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2023年吉林省松原市前郭县南部学区中考数学一模试卷(含答案)
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这是一份2023年吉林省松原市前郭县南部学区中考数学一模试卷(含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省松原市前郭县南部学区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列4个实数中，为无理数的是（ ）
A．﹣2 B．0 C． D．3.14
2．（2分）如图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）不等式x+2＞3的解集是（ ）
A．.x＜1 B．.x＜5 C．x＞1 D．.x＞5
4．（2分）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．π
5．（2分）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A．AF＝BF B．AE＝AC
C．∠DBF+∠DFB＝90° D．∠BAF＝∠EBC
6．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（ ）
A．138° B．121° C．118° D．112°
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）据统计，2022届高校毕业生规模预计首次突破千万，约为10760000人，总量和增量均为近年之最，将10760000用科学记数法表示为 ．
8．（3分）分解因式x3+6x2+9x＝ ．
9．（3分）已知m是一元二次方程x2+x﹣6＝0的一个根，则代数式m2+m的值等于 ．
10．（3分）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是 ．
11．（3分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为 ．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝22，则△BOC的周长为 ．
13．（3分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED＝∠B，如果AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为 ．
14．（3分）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝ ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中．
16．（5分）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加该活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现采取随机抽取的方式对这四名同学进行线上面试．
（1）若随机抽取一名同学，求恰好抽到小艺同学的概率；
（2）若随机抽取两名同学，请用画树状图或列表的方法求两名同学均来自八年级的概率．
17．（5分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．
18．（5分）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D均在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，连接CE，请直接写出线段CE的长．
20．（7分）如图，B，C是反比例函数y＝（k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y＝x﹣1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA＝AD，CD＝3．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）求△BCE的面积．
21．（7分）某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：
信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：
（数据分成6组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x≤120）
信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在40≤x＜60这一组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；
信息三：2010～2021年全国大陆人口数及自然增长率；
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为 百万人；
（2）下列结论正确的是 ．（只填序号）
①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；
③2010～2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．
（3）请写出2016～2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．
22．（7分）如图，一个热气球悬停在空中，从热气球上的点P处测得直立于地面的旗杆AB的顶端A与底端B的俯角分别为34°和45°，此时点P距地面高度PC为75米，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色砖道铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是所铺设彩色砖道的长度y（m）关于施工时间x（h）的部分函数图象．请解答下列问题：
（1）求乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式；
（2）如果甲队施工速度不变，乙队在6h后，施工速度增加到12m/h，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色砖道的长度为多少米．
24．（8分）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
【思考尝试】
（1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
【实践探究】
（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．
【拓展迁移】
（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB＝4时，请你求出△ADP周长的最小值．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，P，Q两动点同时从点B出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿BA﹣AC向终点C匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度沿BC﹣CD向终点D匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）求AC的长；
