2023年中考数学二轮专项练习：二次函数-动态几何问题

2023年中考数学二轮专项练习：二次函数-动态几何问题

一、单选题

1．在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位，所得函数图象的解析式为（　　）

A． B． C． D．

2．函数y=3x2+x﹣4是（　　）

A．一次函数 B．二次函数 C．正比例函数 D．反比例函数

3．两个少年在绿茵场上游戏．小红从点A出发沿线段AB运动到点B，小兰从点C出发，以相同的速度沿⊙O逆时针运动一周回到点C，两人的运动路线如图1所示，其中AC DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示．则下列说法正确的是（　　）

A．小红的运动路程比小兰的长

B．两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇

C．当小红运动到点D的时候，小兰已经经过了点D

D．在4.84秒时，两人的距离正好等于⊙O的半径

4．若函数y=4x2+1的函数值为5，则自变量x的值应为（　　）

A．1 B．-1 C．±1 D．

5．将抛物线y=﹣3x2平移，得到抛物线y=﹣3 （x﹣1）2﹣2，下列平移方式中，正确的是（　　）

A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位

B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位

C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位

D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位

6．在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（　　）

A．（﹣3，﹣6） B．（1，﹣4）

C．（1，﹣6） D．（﹣3，﹣4）

7．如图，直线 与x轴和y轴分别相交于A、B两点，平行于直线 的直线 从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴和y轴分别相交于C、D两点，运动时间为t秒 .以 为斜边作等腰直角 （E、O两点分别在 两侧），若 和 的重合部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象大致是（　　）
 

A． B．

C． D．

8．如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（　　）

A． B．

C． D．

9．如图，正方形纸片ABCD的边长为2，翻折∠B，∠D，使两个直角的顶点重合于对角线BD上一点P，EF，GH分别是折痕（如图2）．设BE=x（0＜x＜2），阴影部分面积为y，则y与x之间的函数图象为（　　）

A． B．

C．3 D．

10．下列函数中，是二次函数的是（　　）

A．y=8x2+1 B．y=8x+1 C．y= D．y=

11．如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线y=a（x﹣m）2+n的顶点在线段AB上运动（抛物线随顶点一起平移），与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为﹣3，则点D的横坐标最大值为（　　）

A．﹣3 B．1 C．5 D．8

12．如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=5cm，点E在AD上，且AE=3cm，点P、Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒，△BPQ的面积为y cm2．则y与t的函数关系图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

二、填空题

13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=(x-2)2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作BC∥x轴，交抛物线于点C，过点A作AD∥y轴，交BC于点D，点P在BC下方的抛物线上(不与点B，C重合)，连接PC，PD，设△PCD的面积为S，则S的最大值是　     　． 

14．已知抛物线y=k（x+1）（x﹣）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数是　     　 ．

15．已知点A是抛物线y＝ax2－4ax＋4a＋3（a＞0）的图象上的一点

（1）当a＝2时，该抛物线的顶点坐标为　         　；

（2）过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为斜边作Rt△ABC和Rt△DAC，使得BC∥AD，则BD的最小值为　     　

16．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为　     　．

17．如果将抛物线y=x2﹣2x﹣1向上平移，使它经过点A（0，3），那么所得新抛物线的表达式是　           　．

18．已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线 （ ）对称轴上的一个动点。小明经探究发现：当 的值确定时，抛物线的对称轴上能使△AOM为直角三角形的点M的个数也随之确定。若抛物线 （ ）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则 的值是　     　

三、综合题

19．如图，抛物线y1=﹣ax2+2ax﹣a﹣3（a＞0）和y2=a（x+1）2﹣1（a＞0）的顶点分别为M、N，与y轴分别交于E、F．

（1）①函数y1=﹣ax2+2ax﹣a﹣3（a＞0）的最大值是　     　；

②当y1、y2的值都随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是　          　；

（2）当EF=MN时，求a值，并判断四边形EMFN是何种特殊的四边形；

（3）若y2=a（x+1）2﹣1（a＞0）的图象与x轴的右交点为A（m，0），当△AMN为等腰三角形时，求方程a（x+1）2﹣1=0的解．

20．综合与探究：

如图，抛物线y= x2﹣ x﹣4与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．

（1）求点A，B，C的坐标．

（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．

（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

21．如图，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C，OA＝OC，点A的坐标为（﹣3，0）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；

（3）设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．

22．已知抛物线 的对称轴为直线 ，且抛物线经过点 ，它与 轴的另一交点为 ，与 轴的交点为 . 

