（统考版）2023高考数学二轮专题复习 第四篇 满分专项突破（悟通法 得满分）第1讲　四大数学思想(解题有道)课件

这是一份（统考版）2023高考数学二轮专题复习 第四篇 满分专项突破（悟通法 得满分）第1讲　四大数学思想(解题有道)课件，共60页。PPT课件主要包含了一函数与方程思想，二数形结合思想，三分类讨论思想，四转化与化归思想，答案B，答案A，答案C，答案D等内容，欢迎下载使用。

一　函数与方程思想——求解数学问题最常用的工具
高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合；二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想．数学思想方法与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得，与此同时，它们又直接对知识的形成起到指导作用．因此，在平时的学习中，我们应对数学思想方法进行认真的梳理与总结，逐个认识它们的本质特征，逐步做到自觉地、灵活地将其运用于所需要解决的问题之中．
应用 1　借助“函数关系”解决问题在方程、不等式、三角、平面向量、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解．
名师点题本题考查两点间距离最值的求解问题，解题关键是能够将两点间距离表示为关于cs θ的二次函数的形式，利用二次函数的最值求得结果．
应用 2　转换函数关系解决问题在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解．
例 2 关于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0恒有解，求a的取值范围．
名师点题对于多元方程(含参数)通常有两类办法：一是换元，将问题转化为二次方程，利用根与系数的关系或判别式，或者利用三角函数的有界性加以解决；二是分离变量构造函数，把方程有解转化为求函数的值域，再根据函数的图象和性质来解决．
2．对任意a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，求x的取值范围．
应用 3　构造函数关系解决问题在数学各分支形形色色的问题或综合题中，将非函数问题的条件或结论，通过类比、联想、抽象、概括等手段，构造出某些函数关系，在此基础上利用函数思想和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．特别要注意的是，构造时，要深入审题，充分发掘题设中可类比、联想的因素，促进思维迁移．
例 3 若方程x2＋m2＋2x＋3m＝m cs (x＋1)＋7有且仅有1个实数根，则实数m的值可能为(　　)A．2 B．－2C．4 D．－4
解析：依题意得方程x2＋m2＋2x＋3m－m cs (x＋1)－7＝0，即(x＋1)2－m cs (x＋1)＋m2＋3m－8＝0有且仅有1个实数根．令f(x)＝(x＋1)2－m cs (x＋1)＋m2＋3m－8，因为f(－2－x)＝(－1－x)2－m cs (－1－x)＋m2＋3m－8＝(x＋1)2－m cs (x＋1)＋m2＋3m＋8，即f(－2－x)＝f(x)，易知函数f(x)图象的对称轴为直线x＝－1.因为方程x2＋m2＋2x＋3m＝m cs (x＋1)＋7有且仅有1个实数根，所以f(－1)＝0，即m2＋2m－8＝0，解得m＝2或m＝－4.当m＝－4时，函数f(x)＝(x＋1)2＋4cs (x＋1)－4，易知函数f(x)是连续函数，又f(1)＝4cs 2<0，f(2)＝5＋4cs 3>0，所以函数f(x)在[1，2]上也必有零点，此时f(x)不止有一个零点，故m＝－4不符合题意；当m＝2时，f(x)＝(x＋1)2－2cs (x＋1)＋2，此时f(x)只有x＝－1这一个零点，故m＝2符合题意．
名师点题本题的解题关键是构造函数f(x)，求出函数f(x)图象的对称轴，利用对称的性质得出f(－1)＝0.
对 点 训 练[2022·广西崇左市模拟]若3a＋(ln 2)b≥3b＋(ln 2)a(a，b∈R)，则(　　)A．3a＋b≥1 B．3|a－b|≥2C．3a－b≥1 D．3|a＋b|≥2
解析：∵3a＋(ln 2)b≥3b＋(ln 2)a(a，b∈R)，∴3a－(ln 2)a≥3b－(ln 2)b，构造函数f(x)＝3x－(ln 2)x(x∈R)，求导得f′(x)＝3x ln 3－(ln 2)x ln (ln 2)，因为3x>0，ln 3>0，(ln 2)x>0，又∵00，故函数f(x)在R上是单调递增的，由于3a＋(ln 2)b≥3b＋(ln 2)a(a，b∈R)，即f(a)≥f(b)，所以a≥b，故3a≥3b即3a－b≥1.
