秘籍07 锐角三角函数实际应用-备战2023年中考数学抢分秘籍（全国通用）

秘籍07锐角三角函数实际应用

锐角三角函数实际应用是全国中考的热点内容！锐角三角函数实际应用就是把实际问题转化为解直角三角形问题。

1．从考点频率看，锐角三角函数实际应用是高频考点，通常利用正弦、余弦、正切的定义和特殊角的三角函数值来解决问题。

2．从题型角度看，以计算和解答题为主，分值9分左右！

一、特殊角的三角函数值

二、仰角和俯角的定义

三、坡比的定义

坡比==tanα

锐角三角函数实际应用常用的辅助线：做垂线，构造直角三角形。在直角三角形，已知一条边和一个角的三角函数值即可求出其它边。当在一个直角三角形中，一条边长度都不知道时，一定要记得设未知数，利用方程思想。

典例1．计算：

【答案】

【分析】先运用乘方、绝对值、特殊角的三角函数值以及平方根的性质化简，然后计算即可．

【详解】解：

．

【点睛】本题主要考查了乘方、绝对值、特殊角的三角函数值、平方根的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．

典例2．先化简，再求值：，其中．

【答案】，

【分析】先把分式化简后，再求出的值代入求出分式的值即可．

【详解】

当时，原式．

【点睛】本题考查了分式的化简值，特殊角的三角函数值，熟练分解因式是解题的关键．

典例3．如图，在中，的平分线交于点．求的长？

【答案】6

【分析】由求出∠A=30°，进而得出∠ABC=60°，由BD是∠ABC的平分线得出∠CBD=30°，进而求出BC的长，最后用sin∠A即可求出AB的长．

【详解】解：在中，

是的平分线，

又

，

在中，，

．

故答案为：．

【点睛】本题考查了用三角函数解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数是解决此类题的关键．

典例4．如图，的顶点，的坐标分别是，，且，，求点的坐标．

【答案】

【分析】过点作轴，交轴于点，只要求出、，则可求出顶点的坐标．

【详解】解：如图，过点作轴，交轴于点，

∴，

∵点，的坐标分别是，，

∴，，

在中，，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴轴，

∴，

∴，

∴四边形是矩形，

∴，，

∴点的坐标为．

【点睛】本题考查解直角三角形，坐标与图形，锐角三角函数，勾股定理，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质．通过作辅助线构造直角三角形是解题关键．

典例5．某班同学在一次综合实践课上，测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，C处测得树顶D的仰角为37°（点A，B，C在一条水平直线上），已知测量仪高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求树BD的高度（结果保留小数点后一位．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．

【答案】13.6米

【分析】如图，连接EF，交BD于点M，用DM的长度分别表示EM和FM的长度，再根据EM和FM的和等于AC的长度，求出DM的长，在用DM和BM的和求出BD的长度即可．

【详解】解：连接EF，交BD于点M，则EF⊥BD，AE＝BM＝CF＝1.6米，

在Rt△DEM中，∠DEM＝45°，

∴EM＝DM，

设DM＝x米，则EM＝AB＝x米，FM＝BC＝AC﹣AB＝（28﹣x）米，

在Rt△DFM中，tan37°＝，

即≈0.75，

解得x＝12，

经检验，x＝12是原方程的根，

即DM＝12米，

∴DB＝12+1.6＝13.6（米），

答：树BD的高度为13.6米．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角和俯角问题．准确的构造出直角三角形是解题的关键，在解题的过程中可以巧用公共边列方程进行计算．

典例6．胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔垂直于桥面于点B，其中两条斜拉索与桥面的夹角分别为和，两固定点D、C之间的距离约为，求主塔的高度（结果保留整数，参考数据：）

【答案】主塔的高度约为78m．

【分析】在Rt△ABD中，利用正切的定义求出，然后根据∠C＝45°得出AB＝BC，列方程求出BD，即可解决问题．

【详解】解：∵AB⊥BC，

∴∠ABC＝90°，

在Rt△ABD中，，

在Rt△ABC中，∠C＝45°，

∴AB＝BC，

∴，

∴m，

∴AB＝BC＝m，

答：主塔的高度约为78m．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义是解题的关键．

解决锐角三角函数的实际应用问题，一定要大胆做辅助线，构造直角三角形，通过常见或已知的三角函数值把未知的边长也变成已知的边，从而解决问题，另外需要注意，如结果需要去掉根号的，要注意把含根号的式子留最后再计算。

典例7．如图，湖边、两点由两段笔直的观景栈道和相连.为了计算、两点之间的距离，经测量得：，，米，求、两点之间的距离．（参考数据：，，，，，）

【答案】、两点之间的距离约为94米

【分析】过点作，垂足为点，分别解，，求得的长，进而根据即可求解．

【详解】如图，过点作，垂足为点，

在中，

∵，米，

∴，，

∴（米），

（米），

在中，

∵，米，

∴，

∴（米），

∴（米）.