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）在直线 上求点 ，使 的周长最小，并求出 的周长. 

23．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx－3与直线y＝－x－1交于点A（－1，0），B（m，－3），点P是线段AB上的动点．

（1）①求m的值；② 求抛物线的解析式；  

（2）过点P作直线l垂直于x轴，交抛物线y＝ax2＋bx－3于点Q，求线段PQ的长最大时，点P的坐标  

24．如图，直线y=x+b和抛物线y=axx+2都经过A（0，n）和B（m，4）两点，抛物线y=axx+2与x轴交于C、D两点（点C在点D右侧）

（1）求直线和抛物线的函数表达式；

（2）求四边形ABCD的面积S；

（3）在x轴上是否存在点P，使得ΔPAB是以AP为直角边的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由．

答案解析部分

1．【答案】A

2．【答案】B

3．【答案】D

4．【答案】C

5．【答案】D

6．【答案】C

7．【答案】C

8．【答案】A

9．【答案】C

10．【答案】A

11．【答案】D

12．【答案】B

13．【答案】4

14．【答案】4

15．【答案】（1）（2，3）

（2）3

16．【答案】1

17．【答案】y=x2﹣2x+3

18．【答案】2或-8

19．【答案】（1）-3；﹣1≤x≤1

（2）解：∵y1=﹣a（x﹣1）2﹣3，y2=a（x+1）2﹣1，

∴N（﹣1，﹣1），M（1，﹣3）．

由两点间的距离公式可知：MN=2 ．

令x=0得：y1=﹣a﹣3，y2=a﹣1．

∴F（0，a﹣1），E（0，﹣a﹣3）．

∴EF=2a+2．

∵EF=MN，

∴2a+2=2 ，解得：a= ﹣1．

作NC⊥y轴于C，MD⊥y轴于D

∴NC=1，FC=a，MD=1，DE=a

∵在Rt△CNF和Rt△MDE中， ，

∴△NCF≌MDE．

∴NF=EM，∠NFC=∠DEM

∴NF‖EM

∴四边形EMFN是平行四边形

又∵NM=EF

∴四边形EMFN是矩形

（3）解：∵A（m，0）M（1，﹣3）N（﹣1，﹣1），

∴AN2=m2+2m+2，AM2=m2﹣2m+10，MN2=8．

①若AN=AM，则m2+2m+2=m2﹣2m+10，解得：m=2，

∴方程a（x+1）2﹣1=0的一个解为x=2，

根据抛物线对称性，可知方程的另一个解为x=﹣4．

②若AN=MN，则m2+2m+2=8，解得：m=﹣1+ 或m=﹣1﹣ （舍去），

所以方程a（x+1）2﹣1=0的一个解为x=﹣1+ ，

根据抛物线对称性，可知方程的另一个解为x=﹣1﹣ ．

③若AM=MN，所以m2﹣2m+10=8，

此方程无解，所以此种情况不成立

综上所述当△AMN为等腰三角形时，方程a（x+1）2﹣1=0的解为x1=2，x2=﹣4或x1=﹣1 或x2=﹣1﹣

20．【答案】（1）解：当y=0时， x2- x-4=0，解得x1=-2，x2=8，

∵点B在点A的右侧，

∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（8，0）．

当x=0时，y=-4，

∴点C的坐标为（0，-4）

（2）解：由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．设直线BD的解析式为y=kx+b，则 ，解得k=- ，b=4．∴直线BD的解析式为y=- x+4．∵l⊥x轴，

