2023届贵州省贵阳市高三二模文科数学试题及答案

贵阳市2023年高三适应性考试（二）

文科数学

2023年5月

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、报名号、座位号填写在答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．请保持答题卡平整，不能折叠。考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，，则a=（    ）

A．1或-2 B．-2 C．-1或2 D．2

2．已知命题不是素数，则为（    ）

A．是素数  B．是素数

C．是素数  D．是素数

3．若x，y满足约束条件则z=x+2y的最大值为（    ）

A．-3 B． C．2 D．3

4．已知，若，则（    ）

A．a=2，b=3 B．a=-2．b=-3 C．a=2，b=±3 D．a=-2，b=±3

5．已知，则（    ）

A． B．-1 C．1 D．

6．过，两点，且与直线y=x-1相切的圆的方程可以是（    ）

A． B．

C． D．

7．已知a，b是不同的两条直线，，是不同的两个平面，现有以下四个命题：

①；②；③；④．

其中，正确的个数有（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知数列的通项公式为，前n项和为，则取最小值时n的值为（    ）

A．6 B．7 C．8 D．9

9．已知，则（    ）

A．c<b<a B．a<c<b C．b<c<a D．c<a<b

10．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆、锥曲线．如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同，据研究，曲线的离心率为，比如，当时，e=1，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为2，高为．的圆锥SO中，AB，CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，CE=2ES，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

12．设抛物线C：的焦点为F，过F的直线交C于A，B两点，分别以A，B为切点作C的切线，，若与交于点P，且满足，则（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知，，若，则________．

14．已知数列的首项，且数列是以-2为公差的等差数列，则________．

15．已知一个棱长为2的正方体，其所有棱的中点都在同一个球的球面上，则该球的表面积是________．

16．关于函数有如下四个命题：

①若a=1，则的图象关于点对称；

②若的图象关于直线x=1对称，则a=-1；

③当a=0时，函数的极值为；

④当a<0时，函数有两个零点．

其中所有真命题的序号是________．

三、解答题：第17至21题每题12分，第22、23题为选考题，各10分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本题满分12分）

已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，，且．

（1）求A；

（2）若，求证：是直角三角形．

18．（本题满分12分）

某学习APP的注册用户分散在A，B，C三个不同的学习群里，分别有24000人，24000人，36000人，该APP设置了一个名为“七人赛”的积分游戏，规则要求每局游戏从A，B，C三个学习群以分层抽样的方式，在线随机匹配学员共计7人参与游戏．

（1）每局“七人赛”游戏中，应从A，B，C三个学习群分别匹配多少人？

（2）设匹配的7名学员分别用：，，，，，，表示，现从中随机抽取出2名学员参与新的游戏．

（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

（ⅱ）设M为事件“抽取的2名学员不是来自同一个学习群”，求事件M发生的概率．

19．（本题满分12分）

如图，在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=4，，D是线段上的动点，．

（1）当时，求证：平面；

（2）当平面平面时，求三棱锥的体积．

20．（本题满分12分）

已知椭圆与椭圆的离心率相等，的焦距是．

（1）求的标准方程；

（2）P为直线l：x=4上任意一点，是否在x轴上存在定点T，使得直线PT与曲线的交点A，B满足？若存在，求出点T的坐标．若不存在，请说明理由．

21．（本题满分12分）

已知函数，．

（1）若过点作曲线的切线有且仅有一条，求t的值；

（2）若恒成立，求实数a的取值范围．

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑。

22．选修4-4：坐标系与参数方程（本题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为 （1为参数），点，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，射线l的极坐标方程为．

（1）写出曲线的极坐标方程；

（2）若l与，分别交于A，B（异于原点）两点，求的面积．

23．选修4-5：不等式选讲（本题满分10分）

已知a，b，c均为正数，且．

（1）证明：；

（2）若b=c，求的最小值．

贵阳市2023年高三适应性考试（二）

文科数学参考答案

2023年5月

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．  14．  15．  16．①②③

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（1）由已知及正弦定理得

因为，

整理有

又因为

所以

（2）（方法一）由（1）及余弦定理得

联立①②得

由正弦定理得，

整理得，

所以

即是直角三角形

（方法二）

因为

又因为

得

所以

得

又由得

所以

即是直角三角形

18．解：（1）三个学习群人数比例为

因此，应从A、B、C三个学习群分别匹配2，2，3人。

（2）（ⅰ）所有可能的结果为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种。

（ⅱ）“抽取的2名学员不是来自同一个学习群”的情况有16种，所以其概率

19．解：（1）∵，∴D为线段的中点，连结，且，又连结DE，

易知E是线段的中点，

于是，DE是的中位线，即，

且平面，平面，

综上，当时，平面．

（2）（法一）∵在直三棱柱中，，得平面，

∴平面平面，

又∵平面平面，且平面平面，

∴CD⊥平面，

∴，即D为的中点，且D到平面的距离为，

∴

（法二）过C作交于F，且点F异于点D，

∵平面平面，

∴平面，

又∵平面，∴，

又由平面得，且，

∴平面CDF，即平面，

∴，（与中矛盾）

∴点F与点D重合，即当平面平面时，CD⊥平面，

∴，即D为的中点，且D到平面的距离为，

∴

20．解：（1）∵椭圆与椭圆的离心率相等，

∴，又由，∴，，

故，的标准方程为

（2）设，，，，则直线AB方程为x=my+t，即有mp=4-t，

由，可得，

于是有，

化简得：，

变形得：（*）

由

当时，，

将上式与mp=4-t共同代入（*），化简得：，即t=1，且此时成立，

故存在x轴上定点，使得．

21．解：（1）设切点，则由，可得，

∵，∴，化简得：，

依题意，解得t=0或t=-4，

综上，t=0或t=-4时，过点P作曲线的切线有且仅有一条．

（2）依题意，由，所以，

设，则，

设，易知，即在单调递增，且时，时，，

∴令，则该方程有唯一解，

使得在，，单调递减，在，，单调递增，即是函数极小值点，且有，

上式变形得：，（*）

由（1）可知，即在单调递增，

则（*）可得，即有与

∴，即，

综上，a的取值范围是．

解法二：

由，以及切线不等式：，（时取等号）

∴

∴当时，，即此时，成立

又当时，存在满足，即，

此时，，不合题意．

综上，a的取值范围是．

22．（1）由的参数方程得

所以

故的极坐标方程为

（2），

∴

又∵点到射线的距离为2

∴

23．（1）由柯西不等式得

∴

∴

当且仅当时取等号

即，，时取等号

∴

（2）∵b=c，a>0，b>0，c>0

由（1）得，

∴

当且仅当a=2b时，即，时取等号，

∴

即．