2023年山西省太原市中考一模数学试题（含答案）

姓名___________准考证号____________

太原市2023年初中学业水平模拟考试（一）

数学

（考试时间：上午8:30-10:30）

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置.

3.答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷  选择题（共30分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.实数4的相反数是（    ）

A.-4 B. C. D.4

2.下列运算正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

3.经过几年高质量农田建设，全国农业基础设施建设实现重大突破，粮食产量稳步提高，2022年我省粮食总产量达到292.9亿斤.数据292.9亿斤用科学记数法表示为（    ）

A.斤 B.斤 C.斤 D.斤

4.法国数学家笛卡尔发明了平面直角坐标系，使平面内的点与有序实数对建立了一一对应关系，将几何问题通过代数方法来研究.这种解决问题的方法是（    ）

A.数形结合 B.类比 C.一般到特殊 D.分类讨论

5.将一副三角板如图摆放，斜边，与相交于点，，，则的度数等于（    ）

A. B. C. D.

6.把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ）

A. B. C. D.

7.为了培养学生班级管理能力，小明所在的班里每月都从综合表现优秀的10名同学中选出1名当月班长.小明班里有50名学生，若他恰好在本月候选的10名学生中，则他被选为月班长的概率为（    ）

A. B. C. D.

8.如图，正方形的边长为6，点是边上一点，连接交对角线于点.若，则的长为（    ）

A.2 B. C. D.3

9.某班同学在物理实验室探究弹簧长度与外力的关系，记录数据如下表：

则关于的函数图象可能是（    ）

A. B.

C. D.

10.如图，在扇形纸片中，，、点是半径上的点、沿直线折叠得到，点的对应点落在上，图中阴影部分的面积为（    ）

A. B. C. D.

第Ⅱ卷  非选择题（共90分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.计算的结果是___________.

12.太原市某中学组织466名九年级师生去综合实践基地进行社会实践时，从出租车公司租用了49座和37座两种车型的客车共10辆，刚好坐满，学校租用49座的客车___________辆.

13.有外形相同的两把锁和两把钥匙，每把钥匙只能打开其中的一把锁，每把锁只能被其中的一把钥匙打开.现将锁和钥匙随机配对，每把锁和钥匙各一把，则至少有一把锁能被打开的概率为___________.

14.小明参加了今年社区组织的义务植树活动，活动结束后，他发现对面斜坡的平台上有一棵与地面垂直的树，他想运用课上学到的相关知识测量这棵树的高度.测量过程如下：如示意图，在点处测得树顶端的仰角为45°，先沿着斜坡行走13米至坡顶处，再沿水平方向行走3米到达树底点处（点，，，在同一平面内）.已知斜坡的坡比为，则他测得树的高度为___________米.

15.如图，在中，，点是边的中点，点和分别在边和上，，.若，，则边的长为_________.

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）

16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分）

（1）计算：；

（2）化简：.

17.（本题8分）如图，在中，，.

（1）实践与操作：作的平分线交于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）猜想与证明：线段与之间存在怎样的数量关系，并证明.

18.（本题7分）

如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，点的横坐标为-8.

（1）求一次函数的表达式；

（2）直接写出当时的取值范围.

19.（本题9分）

为促进学生对日常生活与健康知识的了解，某校组织了两次知识问答活动，从中随机抽取了20名学生两次活动的成绩（百分制且为整数），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析.下图是这20名学生第一活动和第二次活动成绩的统计图.

（1）①学生甲的两次成绩相同，他的成绩是__________分；

②学生乙第一次成绩低于85分，第二次成绩高于90分，请在图中用“○”圈出代表学生乙成绩的点；

（2）为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，，，三人分别作出了每位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图.

数据（成绩）分成6组：，，，，，.

若他们3人中只有一人所作的频数直方图正确，则作图正确的是________；

（3）学校有1500名学生参加了此次活动，估计两次活动平均成绩不低于85分的学生人数.

20.（本题8分）阅读与思考

下面是小明同学一天的课外学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务

任务：

（1）写出方法1，方法2中两个推理的依据：

依据1___________，依据2____________；

（2）参照笔记中的方法，解决下面的问题：如图4，在中，，与关于直线对称，点的对应点为，连接与交于点，求证：.

21.（本题9分）随着我国交通和互联网络的快速发展，更多的人喜欢在网上购物.某快递物流公司准备投入一笔资金购买甲、乙两种型号的货运车，以满足未来的业务需求.市场调研发现，1辆甲种型号货运车售价比1辆乙种型号货运车售价多2万元；用80万元分别单独购买这两种型号的货运车，能买到甲种型号货运车的数量是乙种型号货运车数量的.

（1）求这两种型号货运车的销售单价；

（2）若该物流公司计划购进这两种型号的货运车共20辆，且购买的总费用不超过170万元，求最多购买甲种型号货运车多少辆.

