通用版2023届高考数学二轮复习空间位置关系的判断与证明作业含答案

空间位置关系的判断与证明

一、单选题

1.  已知三条不重合的直线，，，三个不重合的平面，，，则正确的是(    )

A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，，则

2.  如图是长方体的展开图，且，为正方形，其中、分别为、的中点，下列判断，，，中，正确的个数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

3.  如图，在直三棱柱中，点，分别是棱，的中点，则下列结论中不正确的是(    )

A. 平面
B. 平面
C. 平面
D. 平面

4.  如图，在三棱锥中，不能证明的条件是(    )
 

A.  B.
C.  D.

5.  如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行于平面的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  如图，平面平面直线，点，，点，，且、、、，点、分别是线段、的中点．则下列说法中不正确的是    ．(    )

A. 当直线与相交时，交点一定在直线上
B. 当直线与异面时，可能与平行
C. 当，，，四点共面且时，
D. 当、两点重合时，直线与不可能相交

7.  如图，在直四棱柱中，，，，，点，，分别在棱，，上，若，，，四点共面，则下列结论错误的是(    )

A. 任意点，都有
B. 任意点，四边形不可能为平行四边形
C. 存在点，使得为等腰直角三角形
D. 存在点，使得平面
 

8.  在正方体中，点、分别为、的中点，过点作平面使平面，平面若直线平面，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题

9.  如图，在多面体中，四边形，，均是边长为的正方形，点在棱上，则(    )
 

A. 该几何体的体积为
B. 点在平面内的射影为的垂心
C. 的最小值为
D. 存在点，使得

10.  在直四棱柱中，，，(    )

A. 在棱上存在点，使得平面
B. 在棱上存在点，使得平面
C. 若在棱上移动，则
D. 在棱上存在点，使得平面

11.  如图，正方体的棱长为，分别是所在棱上的动点，且满足，则以下四个结论正确的是(    )

A. 四点一定共面
B. 若四边形为矩形，则
C. 若四边形为菱形，则一定为所在棱的中点
D. 若四边形为菱形，则四边形周长的取值范围为

三、解答题

12.  本小题分
如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点求证：
 

平面

平面平面．

13.  本小题分
已知正方体中，、分别为对角线、上的点，且．

Ⅰ求证：平面；
Ⅱ若是上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明．

14.  本小题分
如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，在上，且．是的中点．

求证：、、四点共面

求证：平面平面．

15.  本小题分

如图在四棱锥中，，，分别是，的中点，．

求证：平面

若点在棱上且满足，平面，求的值．

16.  本小题分

如图，四棱锥中，四边形是正方形，若点，分别是线段，的中点．

求证：平面；

在线段上是否存在一点，使得平面平面？并说明理由．

17.  本小题分

如图，在四棱台中，底面是平行四边形，平面，，，．

证明：；

证明：平面．

18.  本小题分

如图，平行四边形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点，为线段的中点，，，．

证明：平面；

证明：平面平面．

19.  本小题分

如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．

求证：；

求证：平面；

若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．

20.  本小题分

如图，已知四棱锥中，平面平面，底面为矩形，且，，，为棱的中点，点在棱上，且．

证明：；

在棱上是否存在一点使平面？若存在，请指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由．

21.  本小题分

如图，四边形是正方形，平面，，，点为的中点．
证明：平面平面
试问在线段不含端点上是否存在一点，使得平面．
若存在，请指出点的位置若不存在，请说明理由．

 

22.  本小题分

如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，分别为，的中点．

证明：平面；

若，证明：．

23.  本小题分

如图，四边形是边长为的正方形，平面，平面，证明：

平面；

平面．

24.  本小题分
已知在直四棱柱中，底面为直角梯形，且满足，，，，，分别是线段，的中点．
求证：平面平面；
棱上是否存在点，使平面，若存在，确定点的位置．若不存在，请说明理由．

25.  本小题分
如图，在直三棱柱中，，，为的中点，，，．
 

证明：平面

证明：B.

26.  本小题分

如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，，且，分别是，的中点．
求证：平面
在线段上是否存在点，使得平面若存在，求出的值若不存在，请说明理由．
 

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12.证明：因为平面平面，且四边形为正方形，所以，，两两垂直．

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，．

方法一：，，

设平面的法向量为，

则即

令，则为平面的一个法向量，

，，

平面，平面．

方法二：，，

设，

即，

解得．

，

又与不共线，

，与共面．

平面，

平面．

由知，，，

，．

又平面，平面，

平面，

同理可证，从而得出平面

又，平面，平面

平面平面．

13.解：Ⅰ证明：连结并延长与的延长线交于点，
因为四边形为正方形，所以，
故∽，所以，
又因为，所以，所以．
又平面，平面，故平面．
Ⅱ当的值为时，能使平面平面．
证明：因为，即有，故，所以．
又平面，平面，
所以平面，又，平面．
所以平面平面． 

14.证明：如图：
 

在上取一点使得，
连接，，则，，
又因为，
所以四边形是平行四边形，
所以，
同理四边形是平行四边形，所以，且，
又，且，所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
所以，
所以，，，四点共面；
因为是的中点，所以，
因为，所以，
因为，且，
所以∽，
所以，
所以，
因为，，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为，平面，平面，
，平面，平面，
所以平面平面F.

