2021年北京市清华大学强基计划数学试卷

这是一份2021年北京市清华大学强基计划数学试卷，共58页。

2021年北京市清华大学强基计划数学试卷

（多选）1．（2021•北京自主招生）甲乙丙丁四人共同参加4项体育比赛，每项比赛第一名到第四名的分数依次为4、3、2、1分．比赛结束甲获得14分第一名，乙获得13分第二名，则（　　）
A．第三名不超过9分
B．第三名可能获得其中一场比赛的第一名
C．最后一名不超过6分
D．第四名可能一项比赛拿到3分
2．（2021•北京自主招生）定义，则（…（（2*3）*4）…）*21＝　 　．
3．（2021•北京自主招生）已知，则（　　）
A．x4+x3+x2+x+1＝（x﹣ω）（x﹣ω3）（x﹣ω7）（x﹣ω9）
B．x4﹣x3+x2﹣x+1＝（x﹣ω）（x﹣ω3）（x﹣ω7）（x﹣ω9）
C．x4﹣x3﹣x2+x+1＝（x﹣ω）（x﹣ω3）（x﹣ω7）（x﹣ω9）
D．x4+x3+x2﹣x﹣1＝（x﹣ω）（x﹣ω3）（x﹣ω7）（x﹣ω9）
4．（2021•北京自主招生）恰有一个实数x使得x3﹣ax﹣1＝0成立，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
5．（2021•北京自主招生）已知[x]为高斯函数，解的组数为（　　）
A．30 B．40 C．50 D．60
6．（2021•北京自主招生）已知m，n最大公约数为10！，最小公倍数为50！，数对（m，n）的组数为（　　）
A．29 B．215 C．221 D．218
（多选）7．（2021•北京自主招生）设a为常数，，f（x+y）＝f（x）f（a﹣y）+f（y）f（a﹣x），则（　　）
A．
B．恒成立
C．f（x+y）＝2f（x）f（y）
D．满足条件的f（x）不止一个
8．（2021•北京自主招生）已知四面体D﹣ABC中，AC＝BC＝AD＝BD＝1，则D﹣ABC体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
9．（2021•北京自主招生）在△ABC中，D为BC的中点，∠CAD＝15°，则∠ABC的最大值为（　　）
A．120° B．105° C．90° D．60°
10．（2021•北京自主招生）已知非负实数a，b，c满足a+b+c＝1，则a2（b﹣c）+b2（c﹣a）+c2（a﹣b）的最大值为 　 　．
11．（2021•北京自主招生）已知A1，A2，…，A10十等分圆周，则在其中取四点构成凸四边形为梯形个数为（　　）
A．60 B．45 C．40 D．50
（多选）12．（2021•北京自主招生）已知，，设f（x）的最大值为M，最小值为m，则（　　）
A． B． C． D．
13．（2021•北京自主招生）已知集合U＝{0，1，2，…，2021}，S⊆U，且S中任意两项相加不是5的倍数，求S的元素个数最大值．
14．（2021•北京自主招生）将函数的图象逆时针方向旋转θ（0≤θ≤α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图像，则α的最大值为（　　）
A． B． C． D．
15．（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝•＝2，则点集{P|＝λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（　　）
A． B． C． D．
16．（2021•北京自主招生）已知y2＝4x，过A（﹣2，3）做抛物线两条切线，交y轴于B，C两点，则△ABC外接圆方程为（　　）
A． B．
C． D．
（多选）17．（2021•北京自主招生）椭圆，A（﹣2，0），过P（1，0）作直线l交椭圆于M、N，AM、AN交x＝1于B、C，下面正确的有（　　）
A．|PB|+|PC|定值 B．|PB|•|PC|为定值
C．|PB|+|PC|可能为2 D．|PB|•|PC|可能为2
18．（2021•北京自主招生）如图，四边形AEBC为圆O内接四边形，BC∥DE，BC为直径；若BE＝12，DE＝DC＝14，则AE•BD＝　 　．

19．（2021•北京自主招生）x1，x2，x3，x4为互不相等的正实数，，，，为其一个排列，X＝max，Y＝min，则X＞Y的概率是 　 　．
20．（2021•北京自主招生）有n个质点，每个质点的质量为mk，则质心位置；对于一杆，长3m，放于x∈[﹣1，2]间，且线密度满足β＝2+x，则质心位于（　　）
A． B． C． D．
21．（2021•北京自主招生）有限项等差数列公差为4，第二项起各项的和加首项的平方小于100，则该数列最多可有 　 　项．