应用 4　转换方程形式解决问题把题目中给定的方程根据题意转换形式，凸现其隐含条件，充分发挥其方程性质，运用有关方程的解的定理(如根与系数的关系、判别式、实根分布的充要条件)使原问题获解，这是方程思想应用的又一个方面．
名师点题方程的观点把函数与方程紧密联系起来，应用方程的知识使得问题得以解决．本例题意新颖，解决这类问题的关键是：一是熟读题目，搞清告诉的新概念、新运算、新函数；二是把掩盖在新概念下的知识挖掘出来，转化为已有的知识来解决．
总 结 升 华函数与方程思想在解题中的应用主要涉及以下知识(1)函数与不等式的相互转化，把不等式转化为函数，借助函数的图象和性质可解决相关的问题，常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，建立函数关系求解．(2)三角函数中有关方程根的计算，平面向量中有关模、夹角的计算，常转化为函数关系，利用函数的性质求解．(3)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题，常涉及最值问题或参数范围问题，一般利用二次函数或一元二次方程来解决．(4)解析几何中有关求方程、求值等问题常常需要通过解方程(组)来解决，求范围、最值等问题常转化为求函数的值域、最值来解决．(5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．
二　数形结合思想——求解数学问题最快捷的途径
名师点题利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解；(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解；(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解．
名师点题利用数形结合解不等式应注意的问题解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致运算过程繁琐冗长．如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决．
应用 3　利用数形结合求解解析几何问题例 3 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
名师点题应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离．
总 结 升 华运用数形结合思想分析解决问题的3个原则(1)等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．(2)双向性原则在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．(3)简单性原则找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单．
三　分类讨论思想——求解数学问题最简便的技巧
应用 1　由概念、法则、公式引起的分类讨论例 1 设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0(n＝1，2，3，…)，则q的取值范围是________________．
应用 2　由运算、性质引起的分类讨论例 2 已知a>0，b>0且a≠1，b≠1，若lgab>1，则(　　)A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0
解析：∵a>0，b>0且a≠1，b≠1，∴当a>1，即a－1>0时，不等式lgab>1可化为algab>a1，即b>a>1，∴(a－1)(a－b)<0，(a－1)(b－1)>0，(b－1)(b－a)>0.当01可化为algab0，(b－1)(b－a)>0.综上可知，故选D.
名师点题应用指数、对数函数时，往往对底数是否大于1进行讨论，这是由它的性质决定的．在处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应法则，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．
名师点题(1)参数的变化取值导致不同的结果，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．(2)解析几何中直线点斜式、斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在，涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论．(3)分类讨论要标准明确、统一，层次分明，分类要做到“不重不漏”．
2．函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]·ex在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．
(2)设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线C的离心率等于________．
名师点题(1)圆锥曲线形状不确定时，常按椭圆、双曲线来分类讨论，求圆锥曲线的方程时，常按焦点的位置不同来分类讨论．(2)相关计算中，涉及图形问题时，也常按图形的位置不同、大小差异等来分类讨论．
总 结 升 华1.分类讨论的原则(1)不重不漏；(2)标准要统一，层次要分明；(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．2．分类讨论的本质与思维流程(1)分类讨论思想的本质：“化整为零，积零为整”．(2)分类讨论的思维流程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论归纳综合结论→检验分类是否完备(即检验分类对象彼此交集是否为空集，并集是否为全集)．
四　转化与化归思想——求解数学问题最常用的方法
应用 1　正与反的转化例 1 (1)由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的值是(　　)A．(－∞，1)　　　　　B．(－∞，2)C．1 D．2
名师点题根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路；对复杂问题可采用正难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元．
应用 2　常量与变量的转化例 2 若不等式x2＋px>4x＋p－3对一切0≤p≤4均成立，试求实数x的取值范围．
名师点题在有几个变量的问题中，常常有一个变元处于主要地位，我们称之为主元，由于思维定势的影响，在解决这类问题时，我们总是紧紧抓住主元不放，这在很多情况下是正确的．但在某些特定条件下，此路往往不通，这时若能变更主元，转移变元在问题中的地位，就能使问题迎刃而解．本题中，若视x为主元来处理，既繁琐且易出错，实行主元的转化，使问题变成关于p的一次不等式，使问题实现了从高维向低维转化，解题简单易行．
对 点 训 练已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，则实数x的取值范围为________．
名师点题用特殊化方法实现划归与转化是在解决问题过程中将某些特殊问题进行一般化的方法，常用的特例有特殊数值，特殊数列，特殊图形，特殊角，特殊位置．提醒学生注意一般与特殊的转化只限选择题填空题中使用，在大题中可用该种方法猜想结论，找到解题的突破口．
应用 4　函数、方程、不等式间的转化例 4 若2x－2y<3－x－3－y，则(　　)A．ln (y－x＋1)>0 B．ln (y－x＋1)<0C．ln |x－y|>0 D．ln |x－y|<0
名师点题函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值（值域）问题，从而求出参变量的范围．
名师点题1．解本题的关键是要清楚三棱锥展开前后线段的位置关系与数量关系的变与不变，动与静相结合，注意挖掘线段之间的关系，再利用余弦定理来解决．2．形体位置关系的相互转化的技巧(1)分析特征，一般要分析形体特征，根据形体特征确立需要转化的对象；(2)位置转化，将不规则几何体通过切割、挖补、延展等方式转化为便于观察、计算的常见几何体．由于新的几何体是转化而来，一般需要对新的几何体的位置关系、数据情况进行必要分析，准确理解新的几何体的特征；(3)得出结论，在新的几何结构中解决目标问题．
对 点 训 练如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点．当AD＋DC1最小时，三棱锥D-ABC1的体积为________．