7.4宇宙航行-高一物理同步精品讲义（人教必修第二册 ）

第七章 万有引力与宇宙航行

第4课  宇宙航行

知识点01  宇宙速度

1．第一宇宙速度的推导

(1)已知地球质量m地和半径R，物体在地面附近绕地球的运动可视作匀速圆周运动，万有引力提供物体运动所需的向心力，轨道半径r近似认为等于地球半径R，由＝m，可得v＝.

(2)已知地面附近的重力加速度g和地球半径R，由mg＝m得：v＝.

2．三个宇宙速度及含义

【即学即练1】　(多选)下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是(　　)

A．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2

B．美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度 

C．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造小行星的最小发射速度

D．第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度

【答案】　CD

【解析】根据v＝可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v1＝7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，选项D正确；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，选项A错误；美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B错误；第二宇宙速度是使物体挣脱地球束缚而成为太阳的一颗人造小行星的最小发射速度，选项C正确．

知识点02  人造地球卫星

1957年10月4日，世界上第一颗人造地球卫星发射成功．

【即学即练2】我国发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的最大速率约为(　　)

A．0.4 km/s　　 B．1.8 km/s

C．11 km/s D．36 km/s

【答案】　B

【解析】　星球的第一宇宙速度即为围绕星球做圆周运动的轨道半径为该星球半径时的环绕速度，由万有引力提供向心力即可得出这一最大环绕速度．

卫星所需的向心力由万有引力提供，

G＝m，得v＝，

又由＝，＝，

故月球和地球上第一宇宙速度之比＝，

故v月＝7.9× km/s≈1.8 km/s，

因此B项正确．

考法01  三个宇宙速度

1．第一宇宙速度

(1)两个表达式

思路一：万有引力提供物体运动所需的向心力，由G＝m得v＝.

思路二：可近似认为重力提供物体运动所需的向心力，由mg＝m得v＝.

(2)理解

①“最小发射速度”：第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度．

②“环绕速度”：第一宇宙速度是所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星的最大速度．

2．第二宇宙速度

在地面附近发射飞行器，使之能够克服地球的引力，永远离开地球所需的最小发射速度，其大小为11.2 km/s.当发射速度7.9 km/s<v0<11.2 km/s时，飞行器绕地球运行的轨道是椭圆，且在轨道不同点速度大小一般不同．

3．第三宇宙速度

在地面附近发射飞行器，使之能够挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外的最小发射速度，其大小为16.7 km/s.

【典例1】截至2022年3月24日，我国首次火星探测任务“天问一号”环绕器在轨运行609天，距离地球2.77亿千米，当前运行正常．已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是(　　)

A．火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度

B．火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间

C．火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度

D．火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度

【答案】　A

【解析】

　当发射速度介于地球的第一和第二宇宙速度之间时，探测器将围绕地球转动，当发射速度大于地球的第二宇宙速度时，探测器将脱离地球的引力在太阳系的范围内运动，火星在太阳系内，所以火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度，A正确，B错误；行星的第一宇宙速度为该行星表面轨道处卫星的运动速度，则有＝m，解得v＝

可得火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为＝＝

即火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，C错误；根据在行星表面的物体万有引力近似等于重力可得

＝mg，解得g＝，得火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比为

＝＝，即火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，D错误．

考法02  人造地球卫星

1．人造地球卫星

(1)卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如同步轨道)，可以通过两极上空(极地轨道)，也可以和赤道平面成任意角度，如图所示．

(2)因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球做圆周运动的向心力，所以地心必定是卫星圆轨道的圆心．

2．近地卫星、同步卫星、极地卫星和月球

(1)近地卫星：地球表面附近的卫星，r≈R；线速度大小v≈7.9 km/s、周期T＝≈85 min，分别是人造地球卫星做匀速圆周运动的最大速度和最小周期．

(2)同步卫星：位于地球赤道上方，相对于地面静止不动，它的角速度跟地球的自转角速度相同，广泛应用于通信，又叫同步通信卫星．

(3)极地卫星：轨道平面与赤道平面夹角为90°的人造地球卫星，运行时能到达南北极上空．

(4)月球绕地球的公转周期T＝27.3天，月球和地球间的平均距离约38万千米，大约是地球半径的60倍．

【典例2】金星的半径是地球半径的，质量是地球质量的，忽略金星、地球自转的影响，金星表面的自由落体加速度与地球表面的自由落体加速度之比，金星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比分别是(　　)

A．5∶8　1∶2   B．5∶8　∶2

C．1∶2　∶2   D．1∶2　1∶2

【答案】　B

【解析】

根据万有引力提供向心力，有＝m，解得v＝，得＝.根据在天体表面的物体的重力近似等于天体对物体的引力，有mg＝，解得g＝，所以＝，故选B.

