专题13　带电粒子在组合场中的运动-冲刺高考物理大题突破+限时集训（全国通用）

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专题13　带电粒子在组合场中的运动

【例题】（2023春·河北·高三校联考开学考试）某实验装置可利用电场和磁场来控制带电粒子的运动，其简化示意图如图1所示。初速度为v0的质子沿平行于板面的方向从两板左侧中间位置射入偏转电场，离开偏转电场后直接进入匀强磁场。已知质子的电荷量为q，质量为m，偏转电场两板间的距离、两极板的长度均为d，匀强磁场的区域足够大，两板间的电压UMN随时间变化的图像如图2，由于粒子在偏转电场区域运动时间极短，粒子通过此区域时，可认为电场是不变的匀强电场，不计粒子的重力、粒子间的相互作用力和空气阻力。质子均能从MN板间飞出，进入磁场，下列说法正确的是（　　）

A．质子进入磁场的速度越大，则质子在磁场中运动的时间越短
B．质子进入磁场的速度越大，质子进入磁场的入射点与出射点间的距离越大
C．无论质子从磁场的何位置进入磁场，质子在磁场边界的入射点与出射点间的距离不变
D．当MN板间电压为-2U0时，质子在磁场中运动的时间最长
【答案】 C
【解析】AD．质子在偏转电场中做类平抛运动，则有

所以质子在磁场中运动的时间为

故AD错误；
BC．质子进入磁场的运动轨迹如图所示

质子在磁场边界的入射点与出射点间的距离为


所以

由此可知，无论质子从磁场的何位置进入磁场，质子在磁场边界的入射点与出射点间的距离不变，与质子进入磁场的速度大小无关，故B错误，C正确。
故选C。

带电粒子依次经过各场，运动过程由各阶段不同性质的运动（圆周、类平抛、变速直线、匀速直线等）组合而成。
（1）分析研究带电粒子在不同场区的运动。
（2）分析与计算各阶段运动间连接点的速度大小与方向是解题关键。
（3）画出全过程运动示意图很重要。
1．正确区分“电偏转”和“磁偏转”
带电粒子的“电偏转”和“磁偏转”的比较

垂直进入磁场（磁偏转）
垂直进入电场（电偏转）
情景图


受力
FB＝qv0B，FB大小不变，方向总指向圆心，方向变化，FB为变力
FE＝qE，FE大小、方向不变，为恒力
运动规律
匀速圆周运动
r＝，T＝
类平抛运动
vx＝v0，vy＝t
x＝v0t，y＝t2

2．基本思路

3．“5步”突破带电粒子在组合场中的运动问题


【变式训练】（2023·山东泰安·统考一模）如图所示，在xoz平面的第二象限内有沿x轴负方向的匀强电场，电场强度的大小，空间某区域存在轴线平行于z轴的圆柱形磁场区域，磁场方向沿z轴正方向。一比荷为的带正电粒子从x轴上的P点以速度射入电场，方向与x轴的夹角。该粒子经电场偏转后，由z轴上的Q点以垂直于z轴的方向立即进入磁场区域，经磁场偏转射出后，通过坐标为（0，0.15m，0.2m）的M点（图中未画出），且速度方向与x轴负方向的夹角，其中，不计粒子重力。求：
（1）粒子速度的大小；
（2）圆柱形磁场区域的最小横截面积Smin（结果保留两位有效数字）；
（3）粒子从P点运动到M点经历的时间t（结果保留三位有效数字）。

【答案】 （1）；（2）；（3）
【解析】（1）粒子在电场中沿x轴正方向的分运动是匀速直线运动，沿z轴正方向的分运动是匀变速直线运动，沿z轴方向根据匀变速直线运动的规律可得

1
根据牛顿第二定律可得

沿x轴正方向

联立可得

（2）由几何关系得


圆柱形磁场区域的最小横截面积

（3）洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律得

解得
，
粒子在磁场和电场中运动的时间围为



解得


一、单选题
1．（2023·吉林·统考二模）北京高能物理研究所的正、负粒子对撞机是世界八大高能加速器中心之一，是中国第一台高能加速器，其结构如图所示，正、负粒子由静止开始经过电压为U的直线加速器加速后，沿圆环切线方向同时注入对撞机的高真空环状空腔内，空腔内存在着与圆环平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B，正、负粒子在环状空腔内只受洛伦兹力作用而沿相反方向做半径相等的匀速圆周运动，然后在碰撞区内迎面相撞，不考虑相对论效应，下列说法正确的是（　　）

