新教材高二下学期期中联考数学试题（原卷版+教师版）

这是一份新教材高二下学期期中联考数学试题（原卷版+教师版），共29页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答， 已知函数，下列说法中错误的是等内容，欢迎下载使用。

新教材高二下学期期中联考数学试题

注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效；
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效；
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数f（x）在处的导数为12，则（ ）
A. -4 B. 4 C. -36 D. 36
3. 从1，2，3，0这四个数中取三个组成没有重复数字的三位数，则三位数的个数为（ ）
A. 24 B. 48 C. 18 D. 36
4. 已知上可导函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（ ）

A. B.
C. D.
5. 在数列中，已知，则的前10项的和为（ ）
A 1023 B. 1024 C. 2046 D. 2047
6. 已知函数，下列说法中错误的是（ ）
A. 函数在原点处的切线方程是
B. 是函数的极大值点
C. 函数在上有个极值点
D. 函数在上有个零点
7. 已知，为椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D.
8. 已知函数的导函数为，且，，则不正确的是（ ）
A. B.
C 没有极小值 D. 当有两个根时，
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 记是数列的前项的和，且，则下列说法正确的有（ ）
A. 数列是等差数列 B. 数列是递减数列
C. 数列是递减数列 D. 当时，取得最大值
10. 现有带有编号1、2、3、4、5的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确的有（ ）
A. 全部投入4个不同的盒子里，共有种放法
B. 全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法
D. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
11. 已知函数，下列说法正确的有（ ）
A. 曲线在处的切线方程为
B. 的单调递减区间为
C. 的极大值为
D. 方程有两个不同的解
12. 阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线与其弦所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形的顶点C在抛物线上，且在过弦的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的.现已知直线与抛物线交于A，B两点，且A为第一象限的点，E在A处的切线为l，线段的中点为D，直线轴所在的直线交E于点C，下列说法正确的是（ ）
A. 若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6
B. 切线l的方程为
C. 若，则弦对应的抛物线弓形面积大于
D. 若分别取的中点，，过，且垂直y轴的直线分别交E于，，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围为______.
14. 七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种.

15. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______.
16. 定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”，若“黄金椭圆”两个焦点分别为、，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课
（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？
（2）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？






18. 已知数列的前项和为，从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，解答下列问题.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记前项和为，若对任意正整数，都有恒成立，求实数的取值范围.
条件①，且；条件②为等比数列，且满足.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.





19. 已知是函数极值点，则：
（1）求实数的值．
（2）讨论方程的解的个数








20. 某地地方政府为了促进农业生态发展，鼓励农民建设生态采摘园.2022年该地生态采摘园的沃柑产量为6500公斤，计划不超过24天内完成销售.采摘园种植的农产品一般有批发销售和游客采摘零售两大销售渠道.根据往年数据统计，游客从开园第1天到闭园，游客采摘量（公斤）和开园的第天满足以下关系：.批发销售每天的销售量为200公斤，每公斤5元，采摘零售的价格是批发销售价格的4倍.
（1）取何值时，采摘零售当天收入不低于批发销售当天的收入？
（2）采摘零售的总采摘量是多少？农户能否24天内完成销售计划？











21. 以椭圆的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆C及其“伴随”的方程；
（2）过点作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记为坐标原点）的面积为，将表示为m的函数，并求的最大值．








22. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有两个零点（其中），且不等式恒成立，求实数的取值范围．









