高考数学大课堂专题4“素材创新”类型

专题4  “素材创新”类型

模块一  高考新动向

专题4  “素材创新”类型

“体现数学的文化价值”是高中数学课程的四项基本理念之一，高考试题中也以数学发展史上的重要发现为背景，命制了多道以数学名题为背景的考题，彰显数学的悠久历史、数学家们的创新精神和数学的美学价值.

近年高考试题以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，在考查基础知识的同时，注重对考生素材创新的考查.从多个方面展现中国古代数学文化.在历年的高考试题中，经常会出现一些有关中国古代数学文化的试题，以此对学生进行中华优秀传统文化的教育，新高考命题也是如此.

在先贤的智慧中了解数学文化

考点讲解：中国的数学历史极其悠久，无论是理论层面还是实践层面，中国古代数学如今仍有研究价值和现实意义．近几年高考数学试题把其中的精华引入到考试内容中，既打上中华传统文化的烙印，又有东方数学的特点，发挥了“春风化雨，润物无声”的作用．在弘扬中国传统文化的同时，注意吸收世界数学文化的精华，从而引导学生胸怀祖国，放眼世界．.

【例1】【2022年新高考浙江数学高考】

1．我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．

【变1】【2023河南省高三模拟考试】

2．我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值.关于该问题，下列结论错误的是（    ）

A． B．此人第三天行走了一百二十里

C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人前八天共行走了一千零八十里

在古今科学成就中体验数学文化

考点讲解：以古今科学成就为背景，考查新颖，展现了我国古代劳动人民的智慧，在考查其他知识的同时，也体现了直观想象和数学运算等核心素养．

【例2】【2020年新高考1卷】

3．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（    ）

A．20° B．40°

C．50° D．90°

【变1】【2023四川省达州高三一诊】

4．把一个三边均为有理数的直角三角形面积的数值称为同余数，如果正整数为同余数，则称为整同余数.年月日，年度国家科学奖励大会在人民大会堂隆重召开，中国科学院研究员田刚以“同余数问题与函数的算术”项目荣获年度国家自然科学奖二等奖，在同余数这个具有千年历史数学中最重要的古老问题上取得突破性进展.在中，，绕旋转一周，所成几何体的侧面积和体积的数值之比为：，若的面积为整同余数，则的值可以为（    ）

A． B． C． D．

在劳动实践中创造数学文化

考点讲解：数学文化是国家文化素质教育的重要组成部分，其内涵是在实践过程中不断探索形成的数学史、数学精神及其应用．

【例3】【2021年全国新高考I卷数学试题】

5．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______.

【变1】【2022重庆八中月考】

6．中国古代的武成王庙是专门祭祀姜太公以及历代良臣名将的庙宇，这类庙宇的顶部构造颇有讲究.如图是某武成王庙顶部的剖面直观图，其中，，，且数列是第二项为的等差数列.若以为坐标原点，以，分别为，轴正方向建立平面直角坐标系，则直线的斜率为（    ）

A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55

对于“开放”型问题，考生看到结论或条件开放型题目往往易于放松警惕，思维天马行空，导致得出错解.导致错误.

创新情境

【解读】创新情境问题指问题的面目、形式新颖，命题的立意、背景深远的数学问题，这类题以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，一般难度不会太大，而且与高中数学体系内的知识有千丝万缕的联系，是训练和考查学生思维能力、分析问题和解决问题能力、体现数学核心素养的好题型.分析学习新的数学知识的能力是指通过阅读，理解以前没有学过的新的数学知识，如新的概念、定理、公式、法则和方法，并能运用它们做进一步的运算和推理，解决有关问题的能力.

【典例剖析】【2022北京一六一中学高三月考】

7．素数又称质数，是指在大于的自然数中，除了和它本身以外不再有其他因数的自然数．早在多年前，欧几里德就在《几何原本》中证明了素数是无限的．在这之后，数学家们不断地探索素数的规律与性质，并取得了显著成果．中国数学家陈景润证明了“”，即“表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和”，成为了哥德巴赫猜想研究上的里程碑，在国际数学界引起了轰动．如何筛选出素数、判断一个数是否为素数，是古老的、基本的，但至今仍受到人们重视的问题．最早的素数筛选法由古希腊的数学家提出．年，一名印度数学家发明了一种素数筛选法，他构造了一个数表

，具体构造的方法如下：中位于第行第列的数记为，首项为且公差为的等差数列的第项恰好为，其中；．请同学们阅读以上材料，回答下列问题.