A．正、负粒子的比荷可以不相同
B．磁感应强度B一定时，比荷相同的粒子，电荷量大的粒子进入磁场时动能大
C．加速电压U一定时，粒子的比荷越大，磁感应强度B越大
D．对于给定的正、负粒子，粒子从静止到碰撞运动的时间变短，可能是由于U不变、B变大引起的
【答案】 B
【解析】A．根据动能定理得

根据牛顿第二定律得

解得

根据上式，正、负粒子的比荷一定相同，A错误；
B．根据


解得

磁感应强度B一定时，比荷相同的粒子，电荷量大的粒子进入磁场时动能大，B正确；
C．根据


解得

加速电压U一定时，粒子的比荷越大，磁感应强度B越小，C错误；
D．对于给定的正、负粒子，粒子从静止到碰撞运动的时间变短，一定是速度v变大引起的，根据

解得

速度v变大，可能是由于B不变、U变大引起的，D错误。
故选B。
2．（2023春·河南平顶山·高三平顶山市第一高级中学校考开学考试）利用图甲所示装置可以测定带电粒子的比荷，其中是两正对金属平行板，其右端有一磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的有界匀强磁场。测量时先在两平行板和间加上按图乙所示规律变化的正弦交流电压，让初速度为的粒子沿平行板的中心线进入平行板间，粒子离开平行板间后，从磁场的边界进入磁场区域，最后又从边界离开。若粒子进入极板间时极板间的电压为50V，边界上入射点与出射点间的距离为L，则该粒子的比荷为（　　）

A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】依题意，粒子以初速度进入平行板间，设粒子离开平行板间时的速度大小为，作出粒子在磁场中的运动轨迹，如图所示，设粒子在电场中偏转时速度偏转角为q，则有由几何知识可知粒子在磁场中运动的轨迹半径为


粒子在磁场中运动时，根据洛伦兹力提供向心力，有

则有

依题意有

联立解得

故ACD错误，B正确。
故选B。
3．（2023·湖北·高三统考期末）如图甲所示，水平放置的平行极板、间加如图乙所示的交变电场，时刻，处粒子源水平向右发射速度相同的、两粒子，穿过极板后水平向右垂直进入有竖直边界的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，粒子恰好不从磁场右边界飞出，、两粒子的运动轨迹交于点，且在处时、速度方向垂直，到左右磁场边界的距离相等，不计粒子重力及粒子间的相互作用。下列说法正确的是（　　）

A．、在电场中运动的时间可能不同
B．、穿过极板的时间可能为的奇数倍
C．、粒子的比荷为
D．、穿过极板竖直方向上的位移大小之比为1:2
【答案】 C
【解析】AB．因为a、b粒子都是以相同的速度，垂直进入电场，在电场中，沿初速度方向不受力，做匀速直线运动，由

可得，、在电场中运动的时间一定相同；又因为两粒子穿过极板后水平向右垂直进入有竖直边界的匀强磁场，则两粒子在离开电场时，竖直方向速度为零，根据图乙可知，、穿过极板的时间为的偶数倍。
AB错误；
C．由下图可知


可得

由几何关系可知

在磁场中，由洛伦兹力提供向心力

可得，粒子的比荷为

在本题中，两粒子进入磁场时的速度大小相等，则

所以、粒子的比荷之比为

C正确；
D．在竖直方向，、粒子先加速度再减速，由运动学公式得

因为、粒子在电场中运动时间相等，场强E相等，则

所以，、穿过极板竖直方向上的位移大小与两粒子的比荷成正比，则

D错误。
故选C。
二、多选题
4．（2023·福建漳州·统考二模）如图，水平虚线下方有水平向右的匀强电场，虚线上方有垂直纸面向里的匀强磁场，P为虚线上的一点，从O点沿OP方向先后射出初动能分别为E0和2E0的两个质子，它们第一次经过虚线上的位置分别为M1、M2，第二次经过虚线上的位置分别为N1、N2，M1、M2、N1、N2图中未画出，已知O、P连线垂直于电场也垂直于磁场，则（　　）

