中考数学二轮复习选填专题复习专题六：阴影图形面积的相关计算

这是一份中考数学二轮复习选填专题复习专题六：阴影图形面积的相关计算，文件包含中考数学二轮复习选填专题复习解析版docx、中考数学二轮复习选填专题复习原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共110页， 欢迎下载使用。

二轮复习选填专题六：
阴影图形面积的相关计算
方法点睛
求阴影部分面积的方法
1．阴影部分面积计算的常用方法
(1)公式法：若所求阴影部分是规则图形，如扇形、特殊四边形等，可直接利用公式计算．
(2)和差法：若所求阴影部分是不规则图形，可通过转化成规则图形求其面积的和或差．
(3)等积变换法：当直接求面积较麻烦或根本求不出来时，可通过等面积转化(利用图形的平移、旋转、对称变换前后面积不变的性质或同底等高的两个三角形面积相等)为公式法或和差法创造条件.
2．一般地，若在图形中出现弧线，则先找到这条弧所在圆的圆心，将其补全为扇形，再利用图形间的关系进行求解；对于其他图形，若不能直接计算，可考虑将其拆分成三角形，利用相似三角形，全等三角形等知识求解，或通过分析和观察图形，学会分解和组合图形，将阴影部分的面积转化为基本图形的面积和或差间接求解．
典例分析
类型一：和差法
例1 （2022河南中考）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】设与扇形交于点，连接，解，求得，根据阴影部分的面积为，即可求解．
【详解】如图，设与扇形交于点，连接，如图

是OB的中点
, OA＝2，
＝90°，将扇形AOB沿OB方向平移，




阴影部分的面积为



故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得是解题的关键．
类型二：等面积变换法
例2 （2022太原二模） 如图，在中，，点O在AB上，以点O为圆心，OA长为半径作半圆O，与边BC相切于点D，与边AB的另一个交点为E，与边AC相交于点F，连接AD．若，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】阴影部分的面积可理解为S阴影=S△ABC−S△OBD−S△AOF−S扇形DOF，算出各边的长，代入面积公式即可求解.
【详解】如图，连接OF、OD.

由题意可知S阴影=S△ABC−S△OBD−S△AOF−S扇形DOF，
∵AO=BE=2，
∴DO=2，BO=4.
由题意可得，三角形BOD为直角三角形，
∴BD==，
∴S△BOD=×2×=.
根据RtBOD的三边关系，可知∠BOD=60°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∴AC=×AB=3，BC=，
∴△AOF和△DOF均为等边三角形，
∴S△AOF=×2×=，
S扇形DOF==，
∴S阴影=×3×−−−
=．
故选C．
【点睛】本题考查圆中的不规则图形面积的计算．不规则图形面积的计算，可以采取“割补”的方式，解决本题的关键在于阴影部分的面积可以用大图形的面积减去小图形的面积．
专题过关
1. （2022兰州中考）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可．
【详解】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC
=
=
=
=2.25π（m2）
故选：D．
【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
2. （2022凉山中考）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（ ）


A. 米2 B. 米2 C. 米2 D. 米2
【答案】C
【解析】
【分析】连接，先根据圆周角定理可得是的直径，从而可得米，再解直角三角形可得米，然后利用扇形的面积公式即可得．
【详解】解：如图，连接，


，
是的直径，
米，
又，
，
（米），
则扇形部件的面积为（米2），
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握圆周角定理和扇形的面积公式是解题关键．
3. （2022山西中考） 如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在上的点C处，图中阴影部分的面积为（ ）


A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据折叠，，进一步得到四边形OACB是菱形；进一步由得到是等边三角形；最后阴影部分面积=扇形AOB面积-菱形的面积，即可
【详解】依题意：，
∴
∴四边形OACB是菱形
∴
连接OC


∵
∴
∴是等边三角形
同理：是等边三角形
故
由三线合一，在中：






故选：B
【点睛】本题考查菱形的判定，菱形面积公式，扇形面积公式；解题关键是发现是等边三角形
4. （2022赤峰中考） 如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，由旋转得AD=AC，可求出 ,由圆周角定理得得 ，由三角形外角的性质得 由垂径定理得EF=2，根据勾股定理得，根据求解即可．
【详解】解：如图，连接OE，OC，过点O作OF⊥CE于点F，

则，
由旋转得，
∴∠，
∵∠
∴∠
∴∠
∴∠
又∠
∴∠
∴∠
∴
∴
∵
∴∠
∴∠
∴
故选：C．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积等知识，求出扇形的半径和圆心角是解答本题的关键．
5. （2022铜仁中考） 如图，在边长为6的正方形中，以为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）

A. 9 B. 6 C. 3 D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE=CE，得到弓形BE的面积=弓形CE的面积，则．
【详解】解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCE=45°，
∵OE=OC，
∴∠OEC=∠OCE=45°，
∴∠EOC=90°，
∴OE垂直平分BC，
∴BE=CE，
∴弓形BE的面积=弓形CE的面积，
∴，
故选A．

【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．
6. （2022荆州中考）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作AF⊥BC，再根据勾股定理求出AF，然后根据阴影部分的面积=得出答案．
【详解】过点A作AF⊥BC，交BC于点F．
∵△ABC是等边三角形，BC=2，
∴CF=BF=1．
在Rt△ACF中，．
∴．
故选：D．

【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，涉及等边三角形的性质，勾股定理及扇形面积计算等知识，将阴影部分的面积转化为三角形的面积-扇形的面积是解题的关键．
7. （2022遵义中考）如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点．以点为圆心，为半径的圆交直线于点，．若，则图中阴影部分的面积为（ ）


A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得四边形的面积等于正方形面积的一半，根据阴影部分面积等于半圆减去四边形的面积和弓形的面积即可求解．
【详解】解：在正方形中，，
的半径为：
过点，根据中心对称可得四边形的面积等于正方形面积的一半，
又
阴影部分面积为：



故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，求扇形面积，掌握以上知识是解题的关键．
8. （2022毕节中考） 如图，一件扇形艺术品完全打开后，夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积是（ ）

