2023年高考数学必刷压轴题专题23抛物线（解答题压轴题）含解析

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 专题23 抛物线（解答题压轴题）
抛物线（解答题压轴题）
①抛物线焦点弦问题
②抛物线中参数范围与最值问题
③抛物线中定点、定值、定直线问题
④抛物线综合问题
①抛物线焦点弦问题
1．（2022·浙江·模拟预测）已知抛物线，直线与抛物线交于、两点（在的上方）.

(1)若过抛物线的焦点，且垂直于轴时，，求此时抛物线的方程；
(2)若直线的斜率，过点作直线的垂线交抛物线于另外一点，当，且的重心落在直线上时，求直线的斜率.
【答案】(1)
(2)
(1)
解：抛物线的焦点为，联立，可得，
所以，，此时抛物线的方程为.
(2)
解：设、、，
由可得，所以，
得到，同理得到.
①当时，，
.
由可得，
整理可得.
因为，所以
，
整理可得，
因为，所以；
②当时，，
.
由可得，
整理可得.
所以，
整理可得：，令，，
，则在上单调递增，
因为，，所以，函数在单调递减，且，
所以在无零点.
综上.
2．（2022·全国·高二课时练习）如图，抛物线E：y2＝2px的焦点为F，四边形DFMN为正方形，点M在抛物线E上，过焦点F的直线l交抛物线E于A，B两点，交直线ND于点C.

(1)若B为线段AC的中点，求直线l的斜率；
(2)若正方形DFMN的边长为1，直线MA，MB，MC的斜率分别为k1，k2，k3，则是否存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在，理由见解析.
（1）
由已知可得DN为抛物线的准线．
设直线l的倾斜角为α.
如图所示，分别过点A，B，作AG⊥DN，BH⊥DN，G，H为垂足．则BH＝BF，AG＝AF.
作BQ⊥AG，Q为垂足，则QG＝BH.
因为B为线段AC的中点，所以BH为△ACG的中位线．所以BH＝AG＝AQ，所以AQ＝AB.
所以cos α＝cos ∠QAB＝，所以tan α＝，所以直线l的斜率为.

（2）
存在，使得k1＋k2＝λk3，理由如下：
因为正方形DFMN的边长为1，所以p＝1，因此抛物线的方程为：y2＝2x.可得.
设直线l的方程为my＝x－，A（x1，y1），B（x2，y2），.
联立，化为：y2－2my－1＝0，所以y1＋y2＝2m，y1y2＝－1.
假设存在实数λ，使得k1＋k2＝λk3，则，
左边＝，所以，
解得：λ＝2.因此存在实数λ＝2，使得k1＋k2＝2k3.
3．（2022·浙江·瑞安市第六中学高二开学考试）已知抛物线的焦点为F，以F和准线上的两点为顶点的三角形是边长为的等边三角形，过的直线交抛物线E于A，B两点．
(1)求抛物线E的方程；
(2)是否存在常数，使得，如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由；
(3)证明：内切圆的面积小于．
【答案】(1)；
(2)存在，1；
(3)证明见解析.
（1）由题意焦点到准线的距离等于该正三角形一条边上的高线，因此，∴抛物线E的方程为．
（2）设直线的斜率为，直线方程为，记，，消去，得由，得且，，，，因此，即存在实数满足要求．
（3）由(2)知，，点F到直线AB的距离，∴的面积记的内切圆半径为r，∵，∴∴内切圆的面积小于．
4．（2020·内蒙古赤峰·高三阶段练习（理））已知曲线的短轴长为，曲线，的一个焦点在的准线上.
（1）求曲线的方程；
（2）设曲线的左焦点为，右焦点为，若过点的直线与曲线的轴左侧部分（包含与轴的交点）交于，两点，直线与曲线交于，两点，直线与曲线交于，两点，试求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）由题知，抛物线的准线为，
则椭圆的一个焦点为，∴.
又∵短轴长为，∴，
∴，∴椭圆的方程为.
（2）由（1）知，.
设直线，过点时，；过时，；
由题意知.
联立方程，消去得.
设，，则
设直线的斜率为，直线的斜率为，
，，
∴，
.
设直线，联立方程，
消去得.
设，，则，
∴，
同理.∴