2021年北京市清华大学强基计划数学试卷
参考答案与试题解析

（多选）1．（2021•北京自主招生）甲乙丙丁四人共同参加4项体育比赛，每项比赛第一名到第四名的分数依次为4、3、2、1分．比赛结束甲获得14分第一名，乙获得13分第二名，则（　　）
A．第三名不超过9分
B．第三名可能获得其中一场比赛的第一名
C．最后一名不超过6分
D．第四名可能一项比赛拿到3分
【考点】进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；分析法；推理和证明；逻辑推理．
【答案】ACD
【分析】根据题设条件进行推理分析知：第三、四名的总分为 13 分，第四名总分不可能超过6分，结合第一、二名的获胜名次，即可确 定正确的项．
【解答】解：由题设，第一名14分，则可能名次{2个场第一，2个场第二}、{3个场第一，1个场第三}；
第二名13分，可能名次{1个场第一，3个场第二}、{2个场第一，1个场第二，1个场第三}，{3个场第一，1个场第四}；
所以，第一名与第二名各场组合情况如下：
1、第一名{2个场第一，2个场第二}，第二名{2个场第一，1个场第二，1个场第三}；
2、第一名{3个场第一，1个场第三}，第二名{1个场第一，3个场第二}；
综上，第三名最好成绩为{1个场第二，3个场第三}，即最高分为9分，故A正确，B错误；
由上分析知：除去第一、二名的得分，第三、四名的总分为13分，
所以第四名总分不可能超过6分，若第四名某一个场的比赛中拿到3分，
则{1个场第二，3个场第四}，共6分；此时第三名{3个场第三，1个场第四}，共7分，满足题意，C、D正确；
故选：ACD．
【点评】本题考查合情推理，考查学生的推理能力，属于中档题．
2．（2021•北京自主招生）定义，则（…（（2*3）*4）…）*21＝　　．
【考点】函数的值．菁优网版权所有
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】．
【分析】令x＝，y＝，则x*y＝＝，设z＝，则v＝﹣，（x*y）*z＝，由此能求出（…（（2*3）*4）…）*21的值．
【解答】解：令x＝，y＝，
则x*y＝＝，
其中λ＝﹣，μ＝﹣，
设z＝，则v＝﹣，
（x*y）*z＝，
∴*运算满足：
（1）x*y＝y*x，
（2）（x*y）*z＝x*（y*z），
∴（…（（2*3）*4）…）*21
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质、换元法、新定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．（2021•北京自主招生）已知，则（　　）
A．x4+x3+x2+x+1＝（x﹣ω）（x﹣ω3）（x﹣ω7）（x﹣ω9）
B．x4﹣x3+x2﹣x+1＝（x﹣ω）（x﹣ω3）（x﹣ω7）（x﹣ω9）
C．x4﹣x3﹣x2+x+1＝（x﹣ω）（x﹣ω3）（x﹣ω7）（x﹣ω9）
D．x4+x3+x2﹣x﹣1＝（x﹣ω）（x﹣ω3）（x﹣ω7）（x﹣ω9）
【考点】复数的三角表示．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【答案】B
【分析】容易得到1、ω、ω2、⋯、ω9为x10﹣1＝0的根，再分解因式求解即可．
【解答】解：容易得到1、ω、ω2、⋯、ω9为x10﹣1＝0的根，
则x10﹣1＝（x﹣1）（x﹣ω）（x﹣ω2）（x﹣ω3）⋯（x﹣ω9），
另外1、ω2、ω4、ω6、ω8为x5﹣1＝0的根，
则x5﹣1＝（x﹣1）（x﹣ω2）（x﹣ω4）（x﹣ω6）（x﹣ω8），
结合ω5＝﹣1，两个式子作比可得x5+1＝（x﹣ω）（x﹣ω3）（x+1）（x﹣ω7）（x﹣ω9），
即（x﹣ω）（x﹣ω3）（x﹣ω7）（x﹣ω9）＝，
故选：B．
【点评】本题考查复数的三角形式，考查学生的运算能力，属于中档题．
4．（2021•北京自主招生）恰有一个实数x使得x3﹣ax﹣1＝0成立，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】导数的综合应用；数学运算．
【答案】B
【分析】首先分析x＝0不是方程的根，故将其转化为，继而转化为y＝a与的图像仅有一个交点，对函数f（x）求导研究其单调性即可．
【解答】解：观察可知x＝0不是方程的根，故对原方程转化为，
故转化为y＝a与仅有一个交点，
构造，，令f′（x）＞0，解得，
故函数f（x）在单调递减，在，（0，+∞）单调递增，
且，
当x→﹣∞时，f（x）→+∞，x→+∞时，f（x）→+∞，
且x→0﹣时，f（x）→+∞，x→0+时，f（x）→﹣∞，
故要使得y＝a与f（x）仅有一个交点，
即a的取值范围是
故选：B．
【点评】本题主要考查利用导函数研究函数单调性及极值，属于中档题．
5．（2021•北京自主招生）已知[x]为高斯函数，解的组数为（　　）
A．30 B．40 C．50 D．60
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【答案】A
【分析】由题意可知[]，[]，[]∈Z，所以[]+[]+[]＝x＝++﹣，即有{}+{}+{}＝，分{}、{}、{}的可能取值求解即可．
【解答】解：因为[]，[]，[]∈Z，则x∈Z．
因此[]+[]+[]＝x＝++﹣，
所以{}+{}+{}＝，
因为{}的可能取值为0和；{}的可能取值为0，，；{}的可能取值为0，，，，；
因此的可能取值有2×3×5＝30种要能性，
考虑30（++）＝15a+10b+6c，其中a，b，c∈Z．
因为2，3，5两两互质，容易得到15a+10b+6c≡a（mod2），15a+10b+6c≡b（mod）3，15a+10b+6c≡c（mod5）．
因此方程解的组数为30．
故选：A．
【点评】本题考查函数与方程思想，也考查了推理能力，属于难题．
6．（2021•北京自主招生）已知m，n最大公约数为10！，最小公倍数为50！，数对（m，n）的组数为（　　）
A．29 B．215 C．221 D．218
【考点】用辗转相除计算最大公约数．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【答案】B
【分析】利用阶乘求得a、b的取值情况，即可求得．
【解答】解：设m＝10！×a，n＝10！×b，则a，b互质，且ab＝11×12×13×⋯×50．
ab的质因数有2、3、5、7、11、13、17、19、
23、29、31、37、41、43、47共15个．
其中a能取到的质因数为上述15个数构成集合的子集，共215个，b取其补集情形即可．
故选：B．
【点评】本题考查辗转相除法，考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）7．（2021•北京自主招生）设a为常数，，f（x+y）＝f（x）f（a﹣y）+f（y）f（a﹣x），则（　　）
A．
B．恒成立
C．f（x+y）＝2f（x）f（y）
D．满足条件的f（x）不止一个
【考点】抽象函数及其应用．菁优网版权所有
【专题】综合题；函数思想；分析法；函数的性质及应用；逻辑推理．
【答案】ABC
【分析】利用赋值法，对每一项进行判断．
【解答】解：令x＝y＝0，可得f（0）＝2f（0）f（a），结合f（0）＝，解得f（a）＝，故A正确；
令y＝0，原式化为f（x）＝f（x）f（a）+f（0）f（a﹣x），
代入可得f（x）＝f（a﹣x），所以原式即：f（x+y）＝2f（x）f（y），故C正确；
再令y＝x得f（2x）＝2[f（x）]2≥0，即函数值非负，
令y＝a﹣x，可得f（a）＝2[f（x）]2，即f（x）＝（负值舍去），故B正确；
所以仅有一个函数关系式f（x）＝满足条件，故D错误．
故答案为：ABC．
【点评】本题考查函数性质的应用，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．
8．（2021•北京自主招生）已知四面体D﹣ABC中，AC＝BC＝AD＝BD＝1，则D﹣ABC体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．
【答案】C
【分析】取CD中点M，连结AM，BM，设A﹣BCD的高为h，则h≤AM，设∠ACD＝∠BCD＝α，则AM＝BM＝BCsinα＝sinα，CD＝2CM＝2BCcosα＝2cosα，VD﹣ABC＝≤＝，由此能求出D﹣ABC体积的最大值．
【解答】解：如图，取CD中点M，连结AM，BM，设A﹣BCD的高为h，则h≤AM，