新教材高二下学期期中联考数学试题
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效；
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效；
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 抛物线的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将已知抛物线方程整理成标准形式，从而可求出焦点坐标.
【详解】由可得，焦点在轴的正半轴上，设坐标为，
则，解得，所以焦点坐标为.
故选:D.
2. 已知函数f（x）在处的导数为12，则（ ）
A. -4 B. 4 C. -36 D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可.
【详解】根据题意，函数在处的导数，
则，
故选：B
3. 从1，2，3，0这四个数中取三个组成没有重复数字的三位数，则三位数的个数为（ ）
A. 24 B. 48 C. 18 D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】利用分步计数原理和排列数即可求解.
【详解】先排末位则有种，再从剩下的三个选两个进行排列则，
根据分步计数原理可得种，
故选：C.
4. 已知上可导函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数图象得出和的解，然后用分类讨论思想求得结论．
【详解】由图象知的解集为，的解集为，
或，
所以或，解集即．
故选：C
5. 在数列中，已知，则的前10项的和为（ ）
A. 1023 B. 1024 C. 2046 D. 2047
【答案】C
【解析】
【分析】利用，表示出的前10项的和，通过等比数列前n项和公式求解即可.
【详解】
，，，，，
则的前10项的和为.
故选：C
6. 已知函数，下列说法中错误的是（ ）
A. 函数在原点处的切线方程是
B. 是函数的极大值点
C. 函数在上有个极值点
D. 函数在上有个零点
【答案】D
【解析】
【分析】通过导数的几何意义判断选项A，通过导数确定的单调性和极值，判断选项B，进一步通过的图象与图象的交点个数，判断选项D，构造函数，通过多次求导，判断的单调区间和极值判断选项C.
【详解】∵，∴定义域为，
∴，
对于A，由导数的几何意义，函数在原点处的切线的斜率，
∴函数在原点处的切线方程为，即，故选项A说法正确；
对于B，令，解得或，
当时，，区间和单调递增；
当时，，在区间单调递减，
∴在时取得极大值，在时取得极小值，
∴是函数的极大值点，故选项B说法正确；
对于C，∵，∴，
令，则，
令，则当时，，
∴在上单调递增，
且，，
∴，使，
当时，，在区间单调递减，
当时，，在区间单调递增，
∴在上的最小值为，
∵，∴，，∴，
又∵，
∴，使，，使，
∴当时，，在区间和上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
∴函数的极大值点为，极小值点为，
∴函数在上有个极值点，故选项C说法正确；
对于D，由选项B的判断知，的极大值为，极小值为，
又∵，∴与在同一平面直角坐标系内的图象如下图：