A．PM1=PM2 B．PM1>PM2
C．M2N2 【答案】 BD
【解析】AB．对于这两个质子有
，
电场中质子在竖直方向做匀速直线运动，则有
，
电场中质子在水平方向做匀加速直线运动，则有
，
解得

A错误，B正确；
CD．令两个质子进入磁场的速度分别为v3、v4，该速度与虚线夹角为θ1、θ2，则有
，
对应的弦长为
，
在电场中有
，
由于
，
解得

C错误，D正确。
故选BD。
5．（2023·河北邯郸·高三统考期末）如图所示，位于竖直平面内的平面直角坐标系xOy的第一象限内有一抛物线，如图中虚线所示，其方程为，虚线上方（包含虚线）存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为，第三象限内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为。在抛物线的下方的区域有大量质量、电荷量的粒子以相同的初速度平行于x轴射入电场，最后均经过O点进入磁场，不计粒子的重力，则下列判断正确的是（    ）

A．
B．粒子在磁场中运动的最长时间为
C．所有的粒子出磁场的位置在y轴上的坐标都为
D．粒子在磁场中运动的最短时间为
【答案】 ACD
【解析】A．设从坐标为（x，y）处射入的粒子，在电场中做类平抛运动，则



联立解得

选项A正确；

BD．粒子从O点进入磁场时，水平速度

竖直速度

则速度方向与x轴负向夹角为

则当x越大，θ角越大，在磁场中运动的时间越短；当x=0时，θ=0，在磁场中运动的时间最长，最长时间为

当x=1m时，θ=45°，此时在磁场中运动的时间最短，最短时间

选项B错误，D正确；
C．粒子进入磁场时的速度

则粒子在磁场中运动的半径为

则粒子从y轴射出时出射点距离O点的距离

即所有的粒子出磁场的位置在y轴上的坐标都为，选项C正确。
故选ACD。
6．（2023春·河南平顶山·高三平顶山市第一高级中学校考开学考试）如图所示，在两个边长均为的正三角形区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，左右两侧有平行于的匀强电场（电场强度大小未知）。质量为m、带电荷量为的带正电粒子（不计重力），由电场中点由静止释放，恰好从边的中点进入磁场区域。已知经过下方磁场区域后，粒子能从的中点进入左侧电场，最终能从上某点沿垂直边界方向射出磁场区域，则下列说法正确的是 （　　）

A．电场强度大小为
B．从到中点的距离为
C．从释放到从边界出磁场，粒子运动的时间为
D．带电粒子在磁场中运动时的速度大小为
【答案】 AB
【解析】D．由题意作出带电粒子的运动轨迹如图所示，粒子从到b做匀加速直线运动，从b到c做圆周运动，从c到d做类斜上抛运动，从d到e做圆周运动，从e到再到e做匀变速直线运动，从e到f的运动为圆周运动，由几何关系可得，粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为

由洛伦兹力提供向心力有

故

故D错误；
AB．从到b有

由数学知识可得，从b到c的运动轨迹所对的圆心角为

则粒子在c点时速度方向与水平方向间的夹角也为

从c到d，粒子在电场中做类斜上抛运动，有



结合上述分析可得


故AB正确；
C．粒子从点释放，到最终从f出磁场，所用的时间

得

故C错误。

故选AB。
7．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，一个带正电粒子，从静止开始经加速电压U1加速后，水平进两平行金属板间的偏转电场中，偏转电压为U2，射出偏转电场时以与水平夹角为θ的速度进入金属板右侧紧邻的有界匀强磁场，虚线为磁场的左边界，场范围足够大，粒子经磁场偏转后又从磁场左边界射出，粒子进入磁场和射出磁场的位置之间的距离为l，下列说法正确的是（　　）

