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2023年广东省揭阳市榕城区中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2023年广东省揭阳市榕城区中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答題，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省揭阳市榕城区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果+60m表示向东走60m，那么﹣80m表示（ ）
A．向东走60m B．向西走60m C．向东走80m D．向西走80m
2．（3分）我国天然林保护修复工程建设开展以来，截至2023年2月3日，天然林面积增加3.23亿亩、蓄积增加53亿立方米．数据“53亿”用科学记数法表示为（ ）
A．5.3×107 B．53×108 C．5.3×108 D．5.3×109
3．（3分）鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁中的一个部件，它的俯视图（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）若有意义，则（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
尺码
39
40
41
42
43
平均每天销售数量（件）
10
12
20
12
12
该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
6．（3分）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，A，B，C为直线与五线谱横线相交的三个点，若AC＝12，则AB的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠BOC＝120°，AB＝4，则AD的长为（ ）
A．8 B． C． D．4
8．（3分）如图，某书店拿取高处书籍的登高梯AC靠书架放置，顶端A恰好放在书架第七层的顶端，已知AC＝3米，∠CAB＝18°，则书架第七层顶端离地面的高度AB为（ ）
A．米 B．3sin18°米 C．米 D．3cos18°米
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若CP＝4，则AD的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（3分）如图，点A是y轴负半轴上一点，点B在反比例函数的图象上，AB交x交于点C，若OA＝OB，∠AOB＝120°，则△AOC的面积为（ ）
A． B． C．6 D．9
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
11．（3分）若m、n是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则m+n的值为 ．
12．（3分）因式分解：x3﹣x＝ ．
13．（3分）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 cm．
14．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交BA、BC边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于PQ为半径画弧，两弧交于点M，连接BM交AC于点E，过点E做ED∥BC交AB于点D，若AB＝5，AE＝3，则△ADE的周长为 ．
15．（3分）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是边AC的中点，连接DQ、PQ，当DQ最短时，PQ的长为 ．
三、解答題（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）计算：．
17．（8分）先化简，再求值：，其中m＝5．
18．（8分）如图，将▱ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，AE＝CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）为庆祝神舟十五号载人飞船发射取得圆满成功，某校举办了航天航空科技体验活动，内容有四项：A．聆听航天科普讲座；B．参加航天梦想营；C．参观航天科技展；D．制作航天火箭模型．每位同学从中随机选择一项参加．
（1）该校小红同学选择“参观航天科技展”的概率是 ；
（2）用列表或画树状图的方法，求该校小明同学和小亮同学同时选择“参加航天梦想营”的概率．
20．（9分）为强化防溺水安全教育，提高学生安全意识和自护自教能力，某校组织了“防溺水”知识竞赛，并购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，奖励给表现优异的班级．已知购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需220元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需380元．
（1）求1副乒乓球拍和1副羽毛球拍的价格；
（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超过2600元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？
21．（9分）已知等边△ABC，其中点D、E是过顶点B的一条直线l上两点．
（1）如图1，∠ADB＝∠CEB＝60°，求证：AD＝BE；
（2）如图2，∠ADB＝∠CEB＝90°，BD＝1，BE＝2，求AD的长．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．（12分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2x﹣3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．直线l：y＝x+m经过A、C两点．
