数学（北京卷）-学易金卷：2023年中考第三次模拟考试卷

2023年中考数学第三次模拟考试卷（北京卷）

数学·参考答案

第Ⅰ卷

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）

9． x＝2．

10．﹣（x+1）2（x﹣1）2

11． y＝﹣x+3．

12．0

13．5

14．44

15．2

16． 160；x≥250．

三、解答题（共68分，第17-20题，每题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．解：

＝﹣3+2+﹣1﹣4×

＝﹣2+﹣2

＝﹣2﹣．

18．解：，

解不等式①得：x＜﹣1.5，

解不等式②得：x＜2．

∴不等式组的解集为 x＜﹣1.5．

19．解：（1）如图，直线AD即为所求；

（2）完成下面的证明．

证明：由作法可知：AD平分∠EAC，

∴∠EAD＝∠DAC（角平分线的定义），

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵∠EAC＝∠B+∠C，

∴∠EAC＝2∠B．

∵∠EAC＝2∠EAD，

∴∠EAD＝∠B，

∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）．

故答案为：角平分线的定义；∠B，同位角相等，两直线平行．

20．解：（1）∵Δ＝（2k）2﹣4×1×（k2﹣1）

＝4k2﹣4k2+4

＝4＞0，

∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）∵方程有一个根为3，

∴32+6k+k2﹣1＝0，

整理，得：k2+6k＝﹣8，

∴2k2+12k+2021

＝2（k2+6k）+2021

＝2×（﹣8）+2021

＝﹣16+2021

＝2005．

21（1）证明：∵AB∥CD，

∴∠OAB＝∠OCD，

在△AOB和△COD中，

，

∴△AOB≌△COD（ASA），

∴BO＝DO，AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵△OAB是等边三角形，

∴OA＝OB，

∴OA＝OC＝OB＝OD，

∴AC＝BD，

∴平行四边形ABCD是矩形；

（2）解：∵△OAB是等边三角形，

∴AB＝OA＝OB，

∵AO＝CO，

∴AC＝2OA，

∴AC＝2AB，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，

∴BC＝＝＝AB，

∵S四边形ABCD＝AB•BC＝AB2＝4，

∴AB2＝4，

∴AB＝＝2，

∴OB＝2，

∴BD＝2OB＝4．

22．解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝﹣x的图象平移得到，

∴k＝﹣1，

又∵一次函数y＝﹣x+b的图象过点（1，1），

∴﹣1+b＝1．

∴b＝2，

∴这个一次函数的表达式为y＝﹣x+2；

（2）当x＝﹣1时，y＝﹣x+2＝3，

把点（﹣1，3）代入y＝mx﹣1，得m＝﹣4，

∵当x＞﹣1时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣1（m≠0）的值小于一次函数y＝﹣x+2的值，