A. 375πcm2 B. 450πcm2 C. 600πcm2 D. 750πcm2
【答案】C
【解析】
【分析】根据扇形的面积公式，利用减去即可得扇面的面积．
【详解】解：cm，cm
cm

=cm2．
故选：C
【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，熟知扇形面积公式并能够将不规则图形的面积转化为已学图形的面积是解决本题的关键．
9. （2022贺州中考）如图，在等腰直角中，点E在OA上，以点O为圆心、OE为半径作圆弧交OB于点F，连接EF，已知阴影部分面积为，则EF的长度为（ ）

A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，设OE=OF=x，利用阴影部分面积列出等式，得出，然后由勾股定理求解即可．
【详解】解：根据题意可得：OE=OF，∠O=90°，
设OE=OF=x，
∴
，
解得：，
∴，
故选：C．
【点睛】题目主要考查不规则图形的面积，一元二次方程的应用，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
10. （2022苏州中考） 如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】解：由图可知，总面积为：5×6=30，，
∴阴影部分面积为：，
∴飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是，
故选：A．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率．
11. （2022通辽中考）如图，正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，分别求出正方形和阴影部分的面积，再利用面积比求出概率，即可．
【详解】解：设正方形的边长为a，则其内切圆的直径为a，
∴其内切圆的半径为，正方形的面积为a2，
∴阴影部分的面积为，
∴随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是．
故选：B
【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，关键是明确几何测度，利用面积比求之．
12.（2022河南上蔡二模） 如图，在菱形ABCD中，，，以点D为圆心，CD长为半径作，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，作直线CE，F为菱形内部直线CE上一点，连接AF，DF，AC．若，则阴影部分的面积为（）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接DE，AE，设CE交AD于H，利用菱形的性质得到∠ADC=60°，DA=DC，则可判断△ADC为等边三角形，则CA=CD，再证明CE垂直平分AD，则△ADF为等腰直角三角形，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积=S扇形形ADC-S△CDH-S△AHF进行计算．
【详解】解：连接DE，AE，设CE交AD于H，如图，

在菱形ABCD中，
∵∠B=60°，AB=2，
∴∠ADC=60°，DA=DC，
∴△ADC为等边三角形，
∴CA=CD，
由作法得EA=ED，
∴CE垂直平分AD，
∴AF=DF，
∵∠AFD=90°，
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴HF=DH=AH=1，
∴DH=AH=1，
∴阴影部分的面积=S扇形形ADC-S△CDH-S△AHF

故选：A．
【点睛】本题考查了作图一复杂作图，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了菱形的性质和等边三角形的判定与性质．
13. （2022河南镇平一模）如图，在中，，，以点为中心，把逆时针旋转，得到，则图中阴影部分的面积为（　　）

A. 2 B. C. 4 D.
【10题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据阴影部分的面积是（扇形的面积﹣的面积）+（的面积﹣扇形的面积），代入数值解答即可．
【详解】∵在中，，，
∴，，
∴阴影部分的面积，
故选B．
【点睛】本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为，半径为r的扇形的面积为．
14. （2022信阳三模）如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为(　　)

A. 6π﹣ B. 6π﹣9 C. 12π﹣ D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接OD，如图，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，AC=OC，则OD=2OC=6，CD=3，从而得到∠CDO=30°，∠COD=60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形AOD-S△COD，进行计算即可．
【详解】解：连接OD，如图，

∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC＝OC，
∴OD＝2OC＝6，
∴CD＝，
∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，
∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD
＝﹣
＝6π﹣，
∴阴影部分的面积为6π﹣.
故选A．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．记住扇形面积的计算公式．也考查了折叠性质．
15.（2022平顶山二模） 如图，▱ABCD中，∠A=50°，AD=6，O为BC的中点．以O为圆心，OB为半径画弧交AD于点E．若E为AD的中点，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接OE．首先证明∠BOE=50°，证明△EDF≌△OBF，根据阴影部分的面积=扇形OBE的面积，利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：连接OE，OE交BD于点F，

∵四边形ABCD是平行四边形，且O为BC的中点，E为AD的中点，
∴CD∥OE∥AB，F为BD的中点，
∵AD=6，∠A=50°，
∴BC=6，∠C=50°，
∴OB=3，∠BOE=50°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ED∥OB，
∴∠EDF=∠OBF，∠DEF=∠BOF，
又DF=BF，
∴△EDF≌△OBF，
∴阴影部分的面积=扇形OBE的面积=，
故选：A．
【点睛】本题考查扇形的面积，平行四边形的性质，明确“阴影部分的面积=扇形OBE的面积”是解题的关键．
16.（2022洛阳二模） 如图，中，，，，作的平分线交于点，以点为圆心，以的长为半径作弧，交于点，则阴影部分的周长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意和图形，利用勾股定理可以得到、、、的长，利用弧长公式求出的长，再求出和的长即可解决问题．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
，
的长，
∴阴影部分的周长为．
故选：D．

【点睛】本题考查弧长的计算、勾股定理、含30度角的直角三角形、角平分线的定义、一元二次方程等知识．利用数形结合的思想解答是解决本题的关键．
17.（2022河南兰考一模）如图，AB是半圆O的直径，点C为半圆上的一点，点D为AO上一点，AB＝8，∠B＝60°，△DB'C与△DBC关于直线DC对称，连接B'O交半圆于点E若B'C与半圆相切，则图中阴影部分的面积等于（　　）


A. 3π﹣4 B. 2π﹣4 C. 3π﹣8 D. 8﹣2π
【答案】D
【解析】
【分析】连接OC，根据利用等边三角形的性质和扇形面积公式分别求出和代入运算即可．
【详解】连接OC如图所示：


∴OC=OB， Ð B =ÐOCB=，
∴ OC= OB= BC=4，
又∵BC==4 ，
因为B'C与半圆相切，
∴∠B'OC＝90°，
∴OC==4 ，,
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆有关的计算，涉及到了圆的性质，切线的性质和判定，三角形的面积公式，扇形面积公式，利用图形作差表示出阴影部分的面积是解题的关键．
18. （2022山西一模）如图，正六边形的边长为6，以顶点A为圆心，的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正多边形内角和公式求出∠FAB，利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积计算即可．
【详解】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAB=，AB=6，
∴扇形ABF的面积=，
故选择D．
【点睛】本题考查是正多边形和圆、扇形面积计算，掌握多边形内角的计算公式、扇形面积公式是解题的关键．
19. （2022山西三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D，O都在格点（小正方形的顶点）上，和所在圆的圆心均为点O，则阴影部分的面积为（ ）


