2023年福建省厦门十一中中考数学二模试卷(含解析）

2023年福建省厦门十一中中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  实数的相反数是，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列立体图形中，俯视图是正方形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  流感病毒的直径大约为米，它的直径用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列说法中，正确的是(    )

A. 为检测我市正在销售的酸奶质量，应该采用普查的方式
B. 若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较大的同学数学成绩更稳定
C. 抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为奇数的概率是
D. “打开电视，正在播放广告”是必然事件

6.  如图，数轴上、两点所表示的数分别是和，点是线段的中点，则点所表示的数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，正方形与正方形是位似图形，为位似中心，两个正方形的面积之比为：，点的坐标为，则点的坐标为(    )
 

A.
B.
C.
D.

8.  中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在孙子算经中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘车，若每车乘坐人，则辆车无人乘坐；若每车乘坐人，则人无车可乘，问共有多少辆车，多少人，设共有辆车，人，则可列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，为直径，，、为圆上两个动点，为中点，于，当、在圆上运动时保持，则的长(    )

A. 随、的运动位置而变化，且最大值为
B. 随、的运动位置而变化，且最小值为
C. 随、的运动位置长度保持不变，等于
D. 随、的运动位置而变化，没有最值
 

10.  平面直角坐标系中，抛物线与直线上有三个不同的点，，，如果，那么和的关系是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  计算： ______ ．

12.  某十字路口的交通信号灯，红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮秒．当你抬头看信号灯时，是红灯的概率为______．

13.  一副三角板如图方式摆放，点在直线上，且，则______度．

14.  如图，在正方形的网格中建立平面直角坐标系，若、两点的坐标分别是，，则点的坐标为______ ．

15.  如图，是正八边形的外接圆，的半径是，则下列四个结论中正确的是______．
的长为；；为等边三角形；．

16.  如图，已知反比例函数与正比例函数的图象，点，点与点均在反比例函数的图象上，点在直线上，四边形是平行四边形，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组：．

18.  本小题分
如图，、分别为正方形的边、中点求证：．

19.  本小题分
先化简，再求值，其中．

20.  本小题分
已知：．
求作：菱形，使菱形的顶点落在边上；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
在的前提下，若，，，求菱形的周长．

21.  本小题分
如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画，与边相切于点，连接，平分．
求证：是的切线；
若，，求的半径．

22.  本小题分
为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源租赁汽车”每次租车收费的标准由两部分组成：里程计费：元公里；时间计费：元分已知陈先生的家离上班公司公里，每天上、下班租用该款汽车各一次一次路上开车所用的时间记为分，现统计了次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如表所示：

将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为．
估计陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于分钟的概率；
若公司每月发放元的交通补助费用，请估计是否足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车每月按天计算，并说明理由同一时段，用该区间的中点值作代表

23.  本小题分
市计划对本市万人接种新冠疫苗，在前期完成万人接种后，又花了天时间接种了剩下的万人．在这天中，该市的接种时间和接种人数的关系如图所示，已知这天中该市前天每天接种人数是天后每天接种人数的倍．
求的值；
这天中，市的接种人数万人与接种天数天的关系为，求第几天接种完成后，，两市接种人数恰好相同？

24.  本小题分
如图，、均为等边三角形，，将绕点沿顺时针方向旋转，连接、．
在图中证明≌；
如图，当时，连接，求的面积；
在的旋转过程中，直接写出的面积的取值范围．