由题意得△ACD≌△BCD，设∠ACD＝∠BCD＝α，
则AM＝BM＝BCsinα＝sinα，CD＝2CM＝2BCcosα＝2cosα，
∴VD﹣ABC＝≤＝
＝
≤＝，
当且仅当平面ACD⊥平面BCD，且α＝arctan时，等号成立，
∴D﹣ABC体积的最大值为．
故选：C．
【点评】本题考查面面垂直的性质、三角形全等的判定与性质、三棱锥体积公式、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9．（2021•北京自主招生）在△ABC中，D为BC的中点，∠CAD＝15°，则∠ABC的最大值为（　　）
A．120° B．105° C．90° D．60°
【考点】三角形中的几何计算；正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．
【答案】B
【分析】由∠CAD＝15°，在D，C确定的情形下，点A的轨迹是一段圆弧，如图所示做出△ACD的外接圆⊙O，显然当∠ABC的最大时，BA是⊙O的一条切线，在四边形OABC中，∠BAO＝90°，∠OCB＝75°，求∠ABC的问题，转化为求∠AOC的问题，进而转化为求∠AOD或者求∠ACD的问题，求解即可．
【解答】解：由∠CAD＝15°，在D，C确定的情形下，点A的轨迹是一段圆弧，如图所示做出△ACD的外接圆⊙O，
显然当∠ABC的最大时，BA是⊙O的一条切线，在四边形OABC中，∠BAO＝90°，∠OCB＝75°，求∠ABC的问题，
转化为求∠AOC的问题，进而转化为求∠AOD或者求∠ACD的问题，
由切割线定理可得△BAD∽△BCA，BA2＝BD•BC＝2BD2，

