2022-2023学年湖南师大附中教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南师大附中教育集团七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数中，无理数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  在平面直角坐标系中，点落在(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.  如图，、、、是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是(    )

A. 点 B. 点 C. 点 D. 点

4.  四根火柴棒摆成如图所示的象形“口”字，平移此象形字火柴棒后，变成的象形文字是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若使成立，则的值是(    )

A.  B.  C. 或 D.

6.  如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，，，为垂足，那么、、三点在同一条直线上，其理由是(    )

A. 两点之间线段最短
B. 平行于同一条直线的两条直线互相平行
C. 两点确定一条直线
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
 

8.  一副直角三角板如图放置，点在的延长线上，，，，，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  中国传统数学重要著作九章算术中记载：今有共买物，人出八，盈三人出七，不足四，问人数、物价各几何据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出元，则多了元如果每人出元，则少了元，问组团人数和物价各是多少若设人参与组团，物价为元，则以下列出的方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，已知，，且满足，点在线段上，、满足，点在轴负半轴上，连接交轴的负半轴于点，且，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若，则 ______ ．

12.  在平面直角坐标系中，点到轴的距离是______．

13.  如图，两条直线相交于点，若，则______度．

14.  若是关于、的二元一次方程的解，则______．

15.  如图是一条长方形纸片，已知，则 ______ ．

16.  为了从枚外形相同的金蛋中找出唯一的有奖金蛋，检查员将这些金蛋按的顺序进行标号．第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金蛋，他将剩下的金蛋在原来的位置上又按编了号即原来的号变为号，原来的号变为号原来的号变为号，又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋如此下去，检查到最后一枚金蛋才是有奖金蛋，问这枚有奖金蛋最初的编号是______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解方程组：．

19.  本小题分
已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分．
求，，的值；
求的平方根．

20.  本小题分
已知：如图，，且平分，求证：请完善证明过程，并在括号内填上相应依据．
证明：平分已知，
______ ______ 角平分线的定义，
又已知，
等量代换，
______ ______ ______
已知，
______ ______ ，
______ ，
垂直的定义．

21.  本小题分
如图，，．
求证：；
若，平分，求的度数．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，，，将三角形向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，可以得到三角形，其中点、、分别与点、、对应．
画出平移后的三角形，并直接写出、、三个点的坐标；
求三角形的面积；
已知点在轴上，以、、为顶点的三角形面积为，求点的坐标．

23.  本小题分
某中学七年级班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了个篮球和个排球，花元，并且每个排球比篮球便宜元．
求篮球和排球的单价各是多少；
商店里搞活动，有两种套餐，套餐打折：五个篮球和五个排球为一套餐，套餐打八折；满减活动：满减，满减；两种活动不重复参与，学校打算购买个篮球，个排球，请问如何安排更划算？

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，已知不同的两点，，若，则称点与点互为倍点．
已知点，点在一条平行于轴且经过点的直线上，它与点互为倍点，求点；
已知点，对于任意实数，是否存在轴上的点，使得它与点互为倍点，若存在，请求出点的个数，若不存在，请说明理由；
已知两点，，若点与点互为倍点，且都在轴下方，将线段向右平移个单位长度，点的对应点为点，点的对应点为点，平移后点到轴的距离为，四边形的面积为，求点与点．

25.  本小题分
如图，已知，，点在上，点，在上，点在，之间，连接，，，．

求证：；
如图，平分交于点，，平分，：：．
当，时，求的度数；
如图，平分，，交于点，若，求：的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是无理数，符合题意；
B、是有理数，不符合题意；
C、是有理数，不符合题意；
D、是有理数，不符合题意，
故选：．
根据无理数是无限不循环小数逐项进行判断即可．
本题主要考查无理数，解答的关键掌握无理数与有理数的概念：有理数包含整数和分数、无理数为无限不循环小数．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
点在第三象限，
故选：．
根据第三象限中点的坐标特征：横坐标为负数，纵坐标为负数，由此可确定点位置．
本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，熟练掌握平面直角坐标系中各象限点的坐标特点是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
观察数轴，点符合要求，
故选：．
由，再结合数轴即可求解．
本题考查了实数与数轴，确定的范围是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：原图形平移后，水平的火柴头应在左边，竖直的火柴头应是一上一下．只有符合．
故选：．
由平移的性质，结合图形，采用排除法判断正确结果．
本题利用了平移的基本性质：平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置．
 

