吉林省长春市2023年九年级二模数学综合模拟试卷（含答案）

这是一份吉林省长春市2023年九年级二模数学综合模拟试卷（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

九年级数学综合模拟试卷
考试时间：120分钟 试卷分值：120分
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 如图是由六个棱长为1的小正方体搭成的几何体，其俯视图的面积为
A．3 B．4 C．5 D．6
2. 据初步统计，截至2023年1月21日，《2023年春节联欢晚会》推出的竖屏看春晚累计观看规模约达179000000人，将数字179000000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3. 如图，数轴上点A表示的有理数为a，下列各数中在0，1之间的是
A．a B．﹣a C．|a|﹣1 D．a+1
4. 下列各式中，错误的是
A． B． （第3题）
C． D．
5. 如图，在离铁塔100米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为，测倾仪高为1.4米，则铁塔的高为
A．米 B．米
C．米 D．米
6. 如图，是⊙的直径，，，，则⊙的半径为
A． B． C． D．

（第1题） （第5题） （第6题）
7. 在△中，，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是
A．B． C． D．
8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点D（-2，3），AD=5，若反比例函数 （k＞0，x＞0）的图象经过点B，则k的值为
A．
B． 8
C． 10
D． （第8题）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9. 分解因式：2a2﹣8ab+8b2＝ ．
10. 若则 ．
11. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中方程术是重要的数学成就.书中有一个方程问题：今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇、行酒各得几何？意思是：今有美酒一斗，价格是50钱；普通酒一斗，价格是10钱.现在买两种酒2斗共付30钱，问买美酒、普通酒各多少？设买美酒x斗，买普通酒y斗，则可列方程组为 .
12. 如图，已知AB是⊙O的直径，AB=2，C、D是圆周上的点，且∠CDB=30°，则BC的长为 .
13. 如图，正方形的四个顶点分别在扇形的半径，和上，且点是线段的中点，若的长为，则长为 ．
14. 如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为 ．

（第12题） （第13题） （第14题）
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15. （6分）先化简，再求值：，其中a =－1，b = 2．



16. （6分）小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排，志愿者被随机分到A组(体温检测)、B组(便民代购)、C组(环境消杀)．
(1) 小红的爸爸被分到B组的概率是 ；
(2) 某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？(请用画树状图或列表的方法写出分析过程)








17. （6分）在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请用无刻度直尺画图．（保留必要的画图痕迹）

（第17题）
(1) 在图1中，画一个与∠BAC相等的∠BDC，且点D在格点上．
(2) 在图2中，画一个与△ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形BCDE，D、E均在格点上．
(3) 在图3中，在AC上找一点D，连接BD，使△ABD的面积是△BCD面积的4倍．
18. （7分）甲工程队新建公路，每名工人每天工作8小时，则甲工程队每天可完成800米新建公路．乙工程队比甲工程队少15名工人，每名工人每天工作12小时，则乙工程队每天可完成600米新建公路，假定甲、乙两工程队的每名工人每小时完成的工作量相同，求乙工程队的工人有多少名？








19. （7分）如图，在四边形中，．
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 连接相交于点O，，则的周长等于_________．

（第19题）



20. （7分）某学校在暑假期间开展“心怀感恩，孝敬父母”的实践活动，倡导学生在假期中帮助父母干家务．开学以后，校学生会随机抽取了部分学生，就暑假“平均每天帮助父母干家务所用时长”进行了调查，以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：

根据上述信息，回答下列问题：
(1) 在本次随机抽取的样本中，调查的学生人数是 人；
(2) ， ；
(3) 补全频数分布直方图；
(4) 如果该校共有学生2000人，请你估计“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”的学生大约有多少人？







21. （8分）已知A、两地之间有一条270千米的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60千米/时的速度沿此公路从A地匀速开往地，乙车从地沿此公路匀速开往地，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车相距的路程（千米）与甲车的行驶时间（时）之间的函数关系如图所示．
(1) 乙车的速度为 千米/时， ， ．
(2) 求甲、乙两车相遇后与之间的函数关系式．
(3) 当甲车到达距地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程．