A．只增大电压U1，θ变大
B．只增大电压U2，θ变大
C．只增大电压U1，距离l变大
D．只增大电压U2，距离l变大
【答案】 BC
【解析】AB．粒子先加速运动后做类平抛运动





解得 ，只增大电压U2，θ变大，B正确，只增大电压U1，θ变小，A错误；
CD．在磁场中做匀速圆周运动




解得 ，只增大电压U1，距离l变大，C正确，只增大电压U2，距离l不变，D错误。
故选BC。

三、解答题
8．（2023·山东潍坊·统考一模）利用电磁场控制带电粒子的运动路径，在现代科学实验和技术设备中有着广泛应用。如图所示，一粒子源不断释放质量为m、带电量为＋q、初速度为的带电粒子，经可调电压U加速后，从O点沿OQ方向入射长方体空间区域。已知长方体OM、边的长度均为d，OQ的长度为，不计粒子的重力及其相互作用。
（1）若加速电压且空间区域加沿方向的匀强电场，使粒子经过点，求此匀强电场电场强度的大小；
（2）若加速电压变化范围是，空间区域加沿方向的匀强磁场，使所有粒子由MP边出射，求此匀强磁场的磁感应强度大小；
（3）若加速电压为，空间区域加（2）问的匀强磁场，粒子到达O点时加方向沿、大小为的匀强电场，一段时间后撤去电场，粒子经过点，求电场存在的时间。

【答案】 （1）；（2）；（3）
【解析】（1）仅加电场时粒子做类平抛运动，由类平抛规律可得



解得

（2）粒子经加速电场加速

由可得

仅加磁场时粒子做匀速圆周运动，从M点以出射的粒子对应所加磁场的最大值


解得

从P点以出射的粒子对应所加磁场的最小值


解得

综上，所加匀强磁场的磁感应强度大小为

（3）带电粒子在垂直的方向上做匀速圆周运动，结合几何关系知，轨迹所对应的圆心角为60°，粒子运动时间

沿方向，当电场存在时间最短时，粒子由O点开始先匀加速运动再匀速运动


解得

9．（2023·辽宁鞍山·统考一模）如图所示，平面直角坐标系中存在一个半径R=0.2m的圆形匀强磁场区域，圆心与原点重合，磁感应强度，方向垂直纸面向外。区域有电场强度大小为E的匀强电场，方向沿y轴正方向。现从坐标为（0.2m，-0.3m）的P点发射出质量、带电量的带正电粒子，以速度大小沿x轴负方向射入匀强电场，恰从圆形磁场区域的最低点进入磁场。（粒子重力不计）
（1）求该匀强电场E的大小：
（2）求粒子在磁场B中做圆周运动的半径r。

【答案】 （1）5×103N/C；（2）0.2m
【解析】（1）粒子在电场中做类平抛运动，其水平位移为0.2m，则有
x=v0t
竖直方向有

其中
y=0.3m-0.2m=0.1m
根据牛顿第二定律有
qE=ma
解得
E=5×103N/C
（2）由平抛的速度规律可知，速度方向与-x方向的夹角θ满足

由于
vy=at
解得
θ=45°
所以进行磁场的速度

解得

作出运动轨迹如图所示

在磁场中有

解得
r=0.2m
10．（2023·浙江杭州·高三统考期末）如图1所示，空间中放置一个平行板电容器MN，板长和板间距均为，两极板上电压，。极板右侧是一个无穷大匀强磁场区域，方向垂直纸面向里，磁场左边界CD紧贴极板右侧，磁场中放着一块与CD平行的足够长金属板，与CD间距为。有一粒子枪S，可以不断产生初速度近似为零的X和Y粒子，X粒子的质量为m，电荷量为+q，Y粒子的质量为4m，电荷量为+，两种粒子经过枪内内置的加速电场加速后，能水平射入两极板间，内置加速电场的电压为，粒子枪可沿极板左边界EF上下移动。现将粒子枪紧靠在M极板的左端E处，发现射出的X粒子恰好击中金属板上的B点，虚线AB是平行板电容器的中线。不考虑粒子间的相互作用，求：
（1）X粒子在电场中偏转的位移；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）金属板被两种粒子都击中的区域长度d；
（4）将金属板移到M板右上方并紧贴磁场左边界CD，如图2所示，Q点与M极板右端重合且彼此绝缘，将极板MN上的电压改为，带电粒子在偏转电场中运动时间远小于所加交流电的周期且N极板可上下平移（F点随极板N一起移动），粒子枪内置的加速电压不变。当粒子枪S在EF上移动时，发现击中金属板的X粒子和Y粒子的区域不重叠（粒子打到板立即被导走）求极板M、N间距L的范围。

