数学（新高考Ⅱ卷A卷）-学易金卷：2023年高考第一次模拟考试卷
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数学·参考答案
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
A | D | C | D | A | D | B | B | ACD | BCD | ACD | ACD |
13．（5分）
14．16（5分）
15．（5分）
16． （5分）
17．【详解】（1）∵，，成等差数列，
∴，∴，
设数列的公差为，
∴，
∴，
∵，解得： （2分）
∵，
∴，，（4分）
∴；（5分）
（2）∵，（7分）
∴数列的前n项和为 （10分）
18．【解析】（1）由，
，（3分）
，. （6分）
（2），，，
，（8分）
根据正弦定理，得，（10分）
解得，；（11分）
因此三角形周长为.（12分）
19．【详解】（1）列联表如下：
| 女篮球迷 | 非女篮球迷 | 总计 |
男 | 20 | 6 | 26 |
女 | 10 | l4 | 24 |
总计 | 30 | 20 | 50 |
（2分）
，（4分）
没有的把握认为是否为“女篮球迷”与性别有关． （6分）
（2）从抽取的“女篮球迷”人群中，按性别采用分层抽样的方法抽取6人，这6人中男“女篮球迷”有4人，女“女篮球迷”有2人，（8分）
的可能值是0，1，2，
，，，（10分）
的分布列为：
0 | 1 | 2 | |
．（12分）
20．【详解】（1）因为，是的中点，所以，
在直角中，，，所以.
在矩形中，，，所以.
又因为，所以在中，，即，（2分）
而，，平面，所以平面，（4分）
而平面，所以平面平面. （6分）
（2）由（1）知，平面，取中点，连接，易知，，两两相互垂直，
如图，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，.（8分）
设平面的法向量为，
则即令，则，所以，（10分）
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.（12分）
21．【详解】（1）依题意，，
由于的最大值为，所以，（2分）
所以，所以椭圆的标准方程是.（4分）
（2）椭圆的右顶点为，
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
由得，
设，则，
由于以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点，
所以，，解得，
所以直线过.（6分）
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由消去并化简得，
，
即①.
设，则，（8分）
由于以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点，
所以，，（9分）
， ，
，
，
，
整理得，或，（10分）
若，代入①得，成立，
若，代入①得成立，
所以直线的方程为，过点；
或，过点，不符合题意，舍去.
综上所述，直线过定点.（12分）
22．【解析】
（1）因为
所以，，，（2分）
则切线方程为，即.
则曲线在点处的切线方程为.（4分）
（2）若证，
即证， （6分）
令，则.
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，即.（8分）
令，，
则，
可知在上单调递减，（10分）
所以，即当时，，
从而，
所以当时，，
，
当时，，，
综上所述，对，均有.（12分）
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