中考数学一轮突破 基础过关 第24讲与圆有关的位置关系

第24讲　与圆有关的位置关系

一、点与圆的位置关系

点与圆的位置关系有________、________和________．

设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离OP＝d.

点P在⊙O外⇔d________r.

点P在⊙O上⇔d________r.

点P在⊙O内⇔d________r.

二、直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有________、________和________．

设⊙O的半径为r，圆心O到直线AB的距离为d.

AB与⊙O相离⇔d______r．(公共点为______个)

AB与⊙O相切⇔d______r．(公共点为______个)

AB与⊙O相交⇔d______r．(公共点为______个)

三、圆的切线

1. 定义：直线与圆有________公共点(即直线与圆________)时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做________．

2. 性质：圆的切线垂直于过切点的________．

3. 判定：经过直径的________并且________于这条直径的直线是圆的切线．

4. 切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和________之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．从圆外一点可以引圆的________条切线，它们的切线长________，这一点和圆心的连线________两切线的夹角．

5. 内切圆：和三角形三边都________的圆叫做这个三角形的内切圆．内切圆的圆心是三角形三条________的交点，叫做三角形的________心．

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点与圆、直线与圆的位置关系

(梧州，第6小题，3分)已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直线和圆的位置关系为(　　)

A．相离  B．相切

C．相交  D．无法确定

【思路点拨】∵圆心到直线的距离d＝3，圆的半径r＝5, d< r，∴圆和直线相交，故选C.

(百色，第11小题，3分)以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是(　　)

A．0≤b＜2  B．－2≤b≤2

C．－2<b<2  D．－2＜b＜2

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圆的切线的性质和判定

(北部湾经济区，第25小题，10分)

如图，在△ACE中，以AC为直径的⊙O交CE于点D，连接AD，且∠DAE＝∠ACE，连接OD并延长交AE的延长线于点P，PB与⊙O相切于点B.

(1)求证：AP是⊙O的切线：

(2)连接AB交OP于点F，

求证：△FAD∽△DAE；

(3)若tan∠OAF＝，求的值．

【思路点拨】(1)要证AO是⊙O的切线，只要证得∠CAE＝90°即可，因为直径所对的圆周角是直角，可考虑用等角代换证明；(2)要证△FAD∽△DAE，因为∠ADE＝90°，故只要证得∠AFD＝90°即可得到一组角相等，再证得一组角相等即可；(3)因为tan∠OAF＝＝，故设OF＝x，则AF＝2x，然后利用勾股定理、相似三角形的性质和锐角三角形函数等将AE和AP用含x的代数式表示出来即可求解．

(贺州，第25小题，10分)

如图，AB是⊙O的直径，D是AB的延长线上一点，点C在⊙O上，BC＝BD，AE⊥CD交DC的延长线于点E，AC平分∠BAE .

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若CD＝6，求⊙O的直径 .

1. (桂林)如图，AB是⊙O的弦，AC与⊙O相切于点A，连接OA，OB，若∠O＝130°，则∠BAC的度数是(　　)

A．60°　　  B．65°  C．70°   D. 75°

第1题图第2题图

2. 如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠ACP＝(　　)

A．30°  B．45°  C．60°  D．67.5°

3. 如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为( C )

A．3  B．4  C．5  D．6

第3题图　　　　第4题图

4. (枣庄)如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C.连接BC，若∠P＝36°，则∠B＝________．

5. ⊙O的半径为3 cm，当圆心O到直线AB的距离为________cm时，直线AB与⊙O相切．

6. 在同一平面上，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6 cm，最短为2 cm，则⊙O的半径为______cm.

7. 如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为________．

,第7题图)　　　　　,第8题图)

8. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P＝46°，则∠BAC＝________ °.

9. 在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片的边长应为________．

10. 如图，PA与⊙O相切于点A，PC经过⊙O的圆心且与该圆相交于两点B，C，若PA＝4，PB＝2，则sin P＝________.

,第10题图) 　　　　 ,第11题图)

11. (眉山)如图，点P为⊙O外一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，点A、B为切点，连接AO并延长交PB的延长线于点C，过点C作CD⊥PO，交PO的延长线于点D.已知PA＝6，AC＝8，则CD的长为________．

12. (白银)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E.

(1)求证：AC是⊙D的切线；

(2)若CE＝2，求⊙D的半径．

13. (南充)如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD，∠BCD＝∠A.

(1)求证：BC是⊙O的切线；

(2)若BC＝5，BD＝3，求点O到CD的距离.

14. (柳州) 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，连接AC、BC，OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，连接CD、AD，AD与BC交于点F，CG与BA的延长线交于点G .

