2023年辽宁省葫芦岛市兴城市中考数学一模试卷(含解析）

2023年辽宁省葫芦岛市兴城市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中是正有理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列银行标志中，是既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  在一个大正方体中挖去一个小正方体，得到如图所示的零件，则这个零件的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，交于，交于，，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

6.  甲、乙、丙、丁四支花样滑冰队的人数相同，且平均身高都是，身高的方差分别是，，，，则身高比较整齐的滑冰队是(    )

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7.  某初中为了鼓励学生参加体育锻炼，开展一分钟跳绳比赛，此次比赛前十名同学跳绳的数量如下表所示，则跳绳数量的中位数和众数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.  我国古代数学名著孙子算经中记载了一道题，大意是：匹马恰好拉了片瓦，已知匹大马能拉片瓦，匹小马能拉片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有匹，小马有匹，那么可列方程组为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，是等边三角形，点和点在轴上，点在轴上，，垂足为点，反比例函数的图象经过点，若的面积为，则值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，，，，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿的路径运动，同时点从出发，以相同的速度沿的路径运动，当点运动到点时，，两点停止运动，过点作，过点作，设点运动的时间为，四边形与重叠的面积为，则与之间的函数关系用图象表示大致是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.  华为手机在网络下能达的理论下载速度为，秒钟内就能下载好的电影，将用科学记数法表示为______．

12.  分解因式：______．

13.  若在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．

14.  如图，直线经过，两点，则不等式的解集为______ ．

15.  一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是______ ．

16.  如图，中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交于点，则的长为______ ；

17.  如图，在平行四边形中，，，点在射线上运动，连接，将沿翻折得到，交射线于，如果是直角三角形，则的长为______ ．

18.  如图，中，，，，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

20.  本小题分
随着移动互联网的迅猛发展，人们购物的支付方式更加多样、便捷某商场想了解顾客支付方式的选择情况，设计了一份问卷进行调查，要求被调查者选择且只选择一种最喜欢的支付方式现将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．

请结合图中所给出的信息，解答下列问题：
扇形统计图中 ______ ，“其他”支付方式所对应的圆心角为______ 度；
补全条形统计图；
若该商场一天内有次支付记录，请你估计选择现金支付的次数；
甲乙两人到商场购物，请用列表或画树状图的方法，求出两人恰好都选择微信支付的概率．

21.  本小题分
某传媒公司计划购买，两种型号的演出服．已知型演出服比型演出服每套多元，且用元购买型演出服的套数与用元购买型演出服的套数相同．
求，两种型号的演出服每套分别是多少元？
该公司计划采购，两种型号的演出服共套，要求所用费用不得少于元，则至少购进型演出服多少套？

22.  本小题分
如图，码头在码头的正西方向海里处，一艘渔船从码头出发，沿北偏西方向航行海里到达处，发现正北方向有一个小岛，已知小岛在码头的西北方向，求码头与小岛的距离结果保留根号

23.  本小题分
超市需购进某种商品，每件的进价为元，该商品的销售单价不低于进价，且不高于元，在销售过程中发现，该商品的日销售量件与销售单价元之间存在如图所示的一次函数关系．
求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
当该商品的销售单价为多少元时，销售这种商品的日销售利润最大？最大利润是多少？

24.  本小题分
如图，四边形是平行四边形，连接，，经过点，交的延长线于点，连接．
求证：为的切线；
若，，求的长．

25.  本小题分
已知中，，，点是线段上的动点点不与点和点重合，点在线段上，线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在上．

如图，若，请直接写出线段和的数量关系；
如图，若与不平行．
请写出线段，，之间的数量关系，并说明理由；
连接，若，，请直接写出线段的长．

26.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点和点，点在第一象限的抛物线上运动，直线交轴于点．

求抛物线的解析式；
如图，连接，，当时，求点的坐标；
如图，若，点在直线上运动，连接，将沿折叠，得到，当与坐标轴平行时，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解： ，是无理数，不合题意；
B. 是正的有理数，符合题意，
C.，是有理数，不是正有理数，不合题意，
D. 是无理数，不合题意，
故选：．
根据实数的分类逐项分析判断即可求解．
本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意．
故选：．
根据合并同类项，幂的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式逐项分析判断即可求解．
本题考查了合并同类项，幂的乘方，单项式乘以单项式，完全平方公式，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：该几何体的俯视图如下：