（1）求直线l和抛物线的解析式；
（2）如图2，将位于x轴下方的抛物线沿x轴向上翻折形成“W”图象，将直线l向上平移n个单位得到直线b．当直线b与“W”图象有两个交点时，求n的取值范围．
23．（12分）欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．
如图1，设点P是已知点，圆O是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：
①连接OP，作线段OP的中点A；
②以A为圆心，以AO为半径作圆A，与圆O交于两点Q和R；
③连接PQ、PR，则PQ、PR是圆O的切线．
（1）按照上述作图步骤在图1中补全图形；
（2）为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“PQ、PR是圆O的切线”的过程；
（3）如图2，连接QO并延长交圆O于点B，连接BR，已知BR＝2，，求圆O的半径．
2023年广东省揭阳市榕城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果+60m表示向东走60m，那么﹣80m表示（ ）
A．向东走60m B．向西走60m C．向东走80m D．向西走80m
【分析】正数与负数即意义相反的两个数，+60m表示向东走60m，那么﹣80m则表示向西走80m．
【解答】解：+60m表示向东走60m，那么﹣80m表示向西走80m．
故选：D．
2．（3分）我国天然林保护修复工程建设开展以来，截至2023年2月3日，天然林面积增加3.23亿亩、蓄积增加53亿立方米．数据“53亿”用科学记数法表示为（ ）
A．5.3×107 B．53×108 C．5.3×108 D．5.3×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：53亿＝5300000000＝5.3×109．
故选：D．
3．（3分）鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁中的一个部件，它的俯视图（ ）
A． B．
C． D．
【分析】俯视图即从上往下看，直接选择即可．
【解答】解：的俯视图为．
故选：B．
4．（3分）若有意义，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．
【解答】解：由题意可得，
解得：x≥﹣且x≠1，
故选：B．
5．（3分）某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
尺码
39
40
41
42
43
平均每天销售数量（件）
10
12
20
12
12
该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：A．
6．（3分）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，A，B，C为直线与五线谱横线相交的三个点，若AC＝12，则AB的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】过点A作AD⊥a于D，交b于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：过点A作AD⊥a于D，交b于E，
∵a∥b，
∴，
∵AC＝12，
∴．
故选：A．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠BOC＝120°，AB＝4，则AD的长为（ ）
A．8 B． C． D．4
【分析】先证明△ABO是等边三角形，然后根据60°的直角三角形三边关系直接求解即可．
【解答】解：∵∠BOC＝120°，
∴∠BOA＝60°，
在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，
∴AO＝BO＝OD＝OC，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵AB＝4，
∴BO＝OD＝4，
∴BD＝8，
∴Rt△ABD中，
．
故选：B．
8．（3分）如图，某书店拿取高处书籍的登高梯AC靠书架放置，顶端A恰好放在书架第七层的顶端，已知AC＝3米，∠CAB＝18°，则书架第七层顶端离地面的高度AB为（ ）
A．米 B．3sin18°米 C．米 D．3cos18°米
【分析】在Rt△BAC中利用∠CAB的余弦求解即可．
【解答】解：在Rt△BAC中，∠ABC＝90°，AC＝3米，∠CAB＝18°，
∵，
∴AB＝3cos18°．
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若CP＝4，则AD的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】由题意推出AD＝BD，在Rt△BCD中，，即可求出BD的长，进而可求出AD的长．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝30°，
∴∠DBA＝∠A，
∴AD＝BD．
∵P点是BD的中点，
∴，
∴BD＝2CP＝8，
∴AD＝8．
故选：B．
10．（3分）如图，点A是y轴负半轴上一点，点B在反比例函数的图象上，AB交x交于点C，若OA＝OB，∠AOB＝120°，则△AOC的面积为（ ）
A． B． C．6 D．9
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，设，则根据题意结合图形及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得出，进而得出，再由三角形面积求解即可．
【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，如图所示．
∵k＝9，
设，
则，