.∵，∴，
∴.
5．（2020·上海浦东新·高三阶段练习）已知点是抛物线上的焦点，、是抛物线上的两个动点．
（1）若直线经过点，且，求；
（2）若，求证:线段的垂直平分线经过一个定点，并求出点的坐标；
（3）若线段与轴交于点，是否存在这样的点，使得为定值，若存在，求出这个定值和点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）10；（2）证明见解析，经过一个定点；（3）存在点满足题意，坐标为，．
【详解】（1）．
（2）①当直线的斜率存在时，设线段的中点为，则
，，
．
线段的垂直平分线的方程是，即．
②当直线设的斜率不存在时，此时线段的垂直平分线的方程是．
所以线段的垂直平分线经过一个定点．
（3）设，过点直线方程为，联立，
则，，．
则，，
所以，
，
所以当时，，故点的坐标为，
并且满足．
②抛物线中参数范围与最值问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知、、，圆，抛物线，过的直线与抛物线交于、两点，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与圆交于、两点，记面积为，面积为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
（1）
解：设、，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，与联立得，
所以，，
因为，解得，
故抛物线的方程．
（2）
解：由，，
得，
设直线的方程为，即，则原点到直线的距离，
得，，
联立可得，即点，
所以，则且，
则，
令，则，，则，
综上，的取值范围为．
2．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知点在抛物线E：（）的准线上，过点M作直线与抛物线E交于A，B两点，斜率为2的直线与抛物线E交于A，C两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)（ⅰ）求证：直线过定点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为H，设的面积为S，且满足，求直线的斜率的取值范围.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
（1）由题意可知C：（）的准线方程为：，即，所以.抛物线C的标准方程为
（2）设，，，（ⅰ）由题意知直线不与y轴垂直，故直线方程可设为：，与抛物线方程联立，化简得：，根据韦达定理可得： 即，，直线方程为，整理得：.又因为，即.将代入化简可得：，代入整理得： 故直线过定点（ⅱ）由（ⅰ）知与x轴平行，直线的斜率一定存在，由（ⅰ）知所以，又因为即，化简得或又由，得：且，即或综上所述，
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆，抛物线，O为坐标原点．

(1)若抛物线的焦点正好为椭圆的上顶点，求p的值；
(2)椭圆与抛物线在第一象限的交点为，过点P但不过原点的的直线l交椭圆于点Q，交抛物线于点M（Q，M不同于点P），若M是线段PQ的中点，求p的最大值，并求当p取最大时直线l的斜率．
【答案】(1)
(2)的最大值为，此时直线的斜率为；
（1）
解：椭圆，所以上顶点为，
依题意，所以；
（2）
解：因为点既在椭圆上，又在抛物线上，
所以且，
设直线的方程为，，，
联立，消去整理得，
则，所以；
联立，消去整理得，
则，所以，代入抛物线方程得，
再代入椭圆方程得，
整理得，
令，则，
依题意可知且，当且仅当，即时取等号，
所以
所以，即，即的最大值为，此时直线的斜率为；
4．（2022·全国·高三专题练习（文））已知抛物线C：，F为抛物线C的焦点，是抛物线C上点，且；
(1)求抛物线C的方程；
(2)过平面上一动点作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求的最大值.
【答案】(1)；
(2).
（1）
依题意得：
∴，∴，
所求抛物线的方程为；
（2）
抛物线的方程为，即∴，
设，，则切线PA，PB的斜率分别为，.
所以切线PA：，
∴，又，，
同理可得切线PB的方程为，
因为切线PA，PB均过点，所以，，
所以，为方程的两组解.
所以直线AB的方程为.
联立方程，消去x整理得，
∴，∴.
∴，
由抛物线定义可知，，
所以
∵
，
∴
令
∴原式，
即原式的最大值.
5．（2022·全国·高三专题练习（文））已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到点的距离为．
(1)求抛物线的方程及点的坐标；
(2)设斜率为的直线过点且与抛物线交于不同的两点、，若且，求斜率的取值范围．
【答案】(1)抛物线方程为，点的坐标为
(2)
（1）
解：由抛物线定义可知，得，所以，抛物线方程为，
将点的坐标代入抛物线方程得，所以，点的坐标为.
（2）
解：直线的方程为，设点、，
联立整理得，，可得或，
由韦达定理可得，，
又，即，所以，，
因为，，则，
又，
令，所以，，
由双勾函数的单调性可知，函数在上为减函数，在上为增函数，
当时，，
同理可知，当时，，
又因为或，所以，的取值范围是.
6．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆，曲线与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于、，直线、分别与交于点、.