A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由图形可知，阴影部分的面积=扇形AOB的面积+△OBD的面积-△ACO的面积-扇形COD的面积，根据三角形和扇形面积公式求出相应的面积，代入即可求解．
【详解】解：由图形可知，阴影部分的面积=扇形AOB的面积+△OBD的面积-△ACO的面积-扇形COD的面积，
由题意可知，OC=OD=BD=AC=2，OA=OB=，
∴，



∴阴影部分的面积=
故选D．
【点睛】本题考查了不规则图形的面积，扇形的面积公式，把不规则图形的面积转化为特殊图形的面积的和差是解题的关键．
20. （2022运城二模）如图，将绕点B按逆时针方向旋转90°后，得到，已知，，，则图中阴影部分面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，分别计算，，，再求得阴影部分面积即可．
【详解】解：设BC与相交于点D，

∵，，，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了与扇形相关的阴影面积计算，掌握扇形面积公式，特殊三角形的面积计算方法，是解题的关键．
21. （2022临汾二模）如图，在边长为2的正方形中，是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. 1 D.
【10题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，由题意可得OB=OC=OA=1，∠OFA=∠OFE=90°，由切线长定理可得AB=AF=2，CE=CF，然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可．
【详解】解：取BC的中点O，设AE与⊙O的相切的切点为F，连接OF、OE、OA，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，且边长为2，
∴BC=AB=2，∠ABC=∠BCD=90°，
∵是以为直径的半圆的切线，
∴OB=OC=OF=1，∠OFA=∠OFE=90°，
∴AB=AF=2，CE=CF，
∵OA=OA，
∴Rt△ABO≌Rt△AFO（HL），
同理可证△OCE≌△OFE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
22.（2022山西侯马二模） 山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌，以手掌推出光泽而得名．图1是平遥推光漆器的一种图案，图2是选取其某部分并且放大后的示意图．四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线的长为半径画弧，四条弧相交于点O，则图中阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意得半径为，阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积，代入计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形
∴正方形的对角线的长为2
∴半径为
∵阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积
∴阴影部分面积=π（）2-22=
故选：A．
【点睛】本题考查了正方形的性质和圆，组合图形阴影部分面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形面积之间的关系．
23. （2022西宁中考） 如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC=2，则图中阴影部分的面积是________．

【答案】##
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质可得S△COB=S△AOC，∠AOC=120°，将阴影部分的面积转化为扇形AOC的面积，利用扇形面积的公式计算可求解．
【详解】解：过点O作OD⊥AC于点D，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠AOC=120°，AD=CD=，
∴∠OAC=30°，
∴OA=AD÷cos30°=2，
∵△ABC为等边三角形，
∴S△COB=S△AOC，∠AOC=120°，
∴S阴影=S扇形AOC==，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
24. （2022盐城中考）如图，在矩形ABCD中，AB=2BC=2，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，使得点B落在边CD上的点B'处，线段AB扫过的面积为______．

14.【答案】π3 
【解析】解：∵AB=2BC=2，
∴BC=1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=1，∠D=∠DAB=90°，
∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转，
∴AB'=AB=2，
∵cos∠DAB'=ADAB'=12，
∴∠DAB'=60°，
∴∠BAB'=30°，
∴线段AB扫过的面积=30°×π×22360∘=π3，
故答案为：π3．
由旋转的性质可得AB'=AB=2，由锐角三角函数可求∠DAB'=60°，由扇形面积公式可求解．
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，扇形面积公式，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25. （2022广元中考）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰经过圆心O，若AB＝2，则阴影部分的面积为 _____．

【答案】##
【解析】
【分析】过点O作OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点E，由题意易得，则有，然后根据特殊三角函数值及扇形面积公式可进行求解阴影部分的面积．
【详解】解：过点O作OD⊥AB于点D，交劣弧AB于点E，如图所示：

由题意可得：，
∴，
∴，
∴弓形AB的面积为，
∴阴影部分的面积为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查扇形面积、轴对称的性质及三角函数，熟练掌握扇形面积、轴对称的性质及三角函数是解题的关键．
26. （2022泰安中考） 如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是__________________．

【答案】
【解析】
【分析】连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到，，，，，推出△OAO′是等边三角形，得到，因为∠AOB＝120°，所以，则是等边三角形，得到，得到，，根据直角三角形的性质得，根据勾股定理得，用的面积减去扇形的面积即可得．
【详解】解：如图所示，连接OO′，BO′，

∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，
∴，，，，
∴△OAO′是等边三角形，
∴，，
∴点⊙O上，
∵∠AOB＝120°，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，
，
∴图中阴影部分的面积=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆与三角形，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握这些知识点．
27. （2022青岛中考）如图，是的切线，B为切点，与交于点C，以点A为圆心、以的长为半径作，分别交于点E，F．若，则图中阴影部分的面积为__________．

【答案】
【解析】
【分析】先证明再利用阴影部分的面积等于三角形面积减去扇形面积即可得到答案．
【详解】解：如图，连接OB，是的切线，


设





故答案为：
【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，扇形面积的计算，掌握“整体求解扇形的面积”是解本题的关键．
28. （2022贵港中考） 如图，在中，，以点A为圆心、为半径画弧交于点E，连接，若，则图中阴影部分的面积是_______．

【答案】
【解析】
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质求得DF，从而求得EB，最后由S阴影=S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可．
【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，

∵，

∴AD=
∴DF=ADsin45°= ，
∵AE=AD=2 ，
∴EB=AB−AE= ，
∴S阴影=S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC

=
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
29. （2022恩施中考） 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）________．

【答案】-
【解析】
【分析】利用切线长定理求得⊙O的半径，根据S阴影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE列式计算即可求解．
【详解】解：设切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，

∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，
∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC，
∵∠C=90°，
∴四边形CDOE为正方形，
∴∠EOF+∠FOD=360°-90°=270°，
设⊙O的半径为x，则CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x，
∴4-x+3-x=5，
解得x=1，
∴S阴影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE
=×3×4-×1×1
=-．
故答案为：-．
【点睛】本题考查了切线长定理，扇形的面积公式，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
30. （2022十堰中考） 如图，扇形中，，，点为上一点，将扇形沿折叠，使点的对应点落在射线上，则图中阴影部分的面积为_________．

【答案】2π+4–4
【解析】
【分析】连接AB，在Rt△AOB中，由勾股定理，求得AB=，由折叠可得：，，则，设OC=x，则=2-x，在Rt△CO中，由勾股定理，得，解得：x=，最后由S阴影=S扇形-2S△AOC求解即可．
【详解】解：连接AB，

在Rt△AOB中，由勾股定理，得
AB=，
由折叠可得：，，
∴，
设OC=x，则=2-x，
在Rt△CO中，由勾股定理，得
，
解得：x=，
S阴影=S扇形-2S△AOC
=
=
=2π+4–4，
故答案为：2π+4–4．
【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，扇形的面积，利用折叠的性质和勾股定理求出OC长是解题的关键．
31. （2022黔东南中考）如图，在中，，半径为3cm的是的内切圆，连接、，则图中阴影部分的面积是__________cm2．（结果用含的式子表示）

【答案】
【解析】
【分析】根据内切圆圆心是三角形三条角平分线的交点，得到的大小，然后用扇形面积公式即可求出
【详解】∵内切圆圆心是三条角平分线的交点
∴；
设，
在中：
在中：
由①②得：
扇形面积：（cm2）
故答案为：
【点睛】本题考查内心的性质，扇形面积计算；解题关键是根据角平分线算出的度数
32. （2022年重庆中考B卷）如图，在矩形中，，，以B为圆心，的长为半轻画弧，交于点E．则图中阴影部分的面积为_________．（结果保留）


【答案】
【解析】
【分析】先根据特殊角的锐角三角函数值，求出，进而求出，再根据扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵矩形，
，
以B为圆心，的长为半轻画弧，交于点E， ，
，
在中，，
，
，
，
S阴影 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了由特殊角的三角函数值求角度数，矩形的性质，扇形的面积的计算，综合掌握以上知识点并熟练运用是解题的关键．
33. （2022梧州中考）如图，四边形是的内接正四边形，分别以点A，O为圆心，取大于的定长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交于点E，F．若，则，所围成的阴影部分面积为_______．

【答案】
【解析】
【分析】先证明△EAO为等边三角形得到∠EOA=60°，然后再根据即可求解．
【详解】解：连接EO、DO，设EF与AO交于点H，如下图所示：

由尺规作图痕迹可知，MN为线段AO的垂直平分线，
∴EA=EO，
又EO=AO，
∴△EAO为等边三角形，
∴∠EOA=60°，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考察了扇形面积公式的计算及线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握扇形的面积公式是解决本题的关键．
34. （2022重庆中考A卷）如图，菱形中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为_________．（结果不取近似值）

【答案】
【解析】
【分析】连接BD交AC于点G，证明△ABD是等边三角形，可得BD＝2，然后根据菱形的性质及勾股定理求出AC，再由S阴影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF得出答案．
【详解】解：连接BD交AC于点G，
∵四边形是菱形，
∴AB＝AD＝2，AC⊥BD，
∵，
∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BCA＝30°，
∴BD＝2，
∴BG＝，
∴，
∴AC＝，
∴S阴影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF＝，
故答案为：．

【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式等，在求阴影部分面积时，能够将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键．
35. （2022成都中考） 如图，已知⊙是小正方形外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_________．


【答案】
【解析】
【分析】如图，设OA=a，则OB=OC=a，根据正方形内接圆和外接圆的关系，求出大正方形、小正方形和圆的面积，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：如图，设OA=a，则OB=OC=a，
由正方形的性质可知∠AOB=90°，
，
由正方形的性质可得CD=CE=OC=a，
∴DE=2a，
S阴影=S圆-S小正方形=，
S大正方形=，
∴这个点取在阴影部分的概率是，


故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式、正方形的性质、正方形外接圆和内切圆的特点、圆的面积计算，根据题意弄清楚图形之间的关系是解题的关键．
36.（2022郑州枫杨外国语二模） 如图，在中，，，，点为中点，以点为圆心作圆，半圆恰好经过的直角顶点，以点为顶点，作，与半圆分别交于点，，则图中阴影部分的面积是__________．

【答案】
【解析】
【分析】设交于点，交于点，连接，先根据等腰直角三角形的性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据扇形的面积公式可得，从而可得，由此可得图中阴影部分的面积等于．
【详解】解：如图，设交于点，交于点，连接，

在中，，，，点为的中点，
，
，，
，
，
，
在和中，，
，
，
又，
，
，
则图中阴影部分的面积是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
37. （2022河南上蔡三模）如图，在扇形OBA中，，，点C，D分别是线段OB和AB的中点，连接CD，交AB于点E，则图中阴影部分的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】连接OD，BD，先证明为等边三角形，由三线合一可知，由锐角三角函数的知识求出CD、CE的长，然后根据求解即可．
【详解】解：连接OD，BD，如解图所示．

在扇形OBA中，
∵，点D为的中点，
∴．
∵，
∴为等边三角形．
又∵C为线段OB的中点，
∴，．
所以在中，，
∴．
∵，，
∴，即，
∴在中，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的知识，弧、弦、圆心角的关系，以及扇形的面积公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
38.（2022河南西华二模） 如图，在扇形AOB中，，点D为弧上一点，过点D作于点E．若，．则阴影部分的面积为_______．

【答案】
【解析】
【分析】连接OD，根据圆的性质可得∠AOD=3∠BOD，则∠AOD=45°，可得△OED是等腰直角三角形，设扇形AOB的半径为r，在△OED中运用勾股定理可解出r，再由割补法求出阴影面积即可．
【详解】解：连接OD，O