∴﹣4≤m≤﹣1．

23（1）证明：过点A作AF⊥CD于点F，如图，

∵CD＝CA，

∴∠CAD＝∠CDA，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAD+∠CAD＝90°，

∴∠BAD+∠CDA＝90°．

∵DE⊥AB，

∴∠BAD+∠ADE＝90°，

∴∠ADE＝∠CDA．

∵AE⊥DE，AF⊥CD，

∴AE＝AF，

即AF为⊙A的半径，

这样，直线BC经过半圆AF的外端F，且垂直于半径AF，

∴BC是⊙A的切线；

（2）解：∵CD＝CA，AC＝5，

∴CD＝5，

∴BC＝BD+CD＝8．

∵DE⊥AB，AC⊥AB，

∴DE∥AC，

∴，

∴，

∴DE＝．

24．解：（1）m＝×（10+10+10+9+9+8+3+9+8+10）＝8.6；

（2）甲同学的方差S2甲＝×[2×（7﹣8.6）2+2×（8﹣8.6）2+4×（9﹣8.6）2+2×（10﹣8.6）2]＝1.04，

乙同学的方差S2乙＝×[4×（7﹣8.6）2+2×（9﹣8.6）2+4×（10﹣8.6）2]＝1.84，

∵S2甲＜S2乙，

∴评委对甲同学演唱的评价更一致．

故答案为：甲；

（3）甲同学的最后得分为×（7+8×2+9×4+10）＝8.625；

乙同学的最后得分为×（3×7+9×2+10×3）＝8.625；

丙同学的最后得分为×（8×2+9×3+10×3）＝9.125，

∴在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是丙．

故答案为：丙．

25．解：（1）设矩形小花园的一边长为x米，则矩形小花园的另一边长为米；

总篱笆长y（米）关于边长x（米）的函数关系式为y＝2x+2•＝2x+（x＞0）；

故答案为：；2x+（x＞0）；

（2）当x＝2时，y＝2x+＝2×2+＝，即a＝；

当x＝2时，y＝2x+＝2×+＝10，即b＝10；

故答案为：；10；

（3）如图，

（4）根据以上信息可得，当x＝时，y有最小值．

所以小强确定篱笆长至少为6米．

故答案为：；6．

26．解：（1）∵点A（2，﹣1）在二次函数y＝x2﹣（2m+1）x+m的图象上，

∴﹣1＝4﹣2（2m+1）+m，

解得m＝1，

∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+1；

（2）∵y＝x2﹣3x+1，

∴抛物线的对称轴为直线x＝，

∴当x＜时，y随x的增大而减小，

当x＝1时，y＝x2﹣3x+1＝﹣1，当x＝n时，y＝x2﹣3x+1＝n2﹣3n+1，

∵当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣1≤y≤4﹣n，

∴n2﹣3n+1＝4﹣n，

解得n1＝﹣1，n2＝3，

∵n≤x≤1，

∴n的值为﹣1；

（3）根据平移的性质可知，a＝1，

∵当x＜2时，y随x的增大而减小，

∴h≥2．

∵平移后的图象经过原点O，

∴0＝（0﹣h）2+k，即k＝﹣h2，

∴k≤﹣4．

27解：（1）∠ADE＝∠BFG，BG＝2AE，证明如下：

在AC上截取EM＝AE，

∵FH⊥DE，

∴∠FHE＝∠GHE＝90°，

∵∠ACB＝∠ECG＝90°，

在四边形BDHF中，

∵∠ABC+∠DHF＝180°，

∴∠F+∠BDH＝180°，

∵∠DEC+∠DEA＝180°，

∴∠DEA＝∠HGC，

∵AD＝DB，AE＝EM，

∴DE∥BM，

∴∠ABM＝∠ADE，

∴∠ABM＝∠F，

在△ABM和△BFG中，

，

∴△ABM≌△BFG（ASA），

∴AM＝BG，

∴BG＝2AE；

（2）补全图形如图所示，

延长AC至M，使EM＝AE，

∵AD＝BD，

∴BM＝2DE，

由（1）知：△ABM≌△BFG（ASA），

∴AM＝BG，

∴AC+CM＝BC+CG，

∵AC＝BC，

∴CM＝CG，

在Rt△BCM中，由勾股定理得，

BC2+CM2＝BM2，

∴AC2+CG2＝4DE2．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，旋转性质等知识，解决问题的关键是作辅助线构造三角形的中位线和全等三角形．

28．解：（1）如图1中，在AB上任意取一点Q，过点Q作QH⊥OP于点H，QT⊥PB．

∵A（2，2），B（3，3），P（3，0），

∴∠QBT＝45°，

∵∠QTB＝90°，

∴TQ＝BT，

∵∠QHP＝∠HPT＝∠QTP＝90°，

∴四边形QTPH是矩形，

∴QH＝PT，PH＝QT，

∴QH+PH＝PT+BT＝PB＝3，

∴d（AB，x轴）＝3，

故答案为：3；

（2）如图2中，连接QC，过点Q作QH⊥x轴于点H．

设Q（x，y），

∵QC＝，C（3，2），

（x﹣3）2+（y﹣2）2＝2，

∴|x﹣3|＝，

设d（⊙C，x轴）＝y+|x﹣3|＝t，

则有＝t﹣y，

两边平方整理得，2y2﹣（4+2t）y+t2+2＝0，

∵Δ≥0，

∴（4+2t）2﹣8（t2+2）≥0，

解得0≤t≤4，

∴d（⊙C，x轴）＝4，此时Q（2，3）或（4，3）；

（3）如图3中，过点D作DH⊥直线l于点H，设DH＝x，PH＝y．

∵D（0，），P（3，0），

∴PD＝＝2，

∴x2+y2＝（2）2，

∵x+y＝＝，

∴xy的值最大时，x+y的值最大，

即△PDH的面积最大时，x+y的值中点，此时△PDH是等腰直角三角形，

∴x＝y＝×2＝，

∴x+y的最大值为2，

∴d（点D，l）的最大值为2．