5.【答案】 

【解析】解：成立，
，
解得：或．
故选：．
直接利用平方根的定义得出，进而得出答案．
此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、，
．
本选项不能判断，故A错误；
B、，
．
本选项不能判断，故B错误；
C、，
．
本选项能判断，故C正确；
D、，
．
故本选项不能判断，故D错误．
故选：．
由平行线的判定定理可证得，选项A，，能证得，只有选项C能证得注意掌握排除法在选择题中的应用．
此题考查了平行线的判定．注意掌握数形结合思想的应用．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，为垂足，那么、、三点在同一条直线上，
其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：．
由垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断．
本题考查了垂线的性质，掌握在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，，
，
，
．
故选：．
直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出，进而得出答案．
此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出的度数是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据如果每人出元，则多了元；如果每人出元，则少了元，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是找出等量关系，列出相应的方程组．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
，
解得，，
，；
设所在直线表达式为：，
将，代入，
得，
解得，
所在直线表达式为：，
点在线段上，
，
又
解得，，，
点；
如图所示，

设点坐标为，
，
，
，即，
解得，
点坐标为．
故选：．
先根据非负数的性质求出，坐标，再根据题意求得所在直线的表达式，根据点在上列出方程，结合求出，的值；再结合图形由，即可推出，再根据三角形的面积公式列出方程求解．
本题考查三角形的面积、非负数的性质完全平方式和平方根以及坐标与图形性质，通常将图形中的线段的长度与点的坐标联系起来，应充分利用数形结合．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
直接利用立方根的定义计算得出答案．
本题考查求一个数的立方根，掌握立方根的概念正确计算是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，点到轴的距离是，
故答案为：．
根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值判断即可．
本题考查了点的坐标，熟练掌握点到轴的距离等于横坐标的绝对值，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：和是对顶角，
，
，
，
故答案为：．
根据对顶角相等结合题意计算即可．
本题考查的是对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：把代入二元一次方程中，
，解得．
故答案是：．
把代入二元一次方程中即可求的值．
本题运用了二元一次方程的解的知识点，运算准确是解决此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图：长方形纸条经过折叠得到，

，上下两边互相平行，

，
；
故答案为：．
由题意可知，图形由长方形纸条折叠得到，则折痕是角平分线，长方形的上下两条边互相平行，据此求解即可．
本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，熟练地掌握平行线的性质和是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：将这些金蛋按的顺序进行标号，第一次先取出编号为单数的金蛋，发现其中没有有奖金蛋，
剩余的数字都是偶数，是的倍数，；
他将剩下的金蛋在原来的位置上又按编了号，
又从中取出新的编号为单数的金蛋进行检验，仍没有发现有奖金蛋，
剩余的数字为的倍数，
以此类推：
共经历次重新编号，故最后剩余的数字为：．
故答案为：．
根据题意可得每次挑选都是去掉奇数，进而得出需要挑选的总次数进而得出答案．
此题主要考查了推理与论证，正确得出挑选金蛋的规律进而得出挑选的次数是解题关键．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】先根据乘方运算、绝对值的意义，算术平方根的运算化简，再进行加减运算即可．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．
 

18.【答案】解：
由式得，代入式得，
解得，
将代入式，得，得，
原方程组的解为． 

【解析】直接利用代入消元法解二元一次方程组即可．
本题考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握知识点是解题的关键．
 