（2）若S△BPQ＝S，求S关于t的函数解析式．
26．（10分）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；
（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．
2023年吉林省松原市前郭县南部学区中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列4个实数中，为无理数的是（ ）
A．﹣2 B．0 C． D．3.14
【解答】解：A．﹣2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是无理数，故本选项符合题意；
D.3.14有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：C．
2．（2分）如图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从几何体的正面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为3、1、1，
故选：A．
3．（2分）不等式x+2＞3的解集是（ ）
A．.x＜1 B．.x＜5 C．x＞1 D．.x＞5
【解答】解：x+2＞3，
x＞3﹣2，
x＞1．
故选：C．
4．（2分）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．π
【解答】解：根据题意，设点P表示的数为p，
则1＜p＜2，
∵1，
∴这个无理数是．
故选：B．
5．（2分）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A．AF＝BF B．AE＝AC
C．∠DBF+∠DFB＝90° D．∠BAF＝∠EBC
【解答】解：由图中尺规作图痕迹可知，
BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线．
由垂直平分线的性质可得AF＝BF，
故A选项不符合题意；
∵DF为线段AB的垂直平分线，
∴∠BDF＝90°，
∴∠DBF+∠DFB＝90°，
故C选项不符合题意；
∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠EBC，
∵AF＝BF，
∴∠ABF＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠EBC，
故D选项不符合题意；
根据已知条件不能得出AE＝AC，
故B选项符合题意．
故选：B．
6．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（ ）
A．138° B．121° C．118° D．112°
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝180°﹣121°＝59°，
∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）据统计，2022届高校毕业生规模预计首次突破千万，约为10760000人，总量和增量均为近年之最，将10760000用科学记数法表示为 1.076×107 ．
【解答】解：10760000＝1.076×107．
故答案为：1.076×107．
8．（3分）分解因式x3+6x2+9x＝ x（x+3）2 ．
【解答】解：x3+6x2+9x
＝x（x2+6x+9）
＝x（x+3）2．
故答案为：x（x+3）2．
9．（3分）已知m是一元二次方程x2+x﹣6＝0的一个根，则代数式m2+m的值等于 6 ．
【解答】解：将x＝m代入方程x2+x﹣6＝0，
得m2+m﹣6＝0，
即m2+m＝6，
故答案为：6．
10．（3分）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是 720° ．
【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，
该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．
故答案为：720°．
11．（3分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为 6x+14＝8x ．
【解答】解：设有牧童x人，
依题意得：6x+14＝8x．
故答案为：6x+14＝8x．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝22，则△BOC的周长为 21 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝10，
∵AC+BD＝22，
∴OC+BO＝11，
∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝11+10＝21．
故答案为：21．
13．（3分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED＝∠B，如果AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为 3 ．
【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A是公共角，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，
∴△ABC的面积为9，
∵AE＝2，
∴，
解得：AB＝3．
故答案为：3．
14．（3分）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝ 3 ．
【解答】解：由题知，反比例函数y＝的图象经过点C，
设C点坐标为（a，），
作CH⊥OA于H，过A点作AG⊥BC于G，
∵四边形OABC是平行四边形，OC＝AC，
∴OH＝AH，CG＝BG，四边形HAGC是矩形，
∴OH＝CG＝BG＝a，
即B（3a，），
∵y＝（k≠0）的图象经过点B，
∴k＝3a•＝3，
故答案为：3．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中．
【解答】解：原式＝4﹣a2+a2+a＝4+a，
当时，
原式＝．
16．（5分）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加该活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现采取随机抽取的方式对这四名同学进行线上面试．
（1）若随机抽取一名同学，求恰好抽到小艺同学的概率；
（2）若随机抽取两名同学，请用画树状图或列表的方法求两名同学均来自八年级的概率．
【解答】解：（1）随机抽取一名同学，共有4种等可能的结果，其中抽到小艺同学的只有1种，
∴恰好抽到小艺同学的概率为 ．
（2）列表如下：
小贤
小晴
小志
小艺
小贤
小晴、小贤
小志、小贤
小艺、小贤
小晴
小贤、小晴
小志、小晴
小艺、小晴
小志
小贤、小志
小晴、小志
小艺、小志
小艺
小贤、小艺
小晴、小艺
小志、小艺
共有12种等可能的结果，其中两名同学均来自八年级，即小志和小晴的结果有2种，
∴两名同学均来自八年级的概率为．
17．（5分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
在△ADF和△CDE中，，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠1＝∠2．
18．（5分）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
【解答】解：设乙班平均每小时挖x千克土豆，