(1)证明：以为直径的圆经过点；
(2)记、的面积分别为、，若，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(1)
证明：若直线的斜率不存在，则该直线与轴重合，此时直线与曲线只有一个交点，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，设直线的方程为.
由得，
设、，则、是上述方程的两个实根，
于是，.
又因为点，
所以，
所以，即，所以为直径的圆经过点.
(2)
解：由已知，设的斜率为，则的方程为，
由解得或，则点的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得点的坐标为.
所以，
由得，解得或，
则点的坐标为，
又直线的斜率为，同理可得点的坐标，
于是，
因此，
当时，即当时，等号成立，
所以，所以的取值范围为.
7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为2，离心率，抛物线的焦点是是椭圆上的任意一点，且位于轴左侧，过点分别作抛物线的两条切线，切点分别为.
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)求面积的取值范围.
【答案】(1)；；
(2).
(1)
由题意可得，解得，故椭圆的标准方程为，
因为，所以，故，因此抛物线的方程为；
(2)
显然，过点的抛物线的切线的斜率存在且不为0，
设切线的方程为，
由，联立可得，
由题意可知，
设两切线的斜率分别为，则，
设斜率为的直线对应的切点为，斜率为的直线对应的切点为，
方程的根，
因此，于是，
，直线上任意一点，，
由得，，
化简得，则直线的方程为，
点到直线的距离为，

，
则的面积为
，
因为点，在椭圆上，即，
因为在上单调递减，
当时，，当时，，
所以，
因此，所以，
因此面积的取值范围为.
8．（2022·浙江·高三专题练习）如图，已知椭圆和抛物线，斜率为正的直线与轴及椭圆依次交于、、三点，且线段的中点在抛物线上．

