2022-2023学年福建省福州第一中学高二下学期第三学段模块考试（期中）数学试题含解析

2022-2023学年福建省福州第一中学高二下学期第三学段模块考试（期中）数学试题

一、单选题

1．已知函数，则（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】D

【分析】先对函数求导，再通过计算得答案.

【详解】，

，

.

故选：D.

2．已知等比数列中，，，则（    ）

A．16 B．4 C．2 D．1

【答案】B

【分析】先通过求出等比数列的公比，然后利用等比数列的定义可得答案.

【详解】设等比数列的公比为，

则，

.

故选：B.

3．如图是函数的导函数 的部分图像，则下面判断正确的是（    ）

A．当时，函数取到极小值

B．当时，函数取到极大值

C．在区间内，函数有3个极值点

D．函数的单调递减区间为和（1，5）

【答案】C

【分析】根据导函数的零点以及符号，逐项分析.

【详解】不妨设导函数在 区间的零点为 ， ，在 区间的零点为 ，

对于A，当 时， 单调递增，当 时， 单调递减， 在 处取得极大值，错误；

对于B，当 时， 单调递增，不存在极值点，错误；

对于C，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，在 处取得极小值，

由A：在 处取得极大值，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，在 处取得极小值，

共有3个极值点，正确；

对于D，由以上分析可知：错误.

故选：C.

4．某校计划选拔4名学生参加科技创新大赛.现从3名女生、5名男生中进行选择，要求队伍中至少包含男、女生各1名，则不同选法的总数为（    ）

A．65 B．60 C．35 D．30

【答案】A

【分析】先得到没有任何限制下的选法总数，再得到4名学生全为男生的选法总数，然后两种情况相减即可得答案.

【详解】从3名女生、5名男生中选择4名学生有种选法，

从3名女生、5名男生中选择的4名学生全为男生有种选法，

所以要求队伍中至少包含男、女生各1名，则不同选法的总数有.

故选：A.

5．十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式，（其中，，，），现用上述公式求的值，下列选项中与该值最接近的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题中的泰勒公式，进行求导数，可得，令，结合诱导公式，进行近似计算，可得答案.

【详解】因为,

则,

当时，则有,

又 ,

则

,

故选∶C．

6．设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线l分别与双曲线左、右两支交于M，N两点，且，，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】A

【分析】根据双曲线的定义以及给定的条件，分析几何关系即可.

【详解】由题意作下图：

设双曲线C的半焦距为c，M，N的中点为G，则 是等腰直角三角形， ，

设 ，根据双曲线的定义有：  ，并且 ，

由①得： ， ，

由②得： ，

在 中， ，  ，解得 ，

双曲线C的离心率 ；

故选：A.

7．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.05换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.05的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.

【详解】，

所以；

下面比较与的大小关系.

记，则，，

由于

所以当0<x<2时，，即，，

所以在上单调递增，

所以，即，即；

令，则，，

由于，在x>0时，，

所以，即函数在[0,+∞)上单调递减，

所以，即，即b<c；

综上，，

故选：B.

【点睛】关键点睛：本题关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.

8．已知函数，若，且，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用导数讨论函数的单调性，设、且，结合图象得，再利用导数研究函数的性质得，结合变形、基本不等式，即可判断各项正误.

【详解】，则，令，

当时，单调递减，当时，单调递增，

在上，且，，，即.

综上，的图象如下：结合，，令，

如上图，若且，则，则不一定成立，A错误；

又，故，则不一定成立，B错误；

令，

则，

当时，，得，则；

当时，，得，则，

所以函数在R上单调递增，且，

所以在R上恒成立，得，

即，又，所以，

由，且函数在单调递减，得，即，D正确.

又，则，即，故，C错误.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：先由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；进而巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，求出函数的最值；最后回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

二、多选题

9．某校文艺汇演共6个节目，其中歌唱类节目3个，舞蹈类节目2个，语言类节目1个，则下列说法正确的是（    ）

A．若以歌唱类节目开场，则有360种不同的出场顺序

B．若舞蹈类节目相邻，则有120种出场顺序

C．若舞蹈类节目不相邻，则有240种不同的出场顺序

D．从中挑选2个不同类型的节目参加市艺术节，则有11种不同的选法

【答案】AD

【分析】根据全排列、捆绑法、插空法，结合分步与分类计数原理依次分析选项，即可判断.

【详解】A：从3个歌唱节目选1个作为开场，有种方法，后面的5个节目全排列，

所以符合题意的方法共有种，故A正确；

B：将2个舞蹈节目捆绑在一起，有种方法，再与其余4个节目全排列，

所以符合题意的方法共有，故B错误；

C：除了2个舞蹈节目以外的4个节目全排列，有种，再由4个节目组成的5个空插入2个舞蹈节目，

所以符合题意的方法有种，故C错误；

D：符合题意的情况可能是1个歌唱1个舞蹈、1个歌唱1个语言、1个舞蹈1个语言，

所以不同的选法共种，故D正确.

