2023年河南省驻马店市八校联考中考数学二模试卷附解析

这是一份2023年河南省驻马店市八校联考中考数学二模试卷附解析，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年河南省驻马店市八校联考中考数学二模试卷附解析
一、选择题（共10小题，共30分）
1．（3分）的相反数是（　　）
A．﹣3 B． C． D．﹣
2．（3分）下列四个几何体的俯视图中与众不同的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（3分）如图，现将一块含有60°角的三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝∠2，那么∠1的度数为（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
4．（3分）2010年6月5日上海世博园入园参观人数约为470 000人，将这个数用科学记数法表示为4.7×10n，那么n的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B．（m+n）2＝m2+n2
C．m（m+n）＝m2+n D．2a2•a＝2a3
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）将4张分别写着“强”“国”“有”“我”的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中随机取出2张卡片，则取出的2张卡片中，恰好组成“强国”的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）若关于x的分式方程的解是2，则m的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
9．（3分）已知点（﹣3，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）在下列某一函数图象上，且y3＜y1＜y2，那么这个函数是（　　）
A．y＝3x B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝﹣
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，直线l经过点A，且垂直于AB，直线l从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，当直线l经过点B时停止运动，分别与AB、AC（BC）相交于点M，N，若运动过程中△AMN的面积是y（cm2），直线l的运动时间是x（s）则y与x之间函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（共5小题，共15分）
11．（3分）计算：﹣1＝　 　．
12．（3分）请写一个函数表达式，使其图象经过点（﹣1，4），且函数值随自变量的增大而减小：　 　．
13．（3分）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y≤0，则m的取值范围是　 　．
14．（3分）如图，矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为　 　．（结果保留π）

15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为　 　．

三、解答题（共8小题，共75分。）
16．（10分）计算或化简：
（1）





（2）（2a+3b）（3b﹣2a）﹣（3b﹣a）2







17．（9分）疫情严重期间，教育部按照党中央关于防控新冠肺炎疫情的决策部署，对中小学延期开学期间“停课不停学”工作做出要求．某中学决定优化网络教学团队，整合初三年级为两个班级（前进班和奋斗班），为学生提供线上授课，帮助毕业年级学生居家学习．经过一周时间的线上教学，学校通过线上测试了解网络教学的效果，从两个班中各随机抽取10名学生的成绩进行如下整理、分析（单位：分，满分100分）：
收集数据：前进班：94，85，73，85，85，52，97，94，66，95．
奋斗班：92，84，87，82，82，51，84，83，97，84．
整理数据：
班级人数x（分）
x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
前进班
1
1
a
3
b
奋斗班
1
0
0
7
2
分析数据：

平均数
众数
中位数
方差
前进班
82.6
85
c
194.24
奋斗班
82.6
d
84
132.04
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a、b、c、d的值；
（2）小林同学的成绩为85分，在他们班处于中上水平，请问他是哪个班的学生？说明理由；
（3）请你根据数据分析评价一下两个班的学习效果，说明理由．







18．（9分）如图，矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8，E是DC的中点，反比例函数y＝的图象经过点E，与AB交于点F．
（1）若点B坐标为（﹣6，0），求m的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式；
（2）若AF﹣AE＝2，求反比例函数的表达式．





19．（9分）如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm．
（1）当PA＝45cm时，求PC的长；
（2）若∠AOC＝120°，求PC的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732）




20．（9分）某中学为了加强学生体育锻炼，准备购进一批篮球和足球．据调查，某体育器材专卖店销售40个足球和60个篮球一共9200元；销售100个足球和30个篮球一共11000元．
（1）求足球和篮球的单价；
（2）该校计划使用10420元资金用于购买足球和篮球120个，且篮球数量不少于足球数量的2倍．购买时恰逢该专卖店在做优惠活动，信息如表：
球类
购买数量低于50个
购买数量不低于50个
足球
原价销售
八折销售
篮球
原价销售
九折销售
问在使用资金不超额的情况下，可有几种购买方案？如何购买费用最少？





