
（1）注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价. （2）注意向量共线和两直线平行的关系.
（3）利用向量求解解析几何中的平行与垂直问题，可有效避免因斜率不存在使问题漏解的情况.
七、立体几何
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1.空间几何体的结构特征
（1）准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断.
（2）三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析.
2.三视图与直观图
（1）三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”.
（2）解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.
（3）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线在三视图中，要注意实、虚线的画法．
（4）确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同所画的三视图也不同．
3.空间几何体的表面积
（ 1）求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．
（2）底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.
4.空间点、线、面位置关系
（1）正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在一个平面内”．
（2）不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的条件．
（3）两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]. 5.直线、平面平行的判定与性质
（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．
（2）在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序则恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．
（3）解题中注意符号语言的规范应用. 6.直线、平面垂直的判定与性质
（1）在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化．
（2）面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.
八、解析几何
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1.直线方程
（1）明确直线方程各种形式的适用条件:点斜式、斜截式方程适用于与 x 轴不垂直的直线；两点式方程不能表示垂直于 x 轴、
y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．
（2）截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负可为零在求解与截距有关的问题时，要注意讨论截距是否为零．
（3）求直线方程时，若不能判断直线是否存在斜率，则应分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论.
（4）当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角为p ，而不是不存
2
在；当直线与 y 轴垂直时，直线的倾斜角为 0，而不是 π.
2.两直线位置关系
（1）在判断两条直线的位置关系时，首先分析直线的斜率是否存在.若两条直线的斜率都存在，则可根据判定定理判断两条直线的位置关系，若任一条直线的斜率不存在，则要单独考虑.
（2）在运用两平行直线间的距离公式 d= C1 - C2 时，一定要注意
A2 + B2
将两方程中 x,y 的系数化为相同的形式.
3.圆的方程
（1）圆的标准方程和圆的一般方程都含有三个独立的参数，因此，确定一个圆的方程需要三个独立的条件．
（2）过圆外一定点求圆的切线，必有两条.若只求出一条，除了考虑运算过程是否正确外，还应该考虑切线斜率不存在的情况.
4.圆锥曲线的方程和性质
（1）当到两定点的距离之和等于 F1F2 时，动点的轨迹是线段F1F2 ；当到两定点的距离之和小于 F1F2 时，动点的轨迹不存在． （2）区分椭圆两种标准方程的方法是比较标准方程中 x2 与 y2 的分母大小．
（3）注意椭圆的范围，若设椭圆 ax22 + by22 =（1a>b>0）点的坐标为 P(x,y)
则｜x｜≤a,这往往在求与点 P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.
（4）利用双曲线的定义解决问题应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a< F1F2 ;③焦点所在坐标轴的位置.
（5）区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆中的 a，b，c 大
小关系，在椭圆中 a2＝b2＋c2 ，而在双曲线中 c2＝a2＋b2.（6）双曲线的离心率 e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率 e∈(0,1)．
（7）双曲线
x2
-
y2
＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是 y＝±
b
x，
y2
-
x2
＝
a2
b2
aa2
b2
1 (a>0，b>0)的渐近线方程是 y = ± ba x x.
（8）求抛物线的标准方程时一般用待定系数法求出 p 值，但要先判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．
（9）注意应用抛物线的定义解决问题． 5.直线与圆、圆锥曲线的位置关系
（1）直线与双曲线交于一点时，其位置关系不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.
（2）在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情.
（3）若利用弦长公式计算问题，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．
（4）对于中点弦问题，可以利用“点差法”求解，但不要忘记验证 >0 或说明中点在曲线内部．
九、概率、统计
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1.随机事件的概率
（1）正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
（2）需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不
少于……”等语句的含义.
（3）任何事件的概率都在 0～1 中，即 0≤P(A)≤1.必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0.
2.古典概型
（1）古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的;试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.
提示 下列三类试验不是古典概型：（1）基本事件个数有限，但非等可能；（2）基本事件个数无限，但等可能；（3）基本事件个数无限，也不等可能.
（2）概率的一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．提示 ①公式的作用是求 A∪B 的概率，当 A∩B＝ 时，A、B互斥，此时 P(A∩B)＝0，所以 P(A∪B)＝P(A) ＋P(B)；②要计
算 P(A∪B)，需要求 P(A)、P(B)，更重要的是确定事件 A∩B，并求其概率；③该公式可以看作一个方程，知三可求一.
3.几何概型
（1）准确把握几何概型的“测度”是解题关键.
（2）几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.
4.随机抽样
（1）系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会相等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．
（2）进行分层抽样时应注意以下几点：
①分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.
②为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同.
（3）在抽样时，如果总体的排列存在明显的周期性或事先是排好序的，那么利用系统抽样进行抽样时将会产生明显的偏差，即样本的代表性是不可靠的.
5.用样本估计总体
（1）频率分布直方图的纵坐标为 频率 ，每一个小长方形的面积
组距
表示样本个体落在该区间内的频率.
（2）条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误.
（3）同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同得到的图的形状也会不同.
6.变量间的相关关系、统计案例
（1）相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如正方形面积 S 与边长 x 之间的关系 S＝x2就是函数关系．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．例如商品的销售额与广告费是相关关系．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．
（2）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义，根据回归方程进行预报，得出的仅是一个预报值，而不是真实发生的值.
（3）在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系的描述，得到的结论有一定概率的出错.
（4）对判断结果进行描述时，注意对象的选取要准确无误，应是对假设结论进行的含概率的判断.
十、算法、复数、推理与证明
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1.算法
（1）注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同.
（2）注意条件结构与循环结构的联系：循环结构具有重复性条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体.
（3）对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时时执行两个分支.
（4）循环语句有“直到型”与“当型”两种，要区别两者的异同，循环语句主要解决需要反复执行的任务，要理解循环结构中各变量的具体含义及变化规律.
（5）关于赋值语句，有以下几点需要注意：
①赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如 3=m 是错
误的.
②赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的
值赋给赋值号左边的变量，例如 Y=x，表示用 x 的值替代变量 Y
的原先的取值，不能改写为 x=Y.因为后者表示用 Y 的值替代变
量 x 的值.
③在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“=”.
（6）应用循环结构解决问题时，一定要注意两个变量 i 和 S 的初始值及运算变量到底是什么，它递增的值是多少，即“步长”为多少，由输出的结果来判断对应的判断条件到底是什么，明
确哪儿是计数器，哪儿是赋值器，注意循环体内各语句不能随意颠倒，准确判断结束循环的条件，必要时，要对“边界”单独检验.
2.复数
（1）判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.
（2）对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方程的求解判别式不再成立.因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解.
（3）两个虚数不能比较大小.
（4）利用复数相等 a+bi=c+di 列方程时，注意 a,b,c,d∈R 的前提条件.
（5）在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合. （6）注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如，若 z1，z2∈C,z12+z22=0，就不能推出 z1=z2=0；z2<0在复数范围内有可能成立.
3.推理与证明
（1）解决类比问题时，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的条件，再去类比另一类问题.
（2）解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误.应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳.
（3）用分析法证明问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）……”“即证……”“只需证……”等，逐步分
析，直至一个明显成立的结论.
（4）利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设的命题推理而推出矛盾结果
其推理过程是错误的.
十一、选考部分
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1.坐标系与参数方程
（1）化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角或代数）消去法.在消参的过程中注意变量 x,y 取值范围的一致性,必须根据参数的取值范围，确定 f(t)和 g(t)(t 为参数)的值域，从而确定 x,y 的取值范围.
（2）当一个参数方程中除已知变量 x,y 外，还有两个或两个以上的字母时，一定要认清哪个是参变量（参数），哪个是常数弄清参数所代表的几何意义及取值范围是什么，认真观察方程的表现形式以及题目本身隐含的一些限制条件，以便于寻找最佳化简途径.
（3）化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数 t，先确定一个关系 x=f(t)（y=g(t)），再代入普通方程
F(x,y)=0，求得另一关系 y=g(t)（x=f(t)），一般地，常选择的参数
有角、有向线段的数量、斜率、某一点的横坐标（纵坐标）.
（4）直角坐标与极坐标互化可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，但一定要注意二者互化的前提条件.把直角坐标化为极坐标时，一定要明确点所在的象限（即极角的终边的位置），以便正确求出极角.
2.不等式选讲
（1）求解不等式的过程实质就是一个等价转化的过程，通过等
价转化将所求不等式变为简单的不等式（组），一定要注意在转化过程中限制条件不可丢失，如分母不能为零、对数的真数与底数的限制等.
（2）运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，弱化了条件或强化了条件都可能得出错误的结论.
（3）利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正、二定、三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式.常用的初等变形方法有裂项、增减项、配系数等. （4）|a+b|≤|a|+|b|,从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式时可以直接用，也可以利用它消去变量求最值.绝对值三角不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合使用绝对值三角不等式的条件.
（5）在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时，应做到分类不重、不漏；在某个区间上解出不等式后，不要忘了与前提条件求交集.
（6）不等式的解集为 R 是不等式恒成立问题，而不等式的解集为 的对立面也是不等式恒成立问题，如 f(x)>m 的解集为 ，
则 f(x)≤m 恒成立.
（7）用反证法证明命题时，推出的矛盾必须是明显的.放缩法的依据是不等式的传递性，运用放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，放得过大或缩得过小都不能达到证明目的，常用的放缩方法有：①舍去或添加一些已知正负的项；②将分子或分母放大或缩小.