(1)求点的纵坐标的取值范围；
(2)设是抛物线上一点，且位于椭圆的左上方，求点的横坐标的取值范围，使得的面积存在最大值．
【答案】(1)；
(2).
(1)解：由题意可设直线的方程为，则，
联立可得，
，可得，①
设点、，由韦达定理可得，，
设点，则，，
将点的坐标代入抛物线的方程得，则，
代入①可得，可得，解得，
因此.
因此，点的纵坐标的取值范围是.
(2)
解：设点，则点到直线的距离为，
，故的面积，②
将代入②得，
令，记，则，则，
因为在上单调递减，所以，函数在内有唯一的极值点，且为极大值点，
所以，，可得，③
因为点在椭圆的左上方，则，④
由③④可得，因此，点的横坐标的取值范围是.
③物线中定点、定值、定直线问题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知定点，，定直线：，不在轴上的动点与点的距离是它到直线的距离的倍．设点的轨迹为，过点的直线交于、两点，直线、分别交于点、．
(1)求的方程；
(2)试判断以线段为直径的圆是否过定点，若过定点，求出定点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)（）．
(2)以线段为直径的圆过定点和．
（1）
设，依题意有，化简可得（）．
（2）
解法1：假设以线段为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在轴上，设．设直线的方程为，由，消去可得，由题意知．设，，则，．因为直线的方程为，所以点的坐标为，同理，于是，．由可得，即，即，即，解得或，所以以线段为直径的圆过定点和．
解法2：假设以线段为直径的圆过定点，由对称性可知该定点必在轴上．若垂直于轴，则，直线方程为，所以点坐标为，此时以为直径的圆的方程为，该圆与轴交于点和．下面进行验证．
设直线的方程为，由，消去可得，由题意知．设，，则，．因为直线的方程为，所以点的坐标为，同理．
因为，，所以
．同理．所以以线段为直径的圆过定点和．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知，是抛物线上两个不同的点，的焦点为．已知点，记直线的斜率分别为，且，当直线过定点，且定点在轴上时，点在直线上，满足，求点的轨迹方程．
【答案】（不含点）
【详解】设直线，
由得：，则，解得：，
，，，
即，
，
即，
整理可得：，解得：或；
当时，，
则直线恒过点，不合题意；
当时，，满足，直线恒过定点，满足题意；
，，又四点共线，，
点的轨迹是以为直径的圆，
设，
中点为，，
点的轨迹方程为：；
当时，，不合题意；
综上所述：点的轨迹方程为：（不含点）.
3．（2022·浙江·高二期末）设点为抛物线：（）的动点，是抛物线的焦点，当时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)当在第一象限且时，过作斜率为，的两条直线，，分别交抛物线于点，，且，证明：直线恒过定点，并求该定点的坐标；
(3)是否存在定圆：，使得过曲线上任意一点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点，时，总有直线也与圆相切？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)定点为，详见解析；
(3)，证明见解析.
（1）
∵当时，，
∴，
所以，
即抛物线的方程为；
（2）
∵在第一象限且时，
∴，
设，，
由，可得，
则，
∵，
同理，又
∴，即，
∴，即，
所以，即
所以直线恒过定点；
（3）
取，设的切线为，
则，即，
把代入，
解得，
直线，若直线与圆：相切，
则，又，
解得或（舍去），
下面证明过曲线上任意一点（除原点）作圆的两条切线，与曲线交于另外两点，时，总有直线也与圆相切，
设，切线为，，
由，可得，
∴，
由，可得，
所以，
∴，即，
同理可得，
故，
所以直线，
所以圆心到直线的距离为
，
又，
∴，
综上，可得过曲线上任意一点，存在实数，使直线与圆相切.
4．（2022·全国·高二课时练习）如图，F是抛物线的焦点，Q是准线与x轴的交点，斜率为k的直线l经过点Q．

(1)当k取不同数值时，求直线l与抛物线公共点的个数；
(2)若直线l与抛物线相交于A、B两点，求证：是定值．
(3)在x轴上是否存在这样的定点M，对任意的过点Q的直线l与抛物线相交于A、B两点，均能使得为定值，若有，找出满足条件的点M;若没有，请说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
(3)存在，
（1）
抛物线的焦点为，，
设，代入并化简得①．
当，直线的方程为，与的交点为原点，直线l与抛物线有个公共点；
当，，
若，即，直线l与抛物线有个公共点；
若，即时，直线l与抛物线有个公共点；
若，即或，直线l与抛物线没有公共点．
（2）
由于直线与抛物线有两个交点，由（1）得.
设交点、，
由①得，
，
所以为定值0．
（3）
若存在满足条件的点，使得为定值．
则