（第21题）


22. （9分）【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材102﹣103页的部分内容．
性质：直角三角形的斜边中线等于斜边的一半给出上述性质证明中的部分演绎推理的过程如下：已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的中线．求证：CD＝AB证明：如图2，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE，BE．

（第22题）
【问题解决】请结合图3将证明过程补充完整．
【应用探究】
(1) 如图4，在△ABC中，AD是高，CE是中线，点F是CE的中点，DF⊥CE，点F为垂足，∠AEC＝78°，则∠BCE为 　 　度．
(2) 如图5，在线段AC上有一点B，AB＝4，AC＝11，分别以AB和BC为边作正方形ABED和正方形BCFG，点E落在边BG上，连接DF，点H为DF的中点，连接GH，则GH的长为 　 　．







23. （10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，点P在AC上以每秒个单位长度的速度向终点C运动．点Q沿BA方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点P不与点A重合时，连接PQ，以PQ，BQ为邻边作▱PQBM．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，设点P的运动时间为t（s），▱PQBM与△ABC重叠部分的图形面积为S．
(1) 点P到边AB的距离＝ ，点P到边BC的距离＝ ；（用含t的代数式表示）
(2) 当点M落在线段BC上时，求t的值；
(3) 求S与t之间的函数关系式；
(4) 连接MQ，当MQ与△ABC的一边平行或垂直时，直接写出t的值．

（第23题）
24. （12分）平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，点A、C在这条抛物线上，它们的横坐标分别为m和．
(1) 求这条抛物线所对应的函数关系式．
(2) 当时，y的取值范围是，求t的值．
(3) 抛物线上A、C两点和它们之间的部分记作图象G，设G的最高点纵坐标与最低点纵坐标之差为h．当点C在对称轴右侧时，求h与m之间的函数关系式．
(4) 以线段为对角线做矩形，轴．当矩形与抛物线有且只有三个公共点时，设第三个公共点为F，若与矩形的面积之比为，请直接写出m的值．












九年级数学综合模拟试卷参考答案
1．【答案】B
【分析】
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，看分别得到几个面，据此解答即可．
【详解】
从上面看，可以看到4个正方形，面积为4．
故选：B．
2．【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：179000000用科学记数法表示为．
故选：C．
3．【答案】C
【分析】
由数轴可知，再逐个选项分析即可解题．
【详解】
解：A、，
，故A不符合题意；
B、，
，故B不符合题意；
C、，

故C符合题意；
D、，
故D不符合题意；
故选C．
4．【答案】C
【分析】
根据绝对值的意义、有理数的加减运算及有理数的大小比较可直接进行排除选项．
【详解】
解：A、，正确，不符合题意；
B、∵，∴，故不符合题意；
C、，原选项错误，故符合题意；
D、∵，∴，故不符合题意；
故选C．
5．【答案】A
【分析】过点作，为垂足，由锐角三角函数的定义求出的长，再由即可得出结论．
【详解】解：过点作，为垂足，如图所示：

则四边形为矩形，米，
米，
在中，，
，
（米，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线，解题的关键是构造出直角三角形．
6．【答案】D
【分析】
连接CO并延长CO交⊙于点E，连接AE，根据OA=OC，可得∠ACD=∠ACE，从而得到AE=AD=2，然后根据勾股定理，即可求解．
【详解】
解：如图，连接CO并延长CO交⊙于点E，连接AE，
∵OA=OC，
∴∠ACE=∠CAB，
∵，
∴∠ACD=∠ACE，
∴，
∴AE=AD=2，
∵CE是直径，
∴∠CAE=90°，
∴，
∴⊙的半径为．
故选：D．