进而＝＝，
在△ADC中，∠CAD＝15°，设∠ACD＝α，则∠ADC＝165°﹣α，
根据正弦定理可得＝＝，即＝，
∴sinα+cosα＝sinα，
∴tanα＝，∴α＝30°，
进而可得∠AOD＝2α＝60°，∠AOC＝∠AOD+∠DOC＝90°，
进而可得∠ABC＝180°﹣∠BAO﹣∠AOC﹣∠BCO＝105°．
故选：B．
【点评】本题考查三角形中的几何计算，属中档题．
10．（2021•北京自主招生）已知非负实数a，b，c满足a+b+c＝1，则a2（b﹣c）+b2（c﹣a）+c2（a﹣b）的最大值为 　　．
【考点】基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；不等式；逻辑推理；数学运算．
【答案】．
【分析】对原式因式分解得a2（b﹣c）+b2（c﹣a）+c2（a﹣b）＝（a﹣b）（b﹣c）（a﹣c），令f（a，b，c）＝（a﹣b）（b﹣c）（a﹣c），推导出f（a，b，c）≤f（a+c，b，0）＝f（1﹣b，b，0）＝b（1﹣2b）（1﹣b），令g（x）＝x（1﹣2x）（1﹣x），x∈[0，]，则g′（x）＝6x2﹣6x+1，由此能求出结果．
【解答】解：对原式因式分解得：
a2（b﹣c）+b2（c﹣a）+c2（a﹣b）
＝（a2b﹣ab2）﹣c（a2﹣b2）+c2（a﹣b）
＝（a﹣b）（ab﹣ca﹣cb+c2）
＝（a﹣b）（b﹣c）（a﹣c），
该式子关于a，b，c轮换对称，只需考虑a≤b≤c和a≥b≥c两种情况，
令f（a，b，c）＝（a﹣b）（b﹣c）（a﹣c），
（1）若a≤b≤c，此时f（a，b，c）≤0，
（2）若a≥b≥c，此时f（a，b，c）≥0，
由（a﹣b）（b﹣c）（a﹣c）≤（a+c﹣b）•b（a+c），
即f（a，b，c）≤f（a+c，b，0）＝f（1﹣b，b，0）＝b（1﹣2b）（1﹣b），
令g（x）＝x（1﹣2x）（1﹣x），x∈[0，]，则g′（x）＝6x2﹣6x+1，
解得当x＝时，g（x）取得最大值，
g（）＝＝，
∴a2（b﹣c）+b2（c﹣a）+c2（a﹣b）的最大值为．
此时a＝，b＝，c＝0．
【点评】本题考查因式分解、构造法、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11．（2021•北京自主招生）已知A1，A2，…，A10十等分圆周，则在其中取四点构成凸四边形为梯形个数为（　　）
A．60 B．45 C．40 D．50
【考点】排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；逻辑推理；数学运算．
【答案】A
【分析】判断构成梯形的类型，然后求解即可．
【解答】解：A1，A2，…，A10十等分圆周，则在其中取四点构成凸四边形为梯形，有两种类型，如图黑线或红线组成梯形的上下底，
可得5×8+4×5＝60．
故选：A．

【点评】本题考查计数原理的应用，判断梯形的类型是解题的关键，是中档题．
（多选）12．（2021•北京自主招生）已知，，设f（x）的最大值为M，最小值为m，则（　　）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的最值；三角函数的最值．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【答案】BC
【分析】利用导数结合零点存在定理可知在上函数有唯一零点，设为x0，即，又，可以解得sinx0与cosx0的值，由函数的单调性可知f（x）在x0处取得最大值，通过计算f（0）与f（）的值可得函数的最小值．
【解答】解：因为，
所以，
，
显然当时，f″（x）＜0，所以f′（x）在上单调递减，
又f′（0）＝2＞0，，由零点定理可知存在唯一一个实数x0∈，使得f′（x0）＝0，
即，
又，可以解得：，
因为当x∈[0，x0]时，f′（x）⩾0，所以f（x）在[0，x0]上单调递增；当x∈时，f′（x）⩽0，所以f（x）在上单调递减，
所以，
又f（0）＝，f（）＝1，
所以f（x）min＝f（0）＝，
故选：BC．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的性质以及最值问题，属于较难题目．
13．（2021•北京自主招生）已知集合U＝{0，1，2，…，2021}，S⊆U，且S中任意两项相加不是5的倍数，求S的元素个数最大值．
【考点】元素与集合关系的判断．菁优网版权所有
【专题】转化思想；分析法；集合；数据分析．
【答案】810
【分析】根据元素模5的余数进行元素的选取即可．
【解答】解：集合U模5余0最多选1个．
集合U模5余1和余4最多选1类数，其中模5余1有405个，模5余4共有404个．
集合U模5余2和余3最多选1类数，两类数均有404个．
所以S的最大值为1+405+404＝810．
故答案为：810．
【点评】本题主要考查元素和集合之间的关系，属于基础题．
14．（2021•北京自主招生）将函数的图象逆时针方向旋转θ（0≤θ≤α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图像，则α的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】旋转变换．菁优网版权所有
【专题】数形结合；数形结合法；直线与圆；数学抽象．
【答案】B
【分析】根据题意，函数实际上是圆（x﹣3）2+（y+2）2＝13的一部分，该圆过原点，结合图像计算即可．
【解答】解：如图所示，曲线函数实际上是圆（x﹣3）2+（y+2）2＝13的一部分，该圆过原点．

若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，需满足旋转后的圆最多与y轴相切，也即旋转后的圆心落在x轴上．
计算可得θ＝arctan．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的概念、圆的方程，属于基础题．
15．（2013•安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝•＝2，则点集{P|＝λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是（　　）
A． B． C． D．
【考点】平面向量的基本定理；二元一次不等式（组）与平面区域；向量的概念与向量的模．菁优网版权所有
【专题】压轴题；平面向量及应用．
【答案】D
【分析】由两定点A，B满足||＝||＝•＝2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及λ，μ表示，把不等式|λ|+|μ|≤1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积．
【解答】解：由两定点A，B满足||＝||＝•＝2，＝﹣，则||2＝（﹣）2＝﹣2•+＝4，则||＝2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形．
不妨设A（），B（）．再设P（x，y）．
由，得：．
所以，解得①．
由|λ|+|μ|≤1．
所以①等价于或或或．
可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，

