2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第四章　§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

这是一份2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第四章　§4.3　两角和与差的正弦、余弦和正切公式，共14页。试卷主要包含了会推导两角差的余弦公式等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β；
(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β).
2．辅助角公式
asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)).
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β.
(2)cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)＝eq \f(tan α－tan β,tanα－β)－1.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β.( √ )
(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角．( × )
(3)公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )
(4)公式asin x＋bcs x＝eq \r(a2＋b2)sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( × )
教材改编题
1．sin 20°cs 10°－cs 160°sin 10°等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 原式＝sin 20°cs 10°＋cs 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝eq \f(1,2).
2．若将sin x－eq \r(3)cs x写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝ .
答案 eq \f(π,3)
解析 因为sin x－eq \r(3)cs x＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin x－\f(\r(3),2)cs x))，
所以cs φ＝eq \f(1,2)，sin φ＝eq \f(\r(3),2)，
因为0≤φ<π，
所以φ＝eq \f(π,3).
3．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sin α＝eq \f(4,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值为 ．
答案 －eq \f(1,7)
解析 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sin α＝eq \f(4,5)，
所以cs α＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝－eq \f(3,5)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq \f(4,3).
所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tan α＋tan \f(π,4),1－tan αtan \f(π,4))＝eq \f(－\f(4,3)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))×1)＝－eq \f(1,7).
题型一 两角和与差的三角函数公式
例1 (1)计算：eq \f(cs 55°＋sin 25°cs 60°,cs 25°)等于( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 eq \f(cs 55°＋sin 25°cs 60°,cs 25°)
＝eq \f(cs30°＋25°＋\f(1,2)sin 25°,cs 25°)
＝eq \f(\f(\r(3),2)cs 25°－\f(1,2)sin 25°＋\f(1,2)sin 25°,cs 25°)＝eq \f(\r(3),2).
(2)(2023·青岛模拟)已知tan α＝1＋m，tan β＝m，且α＋β＝eq \f(π,4)，则实数m的值为( )
A．－1 B．1 C．0或－3 D．0或1
答案 C
解析 因为α＋β＝eq \f(π,4)，
所以tan(α＋β)＝tan eq \f(π,4)⇒eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝1⇒eq \f(1＋m＋m,1－mm＋1)＝1⇒m2＋3m＝0，
解得m＝0或m＝－3.
思维升华 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
跟踪训练1 (1)(2023·茂名模拟)已知0<αA.eq \f(4\r(14),51) B.eq \f(2\r(14),13) C.eq \f(4\r(17),51) D.eq \f(2\r(17),13)
答案 C
解析 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))＝eq \f(\r(2),6)，
所以eq \f(\r(2),2)(cs α－sin α)＝eq \f(\r(2),6).
所以cs α－sin α＝eq \f(1,3)，
所以1－2sin αcs α＝eq \f(1,9)，
得sin αcs α＝eq \f(4,9)，
因为cs α＋sin α＝eq \r(1＋2sin αcs α)＝eq \f(\r(17),3)，
所以eq \f(sin α,1＋tan α)＝eq \f(sin α,1＋\f(sin α,cs α))＝ eq \f(sin αcs α,cs α＋sin α)
＝eq \f(\f(4,9),\f(\r(17),3))＝eq \f(4\r(17),51).
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)若sin(α＋β)＋cs(α＋β)＝2eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))sin β，则( )
A．tan(α－β)＝1
B．tan(α＋β)＝1
C．tan(α－β)＝－1
D．tan(α＋β)＝－1
答案 C
解析 由题意得sin αcs β＋cs αsin β＋cs αcs β－sin αsin β＝2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)(cs α－sin α)sin β，整理得sin αcs β－cs αsin β＋cs αcs β＋sin αsin β＝0，即sin(α－β)＋cs(α－β)＝0，所以tan(α－β)＝－1，故选C.
题型二 两角和与差的公式逆用与辅助角公式
例2 (1)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，则tan Atan B的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D.eq \f(5,3)
答案 B
解析 在△ABC中，∵C＝120°，∴tan C＝－eq \r(3).