19.【答案】解：的立方根是，的算术平方根是，
，，
，，
，是的整数部分，
，
，，的值是：，，；
，，，
，
的平方根是． 

【解析】根据立方根、算术平方根以及估算无理数的大小即可求，，的值；
将，，的值代入求出结果，再根据平方根的定义进行解答即可．
本题考查立方根、平方根、算术平方根以及无理数的估算，求代数式的值，理解立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键．
 

20.【答案】        内错角相等，两直线平行    垂直的定义  两直线平行，同位角相等 

【解析】证明：平分已知，
角平分线的定义，
又已知，
等量代换，
内错角相等，两直线平行，
已知，
垂直的定义，
两直线平行，同位角相等，
垂直的定义．
故答案为：，，，，内错角相等，两直线平行，，垂直的定义，两直线平行，同位角相等．
根据角平分线的定义和平行线的判定和性质解答即可．
本题主要考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，熟练应用相关性质进行求解是解决本题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
，
，
．
解：平分，
，
，，
，
，
． 

【解析】根据两直线平行，同位角相等得，结合已知条件可得，根据同旁内角互补，即可证明两直线平行；
根据角平分线的定义和平行线的性质即可求解．
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的意义，熟练掌握知识点是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，三角形即为所求．
，，．
三角形的面积为．
设点坐标为，
以、、为顶点的三角形面积为，
，
解得或，
点坐标为或． 

【解析】根据平移的性质作图，即可得出答案．
利用割补法求三角形的面积即可．
设点坐标为，则可列方程为，解方程即可得出答案．
本题考查作图平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．
 

23.【答案】解：设篮球单价为每个元，排球单价为每个元，
由题意可得，
解方程组得，
答：篮球每个元，排球每个元；
若按照套餐打折购买费用为：元，
若参加满减活动购买费用为：元，
又，
所以元．
而，所以选择套餐所花费用比选择套餐所花费用低．
答：选用套餐购买更划算． 

【解析】设篮球单价为每个元，排球单价为每个元，根据买了个篮球和个排球，花元，并且每个排球比篮球便宜元，列方程组求解即可得到答案；
分别计算两种活动方案费用比较即可得到答案．
本题考查二元一次方程组解决实际应用问题及择优方案问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式．
 

24.【答案】解：由题意可设点，则有，
即，
或，
点或．
设点，
若存在点与点互为倍点，则．
当时，上式总是成立，有为任意实数且，
此时存在无数个点与点互为倍点；
当时，成立必有，得，
此时点为，与点重合，不符合题意，舍去．
综上所述：当时，轴上有无数个点与点互为倍点，当时，轴上不存在点与点互为倍点．
，，
由题可知，
当时，有，
，
，
此时点与点重合，不符合题意，舍去，
，
．
由平移可知，四边形为平行四边形，
四边形面积为，且，
四边形的高为，即，
，
，
又平移后点到轴的距离为，且点仍在轴下方，
，
，
把代入中，得，
当时，点为与点在轴下方矛盾，舍去，
当，时，点为，点为．
综上所述，，为所求． 

【解析】由题意可设点，则有，然后问题可求解；
设点，若存在点与点互为倍点，则，然后可分当时和当时，进而分类求解即可；
由题意易得，，则有，然后可得，进而根据题中所给定义可进行求解．
本题主要考查图形与坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键．
 

25.【答案】证明：，
，
，
，
；
解：如图，过点作，

．
由题意可知：：：：，
故可设，则．
，，．
平分，平分，
，，
，
，
由可知，，
，
，
解得：，
，．
，
，
；
如图，过点作，

由题意可设，则．
，平分，
，．
，
．
平分，
．
，，
，
．
平分，
，，
．
，
．
，即．
由可知，
，
，
即，
解得：，
：：：：． 

【解析】直接根据平行线的判定和性质证明即可；
过点作，可得，由：：：，可设，则，根据平行线的性质和角平分线的定义即可得出方程，求解即可；
如图，过点作可设，则，根据平行线的性质和角平分线的定义可得方程组，求解即可．
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键．