∵，，
∴∠AOD=3∠BOD，
∴∠AOD=45°，
∵DE⊥AO，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴OE=DE，
设扇形AOB的半径为r，
∴，
∴，
解得，
∴OE=，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则的图象转化为规则的面积，也考查等腰直角三角形的判定和性质．
39. （2022周口扶沟一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC=60°，AB=2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留）

【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，∠AB0=∠ABC=30°，∠BAD=∠BCD=120°，根据直角三角形的性质求出AC、BD，根据扇形面积公式、菱形面积公式计算即可.
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠AB0=∠ABC=30°，∠BAD=∠BCD=120°
∴AO=AB=1，由勾股定理得，
又∵AC=2，BD=2，
∴调影部分的面积为：
故答案为
【点睛】本题考查的是扇形面积计算、菱形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键.
40.（2022周口扶沟二模） 图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，弧BE分别与边BC、AC相切于点B、D，则图中阴影部分的面积为______．


【答案】
【解析】
【分析】如图，找出圆心，并连接，，，则，，由得，由此求出弧所对的圆心角，求出扇形的面积，进而求出阴影部分的面积．
【详解】解：如图，找出圆心，并连接，，，则，．


在中，，
．
，，
，
，
，
，
，，
四边形是正方形，
．
过作于，则．
在中，，．
．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，扇形面积及三角形的面积，解决本题的关键是找到正确的辅助线作法．
41. （2022周口川汇区一模）如图，扇形OAB的圆心角∠AOB＝60°，将扇形OAB沿射线AO平移得到扇形O′A′B′，与OB交于点C，若OA＝2，O'O＝2，则阴影部分的面积为 _____．

【答案】##
【解析】
【分析】作CE⊥OA，连接，根据圆的性质即勾股定理求解出CE、OE的值，根据三角函数可得到，从而分解求，即可的阴影部分的面积；
【详解】如图，作CE⊥OA，连接

∵
∴
设
∵
∴
∴即，
解得（舍去）
∴
∵
∴
∴
∵阴影部分的面积等于
∴阴影部分的面积为：
故答案为：
【点睛】本题主要考查扇形面积的求解、圆的性质、特殊三角函数值、勾股定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
42. （2022郑州二模）如图，在△ABC中，O为BC边上的一点，以O为圆心的半圆分别与AB，AC相切于点M，N．已知∠BAC＝120°，，的长为π，则图中阴影部分的面积为 _____．

【答案】
【解析】
【分析】连接OM，ON，OA，设半圆半径为r．由切线的性质可知，从而可求出，进而可求出．由的长为π，利用弧长公式即可求出r的长．根据所连辅助线结合题意，易证，即得出，，从而可求出的长．最后根据结合三角形和扇形的面积公式，即可求出．
【详解】解：如图，连接OM，ON，OA，设半圆半径为r．

∵半圆分别与AB，AC相切于点M，N．
∴，
∵，
∴，
∴．
∵的长为π，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，．
∴，
∴．
∵
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查切线的性质，弧长公式，三角形全等的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理和扇形的面积公式，综合性强．连接常用的辅助线并利用数形结合的思想是解题的关键．
43.（2022郑州一模） 如图，点O是半圆圆心，是半圆的直径，点A，D在半圆上，且，过点D作于点C，则阴影部分的面积是________．

【14题答案】
【答案】
【解析】
【分析】求出半圆半径、OC、CD长，根据AD∥BO，得到 ，根据即可求解 ．
【详解】解：连接OA，
∵，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=8，∠AOB=60°
∵AD∥BO，
∴∠DAO=∠AOB=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠DOE=60°，
∴在Rt△OCD中，，
∵AD∥BO，
∴ ，
∴ ．

故答案为：
【点睛】本题考查了不规则图形面积的求法，解题的关键是根据根据AD∥BO，得到 ，从而将阴影面积转化为扇形面积与三角形面积的差．
44. （2022河南长垣一模）如图，已知点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，的长为，连接OC、AD，则图中阴影部分的面积为___________．

【答案】
【解析】
【分析】连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠COD＝60°，根据弧长公式求得半径，利用勾股定理求出OE、DE，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．
【详解】解：连接OD，如图所示：

∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，
∴∠COD＝60°，
∵的长为，
∴，
∴R＝2，
∴OD＝2，
∵点C是的中点，
∴OC⊥AD，
∴∠ODE=30°，
∴OE＝OD＝1，，
∴

．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是扇形面积计算，弧长的计算，掌握勾股定理、扇形面积公式是解题的关键．
45. （2022河南长垣二模）如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，以OA，AC为边作平行四边形OACD．若CD与半圆O相切于点C，，则图中阴影部分的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】连结OC，OD交半圆O于E，根据CD是半圆O的切线，得出OC⊥CD，根据四边形AODC是平行四边形，得出△AOC是等腰直角三角形，可得AO=ACcos45°=，∠ACO=45°，然后利用三角形OCD-扇形OCE面积即可．
【详解】解：连结OC，OD交半圆O于E，
∵CD是半圆O的切线，
∴OC⊥CD，
∵四边形AODC是平行四边形，
∴CD∥AO，
∴OC⊥AO，
∵OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴AO=ACcos45°=，∠ACO=45°，
∵AC∥OD，
∴∠COD=45°，
∴S阴影=S△OCD-S扇形COE=，
故答案为：．

【点睛】本题考查平行四边形的性质、圆的切线、等腰直角三角形、锐角三角函数、三角形面积、扇形面积，掌握以上相关知识点是解题关键．
46.（2022河南虞城二模） 如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，连接AB，以点B为圆心，以OB的长为半径作弧，交弧AB于点C，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】连结、先求出是等边三角形，然后分别求出扇形、扇形和弓形的面积，最后根据计算，即可求出结果．
【详解】解：如图，连结、，


∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
，

．

故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，掌握用割补法求面积和熟记扇形面积公式是解题的关键．
47.（2022信阳三模） 如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均为小正方形的顶点，且点B在上，则阴影部分的面积为__．