根据题意，得，
解得x＝400，
经检验，x＝400是原方程的根，且符合题意；
答：乙班平均每小时挖400千克土豆．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D均在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，连接CE，请直接写出线段CE的长．
【解答】解：（1）如图所示，矩形ABCD即为所求；
（2）如图△ABE即为所求，CE＝4．
20．（7分）如图，B，C是反比例函数y＝（k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y＝x﹣1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA＝AD，CD＝3．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）求△BCE的面积．
【解答】解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，
∴x＝1，
即直线y＝x﹣1与x轴交于点A的坐标为（1，0），
∴OA＝1＝AD，
又∵CD＝3，
∴点C的坐标为（2，3），
而点C（2，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数的关系式为y＝；
（2）方程组的正数解为，
∴点B的坐标为（3，2），
当x＝2时，y＝2﹣1＝1，
∴点E的坐标为（2，1），即DE＝1，
∴EC＝3﹣1＝2，
∴S△BCE＝×2×（3﹣2）＝1，
答：△BCE的面积为1．
21．（7分）某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：
信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：
（数据分成6组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x≤120）
信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在40≤x＜60这一组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；
信息三：2010～2021年全国大陆人口数及自然增长率；
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为 40 百万人；
（2）下列结论正确的是 ①② ．（只填序号）
①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；
③2010～2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．
（3）请写出2016～2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．
【解答】解：（1）将这31个省、自治区、直辖市人口数从小到大排列处在中间位置的数是40百万人，因此中位数是40百万人，
故答案为：40；
（2）①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区，故原结论正确，符合题意；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢，故原结论正确，符合题意；
③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率的情况是：2010﹣2012，2013﹣2014，2015﹣2016年增长率持续上升；2012﹣2013，2014﹣2015，2016﹣2021年增长率持续降低，
故原结论错误，不符合题意．
所以结论正确的是①②．
故答案为：①②；
（3）2016﹣2021年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．
看法：放开计划生育，鼓励多生优生，以免人口自然增长率为负（答案不唯一）．
22．（7分）如图，一个热气球悬停在空中，从热气球上的点P处测得直立于地面的旗杆AB的顶端A与底端B的俯角分别为34°和45°，此时点P距地面高度PC为75米，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）
【解答】解：延长BA交PQ于点D，
由题意可得：∠PDB＝90°，PC＝BD＝75米，
在Rt△PBD中，∠DPB＝45°，
∴PD＝＝75（米），
在Rt△PHA中，∠DPA＝34°，
∴AD＝PD•tan34°≈75×0.67＝50.25（米），
∴AB＝BD﹣AD＝75﹣50.25＝24.75≈24.8（米），
答：旗杆AB的高度约为24.8米．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色砖道铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是所铺设彩色砖道的长度y（m）关于施工时间x（h）的部分函数图象．请解答下列问题：
（1）求乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式；
（2）如果甲队施工速度不变，乙队在6h后，施工速度增加到12m/h，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色砖道的长度为多少米．
【解答】解：（1）设乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式为y＝kx+b．
由图可知，函数图象过点（2，30），（6，50），
∴，
解得，
即乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式为y＝5x+20；
（2）由图可知，
甲队速度是60÷6＝10（m/h）．
设甲队从开始施工到完工所铺设彩色砖道的长度为zm，
由题意可得：，
解得z＝110．
答：甲队从开始施工到完工所铺设彩色砖道的长度为110m．
24．（8分）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
【思考尝试】
（1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
【实践探究】
（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．
【拓展迁移】
（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB＝4时，请你求出△ADP周长的最小值．
【解答】解：（1）AE＝EP，
理由如下：取AB的中点F，连接EF，
∵F、E分别为AB、BC的中点，
∴AF＝BF＝BE＝CE，
∴∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∵CP平分∠DCG，
∴∠DCP＝45°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠AFE＝∠ECP，
∵AE⊥PE，
∴∠AEP＝90°，
∴∠AEB+∠PEC＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠PEC＝∠BAE，
∴△AFE≌△ECP（ASA），
∴AE＝EP；
（2）在AB上取AF＝EC，连接EF，
由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，
∵AF＝EC，AE＝EP，
∴△FAE≌△CEP（SAS），
∴∠ECP＝∠AFE，