21．（9分）阅读下面材料，并按要求完成相应的任务：
阿基米德是古希腊的数学家、物理学家．在《阿基米德全集》里，他关于圆的引理的论证如下：
命题：设AB是一个半圆的直径，并且过点B的切线与过该半圆上的任意一点D的切线交于点T，如果作DE垂直AB于点E，且与AT交于点F，则DF＝EF．
证明：如图①，延长AD与BT交于点H，连接OD，OT．
∵DT，BT与⊙O相切
∴……，①
∴BT＝DT
∵AB是半⊙O的直径，∠ADB＝90°，②
在△BDH中，BT＝DT，得到∠TDB＝∠TBD，
可得∠H＝∠TDH，
∴BT＝DT＝HT．
又∵DE∥BH，
∴，
∴
又∵BT＝HT，∴DF＝EF．
任务：
（1）请将①部分证明补充完整；
（2）证明过程中②的证明依据是　 　；
（3）如图②，△BED是等边三角形，BE是⊙O的切线，切点是B，D在⊙O上，CD⊥AB，垂足为C，连接AE，交CD于点F，若⊙O的半径为2，求CE的长．










22．（10分）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB，AB垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米．

（1）计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地．
（2）记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1﹣y2的最大值．
（3）如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B，那么喷射架应向后平移多少米？






23．（10分）综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师组织同学们以“矩形”为主题开展数学活动．
已知矩形ABCD（AD＞AB）的一条对称轴分别交边AB、CD于点E、F，如图①，奋进小组进行了如下的操作：以点B为圆心，BA的长为半径作弧，交边BC于点Q，已知点A'在弧AQ上运动（含A、Q两点），连接BA′，再分别以点A、A'为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线BG交AD于点H．
提出问题：
（1）如图②，当点A'运动到EF上时，求∠ABH的度数；
拓展应用：
（2）如图③，勤奋小组在图②的基础上进行如下操作：连接HA'并延长交BC于点P，请判断△HBP的形状，并说明理由；
解决问题：
（3）创新小组在图③的基础上进行如下操作：延长BA'交边AD于点M，当△MPC是直角三角形时，请直接写出矩形的边BC和AB之间的数量关系．


2023年河南省驻马店市八校联考中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，共30分）
1．（3分）的相反数是（　　）
A．﹣3 B． C． D．﹣
【解答】解：＝3，
∴的相反数是﹣3，
故选：A．
2．（3分）下列四个几何体的俯视图中与众不同的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
B、的俯视图是第一列是两个小正方形，第二列是两个小正方形，
C、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
D、的俯视图是第一列两个小正方形，第二列一个小正方形，
故选：B．
3．（3分）如图，现将一块含有60°角的三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝∠2，那么∠1的度数为（　　）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠3＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴2∠1+60°＝180°，
∴∠1＝60°，
故选：B．