【答案】 （1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）粒子首先被电子枪内置电场加速，有

进入平行板电容器后做类平抛运动，水平方向有

竖直方向有

根据牛顿第二定律有

联立以上各式可得粒子在电场中偏转的位移为

（2）根据几何关系可知，带电粒子射出平行板电容器时位移偏向角的正切值为

因此，根据平抛运动的推论，速度偏向角的正切值等于位移偏向角正切值的两倍可得

由此可知带电粒子在射出平行板电容器时速度的偏向角，则带电粒子在进入磁场后打金属板上的点，根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的半径为

粒子在磁场中做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，则有

其中

联立以上各式解得

（3）由（2）可知，电子枪在间移动粒子才能射出电场，且从A点射出的粒子经电场偏转进入磁场后打在PQ板上的位置恰好与N板齐平，故粒子打在PQ板上的长度为，而若是粒子从M板的E点处进入电场，则在电场中竖直方向的的偏移量为

水平方向有

根据牛顿第二定律由

电子枪内置电压对粒子加速有

联立以上各式可得

即可知电性相同的不同带电粒子通过同一加速电场和同一偏转电场后的偏移位移相等，且速度的偏向角也相等，则可知粒子在进入磁场时的速度为

由洛伦兹力充当向心力可得

解得粒子在磁场中运动的轨迹半径为

则由几何关系可知，两粒子打在PQ板上的重合区域的长度为

（4）进入磁场粒子和粒子都向上偏转追钟都打在PQ板上，两粒子进入磁场的入射角和打在PQ板上的出射角均为，设粒子向上偏转的竖直距离为,粒子向上偏转的竖直距离为，则根据几何关系有
，
而要使打在PQ板上的X粒子和Y粒子的区域不重叠，则根据几何关系有

解得

11．（2023·河北唐山·统考一模）如图所示，xOy为平面直角坐标系，在y>d的空间Ⅰ内存在沿x轴正方向的匀强电场。在0 （1）小球到达C点时的速度大小；
（2）小球在空间Ⅱ内运动的时间；
（3）小球进入空间Ⅲ后，经偏转到达y轴上F点（F点未画出），则DF两点间电势差。

【答案】 （1）；（2）；（3）
【解析】（1）到达C点时，竖直速度

时间

则水平速度

则小球到达C点时的速度大小

与x轴的夹角

即方向与x轴正向夹角为45°；
（2）因

可知

则粒子进入区域Ⅱ内做匀速圆周运动，半径为


可知粒子垂直x轴进入空间Ⅲ，则运动时间

（3）进入空间Ⅲ后水平方向向左做匀加速运动，竖直方向因为则向下做匀速运动，则


FO两点间电势差

DO两点间电势差

DF两点的电势差

12．（2023·山东烟台·统考一模）在如图所示的空间直角坐标系中，yOz平面左侧匀强磁场沿z轴正方向，右侧匀强磁场沿y轴正方向，左、右两侧磁场的磁感应强度大小均为；yOz平面右侧还有沿y轴正方向的匀强电场。空间中坐标为的M点有一粒子源，粒子源发射粒子的初速度方向均沿xOy平面，与x轴正方向的夹角为。其中初速度为（未知）的粒子恰好不能到达yOz平面右侧，初速度为的粒子运动轨迹恰好与xOz平面相切。已知粒子源发射的所有粒子的质量均为m，电荷量均为。不计粒子的重力。求：
（1）初速度的大小；
（2）初速度为的粒子的运动轨迹与xOz平面切点的坐标；
（3）初速度为的粒子前两次经过yOz平面的交点间的距离；
（4）初速度为的粒子第n次在yOz平面左侧运动时的速度大小。