仅当，即时，为定值．
5．（2022·福建省福州第一中学高三开学考试）已知抛物线C的顶点在坐标原点O，准线方程为，F为抛物线C的焦点，点P为直线上任意一点，以P为圆心，为半径的圆与抛物线C的准线交于A、B两点，过A、B分别作准线的垂线交抛物线C于点D、E．
(1)求抛物线C的方程；
(2)设点O到直线的距离为d，求d的最大值．
【答案】(1)；
(2).
（1）
由准线方程为，设抛物线方程为，则，解得，则抛物线C的方程为；
（2）
易得，设，则，，于是圆的方程为，
令，得到，设，则，
显然直线的斜率存在，，直线的方程为，
整理得，又，则，即，
则直线过定点，显然当原点和定点的连线垂直于直线时，此时直线的斜率，
则点O到直线的距离d最大，为.
6．（2022·广东佛山·高三阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的焦点为F，抛物线上不同两点M，N同时满足下列三个条件中的两个：①；②；③直线的方程为．
(1)请分析说明两点M，N满足的是哪两个条件？并求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线的焦点F的两条倾斜角互补的直线和交抛物线于A，B，C，D，且A，C两点在直线的下方，求证：直线的倾斜角互补并求直线的交点坐标．
【答案】(1)②③，
(2)证明见解析
（1）
若同时满足①②：由，可得过焦点，
当时，而，
所以①②不同时成立．
若同时满足①③由①，可得过焦点，
因为直线的方程为，不可能过焦点，所以①③不同时成立．
只能同时满足条件②③，因为②；
且直线的方程为，所以，解得．
所以抛物线的标准方程为.
（2）
设，
设过抛物线的焦点F的两条倾斜角互补的直线和的方程分别为，即为，
由方程组，
得
所以，
由方程组，同理，
所以，
设直线的方程为，
由方程组，
得
所以，
由方程组，同理，
所以得．
所以直线的倾斜角也互补
由，
得，，，
显然，则，，同理
直线同过点，所以直线相交于定点.
7．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））设抛物线：，以为圆心，5为半径的圆被抛物线的准线截得的弦长为8．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的两条直线分别与曲线交于点A，B和C，D，且满足，，求证：线段的中点在直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
（1）
：的准线：
设到的距离为，
由已知得，∴，∴，∴
∴的方程为
（2）
设，
∵，∴
∴，∴
代入得
∴
∴
∵点N在抛物线内部，∴，，∴
同理
∴，是关于的方程的两根，
∴，∴
∴的中点在直线上．
8．（2022·全国·高三专题练习）已知拋物线，为拋物线外一点，过点作抛物线的切线交抛物线于，两点，交轴于，两点.
（1）若，设的面积为，的面积为，求的值；
（2）若，求证：的垂心在定直线上.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）设，，
由得，所以，所以直线的斜率为.
∴直线的方程为，整理得①
同理可得的方程为②
∵，均过，

∴
∴直线既过，也过，
∴直线的方程为：
设与轴交于点，则，所以，
在①式中令，∴，同理
∴，∴.
（2）仿照（1）知方程为，，，，，
由∴.
∵为的垂心
设，，，
由
∴
∴，故的垂心在定直线上.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知圆经过点与直线相切，圆心的轨迹为曲线，过点做直线与曲线交于不同两点，三角形的垂心为点.
（1）求曲线的方程；
（2）求证：点在一条定直线上，并求出这条直线的方程.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）圆经过点与直线相切，
则圆心满足到点与到直线的距离相等，
根据抛物线的定义，可得圆心表示以为焦点，以为准线的抛物线，
其中，所以圆心的轨迹方程为.
（2）设，，
由三点共线，则，整理得，
过点与直线垂直的直线为，
同理过点与直线垂直的直线为，
两条垂线联立方程组 ，解得，
所以垂心在直线.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线L：（）的焦点为F，过点的动直线l与抛物线L交于A，B两点，直线交抛物线L于另一点C，直线的最小值为4.

（1）求抛物线L的方程；
（2）若过点A作y轴的垂线m，则x轴上是否存在一点，使得直线PB与直线m的交点恒在一条定直线上？若存在，求该点的坐标及该定直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，，.
【详解】（1）设直线的倾斜角为，
所以由抛物线（）的焦点弦公式得，
所以当，即当轴时，取得最小值.
把代入可得，
故，，
可得抛物线的方程为：．
（2）假设轴上存在一点，，使得直线与直线的交点恒在一条定直线上．
设，，，，直线的方程为，
联立抛物线方程，可得，
，，
直线的方程为即，
联立直线，
可得，
由，，可得，，
即有，
由假设可得，
即，此时，
可得存在定点，定直线为．
11．（2022·全国·高三专题练习）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）及点M（2，0），动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4.