则区域面积为．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题．
16．（2021•北京自主招生）已知y2＝4x，过A（﹣2，3）做抛物线两条切线，交y轴于B，C两点，则△ABC外接圆方程为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】圆的标准方程．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；定义法；直线与圆；数学抽象；直观想象；数学运算．
【答案】C
【分析】设过点A的直线方程与抛物线方程联立，根据韦达定理求得B、C中点坐标，进而求得过B、C两点的圆系方程，将A（﹣2，3）代入方程解得λ值，即可求得圆的标准方程．
【解答】解：设过点A（﹣2，3）的直线l方程为x＝t（y﹣3）﹣2，则B（0，y1），C（0，y2），
直线l与抛物线方程联立可得：，
化简得：y2﹣4ty+12t+8＝0，
Δ＝t2﹣3t﹣2＝0，∴t1+t2＝3，t1t2＝﹣2，
，
∴B、C的中点坐标为（0，），
|y1﹣y2|＝＝．
因此以BC为直径的圆的方程为，
设过BC两点的圆系方程为，
将A（﹣2，3）代入即可得λ＝1，
整理可得过A，B，C的圆的方程为x2+y2+x﹣3y﹣2＝0，即（）2+（y﹣）2＝．
故选：C．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的方程求解，是难题．
（多选）17．（2021•北京自主招生）椭圆，A（﹣2，0），过P（1，0）作直线l交椭圆于M、N，AM、AN交x＝1于B、C，下面正确的有（　　）
A．|PB|+|PC|定值 B．|PB|•|PC|为定值
C．|PB|+|PC|可能为2 D．|PB|•|PC|可能为2
【考点】椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【答案】BC
【分析】设直线l的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），y1＞y2，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得y1+y2，y1y2，x1x2，x1+x2，写出直线AM的方程，进而可得B，C坐标，再计算|PB||PC|，|PB|+|PC|，即可得出答案．
【解答】解：设直线l的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），y1＞y2，
联立，得（m2+4）y2+2my﹣3＝0，
所以Δ＝（2m）2﹣4（m2+4）×（﹣3）＝16m2+48＞0，
所以y1+y2＝﹣，y1y2＝，
x1x2＝（my1+1）（my2+1）＝m2y1y2+m（y1+y2）+1
＝m2（﹣）+m（﹣）+1
＝，
x1+x2＝（my1+1）+（my2+1）＝m（y1+y2）+2＝m（﹣）+2＝，
直线AM的方程为y＝（x+2），
令x＝1，得y＝，
即B（1，），
同理可得C（1，），
所以|PB||PC|＝||||＝||＝||
＝||＝||＝||＝，故B正确；
|PB|+|PC|＝||+||＝﹣＝
＝＝
＝＝
＝＝•（y1﹣y2），
|y1﹣y2|＝＝＝，
所以|PB|+|PC|＝•＝≥，
所以|PB|+|PC|可能为2，故C正确，
故选：BC．
【点评】本题考查直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
18．（2021•北京自主招生）如图，四边形AEBC为圆O内接四边形，BC∥DE，BC为直径；若BE＝12，DE＝DC＝14，则AE•BD＝　264　．

【考点】与圆有关的比例线段；三角形中的几何计算．菁优网版权所有
【专题】方程思想；综合法；解三角形；直线与圆；数学运算．
【答案】264
【分析】延长ED交圆于F，连接FC，CE，结合相交弦定理，可证△ADE≌△FDC，从而知AE＝FC＝BE＝12，再结合圆的内接四边形的性质与余弦定理，列方程组，求得圆O的半径R和AD的长，然后利用二倍角公式，求得cos∠BCD的值，并在△BCD中，由余弦定理求得BD的长，得解．
【解答】解：延长ED交圆于F，连接FC，
∵DE＝DC＝14，
由相交弦定理，得AD＝DF，
∴△ADE≌△FDC，
∴AE＝FC＝BE＝12，
连接CE，设圆O的半径为R，
由BC为直径，知∠BEC＝90°，
在Rt△BCE中，cos∠CBE＝＝＝，EC2＝BC2﹣BE2＝4R2﹣144，
∵四边形AEBC内接圆O，∴∠CBE+∠A＝180°，
∴cos∠A＝﹣cos∠CBE＝﹣，
设AD＝DF＝x，
在△AEC中，由余弦定理知，EC2＝AE2+AC2﹣2AE•AC•cos∠A，
∴4R2﹣144＝144+（14+x）2﹣2×12×（14+x）×（﹣）①，
在△AED中，由余弦定理知，DE2＝AE2+AD2﹣2AE•AD•cos∠A，
∴142＝122+x2﹣2×12•x•（﹣）②，
联立①②，解得R＝14，x＝，
∵AE＝BE，∴∠ACE＝∠BCE，即∠BCD＝2∠BCE，
∴cos∠BCD＝cos2∠BCE＝2cos2∠BCE﹣1＝2×（）2﹣1＝2×﹣1＝，
在△BCD中，由余弦定理知，BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD＝282+142﹣2•28•14•＝484，
∴BD＝22，
∴AE•BD＝12×22＝264．