15.解：证明：取的中点为，连接，，
，、分别为、的中点
，面，面，
面，
又为的中点，
，面，面面，
，面，面，
面面，又面，面．
 

如图所示：
 

连接交于点，连接．

平面，平面平面，平面，
，．

在直角梯形中，，，

所以，所以，

．

16.证明：连接，如图所示，

四边形是正方形，点是的中点，

是的中点，

又是的中点，
，

平面，平面，

平面．

解：存在，且点为的中点，理由如下．

如图，取的中点，连接，，

点，分别为，的中点，
，

又平面，平面，
平面，

又平面，，，平面，
平面平面．

17.证明：，，
在中，由余弦定理得 ，
，，
平面，且平面，
，又，，平面，
平面．
又平面，．
连结、，设，连结，
四边形是平行四边形，，
由棱台的定义，及知，
，且，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面D. 

18.解：连结交于．

四边形为平行四边形，
为中点．连结，
为 中点，  ．
又平面，平面，
 平面．
，由余弦定理得，
  ．
平行四边形为矩形，
又平面平面，交线为．平面，
平面，平面，
故．
为上异于的点，且为直径，．
又，，平面．
 平面．
而平面，
平面平面． 

19.解：证明：在四棱锥中，平面，平面，
平面平面，
；
取的中点，连接，，
是的中点，
，，
又由可得，，
，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面；

取中点，连接，，
，分别为，的中点，
，
平面，平面，
平面，
又由可得平面，，
、平面，
平面平面，
是上的动点，平面，
平面，
线段存在点，使得平面． 

20.证明：

连接，，，四棱锥中，，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，所以，
在矩形中，，，，，
因为，
，
，
所以，所以，
又，，，平面，所以平面，
又平面，所以，
存在，为线段上靠近点的三等分点．
取的三等分点靠近点，连接，
易知，，所以四边形是平行四边形，所以，
取中点，连接，所以，所以，
又平面，平面，则平面，
因为为中点，所以为的三等分点靠近点，
连接，，所以，
又平面，平面，则平面，
又，平面，平面，
所以平面平面，
又平面，所以平面．
 

21.解：证明：平面，平面，，
又四边形是正方形，，
又，
平面，平面，平面，
平面，，
又为的中点，，，

，平面，平面，
平面平面
解：假设存在点使平面，作的中点，连接与交于
点，连接，分别交于点，，
面，面面，，
四边形是矩形，，
又∽，，

点是靠近端的三等分点． 

22.解：证明：取中点，连接，，

为的中点．，且，

四边形是平行四边形，故，

平面；平面，

平面，

是中点，是的点，

，平面；平面，

平面，又，，在平面内，

平面平面，

又平面，平面；

侧面为正方形，，平面平面，
平面平面，

在平面内，
平面，平面，，又，，

又，且，，平面，
平面，

又平面，，又，

．

23.证明：因为平面，平面，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为四边形为正方形，所以，
又平面，平面，所以平面，
又、平面，，所以平面平面，
又平面，所以平面．
设，，
由知，由题意知，
所以四边形为平行四边形，
因为平面，平面，所以，
所以平行四边形为矩形，且，
因为点为线段的中点，所以，所以，

所以∽，所以，
因为，所以，
所以，即，
因为为正方形，所以，
又平面，平面，所以，
又、平面，，所以平面，
又平面，所以，
又，、平面，所以平面． 

24.证明：在直角梯形中，过点作于．

由，，，．
得为等腰直角三角形，所以为正方形．
所以，，所以．
所以．
从而得到．
在直四棱柱中，面，面，
所以又因为，，面，
所以 面F.因为面，
所以平面平面F.
存在点，且使得平面．
则在上取点，使，连接，，，如图所示：

此时，，
所以，所以．
在平面中，，所以，
此时由，平面，平面，得平面，
由，平面，平面，得平面，
又，，平面，所以平面平面，又平面，
故存在点，且使得平面． 

25.证明：连接交于点，连接，

因为四边形为矩形，所以为的中点．
在中，为的中点，所以C.
又因为平面，平面，
所以平面．
解法一：因为平面，平面，所以．
又因为，平面，平面，，
所以平面．
又因为平面，所以B.
因为，所以矩形为正方形，所以B.
又因为平面，平面，．
所以平面C.
又因为平面，所以．
因为，所以．
因为，为的中点，所以，．
所以．
所以B.
解法二：因为平面，平面，所以．
因为，，所以．
又因为为的中点，所以．
因为，所以．
因为，为的中点，所以，．
所以．
所以B. 

26.解：取中点，连，连接．
在中，因为，分别是，中点，
所以，且在平行四边形中，因为是的中点，
所以，且所以，且．
所以四边形是平行四边形所以．
又因为平面，平面，所以平面．
在线段上存在点，使得平面．
取的中点，连，连．
因为平面，平面，平面，
所以，
在中，因为，分别是，中点，所以．
又由Ⅱ知，所以，．
由，，平面，得平面．
故当点是线段的中点时，平面此时，．