7．【答案】C
【分析】如果△BAD∽△CBD，可得∠ADB=∠BDC=90°，即BD是AC的垂线，根据作图痕迹判断即可．
【详解】当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD．
∵BD⊥AC，
∴∠ADB =∠BDC=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，
∴∠A=∠CBD，
∴△BAD∽△CBD．
根据作图痕迹可知，
A选项中，BD是∠ABC的角平分线，不与AC垂直，不符合题意；
B选项中，BD是AC边的中线，不与AC垂直，不符合题意；
C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；
D选项中，BD不与AC垂直，不符合题意；
故选：C．
8．【答案】D
【分析】
先由D（-2，3），AD=5，求得A（2，0），即得AO=2；设AD与y轴交于E，求得E（0，1.5），即得EO=1.5；作BF垂直于x轴于F，求证△AOE ∽△CDE，可得，求证△AOE∽△BFA，可得AF=2，BF=，进而可求得B（4，）；将B（4，）代入反比例函数，即可求得k的值．
【详解】
解：如图，过D作DH垂直x轴于H，设AD与y轴交于E，过B作BF垂直于x轴于F，

∵点D（-2，3），AD=5，
∴DH=3，
∴，
∴A（2，0），即AO=2，
∵D（-2，3），A（2，0），
∴AD所在直线方程为：，
∴E（0，1.5），即EO=1.5，
∴,
∴ED=AD- AE=5-=，
∵∠AOE=∠CDE，∠AEO=∠CED，
∴△AOE ∽△CDE，
∴,
∴,
∴在矩形ABCD中，，
∵∠EAO+∠BAF=90°，
又∠EAO+∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠BAF，
又∵∠AOE=∠BFA，
∴△BFA∽△AOE，
∴,
∴代入数值，可得AF=2，BF=，
∴OF=AF+AO=4，
∴B（4，），
∴将B（4，）代入反比例函数，得，
故选：D．
9．【答案】
【详解】
原式=2（a2－4ab+4b2）=2（a－2b）2．
故答案为2（a－2b）2．
10．【答案】
【分析】根据配方法将等式的左边配方，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
11．【答案】
【分析】
设买美酒x斗，买普通酒y斗，根据“美酒一斗的价格是50钱、买两种酒2斗共付30钱”列出方程组．
【详解】
依题意得：．
故答案为．
12．【答案】1
【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得∠A=∠CDB=30°，再根据AB是⊙O的直径，得出∠ACB=90°，则BC=AB，从而得出结论．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=∠CDB=30°，
∴BC=AB=，
故答案为1．
13．【答案】
【分析】
连接OC，由正方形的性质求出，根据弧长公式求出扇形的半径，在Rt△OBC中利用勾股定理求出，进而求解．
【详解】
连接OC，∵在正方形中，且点是线段的中点，
∴，，
∴，
∵的长为，
∴，
解得，，
在Rt△OBC中，由勾股定理知，，
解得，，
∴由勾股定理知，，
故答案为：．

14．【答案】
【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于四边形NPMO的面积，然后求解即可．
【详解】过点P作PM⊥y轴于点M，设PQ交x轴于点N，

∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0），
∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3．
∴平移后的二次函数解析式为：y=（x+3）2+h，
将（﹣6，0）代入得出：0=（﹣6+3）2+h，解得：h=﹣．
∴点P的坐标是（－3，﹣）．
根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积，
∴S=，
故答案为：
15．【答案】10
【分析】
先通过乘法公式展开，再合并同类项化简，最后代入求值即可；
【详解】
原式，
；
把a =－1，b = 2代入上式得：
原式=；
16．【答案】解：(1)共有3种等可能出现的结果，小红的爸爸被分到B组的有1种，
因此小红的爸爸被分到B组的概率为.故答案为.
(2)用列表法表示所有等可能出现的结果如下：

∵共有9种等可能的结果，其中王老师与小红的爸爸被分到同一组的有3种，
∴P(王老师与小红的爸爸被分到同一组)＝＝.