∵∠AOB＝120°，∠AOC＝90°，OA＝OB，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣90°＝30°，∠OAC＝30°，
∴，
即，
则，
∴，，
S△AOC＝OA•OC＝××＝6．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
11．（3分）若m、n是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则m+n的值为 3 ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【解答】解：∵m、n是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，
∴m+n＝3，
故答案为：3．
12．（3分）因式分解：x3﹣x＝ x（x+1）（x﹣1） ．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），
故答案为：x（x+1）（x﹣1）
13．（3分）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 16 cm．
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
即水的最大深度为16cm，
故答案为：16．
14．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交BA、BC边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于PQ为半径画弧，两弧交于点M，连接BM交AC于点E，过点E做ED∥BC交AB于点D，若AB＝5，AE＝3，则△ADE的周长为 8 ．
【分析】根据题意得BE平分∠ABC，再根据平行线的性质求解．
【解答】解：由题意得：∠ABE＝∠CSE，
∵ED∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠BED，
∴DE＝BD，
∴AD+DE+AE＝AD+BD+AE＝AB+AE＝5+3＝8，
故答案为：8．
15．（3分）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是边AC的中点，连接DQ、PQ，当DQ最短时，PQ的长为 2 ．
【分析】根据旋转得到全等，然后将DQ最短转化为PR最短，即取垂线段最短，然后构造直角三角形，根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：过Q作QG⊥BC交于G，取AB中点R，连接PR，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，
∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴BP＝CQ，
同理可得△APR≌△AQD（SAS），
∴PR＝DQ，
∴DQ最短时，即PR最短时，
即PR⊥BC时，PR最短，
∵等边△ABC的边长为8，
∴AB＝8，
∴BR＝4，
∴在Rt△RBR中，，
∴BP＝CQ＝2，
∴PC＝8﹣2＝6，
∵∠ACB＝∠ACQ＝60°，
∴∠QCG＝60°，
在Rt△CQG中，CQ＝2，
∴，
∴PG＝6+1＝7，
在Rt△PGQ中，．
故答案为：．
三、解答題（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）计算：．
【分析】根据特殊角三角函数值的混合运算法则直接求解即可．
【解答】解：
＝
＝﹣5．
17．（8分）先化简，再求值：，其中m＝5．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把m的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝﹣，
当m＝5时，原式＝﹣＝﹣．
18．（8分）如图，将▱ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，AE＝CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
【分析】连接BD，与AC交于点O，由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证得OE＝OF，即可得出结论．
【解答】证明：连接BD，与AC交于点O．如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
又∵AE＝CF，
∴OA+AE＝OC+CF，
即OE＝OF．
∴四边形EBFD是平行四边形．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）为庆祝神舟十五号载人飞船发射取得圆满成功，某校举办了航天航空科技体验活动，内容有四项：A．聆听航天科普讲座；B．参加航天梦想营；C．参观航天科技展；D．制作航天火箭模型．每位同学从中随机选择一项参加．
（1）该校小红同学选择“参观航天科技展”的概率是 ；
（2）用列表或画树状图的方法，求该校小明同学和小亮同学同时选择“参加航天梦想营”的概率．
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）根据画树状图法求概率即可求解．
【解答】解：（1）依题意，内容有四项，该校小红同学选择“参观航天科技展”的概率是，
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能结果，其中符合题意的有1种，
∴该校小明同学和小亮同学同时选择“参加航天梦想营”的概率为．
20．（9分）为强化防溺水安全教育，提高学生安全意识和自护自教能力，某校组织了“防溺水”知识竞赛，并购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，奖励给表现优异的班级．已知购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需220元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需380元．
