五年级上册秋季奥数培优讲义——质数合数学生及教师版

第4讲  质数和合数

【学习目标】

1、掌握质数特点及判断方法；

2、熟记100以内的质数；

3、掌握合数中的分解质因数。

【知识梳理】

1、质数、合数定义:

（1）一个数除了1和它本身，不再有别的因数，这个数叫做质数(也叫做素数)；

（2）一个数除了1和它本身，还有别的因数，这个数叫做合数。

2、100以内的质数一共25个，分为五类记忆：  

（1）第一类：10以内的质数，共4个：2、3、5、7； 

（2）第二类：个位数字是1，共5个：11、31、41、61、71；  

（3）第三类：个位数字是3，共6个：13、23、43、53、73、83；    

（4）第四类：个位数字是7，共5个：17、37、47、67、97；    

（5）第五类：个位数字是9，共5个：19、29、59、79、89。

3、注意：

（1）除2以外，其他质数全都是奇数；

（2）质数个位数字只能是1，3，7或9；

4、判断149是否为质数：

（1）完全平方数169比144略大，169=13×13；

（2）13以内的所有质数: 2、3、5、7、11；

（3）用这些质数试除149，不能整除，所以149是质数。

5、分解质因数：

（1）将一个数写成质因数相乘的形式，如：45=3×3×5；

（2）方法：短除法。

【典例精析】

【例1】你能判断出277，493是质数还是合数吗？

      277是质数；493有因数17，是合数。

【趁热打铁-1】200到220之间有唯一的质数，它是   211  。

【例2】两个质数的和是39，这两个质数的差是多少？

           39=37+2

           37-2=35

【趁热打铁-2】三个质数的和是38，求这三个质数的乘积最大值。

            38=2+17+19

           2×17×19=646

【例3】已知a、b、c是三个质数，且a＜b＜c，a+b×c=93，求a、b、c。

                     2+7×13=93

                    a=2，b=7，c=13

【趁热打铁-3】p、q都是质数，5p+7q=29，那么等于多少？

           p=3,q=2

           3²+2³-3+2=16

【例4】有两个一位质数A和B，巧合的是，两位数和也是质数，那么A+B=__10__。

         A=3,B=7

         A+B=10

【趁热打铁-4】三位数是质数，a、b、c也是质数，是偶数，是5的倍数，求三位数。

           a=2,b=5,c=7

          =257

【例5】三个连续自然数的乘积等于39270，那么这三个连续自然数的和等于多少？   

         39270=2×3×5×7×11×17=33×34×35

33+34+35=102

【趁热打铁-5】有4名同学参加夏令营，他们的年恰好一个比一个大1岁。且知他们年龄的乘积是17160，你知道他们分别是多少岁吗？

         17160=2×2×2×3×5×11×13=10×11×12×13

【例6】4811除以一个三位数，余数是23。这个三位数最小是多少？

         4811-23=4788=2×2×3×3×7×19=114×42

         ∴最小三位数是114。

【趁热打铁-6】5100除以一个三位数，余数是95。这个三位数最大是多少？

              5100-95=5005=715×7

             ∴最大的三位数是715.

【例7】把7、14、20、21、28、30这六个数分成两组，每组三个数相乘，使它们的积相等，应如何分？

           7×28×30=14×20×21

【趁热打铁-7】将21，30，65，126，143，169，275分成两组，使两组数的积相等。

                21×30×65×143=126×169×275

【例8】在1×2×3×4×5×…×200的末尾，连续有多少个零？

          200÷5=40

200÷25=8

200÷125=1……75

          40+8+1=49(个）

【趁热打铁-8】1×2×3×4×…×2020积的末尾一共有多少个零？

        2020÷5=404

2020÷25=80……20

2020÷125=16……20

2020÷625=3……145

404+80+16+3=503(个）

【例9】已知1176×a＝b4，a、b是自然数，求a的最小值。  

1176=2×2×2×3×7×7

∴a=2×3×3×3×7×7=2646

【趁热打铁-9】84×300×365×( 50 ），要使这个连乘积的最后五个数字都是0，在括号里最小应填什么数？

【例10】将1﹣9九个数字填入下列九个“○”中，使等式成立．

○○○×○○=○○×○○=5568。

          192×29=87×64=5568

【趁热打铁-10】已知，其中A、B、C、各代表0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的一个数字，要使等式成立，则三位数= 137  。

       ∴A=1,B=3,C=7

【例11】分子与分母的和是2013的最简真分数有____个。

        2013=3×11×61

分子最大1006:

1006÷3≈335         1006÷11≈91

1006÷61≈16         1006÷33≈30

1006÷183≈5         1006÷671≈1

       1006-335-91-16+30+5+1=600

【趁热打铁-11】已知都是最简真分数，并且他们的乘积是，则x+y+z=__21__。

              9=3×3，15=3×5，14=2×7

9×15×14÷6=3×3×5×7

∴x=5，y=7，z=9

x+y+8=5+7+9=21

【过关精炼】

1、王老师家的电话号码是个7位数，从高到低依次排列为：最小的合数、最小的质数、3的最小倍数、最大的一位数、既不是质数也不是合数的非0自然数、最小的奇数、8的最大因数.王老师家的电话号码是多少？

      4239118

2、边长是正整数，面积是231平方米的形状不同的长方形有多少种？

           231=1×231,231=3×77,231=7×33,231=11×21

         ∴有4种。

3、若质数m,n满足3m+5n=151,则m+n的值  31或49  。

        m=2,n=29或m=47,n=2

4、三个连续偶数的乘积是960，这三个数的和是 30  。

        960=8×10×12

        8+10+12=30

5、在数学竞赛中取得前四名的方方、园园、宝宝、贝贝年龄依次是相差1岁，而且他们年龄的乘积是 11880，则他们的年龄分别是__9___、___10__、_11__、__12_．

      11880=9×10×11×12

6、三个质数的最小公倍数是182，其中最大的质数__13___。

     182=2×7×13

7、在下面的四个□内，各填入一个不同的偶数数字，使等式成立。

□□×□□=1248

      1248=26×48

8、将40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平均分成两组，使两组四个数的乘积相等。

     40×99×65×63=44×78×45×105

9、6×16×24×5×15×25×125结果的末尾有 7  个连续的零。

10、已知一个三位数与一个质数的乘积是2016，则这个质数是__7___．

          2016=288×7

11、一个两位数除310余37,这个数可以是 39 或  91  。

        310-37=273=3×91=7×39

12、如果把若干个连续的自然数1，2，3…相乘，所得乘积的最末13位恰好都是零，那么最后出现的自然数最大应该是___59__。

13、从20以内的质数中选出6个数，写在一个正方体的六个面上，使两个相对面的和相等，所选的6个数是多少？

      5、7、11、13、17、19

14、王老师带领全班同学去植树，学生恰好分成4组，如果王老师和每个学生植树一样多，那么他们一共植了539棵。这个班有多少名学生？每人植树多少棵？

①539=7×7×11=7×(76+1)，76÷4=19(人）

②539=7×7×11=(48+1)×11，48÷4=12(人）

∴当这个班有76个学生时，每人植树7棵；当这个班有48个学生时，每人植树11棵。