4．（3分）2010年6月5日上海世博园入园参观人数约为470 000人，将这个数用科学记数法表示为4.7×10n，那么n的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：将470 000变化为4.7小数点向左移动了5位，故n的值是5．故选C．
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B．（m+n）2＝m2+n2
C．m（m+n）＝m2+n D．2a2•a＝2a3
【解答】解：2﹣＝，故A不符合题意；
（m+n）2＝m2+n2+2mn，故B不符合题意；
m（m+n）＝m2+mn，故C不符合题意；
2a2•a＝2a3，故D符合题意；
故选：D．
6．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，
∴Δ＝9﹣4m≥0，
m≤．
故选：B．
7．（3分）将4张分别写着“强”“国”“有”“我”的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中随机取出2张卡片，则取出的2张卡片中，恰好组成“强国”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片中，恰好组成“强国”的结果有2种，
∴取出的2张卡片中，恰好组成“强国”的概率为＝．
故选：C．
8．（3分）若关于x的分式方程的解是2，则m的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【解答】解：∵关于x的分式方程的解是2，
∴，
∴m＝﹣4．
故选：A．
9．（3分）已知点（﹣3，y1）、（﹣1，y2）、（1，y3）在下列某一函数图象上，且y3＜y1＜y2，那么这个函数是（　　）
A．y＝3x B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝﹣
【解答】解：A．y＝3x，因为3＞0，所以y随x的增大而增大，所以y1＜y2＜y3，不符合题意；
B．y＝3x2，当x＝1和x＝﹣1时，y相等，即y3＝y2，故不符合题意；
C．y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，x＞0时，y随x的增大而减小，所以y2＜y1＜y3，不符合题意；
D．y＝﹣，当x＜0时，y随x的增大而增大，x＞0时，y随x的增大而增大，所以y3＜y1＜y2，符合题意；
故选：D．
10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，直线l经过点A，且垂直于AB，直线l从点A出发，沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动，当直线l经过点B时停止运动，分别与AB、AC（BC）相交于点M，N，若运动过程中△AMN的面积是y（cm2），直线l的运动时间是x（s）则y与x之间函数关系的图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，
∵AC2+BC2＝64+36＝100＝AB2，
故△ABC为直角三角形，
sin∠CAB＝，则cos∠CAB＝，tan∠CAB＝，
故CD＝ACsin∠CAB＝8×＝4.8，同理AD＝6.4，
（1）当0≤x≤6.4，如图1，

∵tan∠CAB＝，即MN＝，
y＝AM•MN＝x＝，该函数为开口向上的抛物线，且对称轴为y轴，位于y轴的右侧抛物线的一部分；
（2）当6.4＜x≤10时，与BC的交点也为N，如图2，

同理：MN＝（10﹣x），
y＝x×（10﹣x）＝﹣（x﹣5）2+，该函数为开口向下的抛物线的一部分，对称轴为x＝5，
故选：B．
二、填空题（共5小题，共15分）
11．（3分）计算：﹣1＝　2　．
【解答】解：原式＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
12．（3分）请写一个函数表达式，使其图象经过点（﹣1，4），且函数值随自变量的增大而减小：　y＝﹣x+3　．
【解答】解：设一次函数解析式：y＝kx+b，
∵函数值随自变量的增大而减小，
∴k＜0，
可取k＝﹣1，
将点（﹣1，4）代入y＝﹣x+b，
得1+b＝4，
解得b＝3，
∴一次函数解析式：y＝﹣x+3，
故答案为：y＝﹣x+3．
13．（3分）若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y≤0，则m的取值范围是　m≤﹣2　．
【解答】解：，
①+②得2x+2y＝4m+8，
则x+y＝2m+4，
根据题意得2m+4≤0，
解得m≤﹣2．
故答案是：m≤﹣2．
14．（3分）如图，矩形ABCD中，BC＝4，CD＝2，以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，连接BD，则阴影部分的面积为　π　．（结果保留π）

【解答】解：连接OE，如图，
∵以AD为直径的半圆O与BC相切于点E，
∴OD＝2，OE⊥BC，
易得四边形OECD为正方形，
∴由弧DE、线段EC、CD所围成的面积＝S正方形OECD﹣S扇形EOD＝22﹣＝4﹣π，
∴阴影部分的面积＝×2×4﹣（4﹣π）＝π．
故答案为π．

15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为　或10　．

【解答】解：分两种情况：
①如图1，当点F在矩形内部时，
∵点F在AB的垂直平分线MN上，
∴AN＝4；
∵AF＝AD＝5，
由勾股定理得FN＝3，
∴FM＝2，
设DE为y，则EM＝4﹣y，FE＝y，
在△EMF中，由勾股定理得：y2＝（4﹣y）2+22，
∴y＝，
即DE的长为．
②如图2，当点F在矩形外部时，
同①的方法可得FN＝3，
∴FM＝8，
设DE为z，则EM＝z﹣4，FE＝z，
在△EMF中，由勾股定理得：z2＝（z﹣4）2+82，
∴z＝10，
即DE的长为10．
综上所述，点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为或10
故答案为：或10．