（1）求p的值；
（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上.
【答案】（1）p＝1（2）证明见解析
【详解】（1）当直线l过点M（2，0），且垂直于x轴时，
由AB＝4，知抛物线y2＝2px（p＞0）过点（2，2），
代入抛物线方程，得4＝2p×2，解得p＝1；
（2）证明：由题意设直线l的方程为：y＝k（x﹣2），且k≠0，
点A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x，化简得ky2﹣2y﹣4k＝0，
由根与系数的关系得y1+y2，y1y2＝﹣4；
又点C在直线AB上，则yC，所以直线l1的方程为y；
又直线l2过点M且与直线l垂直，则直线l2的方程为y（x﹣2）；
联立，解得，所以点P（1，），
所以点P在定直线x＝1上.

12．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点的直线与抛物线分别交于两点，点的坐标分别为，，为坐标原点，若，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）或
【解析】（1）由点在抛物线上，有，解得，
由抛物线定义有：，解：，
故抛物线的方程为．
（2）设直线的方程为：，联立方程，消去得：，
故有：，，，
，
则，故，解得：，
所求直线的方程为：或．
④抛物线综合问题
1．（2022·广东广州·高三阶段练习）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最大值为6．
(1)求的方程；
(2)若点在圆上，，是的两条切线，，是切点，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
（1）
抛物线的焦点为，圆，圆心，半径
，所以，与圆上点的距离的最大值为，解得；
所以抛物线的方程为.
（2）
抛物线的方程为，即，对该函数求导得，
设点，，，
直线的方程为，即，即，
同理可知，直线的方程为，
由于点为这两条直线的公共点，则，
所以，点、的坐标满足方程，
所以，直线的方程为，
联立，可得，
由韦达定理可得，，
所以
点到直线的距离为，
所以，，
，
由已知可得，所以，当时，的面积取最小值.
2．（2022·全国·高三专题练习）抛物线焦点为，过斜率为的直线交抛物线于，两点，且
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过直线上一点作抛物线两条切线，切点为，猜想直线与直线位置关系，并证明猜想.
【答案】(1)
(2)直线与直线垂直；证明见解析
（1）
由题意知抛物线焦点为，
设直线的方程为，与抛物线交于，，
联立抛物线方程，，
所以，
所以，
又由抛物线的定义知，即，
即，所以抛物线的方程为；
（2）
直线与直线垂直，理由如下：
由（1）得，，
设，，，
所以直线方程为：，
又因为点A在抛物线上，即有，
得到直线方程为；同理可得方程为：，
，经过点，则，
由两点可确定一条直线，所以所在直线方程为：，
当时，直线与直线垂直，显然成立，
当时，直线斜率，，
直线所在斜率，
则，
综上，直线与直线垂直.
3．（2022·上海市松江二中高三阶段练习）如图，已知、为抛物线Γ：的图像上异于顶点的任意两个点，抛物线Γ在点A、B处的切线相交于.

(1)写出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)求证：、、成等差数列，、、成等比数列；
(3)若A，F，B三点共线，求出动点P的轨迹方程及面积的最小值.
【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为
(2)证明见解析
(3)，4
（1）
(1)抛物线的标准方程为,于是焦点坐标为,准线方程为。
（2）
(2),所以