十二、常用数学思想方法
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1.转化与化归思想
（1）注意转化的等价性，保证逻辑上正确；
（2）注意转化的多样性，设计合理的转化方案；
（3）注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性.设计化归目标时，通常以教材中的基础知识、基本方法为依据，把要解决的问题化归为规律问题.
2.分类讨论思想
（1）根据问题实际，做到分类不重复不遗漏；
（2）熟练掌握基本知识、基本方法和基本技巧，并做到融会贯通，这是解决分类讨论问题的前提；
（3）不断总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性.
3.数形结合思想
（1）由数想形时，要注意“形”的准确性，这是数形结合的基础；
（2）数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势，“形”有直观、形象的特点，但代替不了具体的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台或模式，而“数”才是真正的主角，若忽视这一点，很容易造成对数形结合的谬用.
4.函数与方程思想
（1）在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何中的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或定理列方程或方程组求解需要的量.
（2）当问题中涉及一些变量时，就需要建立这些变量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想.
（3）函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，如解方程 f(x)=0 就是求函数 y=f(x)的零点方程 f(x)=g(x)的解的问题可以转化为函数 y=f(x)与 y=g(x)的交点问题，也可以转化为函数 y= f(x)-g(x)与 x 轴的交点问题.
理科数学
一、集合与常用逻辑用语
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1.集合的概念与运算
（1）解题时要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素（集合是点集、数集还是图形集）.
（2）集合中的元素具有确定性、无序性和互异性，在求解有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.
（3）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，要时刻注意对空集的讨论，防止漏解.
（4）解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系二是集合与集合的包含关系.（5）Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.
（6）处理集合问题时，一定要注意检验结果是否与题设相矛盾.
2.命题及其关系、充分条件与必要条件
（1）当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.
（2）判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构可以先把命题改写成“若 p 则 q”的形式.
（3）判断条件之间的关系时要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是 q”等语言.
3.简单的逻辑联结词、命题的否定与否命题
（1）p∨q 为真命题，只需 p、q 有一个为真即可;p∧q 为真命题，必须 p、q 同时为真.
（2）p 或 q 的否定：非 p 且非 q;p 且 q 的否定:非 p 或非 q.
（3）命题的否定与否命题：
“否命题”是对原命题“若 p，则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论;“命题的否定”即“非 p”，只是否定命题 p 的结论.
二、函数与导数
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1.分段函数
在求分段函数的值 f (x0 ) 时，要先判断 x0 属于定义域的哪个子集然后代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.
2.函数的单调性与最值
（1）区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者是指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.
（2）函数的单调区间不一定是整个定义域，可能是定义域的子集，但一定是连续的.
（3）函数的额单调性是针对定义域内的某个区间而言的，函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函
数，如函数 y= 1x 在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，但在定义域上不具有单调性.
（4）若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集.例如，函数 f(x)在区间(-1，0)上是减函数，在（0，1）上也是减函数，但在(-1，0)∪(0，1)上却不一
定是减函数，如函数 f (x) = 1x . 3.函数的奇偶性与周期性
（1）f(0)=0 既不是函数 f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.
（2）判断分段函数的奇偶性要有整体的观点，可以分类讨论也可以利用图象进行判断.
4.二次函数与幂函数
（1）对于函数 y = ax2 + bx + c ，要认为它是二次函数，就必须满足 a ≠0，当题目条件未说明 a≠0 时，就要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况.
（2）幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
5.指数与指数函数
（1）指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分 a>1 和 0
（2）解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，弄清复合函数的结构，利用换元法求解时要注意“新元”的取值范围.
（3）对可化为a2 x + bax + c = 0 或a2 x + bax + c ³ 0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.
6.对数与对数函数
（1）在运用性质loga M a = a loga M (a>0，且 a≠1)时，要特别注意条件
M>0，在无 M>0 的条件下应为log a M a = a log a M |(α为偶数).
（2）指数函数 y = a x (a>0，且 a≠1)与对数函数 y = loga x (a>0，且 a≠
1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.
（3）解决与对数函数有关的问题时需注意两点：①务必先研究函数的定义域;②注意对数底数的取值范围.
7.函数的图象
（1）函数图象的每次变换都是针对自变量“x”而言，如从 f(-2x) 的图象到 f(-2x+1)的图象是向右平移1 个单位，即把 x 变成 x-1 .
2 2
（2）当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确性进行求解，解题过程中要注重数形结合思想的运用.
8.函数与方程
（1）函数 f(x)的零点是一个实数，是方程 f(x)=0 的根，也是函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标.
（2）函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件;判断零点个数还要依据函数的单调性、对称性或结合函数图象.
9.函数模型及其应用
（1）函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以要正确理解题意，选择适当的函数模型.（2）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.
（3）注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.
10.导数的概念及运算
（1）利用公式求导时要特别注意除法公式中分子中的符号，防止与乘法公式混淆.复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导.
（2）求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过点 P 的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.
（3）曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个. 11.导数与函数的单调性、极值、最值
（1）求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减小失分的可能性.
（2）求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.（3）解题时要注意区别求单调性和已知单调性的问题，处理好 f ′(x)=0 时的情况;区分极值点和导数为 0 的点.
12.导数的综合应用
（1）若函数 f(x)在某个区间内单调递增，则 f ′(x)≥0，而不
是 f ′(x)>0(f ′(x)=0 在有限个点处取到).
（2）利用导数解决实际生活中的优化问题时，要注意问题的实际意义.
13.定积分
（1）被积函数若含有绝对值符号，应先去绝对值符号，再分段积分.
（2）若定积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是积分变量.
（3）定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限. （4）定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意面积非负而定积分的结果可以为负.
（5）将要求面积的图形进行科学而准确地划分，可使面积的求解变得简捷.
三 、数列
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1.数列的概念及简单表示法
（1）数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列 an = f (n) )和函数 y = f (x) 的单调性是不同的.
（2）数列的通项公式不一定唯一. 2.等差数列及其前 n 项和
（1）当公差 d≠0 时，an 是 n 的一次函数，当公差 d=0 时，an 为常数.
（2）公差不为 0 的等差数列的前 n 项和sn 是 n 的二次函数，且常数项为 0.若某数列的前 n 项和 Sn 是常数项不为 0 的二次函数则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列.
3.等比数列及其前 n 项和
（1）注意等比数列中的分类讨论.
（2）由an+1 = q · an (q≠0)，并不能判断数列｛an ｝是等比数列，还要验证a1 是否为 0.
4.数列求和
（1）直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数时，应对公比是否为 1 进行分类讨论. （2）在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 an，an+1 的式子要合并.
（3）在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项后剩多少项.
四、三角函数
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1.任意角的三角函数
（1）注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二类、第三类是区间角.
（2）角度制与弧度制可利用 180°= πrad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
（3）已知三角函数值的符号确定角的终边位置时不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
2.同角三角函数的基本关系与诱导公式
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤为：去负—脱周—化锐.要特别注意函数名称和符号的确定.
（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
（3）注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化. 3.三角函数的图象与性质
（1）闭区间上最值或值域问题，要先在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.
（2）要注意求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0 时的情况.
（3）三角函数的最值不一定在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.
4.函数 y=A sin(ωx+φ)的图象及应用
（1）由函数 y=sin x 的图象经过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象如先伸缩，再平移时，要把 x 前面的系数提取出来.
（2）复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数 y=Asin(ωx+ φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx+φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.
（3）求函数 y=Asin(ωx+φ)在 x∈[m，n]上的最值，可先求 t= ωx+φ的范围，再结合图象得出 y=Asin t 的值域，即得原函数的最值.
5.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）运用公式时注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.
（2）在（0， π）范围内，sin(α+β)= 22 所对应的角α+β不
是唯一的.
（3）在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值. 6.简单的三角恒等变换
（1）利用辅助角公式 asin x+bcos x 进行转化时，一定要严格对照和、差公式，防止弄错辅助角.
（2）计算形如 y=sin(ωx+φ)，x∈[a，b]的函数最值时，不要将ωx+φ的范围和 x 的范围混淆.
7.正弦定理、余弦定理
（1）在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解、无解的情况，所以要进行分类讨论.
（2）利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.
8.三角形的实际应用
在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易弄错.
五、不等式
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1.不等关系与不等式
（1）a>bÞac>bc 或 a
（2）a>bÞ
1
<
1
或 a
>
1
，当 ab≤0 时不成立.
a
b
a
b
（3）a>bÞan>bn，对于正数 a、b 才成立.
a >1Û a>b，对于正数 a、b 才成立.
（4）b
（5）注意不等式性质中“Þ ”与“Û ”的区别，如 a>b，b>c
a>c，反过来 a>c，不能推出 a>b，b>c.
（6）作商法比较大小时，要注意两式的符号.
（7）求范围问题时，如果多次利用不等式，则可能扩大变量的取值范围.
2.不等式的解法及应用
（1）对于不等式 ax2+bx+c>0，求解时不要忘记讨论 a=0 时的情况.
（2）当 <0 时，要注意区分 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为 R 还是空集.
（3）对于含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.
（4）注意用“根轴法”解整式不等式的注意事项及解分式不等式 f (x) >a(a≠0)的一般思路——移项通分.
g(x)
（5）求解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”.注意：求解完之后要写上“综上原不等式的解集是……”;若按参数讨论，最后应按参数取值分
别说明其解集;若按未知数讨论，最后应求并集.
提醒：①解不等式就是求不等式的解集，最后务必用集合的形
式表示;
②不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有
意义范围的端点值.
（6）解决恒成立问题一定要弄清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
（1）画二元一次不等式（组）表示的平面区域时，避免错误的重要方法就是使二元一次不等式（组）标准化.