（1）求1副乒乓球拍和1副羽毛球拍的价格；
（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超过2600元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？
【分析】（1）设两个未知数，列出二元一次方程组直接求解即可．
（2）设一个未知数，列出三个不等式组求解集，然后取最大值即可．
【解答】解：（1）设1副乒乓球拍的价格为x，1副羽毛球拍的价格为y，
由题意可得：，解得，
答：1副乒乓球拍的价格为60元，1副羽毛球拍的价格为100元；
（2）设购买m副羽毛球拍，则乒乓球拍买（30﹣m）副，
由题可知：，解得0＜m≤20，
答：最多能够购买20副羽毛球拍．
21．（9分）已知等边△ABC，其中点D、E是过顶点B的一条直线l上两点．
（1）如图1，∠ADB＝∠CEB＝60°，求证：AD＝BE；
（2）如图2，∠ADB＝∠CEB＝90°，BD＝1，BE＝2，求AD的长．
【分析】（1）由等边三角形的性质结合题意易证△CBE≌△BAD（AAS），即得出AD＝BE；
（2）分别作∠AMB＝∠CNB＝60°，且角的顶点落在直线l上．由（1）可知△ABM≌△BCN，即得出AM＝BN，BM＝CN．设EN＝x，则AM＝BN＝2+x．在Rt△ADM中，利用锐角三角函数可求出，，从而可求出．再在Rt△CEN中，利用锐角三角函数可得出，即可列出关于x的等式，解出x的值，即可求出AD的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴∠ABD+∠CBE＝120°，
∵∠ADB＝∠CEB＝60°，
∴∠ABD+∠BAD＝120°，
∴∠CBE＝∠BAD，
∴△CBE≌△BAD（AAS），
∴AD＝BE；
（2）解：如图，分别作∠AMB＝∠CNB＝60°，且角的顶点落在直线l上，
由（1）可知△ABM≌△BCN，
∴AM＝BN，BM＝CN．
设EN＝x，则AM＝BN＝2+x．
在Rt△ADM中，，，
∴．
在Rt△CEN中，，
∴，即，
解得：，
∴．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．（12分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2x﹣3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．直线l：y＝x+m经过A、C两点．
（1）求直线l和抛物线的解析式；
（2）如图2，将位于x轴下方的抛物线沿x轴向上翻折形成“W”图象，将直线l向上平移n个单位得到直线b．当直线b与“W”图象有两个交点时，求n的取值范围．
【分析】（1）先后求出C，A坐标即可求出解析式；
（2）画出平移后l的图象，分析当l在l与l2之间移动时，和在l1上方移动时，直线b与“W”图象有两个交点，分情况讨论，然后直接求解直线解析式即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2x﹣3中，
令x＝0，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵C（0，﹣3）在直线l：y＝x+m上，
∴m＝﹣3，
∴l：y＝x﹣3，
令y＝0，x＝3，
∴A（3，0），
将A（3，0）代入y＝ax2﹣2x﹣3，
∴0＝9a﹣6﹣3，解得a＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
故直线l解析式为y＝x﹣3，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）将直线l移动到如图位置时，直线b与“W”图象有三个交点，
平移后的l：y＝x﹣3+n，
①当l1与翻折后的抛物线只有一个交点时，
翻折后的函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∴，化简得x2﹣x+n﹣6＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4（n﹣6）＝25﹣4n＝0，解得，
②当l2过点B时，
由（1）可知，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），
∴B（﹣1，0），
将B（﹣1，0）代入l：y＝x﹣3+n，
∴0＝﹣1﹣3+n，解得n＝4，
∵直线b与“W”图象有两个交点，
∴或0＜n＜4，
23．（12分）欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．
如图1，设点P是已知点，圆O是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：
①连接OP，作线段OP的中点A；
②以A为圆心，以AO为半径作圆A，与圆O交于两点Q和R；
③连接PQ、PR，则PQ、PR是圆O的切线．
（1）按照上述作图步骤在图1中补全图形；
（2）为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“PQ、PR是圆O的切线”的过程；
（3）如图2，连接QO并延长交圆O于点B，连接BR，已知BR＝2，，求圆O的半径．
【分析】（1）根据题意画图即可；
（2）画圆得到半径相等，然后推论出直角即可证切线；
（3）根据相似得到边的数量关系，列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图，
（2）连接AQ，OQ，AR，OR，
∵AQ＝AP＝AO，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴OQ⊥PQ，
∵OQ是圆O半径，
∴PQ是圆O的切线，
同理可得，PR是圆O的切线；
（3）连接QR交OP于点H，连接OR，
∵PQ、PR是圆O的切线，
∴PQ＝PR，
∵OQ＝OR，
∴PO是线段OR的垂直平分线，
∴HQ＝HR，QR⊥OP，
∵OQ＝OB，BR＝2，
∴，
∵∠PQO＝90°，∠QOP＝∠QOP，