题组A  基础过关练

1．国际科研团队发现了两颗距离地球仅100光年的新行星，其中一颗可能适合生命生存。这两颗行星分别是LP890－9b（以下简称行星A）和LP890－9c（以下简称行星B）。行星A的半径约为8370公里，仅需2.7天就能绕恒星C一圈；行星B半径约为8690公里，8.5天能绕恒星C一圈，假设行星A、B绕恒星C做匀速圆周运动。则（    ）

A．行星A表面的重力加速度大于行星B表面的重力加速度

B．行星A的公转轨道半径大于行星B的公转轨道半径

C．行星A的公转速度大于行星B的公转速度

D．行星A的公转角速度小于行星B的公转角速度

【答案】C

【解析】A．由于不知道行星A与行星B的质量关系，行星A、B表面的重力加速度大小无法比较，故A错误；

B．由于行星A绕恒星C的周期小于行星B绕恒星C的周期，根据开普勒第三定律

可知，行星A的公转轨道半径小于行星B的公转轨道半径，故B错误；

C．根据万有引力提供向心力

可知

则行星A的公转速度大于行星B的公转速度，故C正确；

D．根据万有引力提供向心力

可知

则行星A的公转角速度大于行星B的公转角速度，故D错误。

故选C。

2．神舟十四号载人飞船于2022年6月5日成功发射并按照预定程序与空间站进行自主快速交会对接。若空间站位于距地面高度为的近地圆轨道运行，另一卫星A位于距地面高度为圆轨道运行，地球半径为，地球表面重力加速度为g，则（　　）

A．空间站组合体的加速度大小为

B．空间站的周期与卫星A的周期之比为

C．空间站的加速度与卫星A的加速度之比为2:1

D．空间站的线速度与卫星A的线速度之比为2:1

【答案】B

【解析】A．飞船受的万有引力等于在该处所受的重力

解得

地球表面重力加速度

解得

A错误；

BCD．由万有引力提供向心力

解得

进行比较后得

B正确，CD错误。

故选B。

3．中国空间站“天宫”绕地球做匀速圆周运动，距地面高度约为400km。已知地球同步卫星距地面高度约为36000km，下列说法正确的是（    ）

A．中国空间站“天宫”的运动周期比地球近地卫星运动周期小

B．中国空间站“天宫”的向心加速度比地球近地卫星向心加速度大

C．中国空间站“天宫”的运行速度比地球同步卫星运行速度小

D．中国空间站“天宫”的运动周期比地球同步卫星运动周期小

【答案】D

【解析】AD．根据

可得

中国空间站“天宫”的轨道半径大于地球近地卫星轨道半径，小于地球同步卫星轨道半径，所以“天宫”的运动周期比地球近地卫星运动周期大，比地球同步卫星运动周期小，故A错误，D正确；

B．根据

可得

中国空间站“天宫”的轨道半径大于地球近地卫星轨道半径，所以“天宫”的向心加速度比地球近地卫星向心加速度小，故B错误；

C．根据

可得

中国空间站“天宫”的轨道半径小于地球同步卫星轨道半径，所以“天宫”的运行速度比地球同步卫星运行速度大，故C错误。

故选D。

4．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船与天和核心舱成功对接，对接过程如图所示，天和核心舱处于半径为的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为的圆轨道Ⅰ，当经过A点时，通过变轨操作后，沿椭圆轨道Ⅱ运动到B处与核心舱对接，则神舟十二号飞船（　　）