22.（本题12分）综合与实践

问题情境

如图①，与都是等边三角形，点，点分别在，边上，，.将绕点顺时针旋转，连接，.请解答下列问题：

操作发现

（1）图①中，在旋转过程中，这个结论是否仍然成立.请结合图②说明理由；

操作计算

（2）当旋转角为90°时，在图③中画出相应图形，并求的长；

操作探究

（3）如图④，当点，，三点共线时，连接.猜想并证明四边形的形状.

23.（本题12分）综合与探究

如图，抛物线与轴交于，两点，点在点点的左侧，与轴交于点，点是抛物线上一动点.

（1）求点，和的坐标；

（2）如图，当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴于点交直线于点，作于点，当的周长最大，求点的坐标；

（3）作直线交直线于点，当点关于轴的对称点落在抛物线上时，在备用图中进行探究，并直接写出点的坐标.

太原市2023年初中学业水平模拟考试（一）

数学试题参考答案及评分标准

评分说明：

1.如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容参照评价标准制定相应的评分细则后评卷.

2.每题都要评卷到底，不要因考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅；当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果未改变该步以后这一题的内容和难度，则可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，则不给分.

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

11.12 12.8 13.（或0.5） 14.10 15.

三、解答题（本大题共8个小题，共75分）

16.（本题共2个小题，每小题5分，共10分）

解：（1）原式………………（4分）

.……………………（5分）

（2）原式………………（7分）

………………（9分）

.……………………（10分）

17.（本题8分）

解：（1）如图.

……………………（2分）

上图为所求作的图形.……………………（3分）

（2）（或相等）.

证明：，，

.………………（5分）

是的平分线，.

..………………（6分）

是的外角，.

.……………………（7分）

..………………（8分）

18.（本题7分）

解：反比例函数的图象经过点，

.解，得..……………………（1分）

把代入中，得.

点.……………………（2分）

一次函数的图象经过和点，

解，得…………………………（4分）

一次函数的表达式为.………………（5分）

（2）当时，的取值范围是或.……………………（7分）

19.（本题9分）

解：（1）①90

②如图.

………………（4分）

（2）B……………………（7分）

（3）（名）.…………………………（8分）

答：估计两次活动平均成绩不低于85分的学生人数约为825名学生.……………………（9分）

20.（本题8分）

解：（1）依据1：一条弧所对的圆周角是它所对圆心角度数的一半………………（1分）

依据2：直角三角形两锐角互余…………………………（2分）

（2）如答图，以点为圆心，为半径作.……………………（3分）

与关于直线对称，点的对应点为，连接与交于点.

，.………………（4分）

点和点在上.……………………（5分）

，

.……………………（6分）

，

.……………………（7分）

是的外角，

.

.…………………………（8分）

21.（本题9分）

解：（1）设甲种型号货运车的售价为万元.……………………（1分）

根据题意，得.……………………（2分）

解，得.……………………（3分）

经检验，是原方程的解.……………………（4分）

此时，.

答：甲种型号货运车的售价是10万元，乙种型号货运车的售价是8万元.………………（5分）

（2）设购买甲种型号的货运车辆.……………………（6分）

根据题意，得.……………………（7分）

解，得.………………（8分）

取最大的正整数，.

答：最多购买甲种型号货运车5辆.…………………………（9分）

22.（本题12分）

证明：（1）与都是等边三角形，

，，..

.…………………………（1分）

在和中，

.……………………（2分）

.…………………………（3分）

（2）如图.

……………………（4分）

上图为所求作的图形.

如答图1，过点作交的延长线于点，则.…………（5分）

绕点顺时针旋转了，

.

是等边三角形，，

，.

.………………（6分）

在中，

，，

，.……………………（7分）

.

在中，由勾股定理，得

.

的长为.………………………………（8分）

（3）如答图2，过点作交于点，则.

是等边三角形，，

，.

在中，，

.…………………………（9分）

是等边三角形，，

.

在中，，由勾股定理，得

.

.解，得，（舍去）.……………………（10分）

.

，.

是等边三角形，是的平分线.

直线是边的中垂线.，.……………………（11分）

是等边三角形，..

四边形是菱形.…………………………（12分）

23.（本题12分）

解：（1）把代入中，得.

解，得，.…………………………（1分）

点的坐标是，点的坐标是.………………（2分）

把代入中，得.

点的坐标是.……………………（3分）

（2）设直线的函数表达式为.

点，点，

解，得

直线的函数表达式为.…………………………（4分）

，点，点，.

.…………………………（5分）

设点的坐标为.

轴于点交直线于点，

轴，点的坐标为.

.

于点，.

是等腰直角三角形.…………………………（6分）

当的周长最大时，斜边最大.

.…………（7分）

，当时，取得最大值.…………………………（8分）

当时，.

点的坐标是.…………………………（9分）

（3）符合条件的点的坐标为

，或.…………………………（12分）