【答案】##
【解析】
【分析】点O为过B点的纵轴和过C点的横轴的交点，连接OA，根据题意求出OA，OB，OC的长，确定圆心和半径，从而求出弓形BC的面积，进而解答；
【详解】解：如图，点O为过B点的纵轴和过C点的横轴的交点，连接OA，D点为小正方形的顶点，
根据题意由图可得：OA=，OB=OC=5，
∴O为的外接圆的圆心，
AD为底边，则的面积=，
∵OC⊥OB，圆的半径为5，则扇形BC的面积为外接圆的面积，
∴弓形BC的面积=，
∴阴影部分的面积为：10＋=，
故答案为：．

【点睛】本题考查了求不规则图形的面积，勾股定理，三角形外接圆的性质，扇形面积的计算；找出圆心的位置是解题的关键．
48. （2022河南商城二模）如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC、BD交于点O，以A为圆心，AB的长为半径画圆，交CD于点F，连接FO并延长交AB于M，连接AF；如图所示，则图中阴影部分的面积是__________．（结果保留）

【答案】
【解析】
【分析】根据AB为半径的圆弧交CD于F，得出AF=AB=，根据四边形ABCD为矩形，得出∠ADF=90°，DC∥AB，DC=AB=，AO=CO，根据勾股定理DF=，可证△ADF为等腰直角三角形，得出∠BAF=∠DFA=45°，根据扇形面积公式求出S扇形ABF=，再求出S△AMF=即可．
【详解】解：∵AB为半径的圆弧交CD于F，
∴AF=AB=，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADF=90°，DC∥AB，DC=AB=，AO=CO，
∴DF=，
∴AD=DF=2，
∴△ADF为等腰直角三角形，
∴∠DFA=45°，
∴∠BAF=∠DFA=45°，
∴S扇形ABF=，
∵CF=DC-DF=，
∵DC∥AB，
∴∠FCO=∠MAO，
在△AOM和△COF中，
，
∴△AOM≌△COF（ASA），
∴AM=CF=，
∴S△AMF=，
∴S阴影=S扇形BAF-S△AMF=，
故答案为：．

【点睛】本题考查矩形的性质，等腰直径三角形的判定，扇形面积，三角形全等判定与性质，三角形面积，掌握矩形的性质，等腰直径三角形的判定，扇形面积，三角形全等判定与性质，三角形面积是解题关键．
49. （2022河南辉县二模）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，，∠ABC＝135°，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转一定的角度，使点B的对应点恰好落在CD边上，则边BC扫过的面积（图中阴影部分）是______．

【答案】
【解析】
【分析】连结AC′，AC，延长AB，过点C作CF⊥AB交延长线于F，过B′作B′E⊥AB于E，利用三角函数求出BF=CF=BCsin45°=2，，利用勾股定理求出AC=，先证四边形B′EFC为矩形，得出B′E=CF=2，利用三角函数求出∠BCB′=30°，再证△ABC≌△AB′C′，然后利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：连结AC′，AC，延长AB，过点C作CF⊥AB交延长线于F，过B′作B′E⊥AB于E，
∵∠ABC=135°，
∴∠CBF=45°，
∴BF=CF=BCsin45°=2，
∵AF=AB+BF=4+2=6，
∴AC=，
∵点B′在CD上，四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，AB′=AB=4，
∵CF⊥AB，B′E⊥AB，
∴B′E∥CF，
∴四边形B′EFC为平行四边形，
∵∠CFE=90°，
∴四边形B′EFC为矩形，
∴B′E=CF=2，
∴sin∠B′AE=，
∴∠BCB′=30°，
∵将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转一定的角度，
∴∠BAB′=∠CAC′=30°，AB=AB′，∠ABC=∠AB′C′，BC=B′C′，
∴△ABC≌△AB′C′，
∴将△ABC逆时针旋转30°得△AB′C′，
∴S阴影=S扇形CAC′-S扇形BAB′=．
故答案为：2π．

【点睛】本题考查图形旋转，平行四边形性质，矩形的判定与性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，扇形的面积，掌握图形旋转性质、平行四边形性质、矩形的判定与性质、三角形全等判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义、扇形的面积公式是解题关键．
50. （2022河南西平一模）如图，平行四边形ABCD中，，．将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到平行四边形，此时点恰好在BC边上，点C的运动路径为，则图中阴影部分的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】连接和，过作于，过作于，过作于，根据平行四边形性质以及旋转角为，可得，在中，得到，在中，得到，利用勾股定理求出，再求出，进而求出、、，根据计算即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：连接和，过作于，过作于，过作于，如图所示：

在平行四边形ABCD中，，，将平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到平行四边形，此时点恰好在BC边上，
，
在中，，则，
在中，，则，
，
，
，，
，
在中，，则，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，扇形的面积公式，勾股定理，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．
51.（2022河南商水二模） 如图，中，，，，点O为斜边AB上一点，以O为圆心，OB长为半径作圆，交AC于点C，若点D是AC的中点，连接BD，则图中阴影部分的面积为______．

0


【答案】##
【解析】
【分析】连接OD，根据直角三角形的性质可得AB=2BC=4，再由OB=OC，可得∠OBC=∠OCB，从而得到OC=OA，再由点D是AC的中点，可得OD∥BC，从而得到，进而得到阴影部分面积等于，即可求解．
【详解】解：如图，连接OD，

在中，，，，
∴AB=2BC=4，∠OBC+∠A=90°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OCB+∠ACO=90°，
∴∠A=∠ACO，
∴OC=OA，
∴AB为以O为圆心，OB长为半径的圆的直径，即O为AB的中点，
∴∠BOC=2∠A=60°，OB=2，
∵点D是AC的中点，
∴OD∥BC，
∴，
∴阴影部分面积等于．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，求扇形面积，圆周角定理，三角形中位线定理，根据题意得到阴影部分面积等于是解题的关键．
52. （2022商丘二模） 如图，为半圆O的直径，C为半圆上的一点，，垂足为D，延长与半圆O交于点E．若，则图中阴影部分的面积为____________．