25.  本小题分
已知抛物线与轴只有一个公共点且经过点
求抛物线的函数解析式；
直线：与抛物线交于，两点点在点的左侧，与对称轴相交于点，且，分布在对称轴的两侧若点到抛物线对称轴的距离为，且．
试探求与的数量关系；
求线段的最大值，以及当取得最大值时对应的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：实数的相反数是，则．
故选：．
直接利用相反数的定义分析得出答案．
此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
俯视图是从物体上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
【解答】
解：、圆柱的俯视图是圆，故此选项错误；
B、正方体的俯视图是正方形，故此选项正确；
C、三棱锥的俯视图是三角形，故此选项错误；
D、圆锥的俯视图是圆，故此选项错误；
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数，当原数绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故本选项符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
先根据合并同类项法则，同底数幂的乘法和幂的乘方与积的乘方进行计算，再判断即可．
本题考查了合并同类项法则，同底数幂的乘法和幂的乘方与积的乘方等知识点，能熟记合并同类项法则、同底数幂的乘法和幂的乘方与积的乘方法则是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、为检测我市正在销售的酸奶质量，此调查具有破坏性，应该采用抽查的方式，此选项错误；
B、若两名同学连续五次数学测试的平均分相同，则方差较小的同学数学成绩更稳定，此选项错误；
C、抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为奇数的概率是，此选项正确；
D、“打开电视，正在播放广告”是随机事件，此选项错误；
故选：．
根据调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，再根据随机事件定义和概率公式分别分析即可．
本题考查的是调查方法的选择以及方差的意义和概率求法、随机事件等知识；熟练掌握区分这些知识是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：数轴上，两点所表示的数分别是和，
线段的中点所表示的数．
即点所表示的数是．
故选：．
根据、两点所表示的数分别为和，利用中点公式求出线段的中点所表示的数即可．
本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
根据相似多边形的性质得到两个正方形的相似比为，根据正方形的性质求出点的坐标，根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似多边形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
【解答】
解：正方形与正方形是位似图形，
正方形∽正方形，
两个正方形的面积之比为：，
两个正方形的相似比为：，
点的坐标为，四边形为正方形，
点的坐标为，
正方形与正方形是位似图形，为位似中心，
点的坐标为，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：根据题意可得：
，
故选：．
根据每车乘坐人，则辆车无人乘坐；若每车乘坐人，则人无车可乘，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解；连接：、、．

是的中点，
，．
又，
．
、、、四点共圆．
．
．
又，
为等边三角形．
．
故选：．
连接、、，由垂径定理可知，，然后由，可证明、、、四点共圆，从而可得到，于是可证明为等边三角形，从而得到．
本题主要考查的是轨迹问题，发现、、、四点共圆，从而证得为等边三角形是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
对称轴为直线，
如图，在抛物线上的两点和，关于直线对称，则点在反直线上，
，
，
，
，
，
，
故选：．
根据题意设在抛物线上的两点和，纵坐标相同，则关于对称轴对称，即可求得，则，代入解析式，即可求得．
本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
先用零指数幂和负整数指数幂化简，最后合并即可得出结论．
此题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，熟记是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：某十字路口的交通信号灯，红灯亮秒，绿灯亮秒，黄灯亮秒，
当你抬头看信号灯时，是红灯的概率为，
故答案为：．
直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：由三角板的特点得出，
，
．
故答案为：．
直接利用平行线的性质结合三角板的性质分析得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，正确得出度数是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：由，可知原点的位置，
建立平面直角坐标系，如图，

．
故答案为．
根据、点坐标即可建立平面直角坐标．
本题考查平面直角坐标系，解题的关键是建立直角坐标系，本题属于基础题型．
 

15.【答案】，， 

【解析】解：，
，
弧的长为，
正确；
，，
，
，
即，
正确；
，
错误；
，
，
，
，
正确；
故答案为：．
先求出正八边形的中心角，得到，即可求出弧的长正确错误；由勾股定理求得可得正确；由，可得错误；由于，可得，于是得到正确．
本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握正多边形的中心角和边数的关系是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：反比例函数过点，
，
反比例函数解析式为：，
点在反比例函数的图象上，
，
解得：，
，
点在直线上，
设点坐标为：，
点，，
点向下平移个单位，再向右平移个单位，即可得到点，
四边形是平行四边形，
点向下平移个单位，再向右平移个单位，即可得到点，
点在反比例函数的图象上，
，
解得：负数不合题意，
故B点坐标为：
利用反比例函数图象上点的坐标性质得出点坐标，再利用平行四边形的性质假设出点坐标，进而表示出点坐标，即可代入反比例函数解析式得出答案．
此题主要考查了反比例函数综合以及平行四边形的性质、平移的性质等知识，根据题意表示出点坐标是解题关键．
 

17.【答案】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】证明：正方形，
，，
、分别为边、中点，
，，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】证明、所在的和全等即可．
本题考查正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是证明≌．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，
原式． 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

20.【答案】解：如图，菱形即为所求作；

由得四边形是菱形，
，
设 ，则，
在中，根据勾股定理得，
，
解得，
，
菱形的周长是． 

【解析】作的垂直平分线交于，然后以点为圆心，为半径画弧交的垂直平分线于，则四边形满足条件；
根据菱形的性质得到，设 ，则，利用勾股定理得到，解方程得到菱形的边长，从而得到菱形的周长．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质．
 