A．沿轨道Ⅰ运行的速度小于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的速度

B．在轨道Ⅰ上运动经过A点的加速度小于在轨道Ⅱ上运动经过A点的加速度

C．沿轨道Ⅱ从A运动到B的过程中，动能不断增大

D．在轨道Ⅰ上运行的周期小于在轨道Ⅱ上运行的周期

【答案】D

【解析】A．根据

可得

因

则有

所以沿轨道Ⅰ运行的速度大于天和核心舱沿轨道Ⅲ运行的速度，A错误；

B．沿轨道Ⅰ运动到A点时受到的万有引力等于沿轨道Ⅱ运动到A点时受到的万有引力，因此加速度相同，B错误；

C．根据开普勒第二定律可知，沿轨道Ⅱ从A运动到B的过程中，速度不断减小，所以动能不断减小，C错误；

D．根据开普勒第三定律，有

可得

因为

故

D正确；

故选D。

5．（多选）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在文昌航天发射场点火发射。天舟五号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，入轨后顺利完成状态设置，于11月12日12时10分，采取自主快速交会对接模式，成功对接于轨道高度约为400km空间站“天和”核心舱后向端口。交会对接完成后，天舟五号将转入组合体飞行阶段。此次任务，首次实现了两小时自主快速交会对接，创造了世界纪录。已知对接后组合体所绕轨道视为圆轨道，绕行周期为T，距地高度为nR，R为地球半径，万有引力常量为G。下列说法中正确的是（　　）

A．天舟五号货运飞船的发射速度大于“天和”核心舱的环绕速度

B．组合体的线速度小于第一宇宙速度

C．应先将天舟五号货运飞船送入核心舱的同一轨道，再加速以实现对接

D．地球表面重力加速度为

【答案】ABD

【解析】AB．第一宇宙速度是环绕地球做圆周运动的最大速度，可知组合体的线速度和“天和”核心舱的环绕速度均小于第一宇宙速度；同时第一宇宙速度也是发射卫星的最小发射速度，可知天舟五号货运飞船的发射速度大于第一宇宙速度，大于“天和”核心舱的环绕速度，选项AB正确；

C．由卫星对接的原理可知，天舟五号货运飞船要和核心舱“对接，通常是将飞船先发射到较低的轨道，然后追及核心舱，在适当的位置加速做离心运动，实现与核心舱对接，选项C错误；

D．根据万有引力提供向心力有

又

解得地球表面重力加速度为

选项D正确。

故选ABD。

6．（多选）中国行星探测任务名称为“天问系列”，首次火星探测任务被命名为“天问一号”。若已知“天问一号”探测器在距离火星中心为的轨道上做匀速圆周运动，其周期为。火星半径为，自转周期为。引力常量为，若火星与地球运动情况相似，下列说法正确的是（　　）

A．火星的质量为

B．火星表面两极的重力加速度为

C．“天问一号”探测器环绕速度为

D．火星的同步卫星距离星球表面高度为

【答案】BC

【解析】A．设火星的质量为、“天问一号”探测器的质量为， “天问一号”探测器在距离火星中心为的轨道上做匀速圆周运动，有

解得

故A错误；

B．假定有一质量为的物体静止在火星两极表面上，则有

得

故B正确；

C．设“天问一号”探测器环绕速度为，则有

解得

故C正确；

D．设火星的同步卫星的质量为，距离星球表面高度为，则有

解得

故D错误。

故选BC。

题组B  能力提升练

7．（多选）2022年11月30日，“神州十五号”载人飞船与中国太空站“天和核心舱”完成自主对接。对接前“神州十五号”在较低轨道运行，“天和核心舱”在较高轨道运行，它们都绕地球近似做匀速圆周运动，运行轨道如图所示，下列说法正确的是（   ）

A．“神州十五号”和“天和核心舱”都处于平衡状态

B．“神州十五号”运行时的向心力比“天和核心舱”大

C．“神州十五号”运行的周期比“天和核心舱”小

D．“神州十五号”运行时的线速度比“天和核心舱”大

【答案】CD

【解析】A．“神州十五号”及“天和核心舱”均做圆周运动，故均不是平衡状态，A错误；

B．由于题目没有给出“天和核心舱”和“神州十五号”的质量关系，所以无法比较向心力大小，只能比较向心加速度大小，C错误；

CD．根据

解得

，

由题图可看出r天 > r神，则“神州十五号”运行的周期比“天和核心舱”小，“神州十五号”运行时的线速度比“天和核心舱”大，CD正确。

故选CD。

8．（多选）宇宙中两颗相距很近的恒星常常组成一个双星系统，它们以相互间的万有引力彼此提供向心力，而使它们绕着某一共同的圆心做匀速圆周运动，若已知它们的运转周期为T，这两恒星到某一共同圆心的距离分别为和。则关于这两颗恒星的说法正确的是（　　）