∵A＋B＝π－C，
∴tan(A＋B)＝－tan C＝eq \r(3).
∴tan A＋tan B＝eq \r(3)(1－tan Atan B)，
又∵tan A＋tan B＝eq \f(2\r(3),3)，
∴tan Atan B＝eq \f(1,3).
(2)(2022·浙江)若3sin α－sin β＝eq \r(10)，α＋β＝eq \f(π,2)，则sin α＝ ，cs 2β＝ .
答案 eq \f(3\r(10),10) eq \f(4,5)
解析 因为α＋β＝eq \f(π,2)，所以β＝eq \f(π,2)－α，
所以3sin α－sin β＝3sin α－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝3sin α－cs α＝eq \r(10)sin(α－φ)＝eq \r(10)，其中sin φ＝eq \f(\r(10),10)，cs φ＝eq \f(3\r(10),10).
所以α－φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
所以α＝eq \f(π,2)＋φ＋2kπ，k∈Z，
所以sin α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ＋2kπ))＝cs φ＝eq \f(3\r(10),10)，k∈Z.
因为sin β＝3sin α－eq \r(10)＝－eq \f(\r(10),10)，
所以cs 2β＝1－2sin2β＝1－eq \f(1,5)＝eq \f(4,5).
思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力．
跟踪训练2 (1)(2022·咸阳模拟)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3)，则sin x＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))等于( )
A．1 B．－1 C.eq \f(2\r(3),3) D.eq \r(3)
答案 A
解析 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3)，
所以sin x＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))＝sin x＋eq \f(1,2)sin x－eq \f(\r(3),2)cs x＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＝1.
(2)满足等式(1＋tan α)(1＋tan β)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))(答案不唯一)
解析 由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2，
得1＋tan β＋tan α＋tan αtan β＝2，
所以tan β＋tan α＝1－tan αtan β，
所以eq \f(tan β＋tan α,1－tan αtan β)＝1，
所以tan(α＋β)＝1，
所以α＋β＝kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z，所以α可以为0，β可以为eq \f(π,4)(答案不唯一)．
题型三 角的变换问题
例3 (1)(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(2),2)
答案 B
解析 因为sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)－\f(π,6)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)＋\f(π,6)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝1.
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3).
(2)已知α，β为锐角，sin α＝eq \f(3\r(10),10)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).则sin(2α＋β)的值为 ．
答案 －eq \f(\r(2),10)
解析 因为0<α因为0<α因为cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \r(1－\f(1,5))＝eq \f(2\r(5),5)，
所以sin(2α＋β)＝sin(α＋α＋β) ＝sin αcs(α＋β)＋cs αsin(α＋β)＝eq \f(3\r(10),10)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))＋eq \f(\r(10),10)×eq \f(2\r(5),5)＝－eq \f(\r(2),10).
思维升华 常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))等．
跟踪训练3 (1)(2023·青岛质检)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.
答案 －eq \f(4,5)
解析 由题意知，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，
sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)<0，所以cs(α＋β)＝eq \f(4,5)，
因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25)，β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(7,25)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))
＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(4,5).
(2)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ .
答案 －1 eq \f(1,2)
解析 ∵tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，
∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝eq \f(tanα＋2β－tan β,1＋tanα＋2βtan β)＝eq \f(2－－3,1＋2×－3)＝－1，
tan α＝tan(α＋β－β)＝eq \f(tanα＋β－tan β,1＋tanα＋βtan β)＝eq \f(－1－－3,1＋－1×－3)＝eq \f(1,2).
课时精练
1．(2023·苏州模拟)cs 24°cs 36°－sin 24°cs 54°等于( )
A．cs 12° B．－cs 12° C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 cs 24°cs 36°－sin 24°cs 54°＝cs 24°cs 36°－sin 24°sin 36°＝cs(24°＋36°)
＝cs 60°＝eq \f(1,2).