如图可知，与在同一平面直角坐标系下有个交点，
即方程有三个实数解，
即函数有个零点，故选项D说法错误.
综上所述，说法错误的选项为D.
故选：D.
7. 已知，为椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题可得，在中，由余弦定理得，结合基本不等式得，即可解决.
【详解】由题知，，为椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，，分别为曲线，的离心率，
假设，
所以由椭圆，双曲线定义得，解得，
所以在中，，由余弦定理得
，即
，
化简得，
因为，
所以，即，
当且仅当时，取等号，
故选：A
8. 已知函数的导函数为，且，，则不正确的是（ ）
A. B.
C. 没有极小值 D. 当有两个根时，
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件判断函数的单调性，即可判断AB；求函数，利用导数求函数的极值，判断C；将方程的实数根，转化为函数图象的交点问题，利用数形结合判断的取值范围.
【详解】因为，所以函数单调递增，
，即，故A正确；
，即，故B正确；
设，
即，，得，
所以，，得，
在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以当函数取得极小值，故C错误；
有2个根，即函数的图象与有2个交点，由以上可知当函数取得极小值，，
并且时，，并且时，，时，，并且时，，
所以当直线与的图象有2个交点时，，故D正确.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 记是数列的前项的和，且，则下列说法正确的有（ ）
A. 数列是等差数列 B. 数列是递减数列
C. 数列是递减数列 D. 当时，取得最大值
【答案】ACD
【解析】
【分析】由等差数列的定义可判断A；由等差数列的单调性可判断C；根据的表达式结合二次函数的性质可判断BD.
【详解】∵，∴数列是等差数列，故A正确；
，，
∵当时，递增，∴数列不是递减数列，故B错误；
由得，所以数列是递减数列，故C正确；
∵，，∴当 时，取得最大值，故D正确.
故选：ACD.
10. 现有带有编号1、2、3、4、5的五个球及四个不同的盒子，则下列表述正确的有（ ）
A. 全部投入4个不同的盒子里，共有种放法
B. 全部投入2个不同的盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C. 将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法
D. 全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，利用分步乘法计数原理计算可判断A正确；对于B，先将5个球分为2组，再全排，计算可判断B不正确；对于C，利用分步乘法计数原理计算可判断C正确；对于D，先将5个球分为4组，再全排，计算可判断D正确；
【详解】对于A，带有编号1、2、3、4、5的五个球，全部投入4个不同的盒子里，共有种放法，故A正确；
对于B，带有编号1、2、3、4、5的五个球全部投入2个不同的盒子里，第一步选2个盒子有种选法，第二步将5个球分为两组，若两组球个数之比为1：4有种分法；若两组球个数之比为2：3有种分法，第三步将两组排给两个盒子有种排法，因此共有，故B不正确；
对于C，带有编号1、2、3、4、5的五个球，将其中的4个球投入4个盒子里的一个（另一个球不投入），第一步选4个球有种选法，第二步选一个盒子有种选法，共有种放法，故C正确；
对于D，带有编号1、2、3、4、5五个球，全部投入4个不同的盒子里，没有空盒，第一步将5球分成2：1：1：1的四组共有种分法，第二步分给四个盒子有种排法，故共有种放法，故D正确；
故选：ACD.
11. 已知函数，下列说法正确的有（ ）
A. 曲线在处的切线方程为
B. 的单调递减区间为
C. 的极大值为
D. 方程有两个不同的解
【答案】AB
【解析】
【分析】利用导数，结合切线、单调区间、极值、方程的解等知识确定正确答案.
【详解】的定义域为，.
A选项，，
所以曲线在处的切线方程为，A选项正确.
B选项，令解得，
所以在区间，单调递减，B选项正确.
C选项，在区间，单调递增，
所以有极小值，无极大值，C选项错误.
D选项，的极小值为，
当时，；当时，，
方程有一个解，D选项错误.
故选：AB
12. 阿基米德的“平衡法”体现了近代积分法的基本思想，他用平衡法求得抛物线弓形（抛物线与其弦所在直线围成的图形）面积等于此弓形的内接三角形（内接三角形的顶点C在抛物线上，且在过弦的中点与抛物线对称轴平行或重合的直线上）面积的.现已知直线与抛物线交于A，B两点，且A为第一象限的点，E在A处的切线为l，线段的中点为D，直线轴所在的直线交E于点C，下列说法正确的是（ ）
A. 若抛物线弓形面积为8，则其内接三角形的面积为6
B. 切线l的方程为
C. 若，则弦对应的抛物线弓形面积大于
D. 若分别取的中点，，过，且垂直y轴的直线分别交E于，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项直接通过题目中给出的条件进行判断；B选项联立直线抛物线求出A点坐标，求导确定斜率，写出切线方程进行判断；C选项令，进行判断；
D选项根据条件依次求出各点坐标，分别计算三角形的面积进行判断.
【详解】
A选项：内接三角形的面积，正确；
B选项：，解得，又A为第一象限的点，，
，，故切线方程为，即，正确；
C选项：由，得，令，，弓形面积为，
所以不等式不成立，错误；
D选项：由知，轴，，又的中点，，易求，， ，，因此成立，正确.
故选：ABD.
【点睛】本题需要依次判断四个选项，A选项直接利用定义判断，B选项关键在于按照切线方程的通用求法进行求解，C选项通过特殊值进行排除即可，
D选项关键在于求出各点坐标，再求三角形面积进行判断.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13. 已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】联立方程得到，讨论，两种情况，计算得到答案.
【详解】直线方程与双曲线方程联立：得：,
当时，即时，直线与渐近线平行，有一个公共点，舍去；
当时，<0，即或，无公共点.
综上所述：或.
故答案为：
14. 七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种.

