2023年海南省海口九中中考数学二模试卷（含解析）

2023年海南省海口九中中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  年月，神舟十三号搭载的万粒作物种子顺利出舱，其中万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“梦”字所在面相对的面上的汉字是(    )

A. 青
B. 亮
C. 点
D. 想

4.  在平面直角坐标系中，将点向右平移个单位后，得到的点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知方程的一个根是，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，，点在直线上，点在直线上，，，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，，是的中点，延长至点，使，连接，为中点，连接若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在践行“安全在我心中，你我一起行动”主题手抄报评比活动中，共设置“交通安全、消防安全、饮食安全、防疫安全”四个主题内容，推荐两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选取一个，则两人恰好选中同一主题的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，正方形的边长为，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的图象过点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  因式分解： ______ ．

14.  方程的解为______．

15.  如图，是的直径，是的一条弦，，连接，，若，则 ______

16.  如图，正方形中，点是边中点，将正方形沿折叠，得到点的对应点，延长交线段于点，若，则长度为______ ，的长度为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．
求不等式组的整数解．

18.  本小题分
“绿水青山就是金山银山”，某村为了绿化荒山，计划在植树节当天种植柏树和杉树，经调查，购买棵柏树和棵杉树共需元：购买棵柏树和棵杉树共需元，求柏树和杉树的单价各是多少元．

19.  本小题分
为了积极响应中共中央文明办关于“文明用餐”的倡议，某校开展了“你的家庭使用公筷了吗？”的调查活动，并随机抽取了部分学生对他们家庭用餐使用公筷情况进行统计，统计分类为以下四种：完全使用、多数时间使用、偶尔使用、完全不使用将数据进行整理后，给制了两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
本次抽取学生共有______ 人，扇形统计图中所对的圆心角度数是______ ；
请直接补全条形统计图；
该校共有名学生，根据调查结果求出偶尔使用公筷的人数约有多少人．

20.  本小题分
年月日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，，，，机械臂端点到工作台的距离．
、两个机械臂的夹角 ______ ；
、之间的距离结果保留根号；
求长结果精确到，参考数据：，，，

21.  本小题分
如图，点为正方形内一动点，且，将绕点按顺时针方向旋转，得到，连结，延长交于点，连接．

求证≌．
如图，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明．
如图，若，，求出的长．
若正方形边长为，直接写出的最小值用含的代数式表示．

22.  本小题分
如图，已知抛物线：的图象经过点，过点作轴交抛物线于点，的平分线交线段于点，连结．

求抛物线的关系式并写出点的坐标；
若动点在轴下方的抛物线上，连结、，当面积最大时，求出此时点横坐标；
若将抛物线向上平移个单位，且其顶点始终落在的内部或边上，写出的取值范围；
如图，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点，使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查的是倒数的定义，乘积是的两数互为倒数．
根据倒数的定义解答即可．
【解答】
解：的倒数是．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
在此正方体上与“梦”字相对的面上的汉字是“青”．
故选：．
正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．
本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．
 

4.【答案】 

【解析】解：将点向右平移个单位后，横坐标加，所以平移后点的坐标为，
故选：．
根据平面直角坐标系中点的坐标的平移特点解答即可．
本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握点的平移规律是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项不正确，不符合题意；
C.，故该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项正确，符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，逐项分析判断即可求解．
本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：把代入得，
解得．
故选B．
根据一元二次方程的解把代入一元二次方程得到含有的一次方程，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，

，，
，
，，
，
，
．
故选：．
利用等腰三角形的性质得到，利用平行线的性质得到，再根据三角形外角的性质即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形外角的性质，解决问题的关键是注意运用两直线平行，同旁内角互补．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据图形可以得到：
；
所以：、、都是错误的；
故选：．
利用数轴得与实数得关系，及正负数在数轴上的表示求解．
本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：在中，
，，，
．
为中线，
．
为中点，，即点是的中点，
是的中位线，
则．
故选：．
利用勾股定理求得；然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长度；结合题意知线段是的中位线，则．
本题主要考查了勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，此题的突破口是推知线段的长度和线段是的中位线．
 

10.【答案】 

【解析】解：画树状图如图：

共有种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有种，
则两人恰好选中同一主题的概率为．
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，两人恰好选中同一主题的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，，
为等腰三角，
如图所示，过点作，垂足为，

，
．
故选：．
先求出三角形的三边长，发现三角形是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求出角的余弦值．
本题考查了解直角三角形，解题的关键是掌握勾股定理．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于，在正方形中，，，
，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
在和中，

≌，
，，
，
点的坐标为，
反比例函数的图象过点，
，
故选：．
过点作轴于，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，，再求出，然后写出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出的值．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点的坐标是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示，