∴点M的坐标为（m，- m+4），点Q的坐标为（m， m2- m-4）．

如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，

∴（- m+4）-（ m2- m-4）=4-（-4）．化简得：m2-4m=0，解得m1=0（不合题意舍去），m2=4．

∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形．

此时，四边形CQBM是平行四边形．∵m=4，

∴点P是OB的中点．

∵l⊥x轴，∴l∥y轴，

∴△BPM∽△BOD，

∴ ，

∴BM=DM，

∵四边形CQMD是平行四边形，∴DM∥CQ，DM=CQ

∴BM∥CQ，BM=CQ，

∴四边形CQBM是平行四边形

（3）解：抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（-2，0），Q2（6，-4）．若△BDQ为直角三角形，可能有三种情形，如图2所示：

以点Q为直角顶点．

此时以BD为直径作圆，圆与抛物线的交点，即为所求之Q点．

∵P在线段EB上运动，

∴-8≤xQ≤8，而由图形可见，在此范围内，圆与抛物线并无交点，

故此种情形不存在．

以点D为直角顶点．

连接AD，∵OA=2，OD=4，OB=8，AB=10，

由勾股定理得：AD=2 ，BD=4 ，∵AD2+BD2=AB2，

∴△ABD为直角三角形，即点A为所求的点Q．

∴Q1（-2，0）；

以点B为直角顶点．

如图，设Q2点坐标为（x，y），过点Q2作Q2K⊥x轴于点K，则Q2K=-y，OK=x，BK=8-x．

易证△Q2KB∽△BOD，

∴ ，即 ，整理得：y=2x-16．

∵点Q在抛物线上，∴y= x2- x-4．∴ x2- x-4=2x-16，解得x=6或x=8，

当x=8时，点Q2与点B重合，故舍去；

当x=6时，y=-4，∴Q2（6，-4）

21．【答案】（1）解：令x＝0，则y＝c，

∴OC＝﹣c，

∵OA＝OC，

∴3＝﹣c，即c＝﹣3．

∵对称轴是直线x＝﹣1，点A的坐标为（﹣3，0），

根据题意得：，

解之：．

∴抛物线解析式．

（2）解：当x＝0时，y＝﹣3，

∴点C（0，﹣3），即OC＝3，

∵A，B关于对称轴对称，

∴B（1，0），即OB＝1，

∴，

设，

∴＝×3×|x|，

∵＝，

∴，

∴x＝±4，

∴P（4，21），（﹣4，5）．

（3）解：∵点A（﹣3，0），点C（0，﹣3），

∴直线AC解析式y＝﹣x﹣3，

∴设点Q（m，﹣m﹣3）（﹣3≤m≤0），

则点，

∴，

∴当m＝﹣时，QD的最大值为 ．

22．【答案】（1）解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，且过点 ，得 

解得

∴这条抛物线对应的函数表达式为 ；

（2）解：由题知点 关于直线 的对称点为 ，且

则点 落在线段 上时， 的周长最小，此时 ，

易求 ，

∴ ，而

∴ 的周长的最小值为 ．

23．【答案】（1）解：① 将点B（m，－3）代入直线y＝－x－1得： 

－3＝－m－1

解得：m＝2，

② 由①得点B（2,－3）

∵点A（－1，0），B（2，－3）在抛物线y＝ax2+bx－3上，

∴

解得 ，

∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；

（2）解：设点P的横坐标为x，其中－1≤x≤2， 

∴点P（x，－x－1），点Q（x， ），

∴PQ＝－x2+x+2，

∴当 时，PQ最大，

此时点P的坐标是（ ，－ ）．

24．【答案】（1）解：∵抛物线y=axx+2经过A（0，n），

将代入，解得

∴A（0，2），

∵A（0，2）在直线y=x+b上，

∴将代入，解得

直线解析式为：

∵B（m，4）在直线上，

∴

∴

∴B（6，4）

将点B（6，4）代入y=axx+2，

即

解得

抛物线的解析式为

（2）解：

由抛物线的解析式为，

令，即

解得

如图，过点B作于点E，

则

，

四边形的面积S=S梯形

（3）解：如图，分别过点A、B作，过点B作于点E，连接

设，则

，

，

，

，

，

在和中，

，

，

解得或

或4或2