【答案】
【解析】
【分析】根据垂径定理得到，AD＝CD，解直角三角形得到OD＝OA＝2，AD＝OA＝，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵OD⊥AC，
∴∠ADO＝90°，，AD＝CD，
∵∠CAB＝30°，OA＝4，
∴OD＝OA＝2，AD＝OA＝，
∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOE−S△ADO＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，垂径定理，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
53. （2022三门峡一模）按照如图所示方法三次折叠半径为1的圆形纸片，则图3中阴影部分的面积为______．（结果保留）

【答案】
【解析】
【分析】如图，连接OB，由题意得：OD=OB=OA=1，，BC⊥OD，勾股定理求出BC，得到∠BOC=60°，∠AOB=30°，根据求出答案．
【详解】解：连接OB，
由题意得：OD=OB=OA=1，，BC⊥OD，
∴，
∴，
∴∠BOC=60°，∠AOB=30°，
∴
=
=，
故答案为：．

【点睛】此题考查了利用余弦值求边长，勾股定理，扇形面积公式，折叠的性质，利用余弦求出∠BOC=60°是解题的关键．
54. （2022三门峡二模）如图，在矩形ABCD中，分别以AD，BC为直径作半圆（），圆心分别为点O，P，两个半圆相交于点E，F，连接OE，OF，若，则图中阴影部分的面积为______．


【答案】#
【解析】
【分析】连接EF，EP，FP，OP，其中OP与EF的交点为M，利用矩形的性质和判定可证明四边形OEPF是正方形，继而求出正方形OEPF及扇形OEF的面积，再根据阴影部分的面积求解即可．
【详解】



如图，连接EF，EP，FP，OP，其中OP与EF的交点为M，
四边形ABCD是矩形，
，，
，
四边形ABPO是矩形，
，
，
四边形OEPF是正方形，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，扇形的面积公式，熟练掌握知识点是解题的关键．
55.（2022濮阳一模） 如图，在边长为1的正方形网格上画弧ABC，且点A、B、C都在小正方形的顶点上，则图上阴影部分的面积是______．


【答案】
【解析】
【分析】如图：建立平面直角坐标系，可得点B、C的坐标，即可求得BC中为E的坐标，利用选定系数法可求得BC、DE的解析式，即可得圆心D的坐标，根据勾股定理可求得DC、BC的长，再通过解直角三角形，可求得，根据即可求解．
【详解】解：如图：建立平面直角坐标系，


故点C的坐标为(3,0)，点B的坐标为(2,5)，
设线段BC的中点为E点，则点E的坐标为，
设BC所在的直线的解析式为y=kx+b，
把点B、C的坐标分别代入，
得，
解得，
故BC所在的直线的解析式为，
过点E作线段BC的垂线，交y轴于点D，
则DE垂直平分BC，
又y轴垂直平分AB，
点D即为此弧所对圆的圆心，
设DE所在的直线的解析式为y=k1x+b1，
，
，解得，
，
把点E的坐标代入，得，
解得，
点D的坐标为(0,2)，
，
，
，
，
，



，
故答案为：．
【点睛】本题考查了建立平面直角坐标系解决问题，选定系数法求一次函数的解析式，解直角三角形，扇形的面积公式，建立平面直角坐标系是解决本题的关键．
56. （2022南阳西峡一模）如图，在△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=1cm.将△ABC绕点A逆时针旋转60°到位置. 则边BC扫过的面积是________cm2.


【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到边BC扫过的面积是=，根据面积公式计算即可．
【详解】根据题意，得
边BC扫过的面积是=，
∵∠B=90°，∠C=30°，AB=1，
∴∠B AC =60°=，AC==2，BC=


∴=
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积公式，旋转的性质，熟练掌握扇形的面积计算公式是解题的关键．
57.（2022南阳卧龙一模） 如图，半径为2的扇形AOB的圆心角为120°，点C是弧AB的中点，点D、E是半径OA、OB上的动点，且满足∠DCE＝60°，则图中阴影部分面积等于___________．


【答案】
【解析】
【分析】如图，连接 过作于 是等边三角形，求解 证明 再证明 可得，再计算即可得到答案.
【详解】解：如图，连接 过作于


是的中点，


是等边三角形，







而




故答案为：
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，扇形面积的计算，掌握“利用转化的思想求解阴影部分的面积”是解本题的关键.
58. （2022南阳唐河一模）如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为_____．(答案用根号表示)

【14题答案】
【答案】6π﹣
【解析】
【分析】连接OD，利用折叠性质得由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积等于阴影部分的面积，根据勾股定理求出CD=3 ，从而得到∠CDO=30°，∠COD=60°，然后根据扇形面积公式，利用由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积=S扇形AOD-S△COD，进行计算即可．
【详解】连接OD，
∵扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，
∴AC＝OC，OD＝2OC＝6，
∴
∴∠CDO＝30°，∠COD＝60°，
∴由弧AD、线段AC和CD所围成的图形的面积＝S扇形AOD﹣S△COD＝

∴阴影部分的面积为6π﹣，
故答案为6π﹣．

【点睛】本题考查的是扇形面积的计算折叠的性质，将不规则图形面积转化为规则图形的面积、记住扇形面积的计算公式是解题的关键．
59. （2022洛阳伊川一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝2，以CD为直径的⊙与AB相切于点E．若弧DE的长为为π，则阴影部分的面积为 _____．（保留π）

【答案】
【解析】
【分析】连接OE，首先由弧长公式求得∠EOD＝60°；然后利用△BEO的性质得到线段OB的长度，易得AC与BC的长度；最后根据S阴影＝S△ABC﹣S扇形OCE﹣S△OBE解答．
【详解】解：如图，连接OE，
∵以CD为直径的⊙与AB相切于点E，
∴OE⊥BE．
设∠EOD＝n°，
∵OD＝ CD＝1，弧DE的长为π，
∴＝π．
∴∠EOD＝60°．
∴∠B＝30°，∠COE＝120°．
∴OB＝2OE＝2，BE＝，AB＝2AC，
∵AC＝AE，
∴AC＝BE＝．
∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形OCE﹣S△OBE
＝××3﹣﹣×1×＝﹣．
故答案是：﹣．