∴△QOH∽△POQ，
∴OQ2＝OH•PO，
设圆O的半径为r，
∴OP＝r2，
在Rt△PQO中，PQ2+OQ2＝OP2，
∴，
解得（负值舍去）．
2023年广东省揭阳市榕城区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果+60m表示向东走60m，那么﹣80m表示（ ）
A．向东走60m B．向西走60m C．向东走80m D．向西走80m
2．（3分）我国天然林保护修复工程建设开展以来，截至2023年2月3日，天然林面积增加3.23亿亩、蓄积增加53亿立方米．数据“53亿”用科学记数法表示为（ ）
A．5.3×107 B．53×108 C．5.3×108 D．5.3×109
3．（3分）鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁中的一个部件，它的俯视图（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）若有意义，则（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
尺码
39
40
41
42
43
平均每天销售数量（件）
10
12
20
12
12
该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
6．（3分）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，A，B，C为直线与五线谱横线相交的三个点，若AC＝12，则AB的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠BOC＝120°，AB＝4，则AD的长为（ ）
A．8 B． C． D．4
8．（3分）如图，某书店拿取高处书籍的登高梯AC靠书架放置，顶端A恰好放在书架第七层的顶端，已知AC＝3米，∠CAB＝18°，则书架第七层顶端离地面的高度AB为（ ）
A．米 B．3sin18°米 C．米 D．3cos18°米
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若CP＝4，则AD的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（3分）如图，点A是y轴负半轴上一点，点B在反比例函数的图象上，AB交x交于点C，若OA＝OB，∠AOB＝120°，则△AOC的面积为（ ）
A． B． C．6 D．9
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
11．（3分）若m、n是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则m+n的值为 ．
12．（3分）因式分解：x3﹣x＝ ．
13．（3分）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 cm．
14．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交BA、BC边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于PQ为半径画弧，两弧交于点M，连接BM交AC于点E，过点E做ED∥BC交AB于点D，若AB＝5，AE＝3，则△ADE的周长为 ．
15．（3分）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是边AC的中点，连接DQ、PQ，当DQ最短时，PQ的长为 ．
三、解答題（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）计算：．
17．（8分）先化简，再求值：，其中m＝5．
18．（8分）如图，将▱ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，AE＝CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）为庆祝神舟十五号载人飞船发射取得圆满成功，某校举办了航天航空科技体验活动，内容有四项：A．聆听航天科普讲座；B．参加航天梦想营；C．参观航天科技展；D．制作航天火箭模型．每位同学从中随机选择一项参加．
（1）该校小红同学选择“参观航天科技展”的概率是 ；
（2）用列表或画树状图的方法，求该校小明同学和小亮同学同时选择“参加航天梦想营”的概率．
20．（9分）为强化防溺水安全教育，提高学生安全意识和自护自教能力，某校组织了“防溺水”知识竞赛，并购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，奖励给表现优异的班级．已知购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需220元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需380元．
（1）求1副乒乓球拍和1副羽毛球拍的价格；
（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超过2600元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？
21．（9分）已知等边△ABC，其中点D、E是过顶点B的一条直线l上两点．
（1）如图1，∠ADB＝∠CEB＝60°，求证：AD＝BE；
（2）如图2，∠ADB＝∠CEB＝90°，BD＝1，BE＝2，求AD的长．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．（12分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2x﹣3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．直线l：y＝x+m经过A、C两点．
（1）求直线l和抛物线的解析式；
（2）如图2，将位于x轴下方的抛物线沿x轴向上翻折形成“W”图象，将直线l向上平移n个单位得到直线b．当直线b与“W”图象有两个交点时，求n的取值范围．