A．这两颗恒星的质量之比等于m1 ：m2 = R1 ：R2

B．这两颗恒星的质量之和为

C．其中必有一颗恒星的质量为

D．这两颗恒星匀速圆周运动的线速度大小之比为 v1 ：v2 = R2 ：R1

【答案】BC

【解析】A．由

得

m1 ：m2 = R2 ：R1

A错误；

B．由A选项得

，

又

得

B正确；

C．由AB选项得

C正确；

D．这两颗恒星匀速圆周运动的线速度大小之比为

D错误。

故选BC。

9．（多选）中国“雪龙号”南极科考船上的科研人员，在经过赤道时测量的重力加速度大小为g，到达南极后，在南极附近测得的重力加速度大小为，已知地球的自转周期为T，引力常量为G，假设地球是均匀球体。则下列说法正确的是（    ）

A．地球的密度为

B．地球的半径为

C．地球的第一宇宙速度为

D．若地球的自转角速度变为原来的倍时，地球赤道上的物体对地面的压力为零

【答案】BC

【解析】B．物体在地球表面赤道与两极处的重力不同，是由于物体随地球的自转时需要向心力引起的。设物体的质量为m，地球的半径为R，在赤道上有

解得

故B正确；

A．设地球的质量为M，则

在南极

解得

故A错误；

C．由，解得地球的第一宇宙速度为

解得

故C正确；

D．若放在地球赤道上的物体对地面的压力为零，物体受到的万有引力充当随地球自转的向心力，即

即

解得

又，故

故D错误。

故选BC。

10．（多选）宇宙空间有两颗相距较远、中心距离为的星球和星球B。在星球上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，如图（a）所示，P由静止向下运动，其加速度与弹簧的压缩量间的关系如图（b）中实线所示。在星球B上用完全相同的弹簧和物体P完成同样的过程，其关系如图（b）中虚线所示。已知两星球密度相等。星球的质量为，引力常量为。假设两星球均为质量均匀分布的球体。则下列判断正确的是（    ）

A．星球B的质量为

B．星球和星球B的表面重力加速度的比值为2

C．若星球绕星球B做匀速圆周运动，则星球的运行周期

D．若将星球、B看成是远离其他星球的双星模型，则它们的周期

【答案】AC

【解析】B．对物体受力分析，根据牛顿第二定律

可得

结合图像可知，纵截距表示星球表面重力加速度。

则有

选项B错误；

A．设星球的质量为。根据黄金替换公式

根据质量与体积关系式

联立得

由于星球和星球B密度相等，可见

则星球B与星球的质量比

联系以上各式可得

选项A正确；

C．星球以星球B为中心天体运行时，受到星球B的万有引力作用做匀速圆周运动。

研究星球，根据向心力公式

解得

选项C正确；

D．将星球和星球B看成双星模型时，它们在彼此的万有引力作用下做匀速圆周运动。

研究星球

研究星球B

又

联立可得

选项D错误。

故选AC。

题组C  培优拔尖练

11．我国的航空航天事业取得了巨大成就。根据新闻报道2025年前后，我国将发射了“嫦娥六号”探月卫星。假设“嫦娥六号”的质量为，它将绕月球做匀速圆周运动时距月球表面的距离为h。已知引力常量G、月球质量M、月球半径R。求：

（1）求月球表面的重力加速度g；

（2）“嫦娥六号”绕月球做匀速圆周运动的周期T；

（3）求月球的第一宇宙速度v。

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】（1）月球表面，根据万有引力等于重力

解得，月球表面的重力加速度

（2）“嫦娥六号”绕月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得

解得

（3）在月球表面环绕月球做匀速圆周的速度为月球第一宇宙速度，由万有引力提供向心力得

解得

12．如图，已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为，飞船在绕月球的圆形轨道Ⅰ上运动，轨道半径为r，，到达轨道Ⅰ的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B时再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。已知引力常量G，求：

（1）第一次点火和第二次点火分别是加速还是减速；

（2）飞船在轨道Ⅰ上的运行速率；

（3）飞船在轨道Ⅱ上的运行周期。

【答案】（1）第一次点火与第二次点火都是减速；（2）；（3）

【解析】（1）由高轨道到低轨道，半径减小，飞船做近心运动，所需要的向心力小于万有引力，故要减速才可实现，即第一次点火与第二次点火都是减速。

（2）由题意可知轨道Ⅰ的半径为4R，设飞船的质量为m，月球的质量为M，飞船在轨道Ⅰ上的运行速率为v，由万有引力提供向心力有

假设在月球表面有一个质量为的物体，根据月球表面物体的重力近似等于物体受到的月球的引力，则

联立可得

（3）由题意可知轨道Ⅲ的半径为R，设飞船在轨道Ⅲ上的运行周期为T，根据万有引力提供向心力有

又因为

可得

由开普勒第三定律有

又有

解得