内蒙古2023届高三第三次模拟考试数学（文科）试卷（含解析）

内蒙古2023届高三第三次模拟考试数学（文科）试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

2．复数满足，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

3．已知，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

4．下列各组向量中不平行的是(　　)

A． B．

C． D．

5．圆关于直线对称的圆的方程为（     ）

A． B．

C． D．

6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（　　）

A． B． C． D．

7．设满足约束条件 ，则的取值范围是(　　)

A． B． C． D．

8．拉格朗日中值定理：若函数在上连续，且在上可导，则必存在，满足等式，若，对，，，那么实数的最大值为（    ）

A． B．1 C． D．

9．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有偶数根，那么中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是(　　)

A．假设不都是偶数 B．假设至多有两个是偶数

C．假设至多有一个是偶数 D．假设都不是偶数

10．已知点在椭圆的外部，则直线与圆的位置关系为(　　)

A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切

11．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且以线段为直径的圆过点，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的值为（    ）

A．3 B． C．2 D．

12．已知函数若关于的方程有4个不同的实根，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．执行如图所示的程序框图，当输入的值为，的值为时，则输出的的结果是________.

14．若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是__________．

15．在锐角三角形中，内角的对边分别为.若，则的取值范围是_______

16．已知正方体的棱长为2，为的中点，为棱上的动点，点在线段上运动，下面说法正确的是_____________．

①直线平面；

②异面直线与所成的角范围为；

③点到平面的距离为定值；

④的最小值为；

三、解答题

17．已知数列，，为数列的前项和，.

(1)求数列的通项公式；

(2)证明为等差数列，并求数列的前项和.

18．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：

(1)判断两个变量有怎样的相关性；

(2)用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程；

(3)当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．

附注：．

19．如图，在长方体中，四边形是边长为2a的正方形，AD＝2AB.

(1)若长方体的表面积为200，求a的值；

(2)若a＝1，求点到平面的距离h.

20．已知动圆M与圆C1：（x+4）2+y2=2外切，与圆C2：（x-4）2+y2=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程.

21．已知函数

(1)若在点处切线的倾斜角为，求的值；

(2)若，求的单调区间.

22．在直角坐标系中，圆C的方程为：，如图，为圆上任意一点.

(1)以直线的倾斜角为参数，写出圆C的参数方程；

(2)设点的坐标为，求的最大值.

23．已知.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若对于任意实数x，不等式成立，求实数a的取值范围.

参考答案

1．A

【分析】解不等式求得集合，由交集定义可求得结果.

【详解】由得：，即，.

故选：A.

2．A

【分析】化简方程求出复数的代数形式，结合复数虚部的定义确定其虚部.

【详解】因为，

所以，

所以复数的虚部为，

故选：A.

3．C

【分析】利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用诱导公式可求得的值.

【详解】，，则，

因此，.

故选：C.

4．D

【分析】根据平行向量（共线向量）的定义，对选项中的两个向量进行判定，即可求解．

【详解】对于A中，可得，所以与是平行向量；

对于B中，可得，所以与是平行向量；

对于B中，向量为零向量，零向量与任意向量平行，所以与是平行向量；

对于D中，不满足，所以与不是平行向量，

故选D．

【点睛】本题主要考查了向量的共线定理的应用，其中解答中熟记两个向量共线的条件是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

5．D

【分析】所给圆是以A（1，2）为圆心，为半径的圆．求出圆心A关于直线x﹣y=0对称点B的坐标，即可求得对称的圆的方程．

【详解】圆x2+y2﹣2x﹣4y=0即 （x﹣1）2+（y﹣2）2=5，表示以A（1，2）为圆心，以为半径的圆．

设A（1，2）关于直线x﹣y=0对称的点为B（2，1），

故圆x2+y2﹣2x﹣4y=0关于直线x﹣y=0对称的圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5，

故选D．

【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，两个圆关于一条直线对称的条件，属于中档题．

6．D

【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．

【详解】如图所示，三棱锥为所求，其中，，

点到平面的距离为3，

所以

所以该三棱锥的体积,

故选：D.

7．B

【详解】先作可行域，而表示两点P（x,y）与A（-6,-4）连线的斜率，所以的取值范围是，选B.

点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

8．A

【分析】由题意可得，即要求导函数的最大值，令，对求导判断它的单调性，从而求出最大值即可.

【详解】由题意知，，，，使得．

因为，则，

令，则，令得.

当时，，即在上为增函数；

当时，，即在上为减函数．

所以即，故实数的最大值为.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：求函数的最大值.

9．D

【详解】 “中至少有一个是偶数”包括一个、两个或三个偶数三种情况，其否定应为不存在偶数，即“假设都不是偶数”，故选D.

考点：命题的否定.

10．B

【分析】先根据点在椭圆的外部，求出的范围，求出圆心到直线的距离，再利用几何法判断直线与圆的位置关系即可.

【详解】因为点在椭圆的外部，

所以，即，

则圆的圆心到直线的距离

，

所以直线与圆相交

故选：B

【点睛】本题考查了点与椭圆的位置关系及利用几何法判断直线与圆的位置关系，属于一般题.

11．C

【分析】先设椭圆的长半轴长为双曲线的半实轴长 焦距为，因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，根据椭圆及双曲线的定义可以用 表示出 ，然后由勾股定理可求结论.

【详解】解：设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，设是椭圆和双曲线的左右两个焦点，且，设在第一象限，，

由椭圆的定义可知：，

由双曲线的定义可知：，

由此可解得：，

以线段为直径的圆过点，所以，

由勾股定理可知：，即，

化简得：，即，

所以，即.