故选：AD.

10．记为数列的前n项和，若，且，，成等比数列，则（    ）

A．为等差数列 B．

C．，，成等比数列 D．有最大值，无最小值

【答案】AC

【分析】先根据递推公式求出数列 的通项公式，再根据条件求出 ，然后逐项分析.

【详解】由题意 ，

得： ，

， 是首项为 ，公差为1的等差数列，

，

由于 成等比数列， ， ，解得 ；

对于A，正确；

对于B，错误；

对于C， ，正确；

对于D， ，是关于n的二次函数，所以在 或13处取得最小值，无最大值，错误；

故选：AC.

11．已知直线是曲线的切线，则（    ）

A． B．的最小值为

C．的最大值为 D．时，直线有条

【答案】AB

【分析】先设切点坐标为，再求过切点的切线方程，从而得出与的关系式，再用导数法讨论函数的单调性和最值，即可判断.

【详解】设切点为坐标，

由得，所以，

所以曲线在处的切线方程为

整理得：.

因为直线是曲线的切线，

所以.

对于选项A，由得，

所以，

故选项A正确.

对于选项B，因为，

令

.

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所在处取得最小值.

所以在处取得最小值.

故选项B正确.

对于选项C，因为，

令，

则，

因为，所以，

所以在上单调递减，

所以在上没有最大值.

所以没有最大值.

故选项C错误.

对于选项D，由得，

令

则

当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所在处取得最小值.

因为，所以方程无实数根.

即无实数解.

所以时，直线l不存在

故选项D错误.

故选：AB.

12．已知函数，下面选项正确的有（    ）

A．的最小值为

B．时，

C．

D．若不等式有且只有2个正整数解，则

【答案】BD

【分析】利用导数讨论函数的单调性，结合图形求出函数的最值，即可判断AB；利用导数讨论函数的性质，结合裂项相消法即可证明不等式，从而判断C；根据不等式有解，结合图形列出不等式，解之即可判断D.

【详解】A：，

令且，令，

所以函数在和上单调递减，在上单调递增，如图，

所以函数没有最小值，故A错误；

B：当时，，

设，则，

所以函数在上单调递增，且，

所以，即，故B正确；

C：设，则，

又，所以当时，，即.

令，则，得，

有，即，

所以

，故C错误；

D：作出函数图象和直线，如图，

由不等式有两个正整数解知，，

即，故D正确.

故选：BD.

【点睛】函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式构造新函数，利用导数研究新函数的性质，用关于正整数的不等式替代函数不等式中的自变量，通过多次求和达到证明的目的.

三、填空题

13．已知是抛物线的焦点，为坐标原点，点A是抛物线上的点，且，则的面积为_____________.

【答案】

【分析】设，由抛物线的方程求得，再由抛物线定义列方程求得，从而求得，利用三角形面积公式求解即可．

【详解】设，由抛物线方程得：，所以，

由抛物线的定义得：，解得：，

又解得：，

所以的面积为：.

故答案为：.

14．已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，若在该圆锥内部有一个与该圆锥共轴的圆柱，则这个圆柱的体积最大为__________.

【答案】/

【分析】如图，设圆柱的底面半径为r，高为h，由题意可得，则圆柱的体积为，利用导数求出体积的最大值即可求解.

【详解】由题意知，圆锥的底面半径为3，母线为5，则圆锥的高为，

设圆柱的底面半径为r，高为h，如图，

则，得，

所以该圆柱的体积为，

令，则，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以，即圆柱的体积的最大值为.

故答案为：.

15．写出一个同时具有下列性质①②③的函数__________.

①；

②当时，；

③是奇函数.

【答案】

【分析】根据幂函数的性质可得所求的.

【详解】取，则，满足①，

，当时有，满足②，

的定义域为，关于原点对称，

又，故是奇函数，满足③.

故答案为：（答案不唯一，均满足）

16．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如：，，.若，使得成立，则实数的最大值为__________.

【答案】12

【分析】根据欧拉函数的定义可得，则存在，使得成立，结合数列的单调性即可求解.

【详解】由欧拉函数的定义知，

中不超过的数共有个，3的倍数有个，

所以，

存在，使得即成立，

转化为存在，使得成立，

设，

当时，，

当时，则，（显然）

所以当时，，即，

当时，，即数列为单调递减数列.

有，数列中最大的项为，即，

此时，则，即的最大值为12.

故答案为：12.

四、解答题

17．已知函数.