（2）通过求直线的截距 bz 的最值间接的求 z 的最值时，要注意
当 b>0 时，若截距 b 取最大值，则 z 也取最大值，若截距 bz 取最小值，则 z 也取最小值；当 b<0 时，若截距 bz 取最大值，则 z 取
最小值，若截距 bz 取最小值，则 z 取最大值. 4.基本不等式及其应用
（1）利用基本不等式求最值时应注意“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.
（2）连续使用基本不等式求最值时要求每次等号成立的条件一致.
（3）对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘.一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正由此可得自变量的取值范围，然后利用基本不等式求最值.
六、平面向量
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1.平面向量的概念及线性运算
（1）求解向量的概念问题时要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；二是要考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
（2）在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得的向量是所求向量的相反向量，导致错误.
（3）两个向量共线有方向相同、相反两种情况，要考虑全面.
2.平面向量的基本定理及坐标表示
（1）要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息.
（2）若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成 x1 = y1
x2 y2
因为 x2,y2 有可能等于 0，所以应该表示为 x1y2-x2y1=0.
（3）使用平面向量基本定理时一定要注意两个基底向量不共线
3.平面向量的数量积
（1）对数量积的运算律要准确理解、应用.例如,a·b=a·c（a ≠0）不能得出 b=c,因为两边不能同时约去向量 a.
（2）若两个向量的夹角为锐角，则有 a·b>0,反之不成立;若两个向量的夹角为钝角，则有 a·b<0，反之不成立.
4.平面向量应用举例
（1）注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价. （2）注意向量共线和两直线平行的关系.
（3）利用向量求解解析几何中的平行与垂直问题，可有效避免因斜率不存在使问题漏解的情况.
七、立体几何
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1.三视图与直观图
（1）三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”.
（2）解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.
（3）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线在三视图中，要注意实、虚线的画法．
（4）确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同所画的三视图也不同．
2.空间几何体的表面积
（ 1）求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．
（2）底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.
3.空间点、线、面位置关系
（1）正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在一个平面内”．
（2）不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的条件．
（3）两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]. 4.直线、平面平行的判定与性质
（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．
（2）在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序则恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．
（3）解题中注意符号语言的规范应用. 5.直线、平面垂直的判定与性质
（1）在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化．
（2）面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.
6.空间向量及其应用
（1）求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化.
（2）用向量方法证明直线 a∥b，只需证明向量 a=λb(λ∈R 即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.
（3）利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．
（ 4）求点到平面的距离，有时利用等体积法求解可能更方便．
（5）求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角.
八、解析几何
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1.直线方程
（1）明确直线方程各种形式的适用条件:点斜式、斜截式方程适用于与 x 轴不垂直的直线；两点式方程不能表示垂直于 x 轴、
y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．
（2）截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负可为零在求解与截距有关的问题时，要注意讨论截距是否为零．
（3）求直线方程时，若不能判断直线是否存在斜率，则应分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论.
（4）当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角为p ，而不是不存
2
在；当直线与 y 轴垂直时，直线的倾斜角为 0，而不是 π.
2.两直线位置关系
（1）在判断两条直线的位置关系时，首先分析直线的斜率是否存在.若两条直线的斜率都存在，则可根据判定定理判断两条直线的位置关系，若任一条直线的斜率不存在，则要单独考虑.
（2）在运用两平行直线间的距离公式 d= C1 - C2 时，一定要注意
A2 + B2
将两方程中 x,y 的系数化为相同的形式.
3.圆的方程
（1）圆的标准方程和圆的一般方程都含有三个独立的参数，因此，确定一个圆的方程需要三个独立的条件．
（2）过圆外一定点求圆的切线，必有两条.若只求出一条，除了考虑运算过程是否正确外，还应该考虑切线斜率不存在的情况.
4.圆锥曲线的方程和性质
（1）区分椭圆两种标准方程的方法是比较标准方程中 x2 与 y2 的分母大小．
（2）注意椭圆的范围，若设椭圆 x2 + y2 =（1a>b>0）点的坐标为 P(x,y)
a2 b2
则｜x｜≤a,这往往在求与点 P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.
（3）区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆中的 a，b，c 大小关系，在椭圆中 a2＝b2＋c2 ，而在双曲线中 c2＝a2＋b2.（4）双曲线的离心率 e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率 e∈(0,1)．
（5）双曲线
x2
-
y2
＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是 y＝±
b
x，
y2
-
x2
＝
a2
b2
aa2
b2
1 (a>0，b>0)的渐近线方程是 y＝ y = ± ba x .
（6）求抛物线的标准方程时一般用待定系数法求出 p 值，但要先判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．
（7）注意应用抛物线的定义解决问题．
（8）求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系．检验可从以下两个方面进行：一是方程的变形是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．
（9）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求.求点的轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明点的轨迹的形状、位置、大小等．
5.直线与圆、圆锥曲线的位置关系
（1）直线与双曲线交于一点时，其位置关系不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.
（2）在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情.（3）若利用弦长公式计算问题，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．
（4）对于中点弦问题，可以利用“点差法”求解，但不要忘记验证 >0 或说明中点在曲线内部．
九、计数原理
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1.两个计数原理
（1）切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．
（2）分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．
（3）确定题目中是否有特殊条件限制． 2.排列与组合
（1）解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，然后利用两个计数原理做最后处理．（2）解受条件限制的组合题时，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决.分类标准应统一，避免出现重复或遗漏现象．
（3）对于选择题要谨慎处理，注意答案的不同等价形式.处理选择题可采用排除法，错误的答案会有重复或遗漏现象.
3.二项式定理
（1）项的系数与 n 和 a，b 的值有关，二项式系数只与 n 有关，且大于 0(n 为项数).
（2）求二项式系数的和，可采用“赋值法”．
（3）关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种不同算法．
（4）展开式中第 k＋1 项的二项式系数与第 k＋1 项的系数一般是不相同的.在具体求各项的系数时，一般先确定符号，再确定数值；确定符号时对根式和指数的运算要细心，以防出错.
十、概率与统计
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1.随机事件的概率
（1）正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
（2）需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不
少于……”等语句的含义.
2.古典概型
（1）古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的．
（2）概率的一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
提示：①公式的作用是求 A∪B 的概率，当 A∩B＝ 时，A、
B 互斥，此时 P(A∩B)＝0，所以 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；②要计算 P(A∪B)，需要求 P(A)、P(B)，更重要的是确定事件 A∩B
并求其概率；③该公式可以看作一个方程，知三可求一. 3.几何概型
（1）准确把握几何概型的“测度”是解题关键.
（2）几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.
4.二项分布
（1）运用公式 P(AB)=P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件 A、B 相互独立时，公式才成立.
（2）独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等.注意恰好与至多（少）的关系，灵活运用对立事件.
5.离散型随机变量的均值与方差、正态分布
（1）会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．
（2）对于实际应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般
要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的
分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．
（3）解决正态分布问题有三个关键点:①对称轴 x=μ;②标准差
σ;③分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ,σ,
分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为 3σ特殊区间，
从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为 x=0
6.随机抽样
（1）系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会相等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．
（2）进行分层抽样时应注意以下几点：
①分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.
②为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同.
7.用样本估计总体
（1）频率分布直方图的纵坐标为频率 ，每一个小长方形的面积表
组距
示样本个体落在该区间内的频率.
（2）条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误.
8.变量间的相关关系、统计案例
（1）相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如正方形面积 S 与边长 x 之间的关系 S＝x2就是函数关系．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．例如商品的销售额与广告费是相关关系．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．
（2）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义，根据回归方程进行预报，得出的仅是一个预报值，而不是真实发生的值.
十一、算法、复数、推理与证明
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1.算法
（1）注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同.
（2）注意条件结构与循环结构的联系：循环结构具有重复性条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体.
（3）对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行
两个分支中的一个，不能同时时执行两个分支.
（4）循环语句有“直到型”与“当型”两种，要区别两者的异同，循环语句主要解决需要反复执行的任务，要理解循环结构中各变量的具体含义及变化规律.
（5）关于赋值语句，有以下几点需要注意：
①赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如 3=m 是错
误的.
②赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的
值赋给赋值号左边的变量，例如 Y=x，表示用 x 的值替代变量 Y
的原先的取值，不能改写为 x=Y.因为后者表示用 Y 的值替代变
量 x 的值.
③在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“=”.
（6）应用循环结构解决问题时，一定要注意两个变量 i 和 S 的初始值及运算变量到底是什么，它递增的值是多少，即“步长”为多少，由输出的结果来判断对应的判断条件到底是什么，明确哪儿是计数器，哪儿是赋值器，注意循环体内各语句不能随意颠倒，准确判断结束循环的条件，必要时，要对“边界”单独检验.
2.复数
（1）判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.
（2）对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方程的求解判别式不再成立.因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解.
（3）两个虚数不能比较大小.
（4）利用复数相等 a+bi=c+di 列方程时，注意 a,b,c,d∈R 的前
提条件.
（5）在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合. （6）注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如，若 z1，z2∈C,z12+z22=0，就不能推出 z1=z2=0；z2<0在复数范围内有可能成立.
3.推理与证明
（1）解决类比问题时，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的条件，再去类比另一类问题.
（2）解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误.应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳.
（3）用分析法证明问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）……”“即证……”“只需证……”等，逐步分
析，直至一个明显成立的结论.
（4）利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设的命题推理而推出矛盾结果其推理过程是错误的.
（5）用数学归纳法证明问题时初始值 n0 不一定是 1.