∵AF＝EC，AB＝BC，
∴BF＝BE，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠DCP＝45°，
（3）连接CP，作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，
由（2）知，∠DCP＝45°，
∴∠CDG＝45°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴点D与G关于CP对称，
∴AP+DP的最小值为AG的长，
∵AB＝4，
∴BG＝8，
由勾股定理得AG＝＝4，
∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝4+4．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，P，Q两动点同时从点B出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿BA﹣AC向终点C匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度沿BC﹣CD向终点D匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）求AC的长；
（2）若S△BPQ＝S，求S关于t的函数解析式．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5．
（2）当0≤t≤1.5时，
∵PB＝2t，BQ＝t，
∴S＝BQ•PB＝•2t•t＝t2；
当1.5＜t≤4时，如图①，
∴PC＝3+5﹣2t＝8﹣2t，
∵PM∥AB，
∴△CPM∽△CAB，
∴PM：AB＝CP：AC，
∴PM：3＝（8﹣2t）：5，
∴PM＝，
∴S＝BQ•PM＝•t•＝﹣t2+t；
当4＜t≤7时，P与C重合，如图②，
∵CQ＝t﹣4，
∴S＝BC•CQ＝•4•（t﹣4）＝2t﹣8．
∴当0≤t≤1.5时，S＝t2，
当0≤t≤1.5时，S＝﹣t2+t，
当4＜t≤7时，S＝2t﹣8．
26．（10分）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；
（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．
【解答】解：（1）令y＝x2﹣4x＝x，
解得x＝0或x＝5，
∴B（5，5）；
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点D（2，﹣4）．
（2）如图，过点D作DE⊥y轴于点E，
∴DE＝2，OE＝4，
∴tan∠DOE＝，
∵tan∠PDO＝，
∴∠DOE＝∠PDO，
①当点P在线段OD的右侧时，DP∥y轴，如图，
∴P（2，0）；
②当点P在线段OD左侧时，设直线DP与y轴交于点G，则△ODG是等腰三角形，
∴OG＝DG，
设OG＝t，则DG＝t，GE＝4﹣t，
在Rt△DGE中，t2＝22+（4﹣t）2，
解得t＝，
∴G（0，﹣），
∴直线DG的解析式为：y＝﹣x﹣，
令y＝0，则﹣x﹣＝0，
解得x＝﹣，
∴P（﹣，0）．
综上，点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）．
（3）∵点B（5，5）与点M关于对称轴x＝2对称，
∴M（﹣1，5）．
如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，
∴N（﹣1，﹣1），MN＝6，
∵点Q横坐标为m，
∴Q（m，m2﹣4m），K（m，m），
∴KQ＝m﹣（m2﹣4m）＝﹣m2+5m．
∵S1＝QK（xB﹣xE），S2＝MN（xB﹣xE），
∴＝＝﹣（m2﹣5m）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，的最大值为．
提示：本题也可分别过点M，Q作BO的垂线，用m分别表示高线，再求比，也可得出结论．
2023年吉林省松原市前郭县南部学区中考数学一模试卷
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列4个实数中，为无理数的是（ ）
A．﹣2 B．0 C． D．3.14
2．（2分）如图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）不等式x+2＞3的解集是（ ）
A．.x＜1 B．.x＜5 C．x＞1 D．.x＞5
4．（2分）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．π
5．（2分）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A．AF＝BF B．AE＝AC
C．∠DBF+∠DFB＝90° D．∠BAF＝∠EBC
6．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（ ）
A．138° B．121° C．118° D．112°
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）据统计，2022届高校毕业生规模预计首次突破千万，约为10760000人，总量和增量均为近年之最，将10760000用科学记数法表示为 ．
8．（3分）分解因式x3+6x2+9x＝ ．
9．（3分）已知m是一元二次方程x2+x﹣6＝0的一个根，则代数式m2+m的值等于 ．
10．（3分）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是 ．
11．（3分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为 ．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝22，则△BOC的周长为 ．
13．（3分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED＝∠B，如果AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为 ．
14．（3分）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝ ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中．
16．（5分）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加该活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现采取随机抽取的方式对这四名同学进行线上面试．
（1）若随机抽取一名同学，求恰好抽到小艺同学的概率；
（2）若随机抽取两名同学，请用画树状图或列表的方法求两名同学均来自八年级的概率．
17．（5分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．
18．（5分）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D均在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，连接CE，请直接写出线段CE的长．
20．（7分）如图，B，C是反比例函数y＝（k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y＝x﹣1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA＝AD，CD＝3．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）求△BCE的面积．