【点睛】考查了切线的性质，弧长的计算和扇形面积的计算，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
60.（2022洛阳一模） 有一张矩形纸片ABCD，已知，，上面有一个以AD为直径的半圆，如图甲，E为AB边上一点，将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图乙，这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是______．

【答案】
【解析】
【分析】设阴影部分所在的圆心为O，AD与半圆弧交于点F，如图，连接OF，过点O作OM⊥DF交DF于点M，根据折叠和直角三角形的边角关系可求出∠DAC=30°，进而求出阴影部分所在的圆心角的度数为120°，再根据锐角三角函数求出△ODF的底和高，最后根据进行计算即可．
【详解】解：设阴影部分所在的圆心为O，AD与半圆弧交于点F，如图，连接OF，过点O作OM⊥DF交DF于点M，

根据题意得：AD=6，CD=AB=3，OD=OF=3，
∴∠DAC=30°，
∵OD∥BC，OD=OF=3，
∴∠ODF=∠OFD=∠DAC=30°，
∴∠DOF=180°-30°-30°=120°，
在Rt△DOM中，
，，
∴，
∴

．
故答案为：
【点睛】本题考查折叠轴对称，直角三角形的边角关系，扇形、三角形面积计算，掌握扇形和三角形面积计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键．
61.（2022河南方城一模） 如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】连接OC，根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，再根据AAS证明△COD≌△COE，根据全等三角形的性质得到OD=OE，从而得到矩形CDOE是正方形，求出正方形的边长，再根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：如图，连接OC，

∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO=∠CEO=∠AOB=90°，
∴四边形CDOE是矩形，
∵点C是的中点，
∴∠AOC=∠BOC，
在△COD与△COE中，
，
∴△COD≌△COE(AAS)，
∴OD=OE，
∴矩形CDOE是正方形，
∵OC=OA=，
∴，
得出OE=1，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、扇形面积的计算、矩形的判定、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题的关键．
62. （2022河南邓州一模）如图是由相同的小正方形组成的网格，每个小正方形的边长为1，上的点A，B，C，D均为格点，上有一点E，且，则图中阴影部分的面积为______．

【答案】
【解析】
【分析】线段AB和线段BC的垂直平分线相交于点O，则点O即为所在的圆得的圆心，连接OC，OE，由圆周角定理得∠COE＝2∠CAE＝30°，过点C作CH⊥OE于点H，则∠OHC＝90°，在Rt△OCH 中，求得CH＝OC＝，利用即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】解：如图，线段AB和线段BC的垂直平分线相交于点O，则点O即为所在的圆得的圆心，连接OC，OE，

∵，
∴∠COE＝2∠CAE＝30°，
过点C作CH⊥OE于点H，则∠OHC＝90°，
由勾股定理得OC＝OE＝，
在Rt△OCH 中，∠OHC＝90°，∠COH＝30°，OC＝，
∴CH＝OC＝，
∴
＝
＝

故答案为：
【点睛】此题考查了圆周角定理、判断三角形外接圆的圆心位置、扇形的面积公式、勾股定理、直角三角形的性质等知识，利用圆周角定理得到∠COE＝2∠CAE＝30°是解题的关键．
63. （2022河南邓州二模）如图所示，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=4，点F位于弧AB的处，且靠近点A的位置．点C、D分别在线段OA、OB上，CD=4，E为CD的中点，连接EF、BE．在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的面积为_____．

【答案】
【解析】
【分析】如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT，证明△OBF是等边三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，EF≥OF−OE＝2，推出当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，求出BT，根据阴影部分的面积＝S扇形BOF－S△BOT计算即可．
【详解】：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．

∵∠AOB＝90°，，
∴∠BOF＝60°，
∵CE＝DE，
∴OE＝CD＝2，
∵OF＝4，
∴EF≥OF−OE＝2，
∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，OT＝OE＝2，
∵OF＝OB，∠BOF＝60°，
∴△BOF是等边三角形，
∵OT＝TF，
∴BT⊥OF，
∴BT＝ ，
∴此时阴影部分的面积＝S扇形BOF－S△BOT＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，明确当O，E，F共线时，EF的值最小是解题的关键．
64.（2022河南二模） 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，点D是边AB的中点，格点E在上，则图中阴影部分的面积为_______．

【答案】
【解析】
【分析】取BC中点F，连接DF，由中位线的性质得到，，利用勾股定理分别解得AC，BC，AB的长，证明为等腰直角三角形，继而得到也是等腰直角三角形，解得的面积及扇形CDF的面积即可解答．
【详解】解：如图，连接DF

D是边AB的中点，F是边BC的中点，




等腰直角三角形，
也是等腰直角三角形，





故答案为：．
【点睛】本题考查网格与勾股定理、扇形的面积、中位线性质、勾股定理的逆定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
65.（2022河南汝州一模）如图，在矩形中，，．把矩形绕点逆时针方向旋转，当点的对应点恰好落在边上时，点经过的路径是，则图中阴影部分的面积为_____．

【答案】
【解析】
【分析】首先结合矩形的边长和旋转的性质确定出旋转角，然后利用扇形的面积减去和的面积之和即可．
【详解】由题意，，
在中，，，
∴，，
∴，，
则，
即：旋转过程的旋转角为60°，
∴，
∴，
，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转图形的阴影面积计算问题，准确求出旋转角，理解旋转的定义与性质是解题关键．
66. （2022临汾二模）如图，点O是半圆圆心，是半圆的直径，点A，D在半圆上，且，过点D作于点C，则阴影部分的面积是________．

【14题答案】
【答案】
【解析】
【分析】求出半圆半径、OC、CD长，根据AD∥BO，得到 ，根据即可求解 ．
详解】解：连接OA，
∵，OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=8，∠AOB=60°
∵AD∥BO，
∴∠DAO=∠AOB=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，
∴∠DOE=60°，
∴在Rt△OCD中，，
∵AD∥BO，
∴ ，
∴ ．

故答案为：
【点睛】本题考查了不规则图形面积的求法，解题的关键是根据根据AD∥BO，得到 ，从而将阴影面积转化为扇形面积与三角形面积的差．