17．【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）如图，根据网格的特点以及对称性找到点，连接，则；
（2）根据题意，与△ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形BCDE，则平行四边形边上的高等于中，边上高的一半，根据网格的特点，在格点上找到点,，连接即可；
（3）根据勾股定理求得，找到，根据网格的特点作，根据平行线分线段成比例可得，即找到符合题意的点．
（1）
如图所示，且在格点上，

（2）
如图，

（3）
如图，


作

△ABD的面积是△BCD面积的4倍．
则点即为所求．
【点睛】本题考查了作轴对称图形，作平行四边形，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．
18．【答案】15名
【分析】设乙工程队的工人有名，则甲工程队的工人有名，根据甲、乙两工程队的每名工人每小时完成的工作量相同列分式方程，计算求解即可．
【详解】.解：设乙工程队的工人有名，则甲工程队的工人有名，
由题意得，，化简得，，
两边同时乘得，，
移项合并得，，
经检验，是原分式方程的解且符合题意，
答：乙工程队的工人有15名．
【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列分式方程．
19．【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）证明即可；
（2）根据平行四边形的性质可得，即可得到的周长．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
20．【答案】（1）200；（2）20，25；（3）图见解析；（4）“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”的学生大约有600人．
【分析】
（1）根据“0-10分钟”的频数分布直方图和扇形统计图信息即可得；
（2）根据频数分布直方图和题（1）的结论即可得；
（3）先求出“20-30分钟”学生人数，再补全频数分布直方图即可；
（4）先求出“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”的学生占比，再乘以2000即可得．
【详解】
（1）调查的学生人数是（人）
故答案为：200；
（2）“30-40分钟”学生占比为
“20-30分钟”学生占比为
则
故答案为：20，25；
（3）“20-30分钟”学生人数为（人）
则补全频数分布直方图如下所示：

（4）“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”的学生占比为
则（人）
答：“平均每天帮助父母干家务的时长不少于30分钟”的学生大约有600人．
21．【答案】（1）75；3.6；4.5；（2）；（3）当甲车到达距地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米．
【分析】
（1）根据图象可知两车2小时后相遇，根据路程和为270千米即可求出乙车的速度；然后根据“路程、速度、时间”的关系确定的值；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）求出甲车到达距地70千米处时行驶的时间，代入（2）的结论解答即可．
【详解】
解：（1）乙车的速度为：千米/时，
，．
故答案为75；3.6；4.5；

（2）（千米），
当时，设，根据题意得：
，解得，
∴；
当时，设，
∴；

（3）甲车到达距地70千米处时行驶的时间为：（小时），
此时甲、乙两车之间的路程为：（千米）．
答：当甲车到达距地70千米处时，求甲、乙两车之间的路程为180千米．
22．【答案】问题解决：见解析；应用探究：（1）；（2）
【分析】问题解决：根据题意证明即可；
应用探究：（1）设， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等边对等角可得，，三角形的外角性质求得，即；
（2）延长至，使得，过点作于点，根据正方形的性质以及矩形的性质可得得到长，根据勾股定理即可求得，根据中位线的性质即可求得的长．
【详解】问题解决：如图3，延长CD至点E，使DE＝CD，连接AE，BE
CD为斜边AB上的中线，
,
，
四边形是平行四边形
又
四边形是矩形，


直角三角形的斜边中线等于斜边的一半
应用探究：（1）连接，如图，

设
是的高

是中线

中，

点F是CE的中点，DF⊥CE，








即
故答案为：
（2）如图，延长至，使得，过点作于点，

四边形是正方形，AB＝4，AC＝11，则四边形是矩形

，
中
， H为DF的中点，

故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
23．【答案】(1)t；4﹣2t
(2)
(3)S＝
(4)t＝或t＝1或t＝2
【分析】
（1）过点P作PE⊥AB，根据勾股定理求出AC，运用三角函数得出，，应用解直角三角形求出PE，AE即可；
（2）当点M落在线段BC上时，证明四边形PMBQ是矩形，从而得到AB＝t+2t＝4，求出t即可；
（3）分两种情况讨论：①当时，与△ABC重叠面积为，根据已有数据计算即可；②当时，设PM交BC于点N，则▱PQBM与△ABC重叠面积为，根据已有数据计算即可；
（4）①如图，当QM⊥AB时，则，证明四边形EPMQ是矩形，求出t即可；②当QM⊥AC时，延长QM交AC于X，利用锐角三角函数求出，再建立方程求解即可；③当时，证明四边形ACMQ是平行四边形，再列方程求解即可．
(1)
解：如图1，过点P作PE⊥AB，