【答案】
【解析】
【分析】画图分析其中四板块必涂上不同颜色，再根据分类分步计数原理计算剩下部分即可.
【详解】由题意，一共4种颜色，板块需单独一色，剩下6个板块中每2个区域涂同一种颜色.
又板块两两有公共边不能同色，故板块必定涂不同颜色.

①当板块与板块同色时，则板块与板块或板块分别同色，共2种情况；
②当板块与板块同色时，则板块只能与同色，板块只能与同色，共1种情况.
又板块颜色可排列，故共种.
故答案为：
15. 已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用导数分析函数的单调性和函数值的变化规律，根据零点定义可得函数的零点为方程和方程的解，结合函数的图象即可得出答案.
【详解】当时，，
所以，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
且，，，
当时，，当时，，
当时，与一次函数相比，函数呈爆炸性增长，
从而，，当时，，
所以，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
且，，
当时，，当时，，
当时，与对数函数相比，一次函数呈爆炸性增长，
从而，，
当，且时，，
根据以上信息，可作出函数的大致图象如下：

函数的零点个数与方程的解的个数一致，
方程，可化为，
所以或，
由图象可得没有解，
所以方程的解的个数与方程解的个数相等，
而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，
由图可知：当时，函数的图象与函数的图象有3个交点.
故答案为：.
16. 定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”，若“黄金椭圆”两个焦点分别为、，为椭圆上的异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据三角形面积公式、三角形内切圆的性质，结合椭圆的定义、离心率公式进行求解即可.
【详解】
如图，连接，，设到轴距离为，到轴距离为，
则
设△内切圆的半径为，则，





∴
不妨设，则，
∴，
∴，
故答案为：.
【点睛】关键点睛：运用三角形内切圆的性质，结合椭圆的定义是解题的关键.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课
（1）如果数学必须比语文先上，则不同的排法有多少种？
（2）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？
【答案】（1）种
（2）种
【解析】
【分析】（1）根据数学必须比语文先上，属于定序问题，采用除法处理即倍缩法，即可求解.
（2）根据九科中六科的顺序一定，属于定序问题，采用除法处理即倍缩法，即可求解.
【小问1详解】
如果数学必须比语文先上，则不同的排法有种.
【小问2详解】
若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有种.
18. 已知数列的前项和为，从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，解答下列问题.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记的前项和为，若对任意正整数，都有恒成立，求实数的取值范围.
条件①，且；条件②为等比数列，且满足.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）条件选择见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）选①：由与的关系求；选②：求得后得到公比，写出通项公式即可.
（2）由裂项求和法求得，并求得的取值范围，由不等式恒成立求的取值范围.
【小问1详解】
选①：且，则，
两式相减，得，
所以为公比的等比数列，
又，，解得，所以；
选②：因为为等比数列，且满足，
所以，，
所以，所以.
【小问2详解】
因为，所以，


显然数列是关于的增函数，∵，∴，
∴
由恒成立得，，解得或
故的取值范围为.
19. 已知是函数的极值点，则：
（1）求实数的值．
（2）讨论方程的解的个数
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求导，由题意可得，即可得解，要注意检验；
（2）利用导数求出函数的单调区间及极值，由此作出函数的大致图象，结合函数图象即可得解.
【小问1详解】
,
因为是函数的极值点，
所以，即，
解得或，
当时，，
令，则或，令，则，
所以函数在上递增，在上递增，
所以的极小值点为，极大值点为，符合题意，
当时，，
所以在上递增，所以无极值点，
综上所述；
【小问2详解】
由（1）可得，
函数在上递增，在上递增，
则，
又当时，，当时，，
作出函数的大致图象，如图所示，
当或时，方程有个解，
当或时，方程有个解，
当时，方程有个解.