故答案为：264．
【点评】本题考查与圆有关的计算，熟练掌握圆幂定理，余弦定理，二倍角公式，圆的内接四边形的性质等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
19．（2021•北京自主招生）x1，x2，x3，x4为互不相等的正实数，，，，为其一个排列，X＝max，Y＝min，则X＞Y的概率是 　　．
【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】计算题；对应思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【答案】．
【分析】不妨设x1＜x2＜x3＜x4，得到X＝x3，Y＝x2，x3与x4在一组，x1，x2在一组，再利用古典概型的概率计算公式求解即可．
【解答】解：不妨设x1＜x2＜x3＜x4，
∵X＝max，Y＝min，
∴X＝x3，Y＝x2，
∴x3与x4在一组，x1，x2在一组，
∴P（X＞Y）＝＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于中档题．
20．（2021•北京自主招生）有n个质点，每个质点的质量为mk，则质心位置；对于一杆，长3m，放于x∈[﹣1，2]间，且线密度满足β＝2+x，则质心位于（　　）
A． B． C． D．
【考点】定积分的应用．菁优网版权所有
【专题】对应思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【答案】D
【分析】根据积分的几何意义，计算即可．
【解答】解：质心位置为＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查积分的几何意义，属于基础题．
21．（2021•北京自主招生）有限项等差数列公差为4，第二项起各项的和加首项的平方小于100，则该数列最多可有 　8　项．
【考点】等差数列的性质．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．
【答案】8．
【分析】设a1，a2，•••，an是公差为4的等差数列，则an＝a1+4（k﹣1），再结合等差数列的前n项公式，以及判别式法，即可求解．
【解答】解：设a1，a2，•••，an是公差为4的等差数列，
则an＝a1+4（k﹣1），
∵第二项起各项的和加首项的平方小于100，
∴＝＝，即，
∴Δ＝（n﹣1）2﹣4（2n2﹣2n﹣100）≤0才保证a1有解，即7n2﹣6n﹣401≤0，即，
∵，故n的最大值是8，
故该数列最多可有8项．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式，考查转化能力，属于中档题．

考点卡片
1．元素与集合关系的判断
【知识点的认识】
1、元素与集合的关系：
一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．
2、集合中元素的特征：
（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的．即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合．
（2）互异性：集合中的元素必须是互异的．对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的．这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素．
（3）无序性：集合于其中元素的排列顺序无关．这个特性通常被用来判断两个集合的关系．

【命题方向】
题型一：验证元素是否是集合的元素
典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求证：
（1）3∈A；
（2）偶数4k﹣2（k∈Z）不属于A．
分析：（1）根据集合中元素的特性，判断3是否满足即可；
（2）用反证法，假设属于A，再根据两偶数的积为4的倍数；两奇数的积仍为奇数得出矛盾，从而证明要证的结论．
解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；
（2）设4k﹣2∈A，则存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，
1、当m，n同奇或同偶时，m﹣n，m+n均为偶数，
∴（m﹣n）（m+n）为4的倍数，与4k﹣2不是4的倍数矛盾．
2、当m，n一奇，一偶时，m﹣n，m+n均为奇数，
∴（m﹣n）（m+n）为奇数，与4k﹣2是偶数矛盾．
综上4k﹣2∉A．
点评：本题考查元素与集合关系的判断．分类讨论的思想．

题型二：知元素是集合的元素，根据集合的属性求出相关的参数．
典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求实数a的值．
分析：通过3是集合A的元素，直接利用a+2与2a2+a＝3，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．
解答：解：因为3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）
当a+2＝3时，a＝1，…（5分）
此时A＝{3，3}，不合条件舍去，…（7分）
当2a2+a＝3时，a＝1（舍去）或，…（10分）
由，得，成立…（12分）
故…（14分）
点评：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．

【解题方法点拨】
集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．
2．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用



【解题方法点拨】
技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．

技巧六：整体代换

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
3．二元一次不等式（组）与平面区域
【知识点的知识】
二元一次不等式（组）与简单线性规划问题
1、二元一次不等式表示的平面区域
一般地，直线l：ax+by+c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：
①直线l上的点（x，y）的坐标满足ax+by+c＝0；
②直线l一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足ax+by+c＞0；
③直线l另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足ax+by+c＜0．
所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点（x0，y0），从ax0+by0+c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．

2、线性规划相关概念
名称
意义
目标函数
欲求最大值或最小值的函数
约束条件
目标函数中的变量所要满足的不等式组
可行解
满足约束条件的解（x，y）
可行域
由所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解，通常在可行域的顶点处取得
二元线性规划问题
如果两个变量满足一组一次不等式，求这两个变量的一次函数的最大值或最小值问题叫作二元线性规划问题
3、线性规划
（1）不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．z＝Ax+By是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数．由于z＝Ax+By又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数．
另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．
（2）一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
（3）那么，满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域．在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域．其中可行解（x1，y1）和（x2，y2）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解．线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行．

4、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
①首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）．
②设z＝0，画出直线l0．
③观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解．
④最后求得目标函数的最大值及最小值．

5、利用线性规划研究实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数．
然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解．
最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解．

【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （　　）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．