由题意可知，
∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴，
∴，，
∴ ，，
∴点P到AB的距离为t，点P到BC距离为4﹣2t；
故答案为：t；4﹣2t；
(2)
如图2，当点M落在线段BC上时，

∵四边形PMBQ是平行四边形，
∴，PM⊥BC，
∴四边形PMBQ是矩形，
∴PQ⊥AB，
∴PQ＝t，AQ＝2t，
∵BQ＝t，
∴AB＝t+2t＝4，
解得：t＝；
(3)
①当时，与△ABC重叠面积为，如图1，
∴，
由（1）可知PE＝t，BQ＝t，
∴S＝t2，
②当时，设PM交BC于点N，如图3，

则与△ABC重叠面积为，
∴，
∵PE＝t，BQ＝t，PN＝4﹣2t，
∴，
综上所述， ；
(4)
①如图4，当QM⊥AB时，则，

由（1）得：AE＝2t，BQ＝t，
∵，QM⊥AB，
∴四边形EPMQ是矩形，
∴EQ＝PM＝BQ＝t，
∴AB＝AE+EQ+BQ＝4t＝4，
解得：t＝1；
②当QM⊥AC时，延长QM交AC于X，如图5，

∵∠MPX＝∠A，PM＝BQ＝t，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
解得：；
③当时，如图6，

∵，
∴四边形ACMQ是平行四边形，
∴AQ＝CM＝QB＝t，
∴AB＝AQ+BQ＝2t＝4，
解得：t＝2；
综上所述，当MQ与△ABC的一边平行或垂直时，t＝或t＝1或t＝2．
24．【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将二次函数化为顶点式，确定最小值及对称轴，结合题意得出在对称轴的左侧，y随x值的增大而减小，然后建立方程求解即可；
（3）先求出当A、C两点恰好关于对称时，，然后分三种情况分析当时，点A离对称轴较点C离对称轴远，当时，点C离对称轴较点A离对称轴远，当时，点C离对称轴较点A离对称轴远，依次求解即可确定函数解析式；
（4）结合（3）分三种情况讨论：当及时，矩形与抛物线有且只有两个公共点，不符题意，当，当，分别作出相应图象，结合面积比及二次函数的基本性质求解即可．
【详解】（1）解：将点、代入，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：，
∴抛物线的最低点顶点为，最小的函数值为，对称轴为，
∵当时，y的取值范围是，
∴，即在对称轴的左侧，y随x值的增大而减小，
∴当时，，当时，，
解得：或（舍去），
∴；
（3）解：当A、C两点恰好关于对称时，
，
解得：，
∵点C在对称轴右侧时，
∴，即，
∴当时，点A离对称轴较点C离对称轴远，

∴，，
∴；
当时，点C离对称轴较点A离对称轴远，

∴，，
∴；
当时，点C离对称轴较点A离对称轴远，

∴，，
∴；
综上可得：；
（4）解：结合（3）分类讨论为：
当及时，矩形与抛物线有且只有两个公共点，不符题意，如图所示（作出了的情况，其他两种情况与此类似）：
不符合题意，

当，如图所示：

∵矩形，轴，
∴，
∵与矩形的面积之比为，
∴，
∴点F为CD的中点，
∵，
∴，
∵点C的横坐标为，
∴点F的横坐标为，纵坐标与点C的纵坐标相等，
∴点C，F关于对称，
∴，
解得：；
当，如图所示：

∵矩形，轴，
∴，
∵与矩形的面积之比为，
∴，
∴点F为AB的中点，
∵，
∴，
∵点A的横坐标为，
∴点F的横坐标为，纵坐标与点A的纵坐标相等，
∴点A，F关于对称，
∴，
解得：；
综上可得或．