21．（7分）某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：
信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：
（数据分成6组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x≤120）
信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在40≤x＜60这一组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；
信息三：2010～2021年全国大陆人口数及自然增长率；
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为 百万人；
（2）下列结论正确的是 ．（只填序号）
①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；
③2010～2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．
（3）请写出2016～2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．
22．（7分）如图，一个热气球悬停在空中，从热气球上的点P处测得直立于地面的旗杆AB的顶端A与底端B的俯角分别为34°和45°，此时点P距地面高度PC为75米，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色砖道铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是所铺设彩色砖道的长度y（m）关于施工时间x（h）的部分函数图象．请解答下列问题：
（1）求乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式；
（2）如果甲队施工速度不变，乙队在6h后，施工速度增加到12m/h，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色砖道的长度为多少米．
24．（8分）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
【思考尝试】
（1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
【实践探究】
（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．
【拓展迁移】
（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB＝4时，请你求出△ADP周长的最小值．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，P，Q两动点同时从点B出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿BA﹣AC向终点C匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度沿BC﹣CD向终点D匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）求AC的长；
（2）若S△BPQ＝S，求S关于t的函数解析式．
26．（10分）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；
（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．
2023年吉林省松原市前郭县南部学区中考数学一模试卷
（参考答案）
一、选择题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列4个实数中，为无理数的是（ ）
A．﹣2 B．0 C． D．3.14
【解答】解：A．﹣2是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
B.0是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是无理数，故本选项符合题意；
D.3.14有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
故选：C．
2．（2分）如图是由5个相同的小正方体组合而成的立体图形，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从几何体的正面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为3、1、1，
故选：A．
3．（2分）不等式x+2＞3的解集是（ ）
A．.x＜1 B．.x＜5 C．x＞1 D．.x＞5
【解答】解：x+2＞3，
x＞3﹣2，
x＞1．
故选：C．
4．（2分）如图，数轴上的点P表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是（ ）
A． B． C． D．π
【解答】解：根据题意，设点P表示的数为p，
则1＜p＜2，
∵1，
∴这个无理数是．
故选：B．
5．（2分）如图，在△ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）
A．AF＝BF B．AE＝AC
C．∠DBF+∠DFB＝90° D．∠BAF＝∠EBC
【解答】解：由图中尺规作图痕迹可知，
BE为∠ABC的平分线，DF为线段AB的垂直平分线．
由垂直平分线的性质可得AF＝BF，
故A选项不符合题意；
∵DF为线段AB的垂直平分线，
∴∠BDF＝90°，
∴∠DBF+∠DFB＝90°，
故C选项不符合题意；
∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABF＝∠EBC，
∵AF＝BF，
∴∠ABF＝∠BAF，
∴∠BAF＝∠EBC，
故D选项不符合题意；
根据已知条件不能得出AE＝AC，
故B选项符合题意．
故选：B．
6．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝121°，则∠BOD的度数为（ ）
A．138° B．121° C．118° D．112°
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∴∠A＝180°﹣121°＝59°，
∴∠BOD＝2∠A＝2×59°＝118°，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）据统计，2022届高校毕业生规模预计首次突破千万，约为10760000人，总量和增量均为近年之最，将10760000用科学记数法表示为 1.076×107 ．
【解答】解：10760000＝1.076×107．
故答案为：1.076×107．
8．（3分）分解因式x3+6x2+9x＝ x（x+3）2 ．
【解答】解：x3+6x2+9x
＝x（x2+6x+9）
＝x（x+3）2．
故答案为：x（x+3）2．
9．（3分）已知m是一元二次方程x2+x﹣6＝0的一个根，则代数式m2+m的值等于 6 ．
【解答】解：将x＝m代入方程x2+x﹣6＝0，
得m2+m﹣6＝0，
即m2+m＝6，
故答案为：6．
10．（3分）若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的内角和是 720° ．
【解答】解：该正多边形的边数为：360°÷60°＝6，
