专题08 计数原理与概率统计-学易金卷：高考数学一模试题分项汇编（上海专用）

一模汇编

一、计数原理

1.【黄浦3】的二项展开式中项的系数是         .

2.【浦东4】的二项展开式中的系数为         .

3.【虹口4】在的二项展开式中 x项的系数为_________.

4.【普陀6】在展开式中，含有项的系数为        .（结果用数值表示）

5.【徐汇6】在的二项展开式中，项的系数是___________.

6.【长宁7】有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担；现从6人中任选4人承担这三项任务，则共有___________种不同的选法.

7.【奉贤7】在二项式的展开式中，系数最大的项的系数为________.（结果用数值表示）

8.【青浦7】若的展开式的常数项是，则常数的值为__________.

9.【嘉定7】已知常数，在的二项展开式中，项的系数等于，则_______.

10.【静安9】2022年11月27日上午7点，时隔两年再度回归的上海马拉松赛在外滩金牛广场鸣枪开跑，途径黄浦、静安和徐汇三区.数千名志愿者为1.8万名跑者提供了良好的志愿服务.现将5名志愿者分配到防疫组、检录组、起点管理组、路线垃圾回收组4个组，每组至少分配1名志愿者，则不同的分配方法共有__________种.（结果用数值表示）

11.【宝山9】从5名志愿者中选出4名分别参加测温、扫码、做核酸和信息登记的工作（每项1人），其中甲不参加测温的分配方案有______种.（结果用数值表示）

12.【金山9】从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排人，且人员不重复，则一共有______种安排方式.（结果用数值表示）

13.【杨浦10】已知(是正整数)，，

则        .

14.【闵行14】 “”是“的二项展开式中存在常数项”的（    ）

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件

C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件

15.【静安15】在的二项展开式中，称为二项展开式的第项，其中.下列关于的命题中，不正确的一项是（    ）

A. 若，则二项展开式中系数最大的项是.

B. 已知，若，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数的取值范围是.

C. 若，则二项展开式中常数项是.

D. 若，则二项展开式中的幂指数是负数的项一共有12项.

二、概率

1.【宝山6】两个篮球运动员罚球时的命中概率分别是0.6和0.5，两人各投一次，则他们同时命中的概率是_______.

2.【静安6】现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是________.

3.【闵行6】将一颗骰子连掷两次，每次结果相互独立，则第一次点数小于3且第二次点数大于3的概率为________.

4.【虹口8】第5届中国国际进口博览会在上海举行，某高校派出了包括甲同学在内的4名同学参加了连续5天的志愿者活动. 已知甲同学参加了2天的活动，其余同学各参加了1天的活动，则甲同学参加连续两天活动的概率为_________.（结果用分数表示）

5.【普陀8】“青山”饮料厂推出一款新产品——“绿水”，该厂开展促销活动，将罐“绿水”装成一箱，且每箱均有罐可以中奖.若从一箱中随机抽取罐，则能中奖的概率为         .（结果用最简分数表示）

6.【青浦8】若函数的定义域和值域分别为和，则是单调函数的概率是         .

【变式】若函数的定义域和值域分别为和，则满足的函数概率是         .

7.【浦东9】某医院需要从4名男医生和3名女医生中选出3名医生去担任“中国进博会”三个不同区域的核酸检测服务工作，则选出的3名医生中，恰有1名女医生的概率是         .

8.【徐汇9】某中学从甲、乙两个班中各选出15名学生参加知识竞赛，将他们的成绩（满分100分）进行统计分析，绘制成如图所示的茎叶图. 设成绩在88分以上（含88分）的学生为优秀学生，现从甲、乙两班的优秀学生中各取1人，记甲班选取的学生成绩不低于乙班选取的学生成绩记为事件，则事件发生的概率___________.

9.【奉贤9】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率是__________.（结果用最简分数表示）.

10.【黄浦10】现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票（其中3张为中奖票）的箱子中不放回

地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为  

       .

11.【杨浦13】从学号为1~10的10名学生中，用抽签法从中抽取3名学生进行问卷调查，设5号同学被抽到的概率为，6号同学被抽到的概率为b，则（    ）

A.      B.     

C.      D.

12.【长宁15】掷两颗骰子，观察掷得的点数.设事件为：至少一个点数是奇数；事件为：点数之和是偶数，事件的概率为，事件的概率为.则是下列哪个事件的概率（    ）

A. 两个点数都是偶数    B. 至多有一个点数是偶数         

C. 两个点数都是奇数    D. 至多有一个点数是奇数

13.【嘉定15】甲、乙两人弈棋，根据以往总共次的对弈记录，甲取胜次，乙取胜次.两人进行一场五局三胜的比赛，最终胜者赢得元奖金.第一局、第二局比赛都是甲胜，现在比赛因意外中止.鉴于公平，奖金应该分给甲（    ）

A 元 B. 元 

C. 元 D. 元

三、统计

1.【静安4】16-17岁未成年人的体重的主要百分位数表（单位：kg）.

表中数据来源：《中国未成年人人体尺寸》（标准号：GB/T26158-2010）

小王同学今年17岁，她的体重50kg，她所在城市女性同龄人约有4.2万人. 估计小王同学所在的城市有________ 万女性同龄人的体重一定高于她的体重.（单位：万人，结果保留一位小数）

2.【青浦5】在一次射箭比赛中，某运动员次射箭的环数依次是，则该组数据的方差是_______.