三、解答题（共8小题，共75分。）
16．（10分）计算或化简：
（1）
（2）（2a+3b）（3b﹣2a）﹣（3b﹣a）2
【解答】解：（1）原式＝4+﹣+1
＝5；
（2）原式＝9b2﹣4a2﹣9b2+6ab﹣a2
＝﹣5a2+6ab．
17．（9分）疫情严重期间，教育部按照党中央关于防控新冠肺炎疫情的决策部署，对中小学延期开学期间“停课不停学”工作做出要求．某中学决定优化网络教学团队，整合初三年级为两个班级（前进班和奋斗班），为学生提供线上授课，帮助毕业年级学生居家学习．经过一周时间的线上教学，学校通过线上测试了解网络教学的效果，从两个班中各随机抽取10名学生的成绩进行如下整理、分析（单位：分，满分100分）：
收集数据：前进班：94，85，73，85，85，52，97，94，66，95．
奋斗班：92，84，87，82，82，51，84，83，97，84．
整理数据：
班级人数x（分）
x＜60
60≤x＜70
70≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
前进班
1
1
a
3
b
奋斗班
1
0
0
7
2
分析数据：

平均数
众数
中位数
方差
前进班
82.6
85
c
194.24
奋斗班
82.6
d
84
132.04
根据以上信息回答下列问题：
（1）请直接写出表格中a、b、c、d的值；
（2）小林同学的成绩为85分，在他们班处于中上水平，请问他是哪个班的学生？说明理由；
（3）请你根据数据分析评价一下两个班的学习效果，说明理由．
【解答】解：（1）由题意可知，a＝1，b＝4，
把前进班学生的成绩从小到大排列为52，66，73，85，85，85，94，94，95，97，故中位数c＝＝85；
奋斗班学生的成绩中出现次数最多的是84，故众数d＝84；
（2）小林同学的成绩为85分，在他们班处于中上水平，所以小林同学的成绩大于他所在的班的中位数，所以小林同学在奋斗班；
（3）奋斗班的方差小于前进班，成绩比较稳定．
18．（9分）如图，矩形ABCD的两边AD、AB的长分别为3、8，E是DC的中点，反比例函数y＝的图象经过点E，与AB交于点F．
（1）若点B坐标为（﹣6，0），求m的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式；
（2）若AF﹣AE＝2，求反比例函数的表达式．

【解答】解：（1）点B坐标为（﹣6，0），AD＝3，AB＝8，E为CD的中点，
∴点A（﹣6，8），E（﹣3，4），
函数图象经过E点，
∴m＝﹣3×4＝﹣12，
设AE的解析式为y＝kx+b，
，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x；
（2）AD＝3，DE＝4，
∴AE＝＝5，
∵AF﹣AE＝2，
∴AF＝7，
BF＝1，
设E点坐标为（a，4），则F点坐标为（a﹣3，1），
∵E，F两点在函数y＝图象上，
∴4a＝a﹣3，解得a＝﹣1，
∴E（﹣1，4），
∴m＝﹣1×4＝﹣4，
∴y＝﹣．

19．（9分）如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm．
（1）当PA＝45cm时，求PC的长；
（2）若∠AOC＝120°，求PC的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732）

【解答】解：（1）连接OP，

∵D为AO的中点，PD⊥AO，
∴PD是AO的垂直平分线，
∴PA＝PO＝45cm，
∵PC⊥BC，
∴∠PCO＝90°，
∵BC＝12cm，OB＝24cm，
∴OC＝OB+BC＝36（cm），
∴PC＝＝＝27（cm），
∴PC的长为27cm；
（2）过点D作DE⊥OC，交CO的延长线于点E，过点D作DF⊥PC，垂足为F，