答：、两点之间的距离约为94米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．

典例8．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度，即，请你帮助该小组计算建筑物的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：）

【答案】该建筑物的高度约为31.9m

【分析】如图，作交于点E，作交于点F，作交于点H，根据题意分别求出BF和AF的长，再根据即可求解．

【详解】作交于点E，作交于点F，作交于点H

则，，

∵

∴设，则

在中，

∴

∴

∴（负值舍去）

∴，

∴，

设，则

在中，

∵

∴

在中，

∵

∴

即

∵

∴

∴

∴

答：该建筑物的高度约为31.9m．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握坡角坡度，仰角的定义，添加合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键．

1．（2023·北京顺义·统考一模）计算：．

【答案】2

【分析】原式利用特殊角的三角函数值、二次根式、零指数幂以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．

【详解】原式

【点睛】此题考查了实数的运算，熟练化简各项是解本题的关键．

2．（2023·广东东莞·校考一模）计算：

【答案】2

【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义化简，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．

【详解】解：

【点睛】此题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

3．（2023·宁夏银川·校考一模）先化简，再求值：，其中．

【答案】；

【分析】根据分式的混合运算化简分式，然后根据特殊角的三角函数值求得的值，再代入化简结果进行计算即可求解．

【详解】解：

，

当

原式．

【点睛】本题考查了求特殊角的三角函数值，分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．

4．（2023·广东汕头·统考一模）计算：．

【答案】

【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．

【详解】解：

．

【点睛】本题考查了实数的运算，涉及负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，逆用积的乘方等知识，准确熟练地进行计算是解题的关键．

5．（2023·广东河源·统考一模）如图，在矩形中，，，点E是边上一点（点E不与B，C重合），过点E作交于点F，连接．

(1)当时，求的值；

(2)当时，求的度数；

(3)若点F为的中点，求的长．

【答案】(1)

(2)

(3)的长为或

【分析】（1）利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可；

（2）利用矩形的性质，全等三角形的判定与性质和平行线的性质解答即可；

（3）利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质列出关于的比例式解答即可．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∴．

∵四边形为矩形，

∴，，，

∴，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴；

（2）解：∵四边形为矩形，

∴，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，．

在中，，

∴，

∵，

∴，

∴；

（3）解：∵点F为的中点，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵四边形为矩形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

解得：．

∴的长为或．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的边角关系定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．

6．（2023·四川成都·统考一模）如图，和是同一水平地面上的两座楼房，已知楼的高为米，在楼的楼顶点测得楼的楼顶的仰角为，楼底的俯角为，求楼的高．（结果保留根号，参考数据：）

【答案】米

【分析】在两个直角三角形中，知道已知角和其邻边，只需根据正切值求出对边后相加即可．

【详解】解：延长过点的水平线交于点，则有，四边形是矩形，

∴米，

∴在中，（米），

∴米，

∴在中，（米），

∴米，

答：楼的高是米．

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，特殊角的三角函数值，矩形的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．

7．（2023·黑龙江大庆·统考一模）如图是某种自动卸货汽车卸货时的示意图，是水平汽车底盘，是液压举升杠杆，汽车卸货时车厢与底盘的夹角为，举升杠杆与底盘的夹角为，已知举升杠杆上顶点离支撑点的距离为米．求汽车卸货时举升杠杆的长结果精确到米．参考数据：，，，．

【答案】汽车卸货时举升杠杆的长约为米

【分析】过点作，垂足为，在中，，解，即可求解．

【详解】过点作，垂足为，

在中，，米，

(米)，

在中，，

(米)，

汽车卸货时举升杠杆的长约为米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．

8．（2023·黑龙江大庆·统考一模）数学活动小组欲测量山坡上一棵大树的高度，如图，于点E，在A处测得大树底端C的仰角为，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为，测得山坡坡角（图中各点均在同一平面内）．求这棵大树的高度．（结果取整数，参考数据：，，，．）

【答案】这棵大树的高度约为20米

【分析】由，可知，可求出的长度，然后利用锐角三角函数的定义可求出的长度，进而即可求解.

【详解】解：由题意，得米，，

∴，

∴米，

在中，，

∴（米），

在中，，

∴（米），

∴（米），

∴这棵大树CD的高度约为20米．

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．

9．（2023·山东聊城·统考一模）如图，某巡逻艇在海上例行巡逻，上午10时在C处接到海上搜救中心从B处发来的救援任务，此时事故船位于B处的南偏东方向上的A处，巡逻艇位于B处的南偏西方向上1260米处，事故船位于巡逻艇的北偏东方向上，巡逻艇立刻前往A处救援，已知巡逻艇每分钟行驶120米，请估计几分钟可以到达事故船A处．（结果保留整数．参考数据：，，，）．

【答案】估计8分钟可以到达事故船A处

【分析】过点A作，垂足为D，由题意得：，，，然后设，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而根据，列出关于x的方程，进行计算可求出的长，进而求出的长，即可求出结果．

【详解】解：过点A作，垂足为D，由题意得：

，，，

设，

在中，，

在中，，

∵，

∴，

解得：，

∴，

在中，，

∴，

∴（分钟），

∴估计8分钟可以到达事故船A处．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−方位角问题，根据已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