（6）推证 n=k+1 时一定要用上 n=k 时的假设，否则不是数学归纳法.
十二、选考部分
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1.坐标系与参数方程
（1）化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角或代数）消
去法.在消参的过程中注意变量 x,y 取值范围的一致性,必须根据参数的取值范围，确定 f(t)和 g(t)(t 为参数)的值域，从而确定 x,y 的取值范围.
（2）当一个参数方程中除已知变量 x,y 外，还有两个或两个以上的字母时，一定要认清哪个是参变量（参数），哪个是常数弄清参数所代表的几何意义及取值范围是什么，认真观察方程的表现形式以及题目本身隐含的一些限制条件，以便于寻找最佳化简途径.
（3）化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数 t，先确定一个关系 x=f(t)（y=g(t)），再代入普通方程
F(x,y)=0，求得另一关系 y=g(t)（x=f(t)），一般地，常选择的参数
有角、有向线段的数量、斜率、某一点的横坐标（纵坐标）.
（4）直角坐标与极坐标互化可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，但一定要注意二者互化的前提条件.把直角坐标化为极坐标时，一定要明确点所在的象限（即极角的终边的位置），以便正确求出极角.
2.不等式选讲
（1）求解不等式的过程实质就是一个等价转化的过程，通过等价转化将所求不等式变为简单的不等式（组），一定要注意在转化过程中限制条件不可丢失，如分母不能为零、对数的真数与底数的限制等.
（2）运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，弱化了条件或强化了条件都可能得出错误的结论.
（3）利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正、二定、三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式.常用的初等变形方法有裂项、增减项、配系数等.
（4）|a+b|≤|a|+|b|,从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式时可以直接用，也可以利用它消去变量求最值.绝对值三角不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合使用绝对值三角不等式的条件.
（5）在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时，应做到分类不重、不漏；在某个区间上解出不等式后，不要忘了与前提条件求交集.
（6）不等式的解集为 R 是不等式恒成立问题，而不等式的解集为 的对立面也是不等式恒成立问题，如 f(x)>m 的解集为 ，
则 f(x)≤m 恒成立.
（7）用反证法证明命题时，推出的矛盾必须是明显的.放缩法的依据是不等式的传递性，运用放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，放得过大或缩得过小都不能达到证明目的，常用的放缩方法有：①舍去或添加一些已知正负的项；②将分子或分母放大或缩小.
十三、常用数学思想方法
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1.转化与化归思想
（1）注意转化的等价性，保证逻辑上正确；
（2）注意转化的多样性，设计合理的转化方案；
（3）注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性.设计化归目标时，通常以教材中的基础知识、基本方法为依据，把要解决的问题化归为规律问题.
2.分类讨论思想
（1）根据问题实际，做到分类不重复不遗漏；
（2）熟练掌握基本知识、基本方法和基本技巧，并做到融会贯通，这是解决分类讨论问题的前提；
（3）不断总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性.
3.数形结合思想
（1）由数想形时，要注意“形”的准确性，这是数形结合的基础；
（2）数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势，“形”有直观、形象的特点，但代替不了具体的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台或模式，而“数”才是真正的主角，若忽视这一点，很容易造成对数形结合的谬用.
4.函数与方程思想
（1）在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何中的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或定理列方程或方程组求解需要的量.
（2）当问题中涉及一些变量时，就需要建立这些变量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想.
（3）函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，如解方程 f(x)=0 就是求函数 y=f(x)的零点方程 f(x)=g(x)的解的问题可以转化为函数 y=f(x)与 y=g(x)的交点问题，也可以转化为函数 y= f(x)-g(x)与 x 轴的交点问题.
一 、集合与常用逻辑用语
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1.集合的概念与运算
（1）解题时要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素（集合是点集、数集还是图形集）.
（2）集合中的元素具有确定性、无序性和互异性，在求解有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.
（3）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，要时刻注意对空集的讨论，防止漏解.
（4）解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系二是集合与集合的包含关系（5）Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.
（6）处理集合问题时，一定要注意检验结果是否与题设相矛盾.
2.命题及其关系、充分条件与必要条件
（1）当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.
（2）判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构可以先把命题改写成“若 p 则 q”的形式.
（3）判断条件之间的关系时要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是 q”等语言.
3.简单的逻辑联结词、命题的否定与否命题
（1）p∨q 为真命题，只需 p、q 有一个为真即可;p∧q 为真命题，必须 p、q 同时为真.
（2）p 或 q 的否定：非 p 且非 q;p 且 q 的否定:非 p 或非 q.
（3）命题的否定与否命题：
“否命题”是对原命题“若 p，则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论;“命题的否定”即“非 p”，只是否定命题 p 的结论.
二、 函数与导数
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1.分段函数
在求分段函数的值 f (x0 ) 时，要先判断 x0 属于定义域的哪个子集，然后代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.
2.函数的单调性与最值
（1）区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者是指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.
（2）函数的单调区间不一定是整个定义域，可能是定义域的子集，但一定是连续的.
（3）函数的额单调性是针对定义域内的某个区间而言的，函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函
数，如函数 y= 1x 在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，但在定义域上不具有单调性.
（4）若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集.例如，函数 f(x)在区间(-1，0)上是减函数，在（0，1）上也是减函数，但在(-1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数 f (x) = 1x .
3.函数的奇偶性与周期性
（1）f(0)=0 既不是函数 f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.
（2）判断分段函数的奇偶性要有整体的观点，可以分类讨论也可以利用图象进行判断.
4.二次函数与幂函数
（1）对于函数 y = ax2 + bx + c ，要认为它是二次函数，就必须满足 a ≠0，当题目条件未说明 a≠0 时，就要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况.
（2）幂函数 y = xa （α是常数）中,α的取值不一样，对应的幂函数的定义域不一样.注意α是正分数或负分数（正整数或负整数时的不同.
（3）幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
5.指数与指数函数
（1）指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分 a>1 和 0
（2）解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，弄清复合函数的结构，利用换元法求解时要注意“新元”的取值范围.
（3）对可化为 a2 x + bax + c = 0 或a2 x + ba2 x + c ³ 0 (≤0)形式的方程或不等式常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.
6.对数与对数函数
（1）在运用性质loga M a = a loga M (a>0，且 a≠1)时，要特别注意条件
M>0，在无 M>0 的条件下应为log a M a = a log a M |(α为偶数).
（2）指数函数 y = a x (a>0，且 a≠1)与对数函数 y = loga x (a>0，且 a≠
1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间
的联系与区别.
（3）解决与对数函数有关的问题时需注意两点：①务必先研究函数的定义域;②注意对数底数的取值范围.
7.函数的图象
（1）函数图象的每次变换都是针对自变量“x”而言，如从 f(-2x) 的图象到 f(-2x+1)的图象是向右平移1 个单位，即把 x 变成 x-1 .
2 2
（2）当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确性进行求解，解题过程中要注重数形结合思想的运用.
8.函数与方程
（1）函数 f(x)的零点是一个实数，是方程 f(x)=0 的根，也是函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标.
（2）函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件;判断零点个数还要依据函数的单调性、对称性或结合函数图象.
9.函数模型及其应用
（1）函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以要正确理解题意，选择适当的函数模型.（2）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.
（3）注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.
10.导数的概念及运算
（1）利用公式求导时要特别注意除法公式中分子中的符号，防止与乘法公式混淆.复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导.
（2）求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过点 P 的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.
（3）曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个. 11.导数与函数的单调性、极值、最值
（1）求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减小失分的可能性.
（2）求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.（3）解题时要注意区别求单调性和已知单调性的问题，处理好 f ′(x)=0 时的情况;区分极值点和导数为 0 的点.
12.导数的综合应用
（1）若函数 f(x)在某个区间内单调递增，则 f ′(x)≥0，而不
是 f ′(x)>0(f ′(x)=0 在有限个点处取到).
（2）利用导数解决实际生活中的优化问题时，要注意问题的实际意义.
三、数列
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1.数列的概念及简单表示法
（1）数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列 an = f (n) )和函数 y = f (x) 的单调性是
不同的.
（2）数列的通项公式不一定唯一.
2.等差数列及其前 n 项和
（1）当公差 d≠0 时，an 是 n 的一次函数，当公差 d=0 时，an 为常数.
（2）公差不为 0 的等差数列的前 n 项和sn 是 n 的二次函数，且常数项为 0.若某数列的前 n 项和 Sn 是常数项不为 0 的二次函数则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列.
3.等比数列及其前 n 项和
（1）注意等比数列中的分类讨论.
（2）由an+1 = q · an (q≠0)，并不能判断数列｛an ｝是等比数列，还要验证a1 是否为 0.
4.数列求和
（1）直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数时，应对公比是否为 1 进行分类讨论. （2）在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 an，an+1 的式子要合并.
（3）在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项后剩多少项.
四、三角函数
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1.任意角的三角函数
（1）注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二类、第三类是区间角.
（2）角度制与弧度制可利用 180°= πrad 进行互化，在同一
个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
（3）已知三角函数值的符号确定角的终边位置时不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
2 同角三角函数的基本关系与诱导公式
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤为：去负—脱周—化锐.要特别注意函数名称和符号的确定.
（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
（3）注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化. 3.三角函数的图象与性质
（1）闭区间上最值或值域问题，要先在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.
（2）要注意求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0 时的情况.
（3）三角函数的最值不一定在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.
4.函数 y=A sin(ωx+φ)的图象及应用
（1）由函数 y=sin x 的图象经过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象如先伸缩，再平移时，要把 x 前面的系数提取出来.