(1)求证：△ACD∽△CFD；

(2)若∠CDA＝∠GCA，求证：CG为⊙O的切线；

(3)若sin∠CAD ＝ ，求tan∠CDA的值．

第24讲　与圆有关的位置关系

【基础梳理】

一、在圆内　在圆上　在圆外　＞　＝　＜

二、相交　相切　相离　＞　0　＝　1　＜　2

三、1.唯一　相切　切点　2.半径　3.外端　垂直　4.切点　两　相等　平分　5.相切　角平分线　内

【重点突破】

[例1]C　[变式1]D

[例2](1)证明：∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC＝90°.

∴∠ACE＋∠DAC＝90°.

又∵∠DAE＝∠ACE，∠DAE＋∠DAC＝90°，

∴∠CAE＝90°.

又∵OA是⊙O的半径，∴AP为⊙O的切线．

(2)连接OB，∵PA，PB为圆的切线，

∴PA＝PB.

又∵OB＝OA，OP＝OP，

∴△OBP≌△OAP(SSS)．

∴∠BOD＝∠DOA.

∴＝.

∴∠FAD＝∠ACE.

∴OF⊥AB.

又∵∠ACE＝∠DAE，

∴∠FAD＝∠DAE，∠AFD＝∠ADE＝90°.

∴△FAD∽△DAE.

(3)在Rt△OFA中，tan∠OAF＝.

设OF＝x，AF＝2x，OA＝x, 故AP＝2OA＝2x，

∴DF＝OD－OF＝OA－OF＝(－1)x.

且△FAD∽△DAE.

∴∠FAD＝∠DAE＝∠ACE.

∴tan∠ACE＝tan∠FAD.

即＝＝.

∴AE＝·x＝x.

∴＝＝.

[变式2](1)证明：如图，连接OC，则OC＝OA.

∴∠OAC＝∠OCA.

∵AC平分∠BAE，

∴∠EAC＝∠BAC.

∴∠EAC＝∠OCA.∴AE∥OC.

∴∠AEC＝∠OCD.

∵AE⊥CD，∴∠AEC＝90°.

∴∠OCD＝90°，且点C在⊙O上．

∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．

(2)解：∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝∠D＋∠BCD.

∵BC＝BD，∴∠D＝∠BCD.∴∠OCB＝2∠BCD.

∵∠OCD＝90°，∴∠OCB＋∠BCD＝90°，

∴2∠BCD＋∠BCD＝90°，即∠D＝∠BCD＝30°.

∵在Rt△OCD中，tan∠D＝，

∴OC＝OD·tan30°＝6×＝2.

∴AB＝2OC＝4.

即⊙O的直径是4.

【达标检测】

1．B　2.D　3.C　4.27°　5.3　6.2　7.AB⊥BC　8.23　

9．5　10.　11.2

12．(1)证明：连接DA.

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°.

又∵DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝30°.

∴∠DAC＝120°－30°＝90°.∴AC⊥A  D.

∴AC是⊙D的切线．

(2)解：设半径为r，则DA＝DE＝r.

在RtADC中，∵∠C＝30°，∴CD＝2AD.

即CE＋r＝2r.∴r＝CE＝2.

13．(1)证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°.

∴∠A＋∠ACD＝90°.

∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD＋∠ACD＝∠ACB＝90°.

∴OC⊥BC.∴BC是⊙O的切线．

(2)解：过点O作OE⊥CD于点E.

在Rt△BCD中，∵BC＝5，BD＝3，∴CD＝4.

∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠BCD＝∠A，

∴Rt△BDC∽Rt△CDA.∴＝＝.∴AD＝.

∵OE⊥CD，∴E为CD的中点．

又∵点O是AC的中点，∴OE＝AD＝.

14．(1)证明：∵OD⊥BC，∴＝.∴∠DCB＝∠CAD.

又∵∠CDF＝∠ADC，∴△ACD∽△CFD.

(2)证明：如图，连接OC.

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

∴∠ABC＋∠CAB＝90°.

∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.

又∵∠CDA＝∠OBC，∠CDA＝∠GCA.

∴∠OCB＝∠GCA.

∴∠OCG＝∠GCA＋∠OCA＝∠OCB＋∠OCA＝90°.

又∵CO是⊙O的半径，∴CG是⊙O的切线．

(3)解：如图，连接BD.

∵∠CAD＝∠CBD，OD⊥BC，

∴sin∠CAD＝sin∠CBD＝＝.

设DE＝x，OD＝OB＝r，OE＝r－x，则BD＝3x，

∴在Rt△BDE中，

BE＝＝＝2x.

∴BC＝2BE＝4x.

在Rt△OBE中，∵OE2＋BE2＝OB2，

即(r－x)2＋(2x)2＝r2，

∴r＝x，∴AB＝2r＝9x.

在Rt△ABC中，∵AC2＋BC2＝AB2，

∴AC2＋(4x)2＝(9x)2.

∴AC＝7x或AC＝－7x(舍去)，

∴tan∠CDA＝tan∠CBA＝＝＝.