23．（12分）欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．
如图1，设点P是已知点，圆O是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：
①连接OP，作线段OP的中点A；
②以A为圆心，以AO为半径作圆A，与圆O交于两点Q和R；
③连接PQ、PR，则PQ、PR是圆O的切线．
（1）按照上述作图步骤在图1中补全图形；
（2）为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“PQ、PR是圆O的切线”的过程；
（3）如图2，连接QO并延长交圆O于点B，连接BR，已知BR＝2，，求圆O的半径．
2023年广东省揭阳市榕城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）
1．（3分）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果+60m表示向东走60m，那么﹣80m表示（ ）
A．向东走60m B．向西走60m C．向东走80m D．向西走80m
【分析】正数与负数即意义相反的两个数，+60m表示向东走60m，那么﹣80m则表示向西走80m．
【解答】解：+60m表示向东走60m，那么﹣80m表示向西走80m．
故选：D．
2．（3分）我国天然林保护修复工程建设开展以来，截至2023年2月3日，天然林面积增加3.23亿亩、蓄积增加53亿立方米．数据“53亿”用科学记数法表示为（ ）
A．5.3×107 B．53×108 C．5.3×108 D．5.3×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：53亿＝5300000000＝5.3×109．
故选：D．
3．（3分）鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构．如图是鲁班锁中的一个部件，它的俯视图（ ）
A． B．
C． D．
【分析】俯视图即从上往下看，直接选择即可．
【解答】解：的俯视图为．
故选：B．
4．（3分）若有意义，则（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．
【解答】解：由题意可得，
解得：x≥﹣且x≠1，
故选：B．
5．（3分）某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：
尺码
39
40
41
42
43
平均每天销售数量（件）
10
12
20
12
12
该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数
【分析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差、标准差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数．
【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：A．
6．（3分）五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐，如图，A，B，C为直线与五线谱横线相交的三个点，若AC＝12，则AB的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】过点A作AD⊥a于D，交b于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：过点A作AD⊥a于D，交b于E，
∵a∥b，
∴，
∵AC＝12，
∴．
故选：A．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若∠BOC＝120°，AB＝4，则AD的长为（ ）
A．8 B． C． D．4
【分析】先证明△ABO是等边三角形，然后根据60°的直角三角形三边关系直接求解即可．
【解答】解：∵∠BOC＝120°，
∴∠BOA＝60°，
在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，
∴AO＝BO＝OD＝OC，
∴△ABO是等边三角形，
∴∠ABD＝60°，
∵AB＝4，
∴BO＝OD＝4，
∴BD＝8，
∴Rt△ABD中，
．
故选：B．
8．（3分）如图，某书店拿取高处书籍的登高梯AC靠书架放置，顶端A恰好放在书架第七层的顶端，已知AC＝3米，∠CAB＝18°，则书架第七层顶端离地面的高度AB为（ ）
A．米 B．3sin18°米 C．米 D．3cos18°米
【分析】在Rt△BAC中利用∠CAB的余弦求解即可．
【解答】解：在Rt△BAC中，∠ABC＝90°，AC＝3米，∠CAB＝18°，
∵，
∴AB＝3cos18°．
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若CP＝4，则AD的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】由题意推出AD＝BD，在Rt△BCD中，，即可求出BD的长，进而可求出AD的长．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBA＝30°，
∴∠DBA＝∠A，
∴AD＝BD．
∵P点是BD的中点，
∴，
∴BD＝2CP＝8，
∴AD＝8．
故选：B．
10．（3分）如图，点A是y轴负半轴上一点，点B在反比例函数的图象上，AB交x交于点C，若OA＝OB，∠AOB＝120°，则△AOC的面积为（ ）
A． B． C．6 D．9
【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，设，则根据题意结合图形及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得出，进而得出，再由三角形面积求解即可．
【解答】解：过点B作BD⊥x轴于点D，如图所示．
∵k＝9，