（2）复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数 y=Asin(ωx+ φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx+φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.
（3）求函数 y=Asin(ωx+φ)在 x∈[m，n]上的最值，可先求 t= ωx+φ的范围，再结合图象得出 y=Asin t 的值域，即得原函数的最值.
5.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）运用公式时注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.
（2）在（0， π）范围内，sin(α+β)= 22 所对应的角α+β不
是唯一的.
（3）在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值. 6.简单的三角恒等变换
（1）利用辅助角公式 asin x+bcos x 进行转化时，一定要严格对照和、差公式，防止弄错辅助角.
（2）计算形如 y=sin(ωx+φ)，x∈[a，b]的函数最值时，不要将ωx+φ的范围和 x 的范围混淆.
7.正弦定理、余弦定理
（1）在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解、无解的情况，所以要进行分类讨论.
（2）利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.
8.三角形的实际应用
在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易弄错.
五、不等式
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1.不等关系与不等式
（1）a>bÞac>bc 或 a
（2）a>bÞ
1
<
1
或 a
>
1
，当 ab≤0 时不成立.
a
b
a
b
（3）a>bÞan>bn，对于正数 a、b 才成立.
a >1Û a>b，对于正数 a、b 才成立.
（4）b
（5）注意不等式性质中“Þ ”与“Û ”的区别，如 a>b，b>c
a>c，反过来 a>c，不能推出 a>b，b>c.
（6）作商法比较大小时，要注意两式的符号.
（7）求范围问题时，如果多次利用不等式，则可能扩大变量的取值范围.
2.不等式的解法及应用
（1）对于不等式 ax2+bx+c>0，求解时不要忘记讨论 a=0 时的情况.
（2）当 <0 时，要注意区分 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为 R 还是空集.
（3）对于含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.
（4）注意用“根轴法”解整式不等式的注意事项及解分式不等式 f (x) >a(a≠0)的一般思路——移项通分.
g(x)
（5）求解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”.注意：求解完之后要写上“综上原不等式的解集是……”;若按参数讨论，最后应按参数取值分
别说明其解集;若按未知数讨论，最后应求并集.
提醒：①解不等式就是求不等式的解集，最后务必用集合的形
式表示;
②不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式
有意义范围的端点值.
（6）解决恒成立问题一定要弄清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
（1）画二元一次不等式（组）表示的平面区域时，避免错误的重要方法就是使二元一次不等式（组）标准化.
（2）通过求直线的截距 bz 的最值间接的求 z 的最值时，要注意
当 b>0 时，若截距 b 取最大值，则 z 也取最大值，若截距 bz 取最小值，则 z 也取最小值；当 b<0 时，若截距 bz 取最大值，则 z 取
最小值，若截距 bz 取最小值，则 z 取最大值. 4.基本不等式及其应用
（1）利用基本不等式求最值时应注意“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.
（2）连续使用基本不等式求最值时要求每次等号成立的条件一致.
（3）对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘.一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正由此可得自变量的取值范围，然后利用基本不等式求最值.
六、平面向量
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1.平面向量的概念及线性运算
（1）求解向量的概念问题时要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；二是要考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
（2）在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得的向量是所求向量的相反向量，导致错误.
（3）两个向量共线有方向相同、相反两种情况，要考虑全面.
2.平面向量的基本定理及坐标表示
（1）要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息.
（2）若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成 x1 = y1
x2 y2
因为 x2,y2 有可能等于 0，所以应该表示为 x1y2-x2y1=0.
（3）使用平面向量基本定理时一定要注意两个基底向量不共线
3.平面向量的数量积
（1）对数量积的运算律要准确理解、应用.例如,a·b=a·c（a ≠0）不能得出 b=c,因为两边不能同时约去向量 a.
（2）若两个向量的夹角为锐角，则有 a·b>0,反之不成立;若两个向量的夹角为钝角，则有 a·b<0，反之不成立.
4.平面向量应用举例
（1）注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价. （2）注意向量共线和两直线平行的关系.
（3）利用向量求解解析几何中的平行与垂直问题，可有效避免因斜率不存在使问题漏解的情况.
七、立体几何
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1.空间几何体的结构特征
（1）准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断.
（2）三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析.
2.三视图与直观图
（1）三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”.
（2）解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.
（3）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线在三视图中，要注意实、虚线的画法．
（4）确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同所画的三视图也不同．
3.空间几何体的表面积
（ 1）求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．
（2）底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.
4.空间点、线、面位置关系
（1）正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在一个平面内”．
（2）不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的条件．
（3）两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]. 5.直线、平面平行的判定与性质
（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．
（2）在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序则恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．
（3）解题中注意符号语言的规范应用. 6.直线、平面垂直的判定与性质
（1）在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化．
（2）面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.
八、解析几何
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1.直线方程
（1）明确直线方程各种形式的适用条件:点斜式、斜截式方程适用于与 x 轴不垂直的直线；两点式方程不能表示垂直于 x 轴、
y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．
（2）截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负可为零在求解与截距有关的问题时，要注意讨论截距是否为零．
（3）求直线方程时，若不能判断直线是否存在斜率，则应分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论.
（4）当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角为p ，而不是不存
2
在；当直线与 y 轴垂直时，直线的倾斜角为 0，而不是 π.
2.两直线位置关系
（1）在判断两条直线的位置关系时，首先分析直线的斜率是否存在.若两条直线的斜率都存在，则可根据判定定理判断两条直线的位置关系，若任一条直线的斜率不存在，则要单独考虑.
（2）在运用两平行直线间的距离公式 d= C1 - C2 时，一定要注意
A2 + B2
将两方程中 x,y 的系数化为相同的形式.
3.圆的方程
（1）圆的标准方程和圆的一般方程都含有三个独立的参数，因此，确定一个圆的方程需要三个独立的条件．
（2）过圆外一定点求圆的切线，必有两条.若只求出一条，除了考虑运算过程是否正确外，还应该考虑切线斜率不存在的情况.
4.圆锥曲线的方程和性质
（1）当到两定点的距离之和等于 F1F2 时，动点的轨迹是线段F1F2 ；当到两定点的距离之和小于 F1F2 时，动点的轨迹不存在． （2）区分椭圆两种标准方程的方法是比较标准方程中 x2 与 y2 的分母大小．
（3）注意椭圆的范围，若设椭圆 ax22 + by22 =（1a>b>0）点的坐标为 P(x,y)
则｜x｜≤a,这往往在求与点 P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.
（4）利用双曲线的定义解决问题应注意三点：①距离之差的绝对值；②2a< F1F2 ;③焦点所在坐标轴的位置.
（5）区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆中的 a，b，c 大
小关系，在椭圆中 a2＝b2＋c2 ，而在双曲线中 c2＝a2＋b2.（6）双曲线的离心率 e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率 e∈(0,1)．
（7）双曲线
x2
-
y2
＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是 y＝±
b
x，
y2
-
x2
＝
a2
b2
aa2
b2
1 (a>0，b>0)的渐近线方程是 y = ± ba x x.
（8）求抛物线的标准方程时一般用待定系数法求出 p 值，但要先判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．
（9）注意应用抛物线的定义解决问题． 5.直线与圆、圆锥曲线的位置关系
（1）直线与双曲线交于一点时，其位置关系不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.
（2）在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情.
（3）若利用弦长公式计算问题，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．
（4）对于中点弦问题，可以利用“点差法”求解，但不要忘记验证 >0 或说明中点在曲线内部．
九、概率、统计
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1.随机事件的概率
（1）正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
（2）需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不
少于……”等语句的含义.
（3）任何事件的概率都在 0～1 中，即 0≤P(A)≤1.必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0.
2.古典概型
（1）古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的;试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.
提示 下列三类试验不是古典概型：（1）基本事件个数有限，但非等可能；（2）基本事件个数无限，但等可能；（3）基本事件个数无限，也不等可能.
（2）概率的一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．提示 ①公式的作用是求 A∪B 的概率，当 A∩B＝ 时，A、B互斥，此时 P(A∩B)＝0，所以 P(A∪B)＝P(A) ＋P(B)；②要计
算 P(A∪B)，需要求 P(A)、P(B)，更重要的是确定事件 A∩B，并求其概率；③该公式可以看作一个方程，知三可求一.
3.几何概型
（1）准确把握几何概型的“测度”是解题关键.
（2）几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.
4.随机抽样
（1）系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会相等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．
（2）进行分层抽样时应注意以下几点：
①分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.
②为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同.
（3）在抽样时，如果总体的排列存在明显的周期性或事先是排好序的，那么利用系统抽样进行抽样时将会产生明显的偏差，即样本的代表性是不可靠的.
5.用样本估计总体
（1）频率分布直方图的纵坐标为 频率 ，每一个小长方形的面积
组距
表示样本个体落在该区间内的频率.
（2）条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误.
（3）同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同得到的图的形状也会不同.
6.变量间的相关关系、统计案例
（1）相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如正方形面积 S 与边长 x 之间的关系 S＝x2就是函数关系．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．例如商品的销售额与广告费是相关关系．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．
（2）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义，根据回归方程进行预报，得出的仅是一个预报值，而不是真实发生的值.
（3）在实际问题中，独立性检验的结论仅是一种数学关系的描述，得到的结论有一定概率的出错.
（4）对判断结果进行描述时，注意对象的选取要准确无误，应是对假设结论进行的含概率的判断.
十、算法、复数、推理与证明
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1.算法
（1）注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同.
（2）注意条件结构与循环结构的联系：循环结构具有重复性条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体.