3.【黄浦6】某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2  9.7  10.8  9.1  8.9  8.6  9.8 

9.6  9.9  11.2  10.6  11.7, 则这组数据的第80百分数为         .

4.【嘉定6】某果园种植了棵苹果树，随机抽取的棵果树的产量（单位：千克）分别为：

24  25  36  27  28  32  20  26  29  30  26  33

据此预计，该果园的总产量为_______千克以及第百分位数为_______千克.

5.【长宁6】甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图所示，则在这7天中；

①甲城市日均气温的中位数与平均数相等  

②甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定

③乙城市日均气温的极差为          

④乙城市日均气温的众数为

以上判断正确的是           .（写出所有正确判断的序号）

6.【杨浦7】一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为        .

7.【浦东7】已知某射击爱好者的打靶成绩（单位：环）的茎叶图如图所示，其中整数部分为“茎”，小数部分为“叶”，则这组数据的方差为         .（精确到0.01）

8.【奉贤8】下表是岁未成年人的身高的主要百分位数（单位：）.小明今年岁，他的身高为，他所在城市男性同龄人约有万人.可以估计出小明的身高至少高于他所在城市__________万男性同龄人.

岁未成年人的身高的主要百分位数

数据来源：《中国未成年人人体尺寸）（标准号：）.

9.【普陀10】某地“小康果”大丰收，现抽取5个样本，其质量分别为、、、、（单位：克）. 若该样本的中位数和平均数均为，则此样本的标准差为       . （用数字作答）

10.【宝山14】某高中共有学生1200人，其中高一、高二、高三的学生人数比为，现用分层抽样的方法从该校所有学生中抽取一个容量为60的样本，则高三年级应该抽取（    ）人.

A. 16 B. 18 

C. 20 D. 24

11.【闵行19】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题7分，第2小题7分

2022年，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某国家队26名球员的年龄分布茎叶图如图所示：

（1）该国家队25岁的球员共有几位？求该国家队球员年龄的第75百分位数；

（2）从这26名球员中随机选取11名球员参加某项活动，求这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率.

四、概率（续）

1.【静安8】、分别是事件的对立事件，如果两个事件独立，那么以下四个概率等式一定成立的是____________.（填写所有成立的等式序号）

①                     ②

③             ④

2.【奉贤15】下列结论不正确的是（    ）

A. 若事件与互斥，则

B. 若事件与相互独立，则

C. 如果分别是两个独立的随机变量，那么

D. 若随机变量的方差，则

3.【虹口20】（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）

本市某区对全区高中生的身高（单位：厘米）进行统计，得到如下的频率分布直方图.

（1）若数据分布均匀，记随机变量为各区间中点所代表的身高，写出的分布及期望；

（2）已知本市身高在区间的市民人数约占全市总人数的10 %，且全市高中生约占全市总人数的1.2 %.现在要以该区本次统计数据估算全市高中生身高情况，从本市市民中任取1人，若此人的身高位于区间，试估计此人是高中生的概率；

（3）现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个80人的样本.若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这80人身高的方差.

五、数学建模

【嘉定19】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分

李先生属于一年工作250天的上班族，计划购置一辆新年用以通勤. 大致推断每天早八点从家出发，晚上六点回家，往返总距离为40公里. 考虑从A、B两款车型中选择其一，A款车是燃油车，B款车是电动车，售价均为30万元. 现提供关于两种车型的相关信息：

A款车的油耗为6升/百公里，油价为每升8至9元. 车险费用4000元/年. 购置税为售价的10%. 购车后，车价每年折旧率为12%. 保养费用平均2000元/万公里；

B款车的电耗为20度/百公里，电费为每度0.6至0.7元. 车险费用6000元/年. 国务院2022年出台文件，宣布保持免除购置税政策，电池使用寿命为5年，更换费用为10万元. 购车后，车价每年折旧率为15%. 保养费用平均1000元/万公里.

（1）除了上述了解到的情况，还有哪些因素可能需要考虑？写出这些因素（至少3个，不超过5个）；

（2）为了简化问题，请对相关因素做出合情假设，由此为李先生作出买车的决策，并说明理由.

【分析】（1）李先生要考虑生活中得各类费用以及车身本身的因素，列出几条即可；

（2）通过数据的分析，得出相关的结论对买款或买款车进行分析.

【解析】（1）李先生可能还需要考虑的因素有：

1、考虑非通勤时段的车辆使用情况 

    2、油价和电价的变化

    3、工作单位能否提供免费充电

    4、电动车的国家减免政策的变化

    5、车辆的外观、内饰与品牌效应

6、车牌费用

   （写出一条即可得2分）

（2）假设仅考虑通勤时的车辆费用，油价和电价保持相对稳定，电动车的免购置税政策保持不变.计算时取价格区间的中位数即电价元/度、油价元/升.

车辆费用为车价、能源费用、税费、车险费用、保养费用，并扣除车辆残余价值.

写出至年任意一年中的一组对比数据，                           -------4分

例如：款车使用年的总费用为：

,款车使用年的总费用为：

所以，如果李先生打算开年就按二手车卖掉，可以选款车.

再写出至年任意一年中的一组对比数据，                         ------2分

（两组数据写出其一，给4分.均写，给6分）

结论：使用年数不超过年，建议买款车；                          ------1分

使用年数超过年，建议买款车.                          ---------1分