(1)求曲线在点（2，2）的切线方程；

(2)当时，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）先求导，然后利用导函数求出斜率，再通过点斜式可得切线方程；

（2）令，利用导数求出其在上的最值，进而可证明结论.

【详解】（1）由已知得，

曲线在点（2，2）的切线方程为，

即；

（2）令，

，，

，

令得或，令得，

故在上单调递减，在上单调递增，

，

又，，

，

，

即.

18．已知等差数列的前项和为，，．正项等比数列中，，．

(1)求与的通项公式；

(2)求数列的前项和．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式即可求的通项公式.

（2）利用错位相减法整理化简即可求得前项和．

【详解】（1）等差数列的前项和为，，，设公差为

所以，解得

所以

正项等比数列中，，，设公比为

所以，所以

解得，或（舍去）

所以

（2）由（1）知：

所以

两式相减得：

19．现有一块不规则的场地，其平面图形如图1所示，（百米），建立如图2所示的平面直角坐标系，将曲线AB看成函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分，在此场地上建立一座图书馆，平面图为直角梯形CDEF（如图2）.

(1)求折线ABC的函数关系式；

(2)求图书馆CDEF占地面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据图形，求出曲线AB方程和函数BC的解析式，即可求解；

（2）设，则，根据图形和梯形的面积公式可得，利用导数求出函数的最大值即可.

【详解】（1）由图可知，直线AB过点，所以，解得，

所以曲线AB方程为()；

设函数BC的解析式为，由直线过点，，

得，解得，

所以BC的解析式为，

所以折线ABC的函数解析式为；

（2）设，则，所以，

又，所以，得，

则，又，

所以，

设()，则，

令，当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以，

即梯形CDEF的面积的最大值为.

20．已知函数，为的导函数且.

(1)求实数a的值，并判断是否为函数的极值点；

(2)确定函数在区间内的极值点个数，并说明理由.

【答案】(1)，不是；

(2)2，理由见解析.

【分析】（1）根据题意和求导的运算法则计算即可求出a，结合极值点的定义即可求解；

（2）由（1）得，根据三角函数的性质可知当时函数单调递增，无极值点；当时函数单调递减，结合零点的存在性定理和函数的奇偶性，即可求解.

【详解】（1），则，

由，得，

所以，，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递增，

所以不是函数的极值点.

（2）由（1）知，，

当时，，函数单调递增，无极值点；

设，则，

当时，，函数单调递减，

又，

所以存在唯一的实数，使得，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

所以函数在上只有一个极值点，且该极值点为m.

又，所以函数为奇函数，

则在上也有一个极值点，且该极值点为.

综上，函数在上有2个极值点.

21．已知双曲线上任意一点P（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，的最小值为.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设O为坐标原点，直线l为双曲线C的切线，过F作的垂线，垂足为A，求证：A在定圆上.

【答案】(1)

(2)证明见解析.

【分析】（1）设，根据两点表示斜率公式可得，结合计算即可求解；

（2）易知当直线的斜率不存在时点A在定圆上；当直线的斜率存在时设，联立双曲线方程，根据根的判别式可得，利用两直线求交点坐标可得，计算化简即可求解.

【详解】（1）由题意知，双曲线的顶点为，

设点，则①，又P与双曲线两顶点连线的斜率之积为，

所以，即②，

由①②得，，因为，所以③，

又的最小值为，所以④，

由③④和得，所以双曲线的方程为；

（2）当直线的斜率不存在时，，则点A为双曲线的顶点，

此时点A在圆上，符合题意；

当直线的斜率存在时，设，

若，不符合题意，故.

，

，整理得.

由（1）知，因为，所以，

，解得，即，

所以

，

所以点A在圆上.

综上，点A在定圆上.

22．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若，求a的取值范围.

【答案】(1)当时，的增区间为；

当时，的增区间为，；

减区间为.

(2)

【分析】（1）求出，的符号由二次函数的函数值的符号决定，分二次函数有零点和无零点讨论，有零点再分零点是否大于零讨论，得到的单调区间；

（2）将恒成立转化为，构造函数，利用导数研究单调性，求出最小值即可求解.

【详解】（1）由得.

令，则

当时，又，所以，即，所以在上单调递增；

当时，有，，所以，

所以在上单调递增；

当时，，令即，

又，得或，

令即，得，

所以的增区间为，；

减区间为；

综上：当时，的增区间为；

当时，的增区间为，；

减区间为.

（2）由题意，，

即，所以在上恒成立，

故，

令，

则，

令，则，

所以在单调递增，且，

所以存在，则，

故当时，，即，函数单调递减，

当时，，即，单调递增，

所以，

设，则，于是，

设，则在内单调递减，且，

又，故，于是，所以，

所以，即a的取值范围是.

【点睛】关键点点睛：本题考查导函数中的最值问题，涉及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是多次构造函数，进而可求得结果.