（3）对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时时执行两个分支.
（4）循环语句有“直到型”与“当型”两种，要区别两者的异同，循环语句主要解决需要反复执行的任务，要理解循环结构中各变量的具体含义及变化规律.
（5）关于赋值语句，有以下几点需要注意：
①赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如 3=m 是错
误的.
②赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的
值赋给赋值号左边的变量，例如 Y=x，表示用 x 的值替代变量 Y
的原先的取值，不能改写为 x=Y.因为后者表示用 Y 的值替代变
量 x 的值.
③在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“=”.
（6）应用循环结构解决问题时，一定要注意两个变量 i 和 S 的初始值及运算变量到底是什么，它递增的值是多少，即“步长”为多少，由输出的结果来判断对应的判断条件到底是什么，明
确哪儿是计数器，哪儿是赋值器，注意循环体内各语句不能随意颠倒，准确判断结束循环的条件，必要时，要对“边界”单独检验.
2.复数
（1）判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.
（2）对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方程的求解判别式不再成立.因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解.
（3）两个虚数不能比较大小.
（4）利用复数相等 a+bi=c+di 列方程时，注意 a,b,c,d∈R 的前提条件.
（5）在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合. （6）注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如，若 z1，z2∈C,z12+z22=0，就不能推出 z1=z2=0；z2<0在复数范围内有可能成立.
3.推理与证明
（1）解决类比问题时，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的条件，再去类比另一类问题.
（2）解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误.应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳.
（3）用分析法证明问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）……”“即证……”“只需证……”等，逐步分
析，直至一个明显成立的结论.
（4）利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设的命题推理而推出矛盾结果
其推理过程是错误的.
十一、选考部分
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1.坐标系与参数方程
（1）化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角或代数）消去法.在消参的过程中注意变量 x,y 取值范围的一致性,必须根据参数的取值范围，确定 f(t)和 g(t)(t 为参数)的值域，从而确定 x,y 的取值范围.
（2）当一个参数方程中除已知变量 x,y 外，还有两个或两个以上的字母时，一定要认清哪个是参变量（参数），哪个是常数弄清参数所代表的几何意义及取值范围是什么，认真观察方程的表现形式以及题目本身隐含的一些限制条件，以便于寻找最佳化简途径.
（3）化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数 t，先确定一个关系 x=f(t)（y=g(t)），再代入普通方程
F(x,y)=0，求得另一关系 y=g(t)（x=f(t)），一般地，常选择的参数
有角、有向线段的数量、斜率、某一点的横坐标（纵坐标）.
（4）直角坐标与极坐标互化可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，但一定要注意二者互化的前提条件.把直角坐标化为极坐标时，一定要明确点所在的象限（即极角的终边的位置），以便正确求出极角.
2.不等式选讲
（1）求解不等式的过程实质就是一个等价转化的过程，通过等
价转化将所求不等式变为简单的不等式（组），一定要注意在转化过程中限制条件不可丢失，如分母不能为零、对数的真数与底数的限制等.
（2）运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，弱化了条件或强化了条件都可能得出错误的结论.
（3）利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正、二定、三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式.常用的初等变形方法有裂项、增减项、配系数等. （4）|a+b|≤|a|+|b|,从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式时可以直接用，也可以利用它消去变量求最值.绝对值三角不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合使用绝对值三角不等式的条件.
（5）在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时，应做到分类不重、不漏；在某个区间上解出不等式后，不要忘了与前提条件求交集.
（6）不等式的解集为 R 是不等式恒成立问题，而不等式的解集为 的对立面也是不等式恒成立问题，如 f(x)>m 的解集为 ，
则 f(x)≤m 恒成立.
（7）用反证法证明命题时，推出的矛盾必须是明显的.放缩法的依据是不等式的传递性，运用放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，放得过大或缩得过小都不能达到证明目的，常用的放缩方法有：①舍去或添加一些已知正负的项；②将分子或分母放大或缩小.
十二、常用数学思想方法
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1.转化与化归思想
（1）注意转化的等价性，保证逻辑上正确；
（2）注意转化的多样性，设计合理的转化方案；
（3）注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性.设计化归目标时，通常以教材中的基础知识、基本方法为依据，把要解决的问题化归为规律问题.
2.分类讨论思想
（1）根据问题实际，做到分类不重复不遗漏；
（2）熟练掌握基本知识、基本方法和基本技巧，并做到融会贯通，这是解决分类讨论问题的前提；
（3）不断总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性.
3.数形结合思想
（1）由数想形时，要注意“形”的准确性，这是数形结合的基础；
（2）数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势，“形”有直观、形象的特点，但代替不了具体的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台或模式，而“数”才是真正的主角，若忽视这一点，很容易造成对数形结合的谬用.
4.函数与方程思想
（1）在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何中的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或定理列方程或方程组求解需要的量.
（2）当问题中涉及一些变量时，就需要建立这些变量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想.
（3）函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，如解方程 f(x)=0 就是求函数 y=f(x)的零点方程 f(x)=g(x)的解的问题可以转化为函数 y=f(x)与 y=g(x)的交点问题，也可以转化为函数 y= f(x)-g(x)与 x 轴的交点问题.
理科数学
一、集合与常用逻辑用语
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1.集合的概念与运算
（1）解题时要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素（集合是点集、数集还是图形集）.
（2）集合中的元素具有确定性、无序性和互异性，在求解有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性.
（3）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，要时刻注意对空集的讨论，防止漏解.
（4）解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系二是集合与集合的包含关系.（5）Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心.
（6）处理集合问题时，一定要注意检验结果是否与题设相矛盾.
2.命题及其关系、充分条件与必要条件
（1）当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提.
（2）判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构可以先把命题改写成“若 p 则 q”的形式.
（3）判断条件之间的关系时要注意条件之间关系的方向，正确理解“p 的一个充分而不必要条件是 q”等语言.
3.简单的逻辑联结词、命题的否定与否命题
（1）p∨q 为真命题，只需 p、q 有一个为真即可;p∧q 为真命题，必须 p、q 同时为真.
（2）p 或 q 的否定：非 p 且非 q;p 且 q 的否定:非 p 或非 q.
（3）命题的否定与否命题：
“否命题”是对原命题“若 p，则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论;“命题的否定”即“非 p”，只是否定命题 p 的结论.
二、函数与导数
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1.分段函数
在求分段函数的值 f (x0 ) 时，要先判断 x0 属于定义域的哪个子集然后代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集.
2.函数的单调性与最值
（1）区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者是指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.
（2）函数的单调区间不一定是整个定义域，可能是定义域的子集，但一定是连续的.
（3）函数的额单调性是针对定义域内的某个区间而言的，函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单调函
数，如函数 y= 1x 在（-∞，0）和（0，+∞）上都是减函数，但在定义域上不具有单调性.
（4）若函数在两个不同的区间上单调性相同，则这两个区间要分开写，不能写成并集.例如，函数 f(x)在区间(-1，0)上是减函数，在（0，1）上也是减函数，但在(-1，0)∪(0，1)上却不一
定是减函数，如函数 f (x) = 1x . 3.函数的奇偶性与周期性
（1）f(0)=0 既不是函数 f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件.
（2）判断分段函数的奇偶性要有整体的观点，可以分类讨论也可以利用图象进行判断.
4.二次函数与幂函数
（1）对于函数 y = ax2 + bx + c ，要认为它是二次函数，就必须满足 a ≠0，当题目条件未说明 a≠0 时，就要讨论 a=0 和 a≠0 两种情况.
（2）幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
5.指数与指数函数
（1）指数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法确定其最值，故应分 a>1 和 0
（2）解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，弄清复合函数的结构，利用换元法求解时要注意“新元”的取值范围.
（3）对可化为a2 x + bax + c = 0 或a2 x + bax + c ³ 0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.
6.对数与对数函数
（1）在运用性质loga M a = a loga M (a>0，且 a≠1)时，要特别注意条件
M>0，在无 M>0 的条件下应为log a M a = a log a M |(α为偶数).
（2）指数函数 y = a x (a>0，且 a≠1)与对数函数 y = loga x (a>0，且 a≠
1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.
（3）解决与对数函数有关的问题时需注意两点：①务必先研究函数的定义域;②注意对数底数的取值范围.
7.函数的图象
（1）函数图象的每次变换都是针对自变量“x”而言，如从 f(-2x) 的图象到 f(-2x+1)的图象是向右平移1 个单位，即把 x 变成 x-1 .
2 2
（2）当图形不能准确地说明问题时，可借助“数”的精确性进行求解，解题过程中要注重数形结合思想的运用.
8.函数与方程
（1）函数 f(x)的零点是一个实数，是方程 f(x)=0 的根，也是函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标.
（2）函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件;判断零点个数还要依据函数的单调性、对称性或结合函数图象.
9.函数模型及其应用
（1）函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以要正确理解题意，选择适当的函数模型.（2）要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域.
（3）注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.
10.导数的概念及运算
（1）利用公式求导时要特别注意除法公式中分子中的符号，防止与乘法公式混淆.复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导.
（2）求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过点 P 的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.
（3）曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个. 11.导数与函数的单调性、极值、最值
（1）求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减小失分的可能性.
（2）求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论.（3）解题时要注意区别求单调性和已知单调性的问题，处理好 f ′(x)=0 时的情况;区分极值点和导数为 0 的点.
12.导数的综合应用
（1）若函数 f(x)在某个区间内单调递增，则 f ′(x)≥0，而不
是 f ′(x)>0(f ′(x)=0 在有限个点处取到).