联立,得,而
于是,即
故成等差数列,成等比数列
（3）
由于A,F,B三点共线,设
联立,得.
即动点的轨迹方程为
设AB中点为,则,即

当时取等所以面积的最小值为4
4．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线上的点到其焦点的距离为．
(1)求和的值；
(2)若直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交抛物线于、两点，求证：、、、四点共圆．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
（1）
解：抛物线的焦点为，准线方程为，
点到其焦点的距离为，则，可得，故抛物线的方程为．
将点的坐标代入抛物线方程可得，解得.
（2）
解：由中垂线的性质可得，，，，所以，，
设、，联立消去并整理，得，
则，，且，即，
则．
设线段的中点为，则点的纵坐标为，
所以，点的横坐标为，则．
直线为线段的垂直平分线，所以，直线的方程为．
设、，联立，
消去并整理得，，可得，
则，，
故．
设线段的中点为，则．
，
，，
故，所以，，，
故，故，
所以，点、都在以为直径的圆上，故、、、四点共圆．
5．（2022·全国·高二课时练习）已知抛物线，焦点为F，直线交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q．
(1)若抛物线C上有一点到焦点F的距离为3，求m的值；
(2)是否存在实数m，使是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
（1）
∵抛物线，∴焦点．
∵，∴．
（2）
假设存在实数m满足题意．由，消去y得，
恒成立,
设，，则，,
∵P是线段AB的中点，∴，
即，∴,
∵是以Q为直角顶点的直角三角形，
∴．∵，，
∴，
化简得，∴或（舍去）,
∴存在实数，使是以Q为直角顶点的直角三角形．
6．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与C相交于A，B两点，，是C的两条切线，A，B是切点．当轴时，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

（1）
由题意，，当轴时，将代入有，解得，又故，解得.
故抛物线C的方程为.
（2）
由（1），设，直线的方程为，联立抛物线方程有，故.
又抛物线方程，故，故切线的方程为，即，同理可得切线的方程为，联立可得，解得，代入有，代入韦达定理可得.
故当时有，当时，因为，故，也满足.故恒成立.又,故.
所以，，故，故，故，即，即得证.
7．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）已知抛物线上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过抛物线上一点P作圆的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线交于异于点P的M，N两点．证明：直线MN与圆相切．
【答案】(1)
(2)证明见解析

(1)
因为点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，
所以点到坐标原点的距离等于该点到焦点的距离，
所以，解得，
所以抛物线的标准方程为．
(2)
因为圆，所以圆心坐标为，半径，
设，，，，所以直线PM的方程为，
即，
因为直线PM与圆相切，所以，整理得，
同理可得，所以，是关于y的方程的两根，
所以，，
又因为直线MN的方程为，
所以圆的圆心到直线MN的距离，
所以直线MN与圆相切．
8．（2022·河南·商丘市第一高级中学高二期末（文））已知抛物线上的点到焦点的距离等于圆的半径．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线与，直线交于，两点，直线交于，两点，求四边形面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
（1）由题设知，抛物线的准线方程为，由点到焦点的距离等于圆的半径，而可化为，即该圆的半径为，所以，解得，所以抛物线的标准方程为；
（2）由题意可知，直线与直线的斜率都存在，且焦点坐标为，因为，不妨设直线的方程为，直线的方程为，联立，得，恒成立．设，，则，，所以，同理，得，所以四边形的面积，（当且仅当时等号成立）所以四边形的面积的最小值是．
9．（2022·四川省隆昌市第一中学高三开学考试）已知离心率为的椭圆过点，抛物线．

(1)若抛物线的焦点恰为椭圆的右顶点，求抛物线方程；
(2)若椭圆与抛物线在第一象限的交点为，过但不经过原点的直线交椭圆于，交抛物线于，且，求的最大值，并求出此时直线的斜率．
【答案】(1)
(2)的最大值为，此时直线的斜率为
（1）
解：由设，，所以将点代入椭圆得：
椭圆，所以的右顶点为，依题意，所以抛物线方程为；
（2）
解：设直线的方程为，，，，
联立，消去整理得，显然
则，所以，；
联立，消去整理得，，且

由抛物线方程得，所以点坐标为，
将点代入椭圆方程有：整理得：，令，则，
当且仅当即，即直线的斜率时取等号，
所以，，，即的最大值为，此时直线的斜率为．
10．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知F是抛物线的焦点，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，与圆O交于C，D两点（点A，C在第一象限），．

(1)求抛物线的方程；
(2)若，求凹四边形面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
（1）
易知，则，故，抛物线方程是．
（2）
设直线，直线与抛物线联立，得，
又点A在第一象限，故
设圆，圆O与抛物线联立，得，
又点C在第一象限，故
由于，
则，
故，
记凹四边形的面积为S，则





①若，．
②若，．
综上所述，凹四边形面积的最小值是，当时取到．