故选：C.

.

12．D

【分析】画出的图象，根据并讨论t研究其实根的分布情况，将问题化为在内有两个不同的零点，结合二次函数性质求参数范围.

【详解】如图，画出的图象，设

结合图象知：当或时有且仅有1个实根；当时有2个实根；

问题转化为在内有两个不同的零点，

从而，解得.

故选：D

13．3

【分析】模拟执行程序即可取出输出值.

【详解】输入，，满足，且满足，则，

满足，不满足，则，

满足，不满足，则，

此时不满足，输出.

故答案为：

14．

【详解】试题分析：由于函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，所以，所以实数的取值范围.

考点：对数函数的性质及函数的值域.

【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当时，由，得，即，即可求解实数的取值范围.

15．

【分析】利用正弦定理化边为角求角B，再利用三角恒等变换变换化简，结合正弦函数性质求其范围.

【详解】∵  ，

由正弦定理可得，

又为锐角三角形，∴

∴ ，又为锐角，

∴

∴  

∴

∴

∴  ，

又为锐角三角形，，∴ 且，

∴  ，故，

∴

∴  ，

∴  的取值范围是，

故答案为：.

16．①③

【分析】利用线面垂直判定定理判断，根据异面直线的夹角的定义判断，由等体积法求点到平面的距离由此判断，再求的最小值判断.

【详解】因为，，

平面，，

所以平面，又平面，

所以，同理可证，

平面，，

所以直线平面；①对，

因为，所以为异面直线与的夹角，

当运动到的位置时，,

所以异面直线与所成的角范围不是，②错，

因为,平面,平面,

所以平面，

所以点到平面的距离等于点到平面的距离,

设点到平面的距离为，则，

又，，

所以，所以，③对，

如图将正方形绕旋转到与平面共面的位置，

由图可得，当且仅当三点共线时取等号.

又，，，

所以的最小值为，④错，

故答案为：①③.

17．(1)

(2)证明见解析，

【分析】（1）由得到，，由利用数列通项和前n项和关系求解；根据，利用等比数列定义求解.

（2）由（1）得到，再利用并项法求解.

【详解】（1）解：当，

所以，

当，

即，

所以

所以；

（2）当，

所以，

因为，

所以，

所以是，

所以，

所以，

令，

则=-1+，

，

.

18．(1)正相关；

(2)；

(3)2.4百万元．

【分析】（1）根据所给的这一组数据，根据数据的变化趋势，可知两个量之间是正相关．

（2）根据所给的这组数据，计算出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．

（3）利用求出的线性回归方程，把的值代入方程，估计出对应的y的值．

【详解】（1）根据已知数据可知当销售额逐渐增加时，利润额从总体上看也随着相应增加，

故两个变量正相关；

（2），

 ，

∴ ，，

∴线性回归方程是 ；

（3）当 时， ，

∴当销售额为4（千万元）时，估计利润额2.4百万元．

19．(1)

(2)

【分析】（1）根据条件求出长方体的表面积即可；

（2）利用可求出答案.

（1）

因为在长方体中，四边形是边长为的正方形，.

所以长方体的表面积为，

所以，解得；

（2）

因为，由已知得，，连接，，

在三棱锥中，，

由长方体的性质知，点到平面的距离为，

在中，由勾股定理知，

由长方体的性质知，，

所以的面积，

因为点到平面的距离为，又

所以，

所以，解得.

20．．

【详解】试题分析：设动圆的半径为，则由已知，，所以.由双曲线定义可求得圆心的轨迹方程.

试题解析：设动圆M的半径为r，

则由已知|MC1|=r+，

|MC2|=r-，

∴|MC1|-|MC2|=2.

又C1（-4，0），C2（4，0），

∴|C1C2|=8，∴2＜|C1C2|.

根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1（-4，0）、C2（4，0）为焦点的双曲线的右支.

∵a=，c=4，

∴b2=c2-a2=14，

∴点M的轨迹方程是=1（x≥）.

考点：曲线的轨迹方程．

【方法点睛】本题主要考查定义法求曲线的轨迹方程.熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键:（1）圆：到定点的距离等于定长；（2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）；（3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）；（4）到定点与定直线距离相等.

21．(1)

(2)单调增区间为：， ；单调减区间为:

【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案；

（2）求出函数导数，解相应不等式，可得函数的单调区间.

【详解】（1）由，可得，

故由在点处切线的倾斜角为得，

即；

（2）时，，，

令，则 或 ，

令，则 ，

故的单调增区间为：， ；单调减区间为: .

22．(1)，其中为参数，

(2)+1

【分析】（1）根据点P（x，y），可写成极坐标，然后代入圆的方程，即可得到，进而可解.

（2）根据圆的参数方程，x+y=，根据三角函数即可求出最大值

(1)

P为圆C上任意一点，假设P（x，y），OP长度为，则由题可得

，

P还在圆上，则，

有；

则，即，其中为参数，

(2)

x+y=+1

当时，即时，x+y取到最大值+1

23．(1)；

(2).

【分析】(1)利用分类讨论的方法解含绝对值符号的不等式作答.

(2)利用绝对值三角不等式求出的最大值，再借助不等式恒成立求解作答.

【详解】（1）当时，，则不等式，即，

当时，，解得，于是得，

当时，，解得，无解，

当时，，解得，于是得，

综上得：或，

所以不等式的解集为.

（2），不等式成立，即，不等式成立，

而，

因此，，显然有，，解得：，

所以实数a的取值范围是.