（2）利用导数解决实际生活中的优化问题时，要注意问题的实际意义.
13.定积分
（1）被积函数若含有绝对值符号，应先去绝对值符号，再分段积分.
（2）若定积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是积分变量.
（3）定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限. （4）定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意面积非负而定积分的结果可以为负.
（5）将要求面积的图形进行科学而准确地划分，可使面积的求解变得简捷.
三 、数列
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1.数列的概念及简单表示法
（1）数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列 an = f (n) )和函数 y = f (x) 的单调性是不同的.
（2）数列的通项公式不一定唯一. 2.等差数列及其前 n 项和
（1）当公差 d≠0 时，an 是 n 的一次函数，当公差 d=0 时，an 为常数.
（2）公差不为 0 的等差数列的前 n 项和sn 是 n 的二次函数，且常数项为 0.若某数列的前 n 项和 Sn 是常数项不为 0 的二次函数则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列.
3.等比数列及其前 n 项和
（1）注意等比数列中的分类讨论.
（2）由an+1 = q · an (q≠0)，并不能判断数列｛an ｝是等比数列，还要验证a1 是否为 0.
4.数列求和
（1）直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数时，应对公比是否为 1 进行分类讨论. （2）在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 an，an+1 的式子要合并.
（3）在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项后剩多少项.
四、三角函数
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1.任意角的三角函数
（1）注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二类、第三类是区间角.
（2）角度制与弧度制可利用 180°= πrad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.
（3）已知三角函数值的符号确定角的终边位置时不要遗漏终边在坐标轴上的情况.
2.同角三角函数的基本关系与诱导公式
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤为：去负—脱周—化锐.要特别注意函数名称和符号的确定.
（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
（3）注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化. 3.三角函数的图象与性质
（1）闭区间上最值或值域问题，要先在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.
（2）要注意求函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0 时的情况.
（3）三角函数的最值不一定在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.
4.函数 y=A sin(ωx+φ)的图象及应用
（1）由函数 y=sin x 的图象经过变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象如先伸缩，再平移时，要把 x 前面的系数提取出来.
（2）复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数 y=Asin(ωx+ φ)(A>0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx+φ看作一个整体.若ω<0，要先根据诱导公式进行转化.
（3）求函数 y=Asin(ωx+φ)在 x∈[m，n]上的最值，可先求 t= ωx+φ的范围，再结合图象得出 y=Asin t 的值域，即得原函数的最值.
5.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）运用公式时注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通.
（2）在（0， π）范围内，sin(α+β)= 22 所对应的角α+β不
是唯一的.
（3）在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值. 6.简单的三角恒等变换
（1）利用辅助角公式 asin x+bcos x 进行转化时，一定要严格对照和、差公式，防止弄错辅助角.
（2）计算形如 y=sin(ωx+φ)，x∈[a，b]的函数最值时，不要将ωx+φ的范围和 x 的范围混淆.
7.正弦定理、余弦定理
（1）在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解、无解的情况，所以要进行分类讨论.
（2）利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.
8.三角形的实际应用
在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易弄错.
五、不等式
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1.不等关系与不等式
（1）a>bÞac>bc 或 a
（2）a>bÞ
1
<
1
或 a
>
1
，当 ab≤0 时不成立.
a
b
a
b
（3）a>bÞan>bn，对于正数 a、b 才成立.
a >1Û a>b，对于正数 a、b 才成立.
（4）b
（5）注意不等式性质中“Þ ”与“Û ”的区别，如 a>b，b>c
a>c，反过来 a>c，不能推出 a>b，b>c.
（6）作商法比较大小时，要注意两式的符号.
（7）求范围问题时，如果多次利用不等式，则可能扩大变量的取值范围.
2.不等式的解法及应用
（1）对于不等式 ax2+bx+c>0，求解时不要忘记讨论 a=0 时的情况.
（2）当 <0 时，要注意区分 ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为 R 还是空集.
（3）对于含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.
（4）注意用“根轴法”解整式不等式的注意事项及解分式不等式 f (x) >a(a≠0)的一般思路——移项通分.
g(x)
（5）求解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”.注意：求解完之后要写上“综上原不等式的解集是……”;若按参数讨论，最后应按参数取值分
别说明其解集;若按未知数讨论，最后应求并集.
提醒：①解不等式就是求不等式的解集，最后务必用集合的形
式表示;
②不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有
意义范围的端点值.
（6）解决恒成立问题一定要弄清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
3.二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
（1）画二元一次不等式（组）表示的平面区域时，避免错误的重要方法就是使二元一次不等式（组）标准化.
（2）通过求直线的截距 bz 的最值间接的求 z 的最值时，要注意
当 b>0 时，若截距 b 取最大值，则 z 也取最大值，若截距 bz 取最小值，则 z 也取最小值；当 b<0 时，若截距 bz 取最大值，则 z 取
最小值，若截距 bz 取最小值，则 z 取最大值. 4.基本不等式及其应用
（1）利用基本不等式求最值时应注意“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.
（2）连续使用基本不等式求最值时要求每次等号成立的条件一致.
（3）对实际问题，在审题和建模时一定不可忽略对目标函数定义域的准确挖掘.一般地，每个表示实际意义的代数式必须为正由此可得自变量的取值范围，然后利用基本不等式求最值.
六、平面向量
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1.平面向量的概念及线性运算
（1）求解向量的概念问题时要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，还要考虑向量的方向；二是要考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.
（2）在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得的向量是所求向量的相反向量，导致错误.
（3）两个向量共线有方向相同、相反两种情况，要考虑全面.
2.平面向量的基本定理及坐标表示
（1）要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息.
（2）若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能表示成 x1 = y1
x2 y2
因为 x2,y2 有可能等于 0，所以应该表示为 x1y2-x2y1=0.
（3）使用平面向量基本定理时一定要注意两个基底向量不共线
3.平面向量的数量积
（1）对数量积的运算律要准确理解、应用.例如,a·b=a·c（a ≠0）不能得出 b=c,因为两边不能同时约去向量 a.
（2）若两个向量的夹角为锐角，则有 a·b>0,反之不成立;若两个向量的夹角为钝角，则有 a·b<0，反之不成立.
4.平面向量应用举例
（1）注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价. （2）注意向量共线和两直线平行的关系.
（3）利用向量求解解析几何中的平行与垂直问题，可有效避免因斜率不存在使问题漏解的情况.
七、立体几何
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1.三视图与直观图
（1）三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”.
（2）解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.
（3）若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线在三视图中，要注意实、虚线的画法．
（4）确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同所画的三视图也不同．
2.空间几何体的表面积
（ 1）求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．
（2）底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.
3.空间点、线、面位置关系
（1）正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在一个平面内”．
（2）不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”的条件．
（3）两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]. 4.直线、平面平行的判定与性质
（1）在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．
（2）在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序则恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．
（3）解题中注意符号语言的规范应用. 5.直线、平面垂直的判定与性质
（1）在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的相互转化．
（2）面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.
6.空间向量及其应用
（1）求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化.
（2）用向量方法证明直线 a∥b，只需证明向量 a=λb(λ∈R 即可.若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.
（3）利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．
（ 4）求点到平面的距离，有时利用等体积法求解可能更方便．
（5）求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角.
八、解析几何
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1.直线方程
（1）明确直线方程各种形式的适用条件:点斜式、斜截式方程适用于与 x 轴不垂直的直线；两点式方程不能表示垂直于 x 轴、
y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．
（2）截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负可为零在求解与截距有关的问题时，要注意讨论截距是否为零．
（3）求直线方程时，若不能判断直线是否存在斜率，则应分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论.
（4）当直线的斜率不存在时，直线的倾斜角为p ，而不是不存
2
在；当直线与 y 轴垂直时，直线的倾斜角为 0，而不是 π.
2.两直线位置关系
（1）在判断两条直线的位置关系时，首先分析直线的斜率是否存在.若两条直线的斜率都存在，则可根据判定定理判断两条直线的位置关系，若任一条直线的斜率不存在，则要单独考虑.
（2）在运用两平行直线间的距离公式 d= C1 - C2 时，一定要注意
A2 + B2
将两方程中 x,y 的系数化为相同的形式.
3.圆的方程
（1）圆的标准方程和圆的一般方程都含有三个独立的参数，因此，确定一个圆的方程需要三个独立的条件．
（2）过圆外一定点求圆的切线，必有两条.若只求出一条，除了考虑运算过程是否正确外，还应该考虑切线斜率不存在的情况.
4.圆锥曲线的方程和性质
（1）区分椭圆两种标准方程的方法是比较标准方程中 x2 与 y2 的分母大小．
（2）注意椭圆的范围，若设椭圆 x2 + y2 =（1a>b>0）点的坐标为 P(x,y)
a2 b2
则｜x｜≤a,这往往在求与点 P 有关的最值问题中用到，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.
（3）区分双曲线中的 a，b，c 大小关系与椭圆中的 a，b，c 大小关系，在椭圆中 a2＝b2＋c2 ，而在双曲线中 c2＝a2＋b2.（4）双曲线的离心率 e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率 e∈(0,1)．
（5）双曲线
x2
-
y2
＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程是 y＝±
b
x，
y2
-
x2
＝
a2
b2
aa2
b2
1 (a>0，b>0)的渐近线方程是 y＝ y = ± ba x .
（6）求抛物线的标准方程时一般用待定系数法求出 p 值，但要先判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．
（7）注意应用抛物线的定义解决问题．
（8）求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系．检验可从以下两个方面进行：一是方程的变形是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．
（9）求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求.求点的轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明点的轨迹的形状、位置、大小等．
5.直线与圆、圆锥曲线的位置关系
（1）直线与双曲线交于一点时，其位置关系不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.