设，
则，
∵∠AOB＝120°，∠AOC＝90°，OA＝OB，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOC＝120°﹣90°＝30°，∠OAC＝30°，
∴，
即，
则，
∴，，
S△AOC＝OA•OC＝××＝6．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分）
11．（3分）若m、n是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，则m+n的值为 3 ．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解．
【解答】解：∵m、n是方程x2﹣3x﹣2＝0的两个实数根，
∴m+n＝3，
故答案为：3．
12．（3分）因式分解：x3﹣x＝ x（x+1）（x﹣1） ．
【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝x（x2﹣1）＝x（x+1）（x﹣1），
故答案为：x（x+1）（x﹣1）
13．（3分）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为 16 cm．
【分析】连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【解答】解：连接OB，过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，如图所示：
∵AB＝48cm，
∴BD＝AB＝×48＝24（cm），
∵⊙O的直径为52cm，
∴OB＝OC＝26cm，
在Rt△OBD中，OD＝＝＝10（cm），
∴CD＝OC﹣OD＝26﹣10＝16（cm），
即水的最大深度为16cm，
故答案为：16．
14．（3分）如图，在△ABC中，以点B为圆心，适当的长度为半径画弧分别交BA、BC边于点P、Q，再分别以点P、Q为圆心，以大于PQ为半径画弧，两弧交于点M，连接BM交AC于点E，过点E做ED∥BC交AB于点D，若AB＝5，AE＝3，则△ADE的周长为 8 ．
【分析】根据题意得BE平分∠ABC，再根据平行线的性质求解．
【解答】解：由题意得：∠ABE＝∠CSE，
∵ED∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠BED，
∴DE＝BD，
∴AD+DE+AE＝AD+BD+AE＝AB+AE＝5+3＝8，
故答案为：8．
15．（3分）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是边AC的中点，连接DQ、PQ，当DQ最短时，PQ的长为 2 ．
【分析】根据旋转得到全等，然后将DQ最短转化为PR最短，即取垂线段最短，然后构造直角三角形，根据勾股定理列方程求解即可．
【解答】解：过Q作QG⊥BC交于G，取AB中点R，连接PR，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，
∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°，
∴∠BAP＝∠CAQ，
∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴BP＝CQ，
同理可得△APR≌△AQD（SAS），
∴PR＝DQ，
∴DQ最短时，即PR最短时，
即PR⊥BC时，PR最短，
∵等边△ABC的边长为8，
∴AB＝8，
∴BR＝4，
∴在Rt△RBR中，，
∴BP＝CQ＝2，
∴PC＝8﹣2＝6，
∵∠ACB＝∠ACQ＝60°，
∴∠QCG＝60°，
在Rt△CQG中，CQ＝2，
∴，
∴PG＝6+1＝7，
在Rt△PGQ中，．
故答案为：．
三、解答題（一）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
16．（8分）计算：．
【分析】根据特殊角三角函数值的混合运算法则直接求解即可．
【解答】解：
＝
＝﹣5．
17．（8分）先化简，再求值：，其中m＝5．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把m的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝﹣，
当m＝5时，原式＝﹣＝﹣．
18．（8分）如图，将▱ABCD的对角线AC向两个方向延长，分别至点E和点F，AE＝CF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
【分析】连接BD，与AC交于点O，由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证得OE＝OF，即可得出结论．
【解答】证明：连接BD，与AC交于点O．如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
又∵AE＝CF，
∴OA+AE＝OC+CF，
即OE＝OF．
∴四边形EBFD是平行四边形．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）为庆祝神舟十五号载人飞船发射取得圆满成功，某校举办了航天航空科技体验活动，内容有四项：A．聆听航天科普讲座；B．参加航天梦想营；C．参观航天科技展；D．制作航天火箭模型．每位同学从中随机选择一项参加．
（1）该校小红同学选择“参观航天科技展”的概率是 ；
（2）用列表或画树状图的方法，求该校小明同学和小亮同学同时选择“参加航天梦想营”的概率．
【分析】（1）根据概率公式直接求解即可；
（2）根据画树状图法求概率即可求解．
【解答】解：（1）依题意，内容有四项，该校小红同学选择“参观航天科技展”的概率是，
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能结果，其中符合题意的有1种，
∴该校小明同学和小亮同学同时选择“参加航天梦想营”的概率为．