，，
，
，，
，，
．
故答案为：．
连接，根据半径相等得出，根据等边对等角以及圆周角定理得出，进而即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：连接，如图所示，

四边形为正方形，
，，
点是的中点，
，
由翻折可知：，，，
，，
在和中，
，
≌，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：，
，
解得，
则的长度为，
故答案为：，．
连接，根据正方形的性质和翻折的性质证明和≌，可得，设，则，，然后根据勾股定理即可解决问题．
本题考查了翻折变换，正方形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
 

17.【答案】解：原式

；
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
所以不等式组的整数解为、． 

【解析】先计算零指数幂、代入三角函数值、化简二次根式、计算绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，继而可得答案．
本题考查的是一元一次不等式组的整数解和实数的运算，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：设柏树每棵元，杉树每棵元，
根据题意，得，，
解得：，
答：柏树每棵元，杉树每棵元． 

【解析】设柏树每棵元，杉树每棵元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解．
本题考查了二元一次方程组，根据题意列出方程组是解题的关键．
 

19.【答案】   

【解析】解：本次抽取的学生总人数共有：人，
扇形统计图中所对的圆心角度是：，
故答案为：，；
的人数为：人，
条形统计图补全如下：

由题意得人，
答：估计偶尔使用公筷的人数是人．
的人数除以所占百分比即可求出本次抽取的学生总人数，由的人数占抽取学生总人数的百分比乘以即可得到扇形统计图中所对的圆心角度数；
求出的人数，补全条形统计图即可；
用该校共有的学生数乘以占抽取学生总人数的百分比即可．
此题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

20.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，
，
，，
，，
，，
，

故答案为：．
如图，连接，过点作，交的延长线于．

在中，，，
，，
，
在中，，，
根据勾股定理得，
答：、两点之间的距离约
如图，过点作，垂足为，

则四边形为矩形，，，
所以，
在中，，，
根据勾股定理得．
．
答：的长为．
过点作于点，根据题意得出，根据平行线的性质结合已知条件，得出；
连接，过点作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题；
过点作，垂足为，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．
本题考查了平行线的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
将绕点按顺时针方向旋转，得到，
，，
，
即，
≌；
解：结论：．
理由：如图所示，过点作于点，

则，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
≌，
，
≌，
，
，，
四边形是矩形，
又
四边形是正方形，
，
，
解：如图所示，过点作于点，

，，
，
在中，，且，
，
解得或舍去，
，
同可得≌，
，，
，
，
，
解：如图所示，

取的中点，以为圆心，为半径作圆，
，
点在上运动，
的最小值为，
，
的最小值为． 

【解析】根据正方形的性质得，，根据旋转的性质得，，即可证明≌；
过点作于点，根据三线合一得出，进而证明≌，四边形是正方形，即可得证；
过点作于点，在中，勾股定理求得，同可得≌，进而求得，，勾股定理即可求解；
取的中点，以为圆心，为半径作圆，根据，得出点在上运动，进而可得的最小值为，勾股定理求得，即可求解．
本题考查了正方形的性质与判定，旋转的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理，求圆外一点与圆的距离，综合运用以上知识是解题的关键．
 

22.【答案】解：抛物线：的图象经过点，，把、两点坐标代入抛物线得：
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
平分，，
，是等腰直角三角形，
，
；

如图，过作轴，交于点，

设，
设直线的解析式为，把点，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为：，
，
，



，
，
当时，面积最大，
的横坐标为；

由，得抛物线的对称轴为直线，顶点为，
抛物线向上平移个单位长度后顶点为．
设直线交于点，交于点，则，如图，

直线的解析式为：，
，
点在内包括的边界，
，
解得；

设，分四种情况：
当在对称轴的左边，且在轴下方时，如图，过作轴，交轴于，交于，

，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
≌，
，
，
则，
解得：或，
，不合题意，舍去，
，
此时，
的坐标为；

当在对称轴的左边，且在轴上方时，
同理得：，
解得：或，
，不合题意，舍去，
，
此时，
的坐标为；

当在对称轴的右边，且在轴下方时，如图，过作轴于，过作于，

同理得≌，
，
则，
解得：或，
，不合题意，舍去，
，
此时，的坐标为；

当在对称轴的右边，且在轴上方时，如图，

同理得，
解得：或舍，的坐标为：；
综上所述，点的坐标是：或或或． 

【解析】利用待定系数法可得抛物线的解析式；
过作轴，交于点，设，根据的解析式表示点的坐标，表示的长，根据面积和可得的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；
求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与的交点坐标、与的交点坐标，用含的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出的取值范围；
存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明≌，根据，列方程可得点的坐标；同理可得其他图形中点的坐标．
本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象与性质及图形的平移，全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程的方法，运用分类讨论思想和方程的思想是解决问题的关键．