2．(2023·合肥模拟)已知sin α＋cs α＝eq \f(\r(2),3)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,4)))等于( )
A．±eq \f(1,3) B.eq \f(1,3) C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(2\r(2),3)
答案 C
解析 ∵sin α＋cs α＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),3)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1,3)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,4)))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－π))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(1,3).
3．(2023·重庆模拟)若2cs 80°＝cs 20°＋λsin 20°，则λ等于( )
A．－eq \r(3) B．－1 C．1 D.eq \r(3)
答案 A
解析 由已知可得λ＝eq \f(2cs 80°－cs 20°,sin 20°)＝eq \f(2cs20°＋60°－cs 20°,sin 20°)＝－eq \f(\r(3)sin 20°,sin 20°)＝－eq \r(3).
4．(2023·西安模拟)已知2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝sin α，则sin αcs α等于( )
A．－eq \f(\r(3),4) B.eq \f(\r(3),4) C．－eq \f(2\r(3),7) D.eq \f(2\r(3),7)
答案 D
解析 2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝sin α，即2cs αcs eq \f(π,6)－2sin αsin eq \f(π,6)＝sin α，即eq \r(3)cs α－sin α＝sin α，
则tan α＝eq \f(\r(3),2)，所以sin αcs α＝eq \f(sin αcs α,sin 2α＋cs2α)＝eq \f(tan α,tan2α＋1)＝eq \f(2\r(3),7).
5．(2023·扬州质检)已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，且α为锐角，tan β＝－3，且β为钝角，则α＋β的值为( )
A.eq \f(π,4) B.eq \f(3π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(2π,3)
答案 B
解析 sin α＝eq \f(\r(5),5)，且α为锐角，则cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))2)＝eq \f(2\r(5),5)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(1,2).
所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(\f(1,2)－3,1－\f(1,2)×－3)＝－1.
又β为钝角，则α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，故α＋β＝eq \f(3π,4).
6．(2023·威海模拟)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，若taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－2，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))等于( )
A.eq \f(3\r(10),10) B.eq \f(\r(10),10) C．－eq \f(\r(10),10) D．－eq \f(3\r(10),10)
答案 C
解析 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则α＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，\f(11π,6)))，
又taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－2<0，故α＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，\f(11π,6)))，
则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝eq \f(\r(5),5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＝－eq \f(2\r(5),5)，
故cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,12)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))－\f(π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))cs eq \f(π,4)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))sin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(5),5)＋eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq \f(\r(10),10).
7．(2022·重庆模拟)eq \r(2)cs 15°sin 10°cs 20°＋cs 10°cs 70°－2cs 45°sin 15°sin 10°sin 70°的值为______．
答案 eq \f(1,2)
解析 原式＝eq \r(2)cs 20°sin 10°(cs 15°－sin 15°)＋cs 10°cs 70°
＝eq \r(2)cs 20°sin 10°×eq \r(2)cs(45°＋15°)＋cs 10°cs 70°
＝cs 20°sin 10°＋cs 10°sin 20°＝sin 30°＝eq \f(1,2).
8．(2022·上海模拟)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，且tan α＋tan β＋eq \r(3)tan αtan β＝eq \r(3)，则α＋β＝ .
答案 －eq \f(2π,3)
解析 由tan α＋tan β＋eq \r(3)tan αtan β＝eq \r(3)得
tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \r(3)，
又α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则α＋β∈(－π，0)，
所以α＋β＝－eq \f(2π,3).
9．(2023·合肥模拟)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3cs α＝2\r(2)cs β，,cs αcs β＝\f(3\r(2),5).))
(1)求α＋β的值；
(2)证明：0<α－β解 (1)因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
所以cs α>0，cs β>0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3cs α＝2\r(2)cs β，,cs αcs β＝\f(3\r(2),5)，))
解得cs α＝eq \f(2\r(5),5)，cs β＝eq \f(3\r(10),10)，
所以sin α＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(\r(5),5)，
sin β＝eq \r(1－cs2β)＝eq \f(\r(10),10)，
cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)，
因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝eq \f(π,4).
(2)因为α＋β＝eq \f(π,4)，sin eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)>sin α＝eq \f(\r(5),5)>sin β＝eq \f(\r(10),10)，且函数y＝sin x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，
所以0<β<α所以sin (α－β)＝sin αcs β－cs αsin β＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)－eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),10).
10．在①tan(π＋α)＝3；②sin(π－α)－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs(－α)；③3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题．
已知0<β<α(1)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))；
(2)求β.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解 (1)若选①，tan(π＋α)＝tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝3，
又因为sin2α＋cs2α＝1,0<α所以sin α＝eq \f(3\r(10),10)，cs α＝eq \f(\r(10),10)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝sin αcseq \f(π,4)－cs αsin eq \f(π,4)＝eq \f(3\r(10),10)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(10),10)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(5),5).
若选②，因为sin(π－α)－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))＝cs(－α)，化简得sin α＝3cs α，
又因为sin2α＋cs2α＝1,0<α所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝sin αcs eq \f(π,4)－cs αsin eq \f(π,4)＝eq \f(3\r(10),10)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(10),10)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(5),5).
若选③，因为3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α))，化简得3cs α＝sin α，
又因为sin2α＋cs2α＝1,0<α所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝sin αcs eq \f(π,4)－cs αsin eq \f(π,4)＝eq \f(3\r(10),10)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(10),10)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(5),5).
(2)因为0<β<α所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(2\r(5),5)，
所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),5)))×eq \f(3\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2)，
又因为0<β11．已知3sin x－4cs x＝5sin(x＋φ)，则φ所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 3sin x－4cs x＝5eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,5)sin x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))cs x))＝5sin(x＋φ)，其中sin φ＝－eq \f(4,5)，cs φ＝eq \f(3,5)，
所以φ所在的象限为第四象限．
12．(多选)已知α，β，γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin β＋sin γ＝sin α，cs α＋cs γ＝cs β，则下列说法正确的是( )
A．cs(β－α)＝eq \f(\r(3),2) B．cs(β－α)＝eq \f(1,2)
C．β－α＝eq \f(π,6) D．β－α＝－eq \f(π,3)
答案 BD
解析 由已知可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin γ＝sin α－sin β，,cs γ＝cs β－cs α，))
所以1＝sin2γ＋cs2γ＝(sin α－sin β)2＋(cs β－cs α)2＝2－2(cs βcs α＋sin βsin α)＝2－2cs(β－α)，
所以cs(β－α)＝eq \f(1,2)，
因为α，β，γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则－eq \f(π,2)<β－α因为sin γ＝sin α－sin β>0，函数y＝sin x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，则α>β，则－eq \f(π,2)<β－α<0，故β－α＝－eq \f(π,3).
13．(2023·武汉质检)设sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,7)))＝2cs αsin eq \f(π,7)，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,7))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,14))))的值为( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C．2 D．4
答案 B
解析 ∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,7)))＝2cs αsin eq \f(π,7)，
∴sin αcs eq \f(π,7)－cs αsin eq \f(π,7)＝2cs αsin eq \f(π,7)，即sin αcs eq \f(π,7)＝3cs αsin eq \f(π,7)，
∴tan α＝3tan eq \f(π,7)，
∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,14)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,7)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,7)))
＝sin αcs eq \f(π,7)＋cs αsin eq \f(π,7)，
∴eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,7))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(5π,14))))＝eq \f(sin αcs \f(π,7)－cs αsin \f(π,7),sin αcs \f(π,7)＋cs αsin \f(π,7))＝eq \f(tan α－tan \f(π,7),tan α＋tan \f(π,7))＝eq \f(3tan \f(π,7)－tan \f(π,7),3tan \f(π,7)＋tan \f(π,7))＝eq \f(1,2).