该正多边形的内角和为：（6﹣2）×180°＝720°．
故答案为：720°．
11．（3分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿恰齐足．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，恰好用完．”若设有牧童x人，根据题意，可列方程为 6x+14＝8x ．
【解答】解：设有牧童x人，
依题意得：6x+14＝8x．
故答案为：6x+14＝8x．
12．（3分）如图，在▱ABCD中，AD＝10，对角线AC与BD相交于点O，AC+BD＝22，则△BOC的周长为 21 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，AD＝BC＝10，
∵AC+BD＝22，
∴OC+BO＝11，
∴△BOC的周长＝OC+OB+BC＝11+10＝21．
故答案为：21．
13．（3分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED＝∠B，如果AE＝2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为 3 ．
【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A是公共角，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∵△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，
∴△ABC的面积为9，
∵AE＝2，
∴，
解得：AB＝3．
故答案为：3．
14．（3分）如图，▱OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝ 3 ．
【解答】解：由题知，反比例函数y＝的图象经过点C，
设C点坐标为（a，），
作CH⊥OA于H，过A点作AG⊥BC于G，
∵四边形OABC是平行四边形，OC＝AC，
∴OH＝AH，CG＝BG，四边形HAGC是矩形，
∴OH＝CG＝BG＝a，
即B（3a，），
∵y＝（k≠0）的图象经过点B，
∴k＝3a•＝3，
故答案为：3．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a+1），其中．
【解答】解：原式＝4﹣a2+a2+a＝4+a，
当时，
原式＝．
16．（5分）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加该活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现采取随机抽取的方式对这四名同学进行线上面试．
（1）若随机抽取一名同学，求恰好抽到小艺同学的概率；
（2）若随机抽取两名同学，请用画树状图或列表的方法求两名同学均来自八年级的概率．
【解答】解：（1）随机抽取一名同学，共有4种等可能的结果，其中抽到小艺同学的只有1种，
∴恰好抽到小艺同学的概率为 ．
（2）列表如下：
小贤
小晴
小志
小艺
小贤
小晴、小贤
小志、小贤
小艺、小贤
小晴
小贤、小晴
小志、小晴
小艺、小晴
小志
小贤、小志
小晴、小志
小艺、小志
小艺
小贤、小艺
小晴、小艺
小志、小艺
共有12种等可能的结果，其中两名同学均来自八年级，即小志和小晴的结果有2种，
∴两名同学均来自八年级的概率为．
17．（5分）如图，在菱形ABCD中，点E、F分别为AD、CD边上的点，DE＝DF，求证：∠1＝∠2．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
在△ADF和△CDE中，，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴∠1＝∠2．
18．（5分）为了让学生崇尚劳动，尊重劳动，在劳动中提升综合素质，某校定期开展劳动实践活动．甲、乙两班在一次体验挖土豆的活动中，甲班挖1500千克土豆与乙班挖1200千克土豆所用的时间相同．已知甲班平均每小时比乙班多挖100千克土豆，问乙班平均每小时挖多少千克土豆？
【解答】解：设乙班平均每小时挖x千克土豆，
根据题意，得，
解得x＝400，
经检验，x＝400是原方程的根，且符合题意；
答：乙班平均每小时挖400千克土豆．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D均在小正方形的顶点上；
（2）在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，连接CE，请直接写出线段CE的长．
【解答】解：（1）如图所示，矩形ABCD即为所求；
（2）如图△ABE即为所求，CE＝4．
20．（7分）如图，B，C是反比例函数y＝（k≠0）在第一象限图象上的点，过点B的直线y＝x﹣1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA＝AD，CD＝3．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）求△BCE的面积．
【解答】解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，
∴x＝1，
即直线y＝x﹣1与x轴交于点A的坐标为（1，0），
∴OA＝1＝AD，
又∵CD＝3，
∴点C的坐标为（2，3），
而点C（2，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝2×3＝6，
∴反比例函数的关系式为y＝；
（2）方程组的正数解为，
∴点B的坐标为（3，2），
当x＝2时，y＝2﹣1＝1，
∴点E的坐标为（2，1），即DE＝1，
∴EC＝3﹣1＝2，
∴S△BCE＝×2×（3﹣2）＝1，
答：△BCE的面积为1．
21．（7分）某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：
信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下：
（数据分成6组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x≤120）
信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在40≤x＜60这一组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；
信息三：2010～2021年全国大陆人口数及自然增长率；
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为 40 百万人；
（2）下列结论正确的是 ①② ．（只填序号）
①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢；
③2010～2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．
（3）请写出2016～2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合变化趋势谈谈自己的看法．
【解答】解：（1）将这31个省、自治区、直辖市人口数从小到大排列处在中间位置的数是40百万人，因此中位数是40百万人，
故答案为：40；
（2）①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区，故原结论正确，符合题意；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢，故原结论正确，符合题意；
