重庆市育才中学2023届高三数学下学期期中考试试卷（Word版附答案）

数 学 试 题

本试卷为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．作答前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。

3.考试结束后，答题卡交回。

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题、每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．已知在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

4．林业部门规定：树龄500年以上的古树为一级，树龄300~500年之间的古树为二级，树龄100~299年的古树为三级，树龄低于100年不称为古树．林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差数列．现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为3.14米，靠近树芯的第5个年轮宽度为0.4cm，靠近树皮的第5个年轮宽度为0.2cm，则估计该大树属于（    ）

A．一级 B．二级 C．三级 D．不是古树

5．已知函数如满足：，，且时，，则（    ）

A． B． C．0 D．

6．在正三棱柱中，，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（    ）

A． B． C． D．

7．函数，（，，）的部分图象如图中实线所示，图中圆C与的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下说法正确的是（    ）

A．函数的最小正周期是

B．函数在上单调递减

C．函数的图象向左平移个单位后关于直线对称

D．若圆C的半径为，则函数的解析式为

8．已知定义在上的函数满足，，且当时，，，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本大题共4小题、每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分、有选错的得0分，部分选对的得2分.

9．已知平面向量，，，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则向量在上的投影向量为

D．若，则向量与的夹角为锐角

10．已知，，则下列说法正确的是（    ）

A．两圆位置关系是相交

B．两圆的公共弦所在直线方程是

C．上到直线的距离为的点有四个

D．若为上任意一点，则

11．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（    ）

A．从中任取3球，恰有一个白球的概率是

B．从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为

C．现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则第一次取到红球且第二次也取到红球的概率为

D．从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为

12．下列说法中，其中正确的是（     ）

A．命题：“”的否定是“”

B．化简的结果为2

C．…

D．在三棱锥中，，，点是侧棱的中点，且，则三棱锥的外接球的体积为.

三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.

13．某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为______.

14．二项式展开式中常数项是________．

15．已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为______．

16．经过坐标原点O的直线与椭圆C：相交于A，B两点，过A垂直于AB的直线与C交于点D，直线DB与y轴相交于点E，若，则C的离心率为_______．

四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．

（1）求的值；

（2）若点D为边AB的中点，AB＝10，CD＝5，求BC的值．

18.（12分）已知数列的前项和为，且，.

(1)求的通项公式；

(2)记，，数列的前项和为，求.

19.(12分)如图所示，在三棱柱中，点G、M分别是线段AD、BF的中点．

(1)求证：平面BEG；

(2)若三棱柱的侧面ABCD和ADEF都是边长为2的正方形，

平面平面ADEF，求二面角的余弦值；

20.（12分）为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端制造、智能制造，把我国制造业和实体经济搞上去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平．一些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时都要进行调查统计．某一小型工厂自己没有管理软件的高级技术员，欲购买管理软件服务公司的管理软件，并让其提供服务，某一管理软件服务公司有如下两种收费方案．

方案一：管理软件服务公司每月收取工厂4 800元，对于提供的软件服务，每次另外收费200元；

方案二：管理软件服务公司每月收取工厂7 600元，若每月提供的软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次另外收费500元．

(1)设管理软件服务公司月收费为y元，每月提供的软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；

(2)该工厂对该管理软件服务公司为另一个工厂过去20个月提供的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形统计图．该工厂要调查服务质量，现从服务次数为13次和14次的月份中任选3个月，求这3个月恰好是1个13次服务、2个14次服务的概率；

(3)依据条形统计图中的数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，该工厂选择哪种方案较合适？请说明理由．

21.（12分）在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知双曲线：的右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为.

(1)求双曲线的方程；

(2)如图，过圆：上一点作圆的切线与双曲线的左右两支

分别交于，两点，以为直径的圆经过双曲线的右顶点，求直线的

方程．

22. （12分）已知函数 （）.

（1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；

（2）若，且有两个极值点，其中，求的取值范围.

数学答案

一、单选题

1．D  2．B  3．C  4．C  5．B  6．B  7．D  8．B

8.由题知，定义在上的函数满足，，

且当时，，，

所以，即，

又，

所以为上的奇函数，

设， ，

所以为上的增函数，

因为，

令，

因为为上的偶函数，且在上单调递增，，

所以，

所以，

二、多选题

9．BC  10．ACD  11．ABD  12．BCD

12.D选项：如图所示，

由，，则，得，

由是的中点，，易知：△为等边三角形且，

又，所以，得，

又，平面，所以平面.