由题意得：
DE＝CF，DF＝EC，DF∥EC，
∵∠AOC＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣∠AOC＝60°，
∵D为AO的中点，
∴OD＝OA＝12（cm），
在Rt△DOE中，DE＝DO•sin60°＝12×＝6（cm），
OE＝DO•cos60°＝12×＝6（cm），
∴DE＝CF＝6cm，DF＝EC＝OE+OB+OC＝42（cm），
∵DF∥EC，
∴∠FDO＝∠DOE＝60°，
∵∠PDO＝90°，
∴∠PDF＝∠PDO﹣∠FDO＝30°，
∴在Rt△PDF中，PF＝DF•tan30°＝42×＝14（cm），
∴PC＝PF+CF＝20≈34.6（cm），
∴PC的长约为34.6cm．
20．（9分）某中学为了加强学生体育锻炼，准备购进一批篮球和足球．据调查，某体育器材专卖店销售40个足球和60个篮球一共9200元；销售100个足球和30个篮球一共11000元．
（1）求足球和篮球的单价；
（2）该校计划使用10420元资金用于购买足球和篮球120个，且篮球数量不少于足球数量的2倍．购买时恰逢该专卖店在做优惠活动，信息如表：
球类
购买数量低于50个
购买数量不低于50个
足球
原价销售
八折销售
篮球
原价销售
九折销售
问在使用资金不超额的情况下，可有几种购买方案？如何购买费用最少？
【解答】解：（1）设足球每个x元，篮球每个y元，由题意得：
，
解得，
答：足球每个80元，篮球每个100元．

（2）设购买足球x个，则购买篮球（120﹣x）个，根据题意得：
120﹣x≥2x，
解得x≤40，
由题意得：80x+100×0.9（120﹣x）≤10420，
解得x≥38，
∴38≤x≤40，
∵x为正整数，
∴有3种购买方案：①购买足球38个，篮球82个；②购买足球39个，篮球81个；③购买足球40个，篮球80个．
∵购买篮球的单价大于购买足球的单价，所以方案③购买费用最少．
21．（9分）阅读下面材料，并按要求完成相应的任务：
阿基米德是古希腊的数学家、物理学家．在《阿基米德全集》里，他关于圆的引理的论证如下：
命题：设AB是一个半圆的直径，并且过点B的切线与过该半圆上的任意一点D的切线交于点T，如果作DE垂直AB于点E，且与AT交于点F，则DF＝EF．
证明：如图①，延长AD与BT交于点H，连接OD，OT．
∵DT，BT与⊙O相切
∴……，①
∴BT＝DT
∵AB是半⊙O的直径，∠ADB＝90°，②
在△BDH中，BT＝DT，得到∠TDB＝∠TBD，
可得∠H＝∠TDH，
∴BT＝DT＝HT．
又∵DE∥BH，
∴，
∴
又∵BT＝HT，∴DF＝EF．
任务：
（1）请将①部分证明补充完整；
（2）证明过程中②的证明依据是　直径所对的圆周角是直角　；
（3）如图②，△BED是等边三角形，BE是⊙O的切线，切点是B，D在⊙O上，CD⊥AB，垂足为C，连接AE，交CD于点F，若⊙O的半径为2，求CE的长．

【解答】解：（1）如图，连接OD，OT，

∴∠ODT＝∠OBT＝90°，
在Rt△ODT和Rt△OBT中，，
∴Rt△ODT≌Rt△OBT（HL）；
（2）直径所对的圆周角是直角；
故答案为：直径所对的圆周角是直角．
（3）如图，连接OD，CE，

∵△BED是等边三角形，
∴∠EBD＝60°，
∵BE是⊙O的切线，
∴∠EBA＝90°，
∴∠DBA＝30°，
∴∠DOC＝60°，
∵OD＝OA，
∴△ODA为等边三角形，
∵OD＝2，CD⊥AB，
∴OC＝OA＝1，DC＝，
∴＝BE，
∵OB＝2
∴BC＝3，
在Rt△EBC中，由勾股定理得，
CE＝．
22．（10分）如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为15米处有一棵高度为1.2米的小树AB，AB垂直水平地面且A点到水平地面的距离为3米．