10．（2023·安徽亳州·校联考模拟预测）如图，某数学兴趣小组为了测量塔的高度，他们先在水平地面上的点E处用高的测角仪DE测得塔尖的仰角为．然后沿方向前进到达点G处，在点G处用同样的测角仪测得塔尖的仰角为（C，F，D三点共线，且，）．求塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，）

【答案】米

【分析】设，在中，根据正切三角函数关系得到，在中，根据正切三角函数关系列方程，然后解方程求出，最后利用关系即可得解．

【详解】解：连接并延长，交于点C，由题意得：

，，，，

设，则，

在中，，

，

在中，，

，

解得，经检验：是原方程的根，

．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

11．（2023·安徽亳州·统考一模）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在两楼之间上方的点O处，点O距地面的高度为，此时观测到楼底部点A处的俯角为70°，楼上点E处的俯角为，沿水平方向由点O飞行到达点F，测得点E处俯角为，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长（结果精确到1m．参考数据：，，，）．

【答案】楼与之间的距离的长约为

【分析】延长和分别与直线交于点G和点H，则，再根据图形应用三角函数即可求解．

【详解】解：延长和分别与直线交于点G和点H，则．

又∵，

∴四边形是矩形．

∴．

由题意，得．

在中，，

∴﹒

∵是的外角，

∴．

∴．

∴．

在中，

∴．

∴．

答：楼与之间的距离的长约为．

【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关键．

12．（2023·安徽蚌埠·校考二模）如图，山的南北两面分别有两条索道和，索道的底端与山脚的距离为米，在和处分别测得山顶的仰角，，在山的另一面处测得山顶的仰角．分别求两条索道和的长．（参考数据：sin37°≈0.60，tan37°≈0.75，sin53°≈0.80，tan53°≈1.33）

【答案】米，米

【分析】过点作于点，在，中，分别求得，根据，求得，进而在，中，求得米，米．

【详解】解：如图所示，过点作于点，

在中，，

在中，，

∵，

∴，即

解得：，

在中，（米）

在中，（米）

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．

13．（2023·江苏连云港·统考一模）在某张航海图上（单位：海里），标明了三个观测点的坐标，如图，，，，由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区．

(1)求圆形区域的面积；

(2)某时刻海面上出现渔船A，在观测点O测得A位于北偏东，同时在观测点B测得A位于北偏东，求观测点B到A船的距离（结果精确到海里）．（参考数据：）．

【答案】(1)圆形区域的面积为平方海里

(2)观测点B到A船的距离为海里

【分析】（1）连接连接、，根据坐标与图形性质得到，，，即OC为圆形区域的直径．由勾股定理求得即可求解；

（2）过点B作于点，则，由题意得到，分别在和中，利用锐角三角函数求解、即可．

【详解】（1）解：连接、，

因为，，，

所以，，，

所以OC为圆形区域的直径．

所以．

所以圆形区域的半径为50海里．

所以圆形区域的面积为平方海里．

（2）解：过点B作于点，则，

由题意可得，所以

因为，所以

在中，因为，所以．

所以在中，（海里）

答：观测点B到A船的距离为海里．

【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，涉及锐角三角函数、勾股定理、坐标与图形，理解题意，构造直角三角形解决问题是解答的关键．

14．（2023·山东临沂·统考一模）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措，某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度，如图，已知测倾器的高度为1.5米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距3米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角(点A，D与N在一条直线上)．求电池板离地面的高度的长(结果取整数，参考数据：，，)．

【答案】7米

【分析】过E作于F，连接，设米，可证四边形，四边形均是矩形，设，可求，由，解得米，可求的长．

【详解】解：过E作于F，连接，则点B、E、F在同一条直线上，设米，

∵，

∴四边形，四边形均是矩形，

∴米，米，

∵，

∴,

∴，

∴，

∴解得米，

经检验米符合题意，

∴米．

【点睛】本题考查矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程，掌握矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程是解题关键．

15．（2023·河南新乡·统考一模）利用风力发电非常环保，且风能蕴量巨大，因此风力发电日益受到重视．2022年9月，河南省发改委下发《关于2022年风电和集中式光伏发电项目建设有关事项的通知》，共73个风电项目进入河南省新能源前期项目库．风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．王丹同学站在A处测得塔杆顶端C的仰角是，她又沿方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现当一叶片到达最高位置时，测得叶片的顶端D的仰角是（点D、C、H在同一直线上）．已知塔杆的高为60米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高为10米，，求叶片的长度．（答案精确到0.1米，参考数据：）

【答案】35.9米

【分析】过点B作于点E，首先得到，然后利用三角函数值求出，然后证明出是等腰直角三角形，利用线段的和差求解即可．

【详解】解：如图，过点B作于点E，则．

在中，，

∴（米），

∴（米），

∵，

∴是等腰直角三角形，

∴米．

∵米，

∴（米），

∴（米）．

答：叶片的长度约为35.9米．

【点睛】此题考查了三角函数的应用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．