由于直线y＝kx+过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx+能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx+过点（，）时，＝+，所以k＝．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．

题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．

点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．

题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：

年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（　　）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．

解析　设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．

题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为　　．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|+|的最小值是　　．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，+＝（x+1，y），|+|＝可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此|+|的最小值是＝．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．

【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
4．抽象函数及其应用
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1）⇒f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
5．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）＝﹣1＝
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
6．三角函数的最值
【三角函数的最值】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【例题解析】
例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝　+cos（2x+）　．
解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝﹣+2•＝+（cos2x﹣sin2x）
＝+cos（2x+）．
故答案为：+cos（2x+）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是　　．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t＝
∴当t＝时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【考点点评】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
7．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
8．等差数列的性质
【等差数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝ （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）

例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．
（1）求此数列{an}的通项公式；
（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268是此数列的第136项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．

【等差数列的性质】
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
9．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
10．定积分的应用
【应用概述】
正如前面定积分的概念哪里所说，定积分表示的是一个面积，是一个大于零的数．那么它在实际当中的应用也就和求面积相关．
例1：定积分|sinx|dx的值是．
解：|sinx|dx＝
＝﹣cosx+cosx
＝1+1+0﹣（﹣1）
＝3．
这个题如果这样子出，|sinx|在区间（0，）上与x轴所围成的面积，那么就成了一个应用题．如何解这类应用题呢？其实就是构建一个定积分，找到区间和要积分的函数即可．

【定积分在求面积中的应用】
1、直角坐标系下平面图形的面积


2、极坐标系下平面图形的面积
由连续曲线r＝r（θ）及射线θ＝α，θ＝β所围成的平面图形的面积（图6）为

3、用定积分求平面图形的面积的步骤
a）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；
b）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；
c）具体计算定积分，求出图形的面积．
11．向量的概念与向量的模
【向量概念】
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
【向量的几何表示】
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
【向量的模】
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
【零向量】
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
【单位向量】
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
【相等向量】
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
12．平面向量的基本定理
【知识点的知识】
1、平面向量基本定理内容：
如果e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一，有且仅有一对实数λ1、λ2，使．
2、基底：不共线的e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底．
3、说明：
（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行．
（2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．
13．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccosA，
b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC　
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosA＝，
cosB＝，
cosC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
14．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccos A，
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
c2＝a2+b2﹣2abcos_C　
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
15．三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．

2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
③S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．

3、几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
16．复数的三角表示
复数的三角表示
17．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥＝Sh．
18．圆的标准方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的标准方程：
（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0），
其中圆心C（a，b），半径为r．
特别地，当圆心为坐标原点时，半径为r的圆的方程为：
x2+y2＝r2．
其中，圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的定形条件．
【解题思路点拨】
已知圆心坐标和半径，可以直接带入方程写出，在所给条件不是特别直接的情况下，关键是求出a，b，r的值再代入．一般求圆的标准方程主要使用待定系数法．步骤如下：
（1）根据题意设出圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2；
（2）根据已知条件，列出关于a，b，r的方程组；
（3）求出a，b，r的值，代入所设方程中即可．
另外，通过对圆的一般方程进行配方，也可以化为标准方程．
【命题方向】
可以是以单独考点进行考查，一般以选择、填空题形式出现，a，b，r值的求解可能和直线与圆的位置关系、圆锥曲线、对称等内容相结合，以增加解题难度．在解答题中，圆的标准方程作为基础考点往往出现在关于圆的综合问题的第一问中，难度不大，关键是读懂题目，找出a，b，r的值或解得圆的一般方程再进行转化．
例1：圆心为（3，﹣2），且经过点（1，﹣3）的圆的标准方程是　（x﹣3）2+（y+2）2＝5　
分析：设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．
解答：设圆的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝R2，
由圆M经过点（1，﹣3）得R2＝5，从而所求方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝5，
故答案为（x﹣3）2+（y+2）2＝5
点评：本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．
例2：若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（　　）
A．（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1
B．（x﹣2）2+（y+1）2＝1
C．（x+2）2+（y﹣1）2＝1
D．（x﹣3）2+（y﹣1）2＝1
分析：要求圆的标准方程，半径已知，只需找出圆心坐标，设出圆心坐标为（a，b），由已知圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离等于圆的半径，可列出关于a与b的关系式，又圆与x轴相切，可知圆心纵坐标的绝对值等于圆的半径即|b|等于半径1，由圆心在第一象限可知b等于圆的半径，确定出b的值，把b的值代入求出的a与b的关系式中，求出a的值，从而确定出圆心坐标，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．
解答：设圆心坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
由圆与直线4x﹣3y＝0相切，可得圆心到直线的距离d＝＝r＝1，
化简得：|4a﹣3b|＝5①，
又圆与x轴相切，可得|b|＝r＝1，解得b＝1或b＝﹣1（舍去），
把b＝1代入①得：4a﹣3＝5或4a﹣3＝﹣5，解得a＝2或a＝﹣（舍去），
∴圆心坐标为（2，1），
则圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
故选：A
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程，若直线与圆相切时，圆心到直线的距离d等于圆的半径r，要求学生灵活运用点到直线的距离公式，以及会根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程．
例3：圆x2+y2+2y＝1的半径为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
分析：把圆的方程化为标准形式，即可求出圆的半径．
解答：圆x2+y2+2y＝1化为标准方程为 x2+（y+1）2＝2，
故半径等于，
故选B．
点评：本题考查圆的标准方程的形式及各量的几何意义，把圆的方程化为标准形式，是解题的关键．
19．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
20．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）＝＝．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
21．排列、组合及简单计数问题
【知识点的知识】
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；
⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．