（1）计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地．
（2）记水流的高度为y1，斜坡的高度为y2，求y1﹣y2的最大值．
（3）如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点B，那么喷射架应向后平移多少米？
【解答】解：（1）由题可知：抛物线的顶点为（10，6），
设水流形成的抛物线为y＝a（x﹣10）2+6，
将点（0，1）代入可得a＝，
∴抛物线为，
当x＝15时，y＝﹣×25+6＝4.75＞4.2，
答：能浇灌到小树后面的草坪；
（2）由题可知A点坐标为（15，3），
则直线OA为，
∴，
答：y1﹣y2的最大值为；
（3）设喷射架向后平移了m米，
则平移后的抛物线可表示为，
将点B（15，4.2）代入得：m＝1或m＝﹣11（舍去），
答：喷射架应向后移动1米．
23．（10分）综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师组织同学们以“矩形”为主题开展数学活动．
已知矩形ABCD（AD＞AB）的一条对称轴分别交边AB、CD于点E、F，如图①，奋进小组进行了如下的操作：以点B为圆心，BA的长为半径作弧，交边BC于点Q，已知点A'在弧AQ上运动（含A、Q两点），连接BA′，再分别以点A、A'为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线BG交AD于点H．
提出问题：
（1）如图②，当点A'运动到EF上时，求∠ABH的度数；
拓展应用：
（2）如图③，勤奋小组在图②的基础上进行如下操作：连接HA'并延长交BC于点P，请判断△HBP的形状，并说明理由；
解决问题：
（3）创新小组在图③的基础上进行如下操作：延长BA'交边AD于点M，当△MPC是直角三角形时，请直接写出矩形的边BC和AB之间的数量关系．

【解答】解：（1）连接AG，A′G，如图，

由题意：BA＝BA′，AG＝A′G，
在△ABG和△A′BG中，
，
∴△ABG≌△A′BG（SSS）．
∴∠ABG＝∠A′BG．
∵EF为矩形ABCD的对称轴，
∴A′E⊥AB，BE＝AB，
∵AB＝A′B，
∴，
∴cos∠A′BE＝，
∴∠A′BE＝60°．
∴∠ABH＝∠A′BE＝30°；
（2）△HBP是等边三角形，理由：
由（1）知：∠ABG＝∠A′BG＝30°，
在△ABH和△A′BH中，
，
∴△ABH≌△A′BH（SAS）．
∴∠BAH＝∠BA′H＝90°，
∴∠BHA′＝90°﹣∠A′BG＝60°，
∵∠HBP＝90°﹣∠ABG＝60°，
∴∠HBP＝∠BHP＝∠HPB＝60°，
∴△HBP是等边三角形；
（3）①当∠PCM＝90°时，点M与点D重合，如图，

由（1）知：∠ABP＝60°，
∴＝tan60°＝；
∵AD＝BC，
∴BC＝AB；
②当∠PMC＝90°时，如图，

过点M作MN⊥PC于点N，
由（3）①知：AM＝AB，
由（2）知：△HBP是等边三角形，
∴BH＝BP，
∵∠BA′H＝90°，
∴BA′⊥HP，
∴HA′＝PA′．
∵AD∥BC，
∴∠HMA′＝∠PBA′，
在△A′HM和△A′PB中，
，
∴△A′HM≌△A′PB（AAS）．
∴MA′＝BA′，
∴四边形BPMH为菱形．
∴∠MPH＝∠BPH＝60°，
∴∠MPC＝60°．
∵∠PMC＝90°，
∴∠MCP＝30°，
∴∠MCD＝60°．
∴＝tan60°＝．
∴MD＝AB，
∴AD＝AM+MD＝2．
∴BC＝2AB，
综上，当△MPC是直角三角形时，矩形的边BC和AB之间的数量关系BC＝AB或BC＝2AB．