【答案】 （1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）初速度为的粒子的运动轨迹与y轴相切，如图所示

由几何知识可得


联立求得

（2）初速度为的粒子在yOz平面左侧运动时

求得

如图所示

由几何关系知，粒子第一次到达y轴时的速度与x轴正方向成角斜向下，此时将粒子的速度分解，平行于x轴的分速度

平行于y轴的分速度

在yOz平面右侧沿y轴方向，在电场力作用下先做匀减速直线运动，到达xOz平面沿y轴方向速度为零，有


在垂直y方向，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动



粒子与xOz平面相切时，对应的坐标


即切点坐标为；
（3）粒子第一次经过yOz平面时的y轴坐标为，粒子从与平面xOz平面相切到第二次与yOz平面相交用时为，有

粒子沿y轴方向所受电场力不变，加速度不变，第二次与yOz平面相交时的y轴坐标为



（4）初速度为的粒子在yOz平面右侧运动时加速度为

初速度为的粒子第2次刚进入yOz平面左侧运动时沿y轴方向的速度大小为

因为粒子沿y轴方向只在平面右侧才有不变的加速度，且每次加速时间均为，所以第n次刚进入yOz平面左侧运动时的沿y轴方向的速度大小为

粒子第n次在yOz平面左侧运动时速度大小为


（2022·河北·统考高考真题）两块面积和间距均足够大的金属板水平放置，如图1所示，金属板与可调电源相连形成电场，方向沿y轴正方向。在两板之间施加磁场，方向垂直平面向外。电场强度和磁感应强度随时间的变化规律如图2所示。板间O点放置一粒子源，可连续释放质量为m、电荷量为、初速度为零的粒子，不计重力及粒子间的相互作用，图中物理量均为已知量。求：
（1）时刻释放的粒子，在时刻的位置坐标；
（2）在时间内，静电力对时刻释放的粒子所做的功；
（3）在点放置一粒接收器，在时间内什么时刻释放的粒子在电场存在期间被捕获。

【答案】 （1）；（2）；（3），
【解析】（1）在时间内，电场强度为，带电粒子在电场中加速度，根据动量定理可知

解得粒子在时刻的速度大小为

方向竖直向上，粒子竖直向上运动的距离

在时间内，根据粒子在磁场运动的周期可知粒子偏转，速度反向，根据可知粒子水平向右运动的距离为

粒子运动轨迹如图

所以粒子在时刻粒子的位置坐标为，即；
（2）在时间内，电场强度为，粒子受到的电场力竖直向上，在竖直方向

解得时刻粒子的速度

方向竖直向上，粒子在竖直方向上运动的距离为

在时间内，粒子在水平方向运动的距离为

此时粒子速度方向向下，大小为，在时间内，电场强度为，竖直方向

解得粒子在时刻的速度

粒子在竖直方向运动的距离

粒子运动的轨迹如图

在时间内，静电力对粒子的做功大小为

电场力做正功；
（3）若粒子在磁场中加速两个半圆恰好能够到达点，则释放的位置一定在时间内，粒子加速度时间为，在竖直方向上


在时间内粒子在水平方向运动的距离为

在时间内，在竖直方向


在时间内，粒子在水平方向运动的距离为

接收器的位置为，根据距离的关系可知

解得

此时粒子已经到达点上方，粒子竖直方向减速至用时，则

竖直方向需要满足

解得在一个电场加速周期之内，所以成立，所以粒子释放的时刻为中间时刻；
若粒子经过一个半圆到达点，则粒子在时间内释放不可能，如果在时间内释放，经过磁场偏转一次的最大横向距离，即直径，也无法到达点，所以考虑在时间内释放，假设粒子加速的时间为，在竖直方向上


之后粒子在时间内转动半轴，横向移动距离直接到达点的横坐标，即

解得

接下来在过程中粒子在竖直方向减速为的过程中


粒子要在点被吸收，需要满足

代入验证可知在一个周期之内，说明情况成立，所以粒子释放时刻为。