设球心为且在过△中心垂直于面的垂线上，点到底面的距离为，

由正弦定理得的外接圆半径，

球的半径，

所以三棱锥的外接球的体积为.故D正确.

三、填空题

13．10.8    14．240  15．  16．

16.设直线BD的方程为，，

则，

由，得，

显然存在，使得，

故由韦达定理得，

因为，则，即，

则，

因为，

所以，即，

即，化简得，

所以，

四、解答题

17.（1）由正弦定理知，＝＝，

∵，

∴sinAcosB﹣sinBcosA＝sinC＝sin（A+B）＝（sinAcosB+cosAsinB），

化简得，sinAcosB＝cosAsinB，

∴tanA＝4tanB，即＝4．………………………………………………………5分

（2）作CE⊥AB于E，

∵，∴＝4，即BE＝4AE，

∵点D为边AB的中点，且AB＝10，

∴BD＝AD＝5，AE＝2，DE＝3，

在Rt△CDE中，CE＝＝＝4，

在Rt△BCE中，BE＝BD+DE＝8，∴BC＝＝＝4．

…………………………………………………………………………10分

18.(1)∵，∴，

两式相减得.∴，

又，，解得，

∴，

则的通项公式为…………………………………………………………5分

(2)∵，

∴，

，

…………………………………………………………………………12分

19.（1）取BE中点N，则平行且等于，AG也平行且等于，，四边形为平行四边形，∥，

又，所以平面BEG；…………………………………………………………………………5分

(2)由已知易证建立以A为原点，以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，

则，，，，，，，，

所以，

设为面的法向量，则，令，可得，

同理可求平面的法向量为，………………………………12分

20.(1)由题意可知，方案一中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系式为

y＝200x＋4 800，x∈N.

方案二中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系式为y＝

…………………………………………………………………………4分

(2)记选择的3个月恰好是1个13次服务、2个14次服务为事件A，则P(A)＝＝.

…………………………………………………………………………8分

(3)对于方案一，设管理软件服务公司的月收费为ξ1元，

由条形统计图可得ξ1的取值为7 400，7 600，7 800，8 000，8 200，

P(ξ1＝7 400)＝0.1，P(ξ1＝7 600)＝0.4，P(ξ1＝7 800)＝0.1，

P(ξ1＝8 000)＝0.2，P(ξ1＝8 200)＝0.2，

所以ξ1的分布列为：

所以E(ξ1)＝7 400×0.1＋7 600×0.4＋7 800×0.1＋8 000×0.2＋8 200×0.2＝7 800.

对于方案二，设管理软件服务公司的月收费为ξ2元，由条形统计图可得ξ2的取值为7 600，8 100，8 600.

P(ξ2＝7 600)＝0.6，P(ξ2＝8 100)＝0.2，P(ξ2＝8 600)＝0.2，

所以ξ2的分列布为：

E(ξ2)＝7 600×0.6＋8 100×0.2＋8 600×0.2＝7 900.

因为E(ξ1)<E(ξ2)，所以从节约成本的角度考虑，该工厂选择方案一较合适．
………………………………………………………………………12分

21.（1）由题可得的方程：……………………4分

(2)由已知直线的斜率存在，设：，

与圆：相切，则， 

联立双曲线 与直线 的方程：

设直线与双曲线的左右两支交于两点，

所以，可得，

所以  ，

又，以，为直径的圆经过双曲线的右顶点，

所以，，

又

，

即

或，

①当时，点与右顶点重合，不合题意舍去；

②当时，代入，得，，满足条件，

所以直线的方程为或

………………………………………………………………………12分

22.（1）的定义域为，

∵在上单调递增，

∴在上恒成立，即在上恒成立，

又，当且仅当时等号成立，

∴；…………………………………………………………………………4分

（2）由题意，

∵有两个极值点，

∴为方程的两个不相等的实数根，

由韦达定理得，，              

∵，∴，

又，解得，

∴

，

设（），

则，

∴在上为减函数，

又，，

∴，

即的取值范围为.…………………………………………12分