故选：．
根据三视图的定义画出即可求解．主视图有个正方形在大正方形的左上角，左视图有个正方形在大正方形的右上角，俯视图的是大正方形的左下角有一个小正方形，据此即可求解．
本题考查了判断几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：是的外角，，，
，
，
．
故选：．
由三角形的外角性质可求得，再利用平行线的性质即可求的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，，且，
身高比较整齐的游泳队是丙游泳队，
故选：．
找出方差最小的游泳队即可．
本题考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差的意义：方差越小，数据波动越小，越稳定．
 

7.【答案】 

【解析】解：第个和第个数据分别为，，则中位数为，出现次数最多，则众数为，
故选：．
根据中位数与众数的定义即可求解．中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字或者两个数字的平均值叫做这组数据的中位数．众数：在一组数据中出现次数最多的数．
本题考查了中位数与众数的定义，熟练掌握中位数与众数的定义是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
根据题意，列方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
【解答】
解：设有匹大马，匹小马，根据题意得
，
故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作，分别交，于点，，则四边形是矩形，

是等边三角形，，，
，，
，
，
在反比例函数上，
，
又在第一象限，
，
故选：．
过点作，分别交，于点，，则四边形是矩形，进而根据已知条件得出，即可求解．
本题考查了平行线分线段成比例，反比例函数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，

，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，
是等边三角形，

当点落在上时，如图所示，过点作于点，

，
，
在，中，
，
≌，
，
，
，
，
解得：，
当时，，
当时，如图所示，设，交于点，，交于点，

，
∽，
，
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
综上所述，当时，，抛物线开口向上，当，，抛物线开口向下，
故选：．
根据题意，得出，求得点在上时，，当时，如图所示，设，交于点，，交于点，求得的关系式，根据二次函数图象的性质即可求解．
本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，勾股定理，数形结合是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案是：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：
--提取公因式
．
注意将提取公因式与乘法公式综合应用，将整式提取公因式后再次利用公式分解．
本题考查的是提公因式法与公式法分解因式的综合运用．分解因式时，有公因式的，先提公因式，再考虑运用何种公式法来分解．
 

13.【答案】 

【解析】解：在实数范围内有意义，
，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件得出，即可求解．
本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：直线经过点，
当时，，
关于的不等式的解集为．
故答案为：．
结合函数图象，写出直线在轴上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．运用了数形结合的思想．结合图象解不等式是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由图可知，图中共有块方格地砖，黑色区域的面积正好等于块方格地砖的面积，
则该小球停留在黑色区域的概率是，
故答案为：．
从图中可知，黑色区域的面积正好等于块方格地砖的面积，再利用几何概率公式即可得．
本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作于点，

根据作图可得是的角平分线，
，
设，
又中，，，
，
则是等腰直角三角形，
，
，
即，
解得：，
，
故答案为：．
过点作于点，根据作图可得是的角平分线，则，设，勾股定理得出，根据，建立方程，解方程即可求解．
本题考查了作角平分线，角平分线的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握基本作图以及角平分线的性质是解题的关键．
 

17.【答案】或 

【解析】解：当时，如图所示，过点作于点，则四边形是矩形，

折叠，
，
四边形是正方形，
，
，，
，，，
，
当时，如图所示，

，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的长为：或，
故答案为：或．
依题意分，，两种情况讨论即可求解．
本题考查了含度角的直角三角形的性质，掌握正方形的性质与判定，勾股定理，折叠问题，分类讨论是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
如图所示，将绕点逆时针旋转得到，

，
是等边三角形，
，
过点作于点，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
故答案为：．
将绕点逆时针旋转得到，得出，，是等边三角形，过点作于点，勾股定理解，，即可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式；
，，
原式． 

【解析】根据分式的混合运算化简代数式，然后根据特殊角的三角函数值求得，的值，进而代入化简结果即可求解．
本题考查了分式的化简求值，求特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则以及特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：人，
，
，
“其他”支付方式所对应的圆心角为，
故答案为：，；
补全条形统计图如图，人，人，
补全条形统计图如图所示：