21.【答案】证明：过点作于点，

则，
与边相切于点，
，即，
平分，
，
，，，
≌，
，
是半径，
是半径，
又，
是的切线；
解：在中，，
，
设，，
，
，
解得，舍去，
，，
由得≌，
，
，
，
设的半径为，则，
在中，，
，
，
解得．
所以的半径为． 

【解析】连接，由切线的性质可得，由“”可证≌，可得，由切线的判定可得结论；
由锐角三角函数可设，，由勾股定理可求，再由勾股定理可求解．
本题是考查了切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理，熟记切线的判定定理及锐角三角函数是解本题的关键．
 

22.【答案】解：由题意可得，
，
即陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于分钟的概率是；
公司每月发放元的交通补助费用，足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车，
理由：由题意可得，
陈先生一个月的租车费用为：元，
，
公司每月发放元的交通补助费用，足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车． 

【解析】根据题意和表格中的数据，可以计算出陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于分钟的概率；
根据表格中的数据，可以计算出陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车的费用，然后与比较大小，即可解答本题．
本题考查利用频率估计概率、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答．
 

23.【答案】解：依题意得：，
解得，
经检验是原方程的根且符合题意，
的值为；
设市接种人数与时间的函数关系式为，
当时，代入，得：，
解得：，
，
当，两市接种人数恰好相同时，，
解得 舍去，舍去，
前天不会出现，两市接种人数恰好相同的情况；
当时，代入，代入，
得：，
解得：，
，
当，两市接种人数恰好相同时，，
解得：舍去，，
答：第天接种完成后，，两市接种人数恰好相同． 

【解析】根据“这天中该市前天每天接种人数是天后每天接种人数的倍“列出关于的分式方程，解方程并检验即可；
由待定系数法求得当时和时市接种人数的函数关系式，结合可得关于的一元二次方程，解方程并根据的取值范围作出取舍即可．
本题考查了分式方程、一次函数、二次函数及一元二次方程在实际问题中的应用，数形结合、理清题中的数量关系是解题的关键．
 

24.【答案】证明：和是等边三角形，
，，，
，
在和中，，
≌；

解：如图，
连接，同的方法得，≌，
，
，
，
过点作于，过点作，交的延长线于，则，
在等边中，，
，，
，
在中，根据勾股定理得，，
在中，，，
，
，
；

过作于，
是等边三角形，
，
，
如图，
当与在同一条直线上，且点在的外部时，的面积最大，
，
如图，
当与在同一条直线上，且点在的内部时，的面积最小，
，
综上所述，的面积的取值范围为． 

【解析】先判断出，即可得出结论；
先判断出，进而得出，再用含角的直角三角形的性质和勾股定理求出，，最后用三角形的面积公式即可得出结论．
过作于，根据等边三角形的性质得到，根据勾股定理得到，如图，当与在同一条直线上，且点在的外部时，的面积最大，如图，当与在同一条直线上，且点在的内部时，的面积最小，根据三角形的面积公式即可得到结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了性质的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形的面积公式，判断出是解本题的关键．
 

25.【答案】解：抛物线与轴只有一个公共点，
为抛物线顶点，
设抛物线的解析式为，将点代入得：，
解得：，
抛物线的函数解析式为；

设直线：与轴交于点，与轴交于点，过点，分别作轴，轴的垂线，交于点，设与抛物线的对称轴交于点，如图：

令，
解得：，
，
直线：与轴交于点，
，
，
在中，，
，
点到抛物线对称轴的距离为，
，
，，
：：，
，，
，．
点，在抛物线上，
，，
，
，
，
则在中，，
，
化简得：；

，且，
，
在中，



，
令，由于，
，
，
当时，随的增大而减小，
当，即时，取得最大值，此时，
当时，，则，
将点坐标代入，得．
线段的最大值为，此时对应的值为． 

【解析】由题意可知抛物线的顶点坐标，故设抛物线的解析式为，将点代入，解得的值，则可得抛物线的函数解析式；
设直线：与轴交于点，与轴交于点，过点，分别作轴，轴的垂线，交于点，设与抛物线的对称轴交于点，根据题意画出图形，在中，由，可得；由，，可得比例式，将和用和表示出来，再结合点，在抛物线上及在中，，可求得答案；
在中，利用三角函数将用表示出来，再根据随的变化规律可得答案．
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、直线与坐标轴的交点、解直角三角形等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．