(1)求；

(2)证明：；

(3)证明：

①若在中，则不是素数；

②若不在中，则是素数．

【2023陕西汉中高三上学期一检】

8．扇子文化在中国源远流长.如图，在长为､宽为的矩形白纸中做一个扇环形扇面，扇面的外环弧长为，内环弧长为，径长（外环半径与内环半径之差）为.若从矩形中任意取一点，则该点落在扇面中的概率为（    ）

A． B． C． D．

【2023四川南充高三上学期一诊】

9．斐波那契数列因数学家莱昂纳多·斐波那契（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”．因n趋向于无穷大时，无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列．在数学上，斐波那契数列由以下递推方法定义：数列满足，，若从该数列前10项中随机抽取1项，则抽取项是奇数的概率为（    ）

A． B． C． D．

【2023河南开封高三一模】

10．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数为“不动点”函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【2023江苏苏州高三上学期12月高考模拟】

11．米斗是我国古代官仓，粮栈､米行必备的用具，是称量粮食的量器.如图是一种米斗，可盛米10升（1升=1000cm3），已知盛米部分的形状为正四棱台，且上口宽为18cm，下口宽为24cm，则高约为（    ）

A．18.8cm B．20.4cm C．22.5cm D．24.2cm

【2023广西邕衡金卷届高三上学期第二次适应性考试】

12．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在表达式中“……”圆代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类比上述过程及方法则的值为（　　）

A．        B．4          C．         D．2

【2023河南新乡高三一模】

13．年詹希元创制了“五轮沙漏”，流沙从漏斗形的沙池流到初轮边上的沙斗里，驱动初轮，从而带动各级机械齿轮旋转．最后一级齿轮带动在水平面上旋转的中轮，中轮的轴心上有一根指针，指针则在一个有刻线的仪器圆盘上转动，以此显示时刻，这种显示方法几乎与现代时钟的表面结构完全相同．已知一个沙漏的沙池形状为圆锥形，满沙池的沙漏完正好一小时（假设沙匀速漏下），当沙池中沙的高度漏至一半时，记时时间为（    ）

A．小时 B．小时 C．小时 D．小时

【2022湖南长沙长沙一中高三下学期月考】

14．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C，其方程为．则下列说法正确的是（    ）

A．曲线C包含的封闭图形内部(不含边界)有11个整数点(横、纵坐标均为整数)

B．曲线C上任意一点到原点距离的最大值与最小值之和为5

C．若A(0，－)、B(0，)，P是曲线C下半部分中半椭圆上的一个动点，则cos∠APB的最小值为－

D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上，称该圆为椭圆的蒙日圆；那么曲线C中下半部分半椭圆扩充为整个椭圆C'：后，椭圆C'的蒙日圆方程为：

【2023河南新未来联盟高三上学期12月联考】

15．柏拉图多面体并不是由柏拉图所发明，但却是由柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体．柏拉图视“四古典元素”中的火元素为正四面体，空气为正八面体，水为正二十面体，土为正六面体．如图，在一个棱长为的正八面体（正八面体是每个面都是正三角形的八面体）内有一个内切圆柱（圆柱的底面与构成正八面体的两个正四棱锥的底面平行），则这个圆柱的体积的最大值为________．

【2023青海海东高三上学期12月一模】

16．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的前纸，它是中国古老的传统民间艺术之一.在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）.已知正方形的边长为2，中心为，四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图2），若在的中点，则___________.

【2023湖南部分学校高三上学期12月联考】

17．故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶．如图，某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似．已知底面ABCD为矩形，AB＝2AD＝2EF＝8，EF∥底面ABCD，EA＝ED＝FB＝FC，M，N分别为AD，BC的中点．

(1)证明：EF∥AB且BC⊥平面EFNM．

(2)若二面角为，求CF与平面ABF所成角的正弦值．

参考答案：

1．.

2．A

3．B

4．B

5．     5    

6．A

7．(1)

(2)证明见解析

(3)①证明见解析；②证明见解析

8．D

9．D

10．B

11．C

12．B

13．D

14．BCD

15．

16．8

17．(1)证明见解析

(2)