（2）在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情.（3）若利用弦长公式计算问题，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．
（4）对于中点弦问题，可以利用“点差法”求解，但不要忘记验证 >0 或说明中点在曲线内部．
九、计数原理
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1.两个计数原理
（1）切实理解“完成一件事”的含义，以确定需要分类还是需要分步进行．
（2）分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步．
（3）确定题目中是否有特殊条件限制． 2.排列与组合
（1）解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，然后利用两个计数原理做最后处理．（2）解受条件限制的组合题时，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决.分类标准应统一，避免出现重复或遗漏现象．
（3）对于选择题要谨慎处理，注意答案的不同等价形式.处理选择题可采用排除法，错误的答案会有重复或遗漏现象.
3.二项式定理
（1）项的系数与 n 和 a，b 的值有关，二项式系数只与 n 有关，且大于 0(n 为项数).
（2）求二项式系数的和，可采用“赋值法”．
（3）关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种不同算法．
（4）展开式中第 k＋1 项的二项式系数与第 k＋1 项的系数一般是不相同的.在具体求各项的系数时，一般先确定符号，再确定数值；确定符号时对根式和指数的运算要细心，以防出错.
十、概率与统计
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1.随机事件的概率
（1）正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
（2）需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不
少于……”等语句的含义.
2.古典概型
（1）古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是不是等可能的．
（2）概率的一般加法公式：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
提示：①公式的作用是求 A∪B 的概率，当 A∩B＝ 时，A、
B 互斥，此时 P(A∩B)＝0，所以 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；②要计算 P(A∪B)，需要求 P(A)、P(B)，更重要的是确定事件 A∩B
并求其概率；③该公式可以看作一个方程，知三可求一. 3.几何概型
（1）准确把握几何概型的“测度”是解题关键.
（2）几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之内不影响所求结果.
4.二项分布
（1）运用公式 P(AB)=P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件 A、B 相互独立时，公式才成立.
（2）独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等.注意恰好与至多（少）的关系，灵活运用对立事件.
5.离散型随机变量的均值与方差、正态分布
（1）会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误．
（2）对于实际应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般
要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的
分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差．
（3）解决正态分布问题有三个关键点:①对称轴 x=μ;②标准差
σ;③分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ,σ,
分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为 3σ特殊区间，
从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为 x=0
6.随机抽样
（1）系统抽样的特点：适用于元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会相等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．
（2）进行分层抽样时应注意以下几点：
①分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.
②为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同.
7.用样本估计总体
（1）频率分布直方图的纵坐标为频率 ，每一个小长方形的面积表
组距
示样本个体落在该区间内的频率.
（2）条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误.
8.变量间的相关关系、统计案例
（1）相关关系与函数关系不同．函数关系中的两个变量间是一种确定性关系．例如正方形面积 S 与边长 x 之间的关系 S＝x2就是函数关系．相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．例如商品的销售额与广告费是相关关系．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．
（2）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义，根据回归方程进行预报，得出的仅是一个预报值，而不是真实发生的值.
十一、算法、复数、推理与证明
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1.算法
（1）注意起止框与处理框、判断框与循环框的不同.
（2）注意条件结构与循环结构的联系：循环结构具有重复性条件结构具有选择性没有重复性，并且循环结构中必定包含一个条件结构，用于确定何时终止循环体.
（3）对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行
两个分支中的一个，不能同时时执行两个分支.
（4）循环语句有“直到型”与“当型”两种，要区别两者的异同，循环语句主要解决需要反复执行的任务，要理解循环结构中各变量的具体含义及变化规律.
（5）关于赋值语句，有以下几点需要注意：
①赋值号左边只能是变量名字，而不是表达式，例如 3=m 是错
误的.
②赋值号左右不能对换，赋值语句是将赋值号右边的表达式的
值赋给赋值号左边的变量，例如 Y=x，表示用 x 的值替代变量 Y
的原先的取值，不能改写为 x=Y.因为后者表示用 Y 的值替代变
量 x 的值.
③在一个赋值语句中只能给一个变量赋值，不能出现多个“=”.
（6）应用循环结构解决问题时，一定要注意两个变量 i 和 S 的初始值及运算变量到底是什么，它递增的值是多少，即“步长”为多少，由输出的结果来判断对应的判断条件到底是什么，明确哪儿是计数器，哪儿是赋值器，注意循环体内各语句不能随意颠倒，准确判断结束循环的条件，必要时，要对“边界”单独检验.
2.复数
（1）判定复数是实数，仅注重虚部等于 0 是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.
（2）对于复系数（系数不全为实数）的一元二次方程的求解判别式不再成立.因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解.
（3）两个虚数不能比较大小.
（4）利用复数相等 a+bi=c+di 列方程时，注意 a,b,c,d∈R 的前
提条件.
（5）在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合. （6）注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如，若 z1，z2∈C,z12+z22=0，就不能推出 z1=z2=0；z2<0在复数范围内有可能成立.
3.推理与证明
（1）解决类比问题时，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的条件，再去类比另一类问题.
（2）解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误.应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳.
（3）用分析法证明问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证（欲证）……”“即证……”“只需证……”等，逐步分
析，直至一个明显成立的结论.
（4）利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，如果没有用假设的命题推理而推出矛盾结果其推理过程是错误的.
（5）用数学归纳法证明问题时初始值 n0 不一定是 1.
（6）推证 n=k+1 时一定要用上 n=k 时的假设，否则不是数学归纳法.
十二、选考部分
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1.坐标系与参数方程
（1）化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角或代数）消
去法.在消参的过程中注意变量 x,y 取值范围的一致性,必须根据参数的取值范围，确定 f(t)和 g(t)(t 为参数)的值域，从而确定 x,y 的取值范围.
（2）当一个参数方程中除已知变量 x,y 外，还有两个或两个以上的字母时，一定要认清哪个是参变量（参数），哪个是常数弄清参数所代表的几何意义及取值范围是什么，认真观察方程的表现形式以及题目本身隐含的一些限制条件，以便于寻找最佳化简途径.
（3）化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数 t，先确定一个关系 x=f(t)（y=g(t)），再代入普通方程
F(x,y)=0，求得另一关系 y=g(t)（x=f(t)），一般地，常选择的参数
有角、有向线段的数量、斜率、某一点的横坐标（纵坐标）.
（4）直角坐标与极坐标互化可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，但一定要注意二者互化的前提条件.把直角坐标化为极坐标时，一定要明确点所在的象限（即极角的终边的位置），以便正确求出极角.
2.不等式选讲
（1）求解不等式的过程实质就是一个等价转化的过程，通过等价转化将所求不等式变为简单的不等式（组），一定要注意在转化过程中限制条件不可丢失，如分母不能为零、对数的真数与底数的限制等.
（2）运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，弱化了条件或强化了条件都可能得出错误的结论.
（3）利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正、二定、三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式.常用的初等变形方法有裂项、增减项、配系数等.
（4）|a+b|≤|a|+|b|,从左到右是一个放大过程，从右到左是一个缩小过程，证明不等式时可以直接用，也可以利用它消去变量求最值.绝对值三角不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合使用绝对值三角不等式的条件.
（5）在利用分类讨论解决含多个绝对值的不等式时，应做到分类不重、不漏；在某个区间上解出不等式后，不要忘了与前提条件求交集.
（6）不等式的解集为 R 是不等式恒成立问题，而不等式的解集为 的对立面也是不等式恒成立问题，如 f(x)>m 的解集为 ，
则 f(x)≤m 恒成立.
（7）用反证法证明命题时，推出的矛盾必须是明显的.放缩法的依据是不等式的传递性，运用放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，放得过大或缩得过小都不能达到证明目的，常用的放缩方法有：①舍去或添加一些已知正负的项；②将分子或分母放大或缩小.
十三、常用数学思想方法
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1.转化与化归思想
（1）注意转化的等价性，保证逻辑上正确；
（2）注意转化的多样性，设计合理的转化方案；
（3）注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性.设计化归目标时，通常以教材中的基础知识、基本方法为依据，把要解决的问题化归为规律问题.
2.分类讨论思想
（1）根据问题实际，做到分类不重复不遗漏；
（2）熟练掌握基本知识、基本方法和基本技巧，并做到融会贯通，这是解决分类讨论问题的前提；
（3）不断总结经验和教训，克服分类讨论中的主观性和盲目性.
3.数形结合思想
（1）由数想形时，要注意“形”的准确性，这是数形结合的基础；
（2）数形结合，贵在结合，要充分发挥两者的优势，“形”有直观、形象的特点，但代替不了具体的运算和证明，在解题中往往提供一种数学解题的平台或模式，而“数”才是真正的主角，若忽视这一点，很容易造成对数形结合的谬用.
4.函数与方程思想
（1）在高中数学的各个部分，都有一些公式和定理，这些公式和定理本身就是一个方程，如等差数列的通项公式、余弦定理、解析几何中的弦长公式等，当题目与这些问题有关时，就需要根据这些公式或定理列方程或方程组求解需要的量.
（2）当问题中涉及一些变量时，就需要建立这些变量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想.
（3）函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，如解方程 f(x)=0 就是求函数 y=f(x)的零点方程 f(x)=g(x)的解的问题可以转化为函数 y=f(x)与 y=g(x)的交点问题，也可以转化为函数 y= f(x)-g(x)与 x 轴的交点问题.
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