14．(多选)下列结论正确的是( )
A．sin(α－β)sin(β－γ)－cs(α－β)cs(γ－β)＝cs(α－γ)
B．3eq \r(15)sin x＋3eq \r(5)cs x＝3eq \r(5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))
C．f(x)＝sin eq \f(x,2)＋cs eq \f(x,2)的最大值为eq \r(2)
D．sin 50°(1＋eq \r(3)tan 10°)＝1
答案 CD
解析 对于A，左边＝－[cs(α－β)cs(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cs[(α－β)＋(β－γ)]＝－cs(α－γ)，故A错误；
对于B，3eq \r(15)sin x＋3eq \r(5)cs x＝6eq \r(5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin x＋\f(1,2)cs x))＝6eq \r(5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，故B错误；
对于C，f(x)＝sin eq \f(x,2)＋cs eq \f(x,2)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,4)))，
所以f(x)的最大值为eq \r(2)，故C正确；
对于D，由sin 50°(1＋eq \r(3)tan 10°)＝sin 50°·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(3)×\f(sin 10°,cs 10°)))＝sin 50°·eq \f(cs 10°＋\r(3)sin 10°,cs 10°)＝eq \f(2sin 50°cs 50°,cs 10°)＝eq \f(sin 100°,cs 10°)＝eq \f(cs 10°,cs 10°)＝1，故D正确．
15．(2023·厦门模拟)若eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(4π,7))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,7))))＝－3，则eq \f(tan α,tan \f(3π,7))＝________.
答案 2
解析 依题意，eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(4π,7))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,7))))＝eq \f(sin αcs \f(4π,7)－cs αsin \f(4π,7),sin αcs \f(3π,7)－cs αsin \f(3π,7))
＝eq \f(sin α\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs \f(3π,7)))－cs αsin \f(3π,7),sin αcs \f(3π,7)－cs αsin \f(3π,7))
＝eq \f(－tan α－tan \f(3π,7),tan α－tan \f(3π,7))＝－3，
整理得tan α＝2tan eq \f(3π,7)，所以eq \f(tan α,tan \f(3π,7))＝2.
16．在平面直角坐标系Oxy中，先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角θ，再将旋转后的线段OP的长度变为原来的ρ(ρ>0)倍得到OP1，我们把这个过程称为对点P进行一次T(θ，ρ)变换得到点P1，例如对点(1,0)进行一次T eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，3))变换得到点(0,3)．若对点A(1,0)进行一次T eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，2))变换得到点A1，则A1的坐标为 ；若对点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(3,5)))进行一次T(θ，ρ)变换得到点B1(－3，－4)，对点B1再进行一次T(θ，ρ)变换得到点B2，则B2的坐标为 ．
答案 (－1，eq \r(3)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(44,5)，\f(117,5)))
解析 点A(1,0)，OA与x轴的正方向的夹角θ＝0且|OA|＝1.进行一次T eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，2))变换，即将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转eq \f(2π,3)，再将OA的长度伸长为原来的2倍得到点A1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs \f(2π,3)，2sin \f(2π,3)))，即坐标为A1(－1，eq \r(3)).
因为对点Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)，\f(3,5)))进行一次T(θ，ρ)变换后得到点B1(－3，－4)，
|OB|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2)＝1，|OB1|＝eq \r(－32＋－42)＝5，所以ρ＝5，
所以|OB2|＝|OB1|·ρ＝5×5＝25，
设OB与x轴的正方向的夹角为α，则sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(3,4)， 并且sin(α＋θ)＝－eq \f(4,5)，cs(α＋θ)＝－eq \f(3,5)，tan(α＋θ)＝eq \f(4,3)，
根据tan θ＝tan[(α＋θ)－α]＝eq \f(tanα＋θ－tan α,1＋tanα＋θ·tan α)＝eq \f(\f(4,3)－\f(3,4),1＋\f(4,3)×\f(3,4))＝eq \f(7,24)，
因为π<θ所以cs[(α＋θ)＋θ]＝cs(α＋θ)cs θ－sin(α＋θ)sin θ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,25)))＝eq \f(44,125)，sin[(α＋θ)＋θ]＝sin(α＋θ)cs θ＋cs(α＋θ)sin θ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,25)))＝eq \f(117,125)，
所以B2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(25×\f(44,125)，25×\f(117,125)))，
即B2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(44,5)，\f(117,5))).