2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列；组合；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A策略，排列；组合；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素．先C后A策略，排列；组合．
22．进行简单的合情推理
【知识点的知识】
1．推理
根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断，这种思维方式叫做推理．推理一般分为合情推理与演绎推理两类．
2．合情推理

归纳推理
类比推理
定义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
特点
由部分到整体、由个别到一般的推理
由特殊到特殊的推理
一般步骤
（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；
（2）从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题（猜想）
（1）找出两类事物之间相似性或一致性；
（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）
3．演绎推理
（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理；
（2）特点：演绎推理是由一般到特殊的推理；
（3）模式：三段论．“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
“三段论”的结构
①大前提﹣﹣已知的一般原理；
②小前提﹣﹣所研究的特殊情况；
③结论﹣﹣根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
“三段论”的表示
①大前提﹣﹣M是P．
②小前提﹣﹣S是M．
③结论﹣﹣S是P．
23．与圆有关的比例线段
【知识点的知识】
1、相交弦定理
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．
2、割线定理
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．
3、切割线定理
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
4、切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

【解题方法点拨】
相交弦定理、割线定理、切割线定理及切线长定理是最重要的定理，在与圆有关的问题中经常用到，这是因为这四个定理可得到的线段的比例或线段的长，而圆周角定理、弦切角定理以及圆内接四边形的性质定理得到的是角的关系，这两者的结合，往往能综合讨论与圆有关的相似三角形问题．
因此，在实际应用中，见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理；见到两条割线要想到割线定理；见到切线和割线要想到切割线定理．
24．旋转变换
【知识点的知识】
1、线性变换
我们把形如（※）的几何变换叫做线性变换，（※）式叫做这个线性变换的坐标变换公式，P′（x′，y′）是P（x，y）在这个线性变换作用下的像．
（2）常见的线性变换有旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换．
（3）对同一个直角坐标平面内的两个线性变换σ、ρ，如果对平面内任意一点P，都有σ（P）＝ρ（P），则称这个两个线性变换相等，简记为σ＝ρ，设，所对应的二阶矩阵分别为A，B，则A＝B．

2、旋转变换
P（x，y）绕原点逆时针旋转180°得到P′（x′，y′），称P′为P在此旋转变换作用下的象．变换的坐标公式和二阶矩阵为：


【解题方法点拨】
1．几种常见的线性变换
（1）恒等变换矩阵M＝；
（2）旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝；
（3）反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x轴对称，则变换对应矩阵为M1＝；若关于y轴对称，则变换对应矩阵为M2＝；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝；
（4）伸压变换对应的二阶矩阵M＝，表示将每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为原来的k2倍，k1，k2均为非零常数；
（5）投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x轴的投影变换的矩阵为M＝；
（6）切变变换要看沿什么方向平移，若沿x轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M＝，若沿y轴平移|kx|个单位，则对应矩阵M＝．（其中k为非零常数）．
2．线性变换的基本性质
设向量α＝，规定实数λ与向量α的乘积λα＝；设向量α＝，β＝，规定向量α与β的和α+β＝．
（1）设M是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M（λα）＝λMα，②M（α+β）＝Mα+Mβ．
（2）二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）．
25．用辗转相除计算最大公约数
【知识点的知识】
1、辗转相除法的来源：
辗转相除法，又名欧几里德算法，是求两个正整数之最大公因子的算法．它是已知最古老的算法，其可追溯至3000年前．这种算法，在中国则可以追溯至东汉出现的《九章算术》．
设两数为a、b（a＞b），求a和b最大公约数（a，b）的步骤如下：用a除以b，得a÷b＝q…r1（0≤r1）．若r1＝0，则（a，b）＝b；若r1≠0，则再用b除以r1，得b÷r1＝q…r2 （0≤r2）．若r2＝0，则（a，b）＝r1，若r2≠0，则继续用r1除r2，…如此下去，直到能整除为止．其最后一个非零除数即为（a，b）．
2、原理：
设两数为a、b（b＜a），用gcd（a，b）表示a，b的最大公约数，r＝amodb为a除以b以后的余数，k为a除以b的商，即a÷b＝k…r．辗转相除法即是要证明gcd（a，b）＝gcd（b，r）．
第一步：令c＝gcd（a，b），则设a＝mc，b＝nc
第二步：根据前提可知r＝a﹣kb＝mc﹣knc＝（m﹣kn）c
第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数
第四步：可以断定m﹣kn与n互质[否则，可设m﹣kn＝xd，n＝yd，（d＞1），则m＝kn+xd＝kyd+xd＝（ky+x）d，则a＝mc＝（ky+x）dc，b＝nc＝ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c，与前面结论矛盾]
从而可知gcd（b，r）＝c，继而gcd（a，b）＝gcd（b，r）．
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