人，
答：估计选择现金支付的次数约为次；
画出树状图如图所示，

由树状图可知，共有种结果，并且每一种结果出现的可能性相同，其中两人恰好都选择微信支付的结果有种，
所以两人恰好都选择微信支付的概率为
根据使用现金的人数除以占比得出总人数，进而根据使用支付宝的人数除以总人数乘以求得的值，根据其他支付方式的人数除以总人数，再乘以，即可求解；
根据总人数减去已知的数据，得出使用微信支付的人数，补全统计图即可求解；
用乘以现金支付的人数的占比即可求解；
画出树状图，进而根据概率公式即可求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，画树状图法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】解：设型演出服每套元，则型演出服每套元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：型演出服每套元，型演出服每套元．
设购进型演出服套，则购进型演出服套，
根据题意得：，
解得：，
又是正整数，
的最小值为．
答：至少购进型演出服套． 

【解析】设型演出服每套元，则型演出服每套元，利用数量总价单价，结合用元购买型演出服的套数与用元购买型演出服的套数相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出型演出服每套的价格，再将其代入中，即可求出型演出服每套的价格；
设购进型演出服套，则购进型演出服套，利用总价单价数量，结合总价不得少于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

22.【答案】解：如图所示，延长交的延长线于点，

由题可知：，，，
，
在中，海里，
海里，
海里，
在中，，
海里，
答：码头与小岛的距离为海里． 

【解析】延长交的延长线于点，分别解，，得出，，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，方位角问题，熟练掌握三角函数的定义以及特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

23.【答案】解：每件的进价为元，该商品的销售单价不低于进价，且不高于元，
；
设，由题意得：，
解得，

设销售这种商品的日销售利润为元，
由题意得，
，
抛物线开口向下
对称轴为，当时，随的增大而增大，
时，．
答：当该商品的销售单价定价为元时，日销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】根据题意，得出函数自变量的取值范围，根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解；
设销售这种商品的日销售利润为元，由题意得，根据二次函数的性质，求得最大值，即可求解．
本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

24.【答案】证明：连接，


四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，，
，
又，
≌，
，
，
，
为的半径，
为的切线；
解：，
，
，
，
，
，
，
，．
．
的长为． 

【解析】连接，根据平行四边形的性质得出，根据半径相等得出，则，根据，得出，则，进而证明≌，即可得证；
根据题意得出，，进而根据弧长公式进行计算即可求解．
本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，解直角三角形，求弧长，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

25.【答案】解：中，，，
，
线段绕点逆时针旋转得到线段，点恰好落在上，
，，则，
是等腰直角三角形，则，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
，
证明：过点作，垂足为点，

，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，，
，
在中，，
，
；
如图所示，过点作于点，

设，则，，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即． 

【解析】根据题意得出，是等腰直角三角形，且，根据勾股定理即可得出结论；
过点作，垂足为点，证明≌得出，，可得，根据，即可求解；
过点作于点，根据的结论，设，则，，，，根据，得出，进而勾股定理得出，即可求解．
本题考查了勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，已知正切求边长，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

26.【答案】解：根据题意，把和点代入，
得，
解得，
抛物线解析式为；
过点作，垂足为点，

，，
，
，
，
过点作轴，交轴于点，
，
，
∽，
，
，
，
，
点的横坐标为，
把代入，
得：，
点；
，，
，则，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为；
依题意设，
如图所示，将沿折叠，得到，

，，，
当轴时，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
，
，
解得：或，
如图所示，当轴时，

，，
，
设直线交轴于点，
沿折叠，
，
，，
即，
解得：或，
综上所述，，，，． 

【解析】把和点代入，待定系数法求解析式即可求解；
过点作，垂足为点，根据已知条件得出，过点作轴，交轴于点，可得∽，进而根据相似三角形的性质得出，进而得出点的横坐标为，代入抛物线解析式即可求解；
根据已知得出直线的解析式为；设，根据当轴时，当轴时，分别画出图形，分类讨论即可求解．
本题考查了二次函数综合运用，待定系数法，面积问题，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．