20．（9分）为强化防溺水安全教育，提高学生安全意识和自护自教能力，某校组织了“防溺水”知识竞赛，并购买了若干副乒乓球拍和羽毛球拍，奖励给表现优异的班级．已知购买2副乒乓球拍和1副羽毛球拍共需220元；购买3副乒乓球拍和2副羽毛球拍共需380元．
（1）求1副乒乓球拍和1副羽毛球拍的价格；
（2）若学校购买乒乓球拍和羽毛球拍共30副，且支出不超过2600元，则最多能够购买多少副羽毛球拍？
【分析】（1）设两个未知数，列出二元一次方程组直接求解即可．
（2）设一个未知数，列出三个不等式组求解集，然后取最大值即可．
【解答】解：（1）设1副乒乓球拍的价格为x，1副羽毛球拍的价格为y，
由题意可得：，解得，
答：1副乒乓球拍的价格为60元，1副羽毛球拍的价格为100元；
（2）设购买m副羽毛球拍，则乒乓球拍买（30﹣m）副，
由题可知：，解得0＜m≤20，
答：最多能够购买20副羽毛球拍．
21．（9分）已知等边△ABC，其中点D、E是过顶点B的一条直线l上两点．
（1）如图1，∠ADB＝∠CEB＝60°，求证：AD＝BE；
（2）如图2，∠ADB＝∠CEB＝90°，BD＝1，BE＝2，求AD的长．
【分析】（1）由等边三角形的性质结合题意易证△CBE≌△BAD（AAS），即得出AD＝BE；
（2）分别作∠AMB＝∠CNB＝60°，且角的顶点落在直线l上．由（1）可知△ABM≌△BCN，即得出AM＝BN，BM＝CN．设EN＝x，则AM＝BN＝2+x．在Rt△ADM中，利用锐角三角函数可求出，，从而可求出．再在Rt△CEN中，利用锐角三角函数可得出，即可列出关于x的等式，解出x的值，即可求出AD的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴∠ABD+∠CBE＝120°，
∵∠ADB＝∠CEB＝60°，
∴∠ABD+∠BAD＝120°，
∴∠CBE＝∠BAD，
∴△CBE≌△BAD（AAS），
∴AD＝BE；
（2）解：如图，分别作∠AMB＝∠CNB＝60°，且角的顶点落在直线l上，
由（1）可知△ABM≌△BCN，
∴AM＝BN，BM＝CN．
设EN＝x，则AM＝BN＝2+x．
在Rt△ADM中，，，
∴．
在Rt△CEN中，，
∴，即，
解得：，
∴．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22．（12分）如图1，抛物线y＝ax2﹣2x﹣3与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C．直线l：y＝x+m经过A、C两点．
（1）求直线l和抛物线的解析式；
（2）如图2，将位于x轴下方的抛物线沿x轴向上翻折形成“W”图象，将直线l向上平移n个单位得到直线b．当直线b与“W”图象有两个交点时，求n的取值范围．
【分析】（1）先后求出C，A坐标即可求出解析式；
（2）画出平移后l的图象，分析当l在l与l2之间移动时，和在l1上方移动时，直线b与“W”图象有两个交点，分情况讨论，然后直接求解直线解析式即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2x﹣3中，
令x＝0，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∵C（0，﹣3）在直线l：y＝x+m上，
∴m＝﹣3，
∴l：y＝x﹣3，
令y＝0，x＝3，
∴A（3，0），
将A（3，0）代入y＝ax2﹣2x﹣3，
∴0＝9a﹣6﹣3，解得a＝1，
∴y＝x2﹣2x﹣3，
故直线l解析式为y＝x﹣3，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（2）将直线l移动到如图位置时，直线b与“W”图象有三个交点，
平移后的l：y＝x﹣3+n，
①当l1与翻折后的抛物线只有一个交点时，
翻折后的函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∴，化简得x2﹣x+n﹣6＝0，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4（n﹣6）＝25﹣4n＝0，解得，
②当l2过点B时，
由（1）可知，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），
∴B（﹣1，0），
将B（﹣1，0）代入l：y＝x﹣3+n，
∴0＝﹣1﹣3+n，解得n＝4，
∵直线b与“W”图象有两个交点，
∴或0＜n＜4，
23．（12分）欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．
如图1，设点P是已知点，圆O是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：
①连接OP，作线段OP的中点A；
②以A为圆心，以AO为半径作圆A，与圆O交于两点Q和R；
③连接PQ、PR，则PQ、PR是圆O的切线．
（1）按照上述作图步骤在图1中补全图形；
（2）为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“PQ、PR是圆O的切线”的过程；
（3）如图2，连接QO并延长交圆O于点B，连接BR，已知BR＝2，，求圆O的半径．
【分析】（1）根据题意画图即可；
（2）画圆得到半径相等，然后推论出直角即可证切线；
（3）根据相似得到边的数量关系，列方程求解即可．
【解答】解：（1）如图，
（2）连接AQ，OQ，AR，OR，
∵AQ＝AP＝AO，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
∴∠2+∠3＝90°，
∴OQ⊥PQ，
∵OQ是圆O半径，
∴PQ是圆O的切线，
同理可得，PR是圆O的切线；
（3）连接QR交OP于点H，连接OR，
∵PQ、PR是圆O的切线，
∴PQ＝PR，
∵OQ＝OR，
∴PO是线段OR的垂直平分线，
∴HQ＝HR，QR⊥OP，
∵OQ＝OB，BR＝2，
∴，
∵∠PQO＝90°，∠QOP＝∠QOP，
∴△QOH∽△POQ，
∴OQ2＝OH•PO，
设圆O的半径为r，
∴OP＝r2，
在Rt△PQO中，PQ2+OQ2＝OP2，
∴，
解得（负值舍去）．
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