20. 某地地方政府为了促进农业生态发展，鼓励农民建设生态采摘园.2022年该地生态采摘园的沃柑产量为6500公斤，计划不超过24天内完成销售.采摘园种植的农产品一般有批发销售和游客采摘零售两大销售渠道.根据往年数据统计，游客从开园第1天到闭园，游客采摘量（公斤）和开园的第天满足以下关系：.批发销售每天的销售量为200公斤，每公斤5元，采摘零售的价格是批发销售价格的4倍.
（1）取何值时，采摘零售当天的收入不低于批发销售当天的收入？
（2）采摘零售的总采摘量是多少？农户能否24天内完成销售计划？
【答案】（1）
（2）1327公斤，不能完成销售计划
【解析】
【分析】（1）分段讨论计算采摘零售当天的收入:，批发销售当天的收入，列不等式求解即可；
（2）当时，采摘零售量为数列的和，当时，采摘零售量为数列的和， 两者之和为采摘零售的总采摘量，再加上批发销售的销售总量后判断是否超过6500公斤.
【小问1详解】
由条件，当时，，解得
当时，，解得，
所以，采摘零售当天的收入不低于批发销售的收入.
【小问2详解】
不能.当时，为等差数列，记这些项的和为，.
当时，记数列这些项的和为，





，即采摘零售的总采摘量是1327公斤.
批发销售的销售总量为公斤，24天一共销售公斤，故不能完成销售计划.
21. 以椭圆的中心O为圆心，以为半径的圆称为该椭圆的“伴随”．已知椭圆的离心率为，且过点．
（1）求椭圆C及其“伴随”的方程；
（2）过点作“伴随”的切线l交椭圆C于A，B两点，记为坐标原点）的面积为，将表示为m的函数，并求的最大值．
【答案】（1）,；（2），，的最大值为1．
【解析】
【分析】（1）由椭圆C的离心率，结合的关系，得到，设出椭圆方程，代入点，即可得到椭圆方程和“伴随”的方程；
（2）设切线的方程为，联立椭圆方程，消去y得到x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，即可得到AB的长，由l与圆相切，得到的关系式，求出 的面积，运用基本不等式，即可得到最大值．
【详解】（1）椭圆的离心率为，可得，即
又由，可得，
设椭圆C的方程为，
因为椭圆C过点，代入可得，
解得，所以椭圆C的标准方程为，
又由，即“伴随圆”是以原点为圆心，半径为1的圆，
所以椭圆C的“伴随”方程为．
（2）由题意知，，
易知切线的斜率存在，设切线的方程为，
由得，
设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则，．
又由l与圆x2+y2=1相切，所以，k2=m2-1．
所以=，
则，，
可得（当且仅当时取等号），
所以当时，S△AOB的最大值为1．
【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式的运用，考查直线与圆相切的条件，考查运算能力，属于中档题．
22. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有两个零点（其中），且不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义运算求解；
（2）根据题意可得有两个正根，换元令，分析可得有两个正根，换元令，整理分析可得在时恒成立，故而令，继而转化为利用导数求解函数的最值问题，结合分类讨论，即可求得答案.
【小问1详解】
∵，则，
可得，
即切点坐标为，切线斜率，
故切线方程为，即.
【小问2详解】
∵，
令，可得，
故函数有两个零点等价于有两个正根，
令，则，
等价于有两个正根，
∵当时恒成立，
故在上单调递增，
对于，由，可得，
可得，可得，
令，由，可得，
由，整理可得，
由于恒成立，
等价于当时恒成立，
等价于当时恒成立，
令，则，
令，则，
当时，，所以在上单调递增，
则有当时，．
（i）当时，当时，，
所以在上单调递增，则有，符合题意。
（ⅱ）当时，由于，且，，
所以存在唯一的 使得，
所以当时，，则在上单调递减，
所以，不符合题意.
综上，不等式恒成立，则 .
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
(1)分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
(2)函数思想法
第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．