③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率的情况是：2010﹣2012，2013﹣2014，2015﹣2016年增长率持续上升；2012﹣2013，2014﹣2015，2016﹣2021年增长率持续降低，
故原结论错误，不符合题意．
所以结论正确的是①②．
故答案为：①②；
（3）2016﹣2021年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低．
看法：放开计划生育，鼓励多生优生，以免人口自然增长率为负（答案不唯一）．
22．（7分）如图，一个热气球悬停在空中，从热气球上的点P处测得直立于地面的旗杆AB的顶端A与底端B的俯角分别为34°和45°，此时点P距地面高度PC为75米，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）
【解答】解：延长BA交PQ于点D，
由题意可得：∠PDB＝90°，PC＝BD＝75米，
在Rt△PBD中，∠DPB＝45°，
∴PD＝＝75（米），
在Rt△PHA中，∠DPA＝34°，
∴AD＝PD•tan34°≈75×0.67＝50.25（米），
∴AB＝BD﹣AD＝75﹣50.25＝24.75≈24.8（米），
答：旗杆AB的高度约为24.8米．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色砖道铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工．如图是所铺设彩色砖道的长度y（m）关于施工时间x（h）的部分函数图象．请解答下列问题：
（1）求乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式；
（2）如果甲队施工速度不变，乙队在6h后，施工速度增加到12m/h，结果两队同时完成了任务．求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色砖道的长度为多少米．
【解答】解：（1）设乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式为y＝kx+b．
由图可知，函数图象过点（2，30），（6，50），
∴，
解得，
即乙队在2≤x≤6的时段内，y关于x的函数解析式为y＝5x+20；
（2）由图可知，
甲队速度是60÷6＝10（m/h）．
设甲队从开始施工到完工所铺设彩色砖道的长度为zm，
由题意可得：，
解得z＝110．
答：甲队从开始施工到完工所铺设彩色砖道的长度为110m．
24．（8分）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；
【思考尝试】
（1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．
【实践探究】
（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．
【拓展迁移】
（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB＝4时，请你求出△ADP周长的最小值．
【解答】解：（1）AE＝EP，
理由如下：取AB的中点F，连接EF，
∵F、E分别为AB、BC的中点，
∴AF＝BF＝BE＝CE，
∴∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∵CP平分∠DCG，
∴∠DCP＝45°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠AFE＝∠ECP，
∵AE⊥PE，
∴∠AEP＝90°，
∴∠AEB+∠PEC＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠PEC＝∠BAE，
∴△AFE≌△ECP（ASA），
∴AE＝EP；
（2）在AB上取AF＝EC，连接EF，
由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，
∵AF＝EC，AE＝EP，
∴△FAE≌△CEP（SAS），
∴∠ECP＝∠AFE，
∵AF＝EC，AB＝BC，
∴BF＝BE，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°，
∴∠AFE＝135°，
∴∠ECP＝135°，
∴∠DCP＝45°，
（3）连接CP，作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，
由（2）知，∠DCP＝45°，
∴∠CDG＝45°，
∴△DCG是等腰直角三角形，
∴点D与G关于CP对称，
∴AP+DP的最小值为AG的长，
∵AB＝4，
∴BG＝8，
由勾股定理得AG＝＝4，
∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝4+4．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，P，Q两动点同时从点B出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿BA﹣AC向终点C匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度沿BC﹣CD向终点D匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）求AC的长；
（2）若S△BPQ＝S，求S关于t的函数解析式．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5．
（2）当0≤t≤1.5时，
∵PB＝2t，BQ＝t，
∴S＝BQ•PB＝•2t•t＝t2；
当1.5＜t≤4时，如图①，
∴PC＝3+5﹣2t＝8﹣2t，
∵PM∥AB，
∴△CPM∽△CAB，
∴PM：AB＝CP：AC，
∴PM：3＝（8﹣2t）：5，
∴PM＝，
∴S＝BQ•PM＝•t•＝﹣t2+t；
当4＜t≤7时，P与C重合，如图②，
∵CQ＝t﹣4，
∴S＝BC•CQ＝•4•（t﹣4）＝2t﹣8．
∴当0≤t≤1.5时，S＝t2，
当0≤t≤1.5时，S＝﹣t2+t，
当4＜t≤7时，S＝2t﹣8．
26．（10分）抛物线y＝x2﹣4x与直线y＝x交于原点O和点B，与x轴交于另一点A，顶点为D．
（1）直接写出点B和点D的坐标；
（2）如图1，连接OD，P为x轴上的动点，当tan∠PDO＝时，求点P的坐标；
（3）如图2，M是点B关于抛物线对称轴的对称点，Q是抛物线上的动点，它的横坐标为m（0＜m＜5），连接MQ，BQ，MQ与直线OB交于点E．设△BEQ和△BEM的面积分别为S1和S2，求的最大值．
【解答】解：（1）令y＝x2﹣4x＝x，
解得x＝0或x＝5，
∴B（5，5）；
∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，
∴顶点D（2，﹣4）．
（2）如图，过点D作DE⊥y轴于点E，
∴DE＝2，OE＝4，
∴tan∠DOE＝，
∵tan∠PDO＝，
∴∠DOE＝∠PDO，
①当点P在线段OD的右侧时，DP∥y轴，如图，
∴P（2，0）；
②当点P在线段OD左侧时，设直线DP与y轴交于点G，则△ODG是等腰三角形，
∴OG＝DG，
设OG＝t，则DG＝t，GE＝4﹣t，
在Rt△DGE中，t2＝22+（4﹣t）2，
解得t＝，
∴G（0，﹣），
∴直线DG的解析式为：y＝﹣x﹣，
令y＝0，则﹣x﹣＝0，
解得x＝﹣，
∴P（﹣，0）．
综上，点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）．
（3）∵点B（5，5）与点M关于对称轴x＝2对称，
∴M（﹣1，5）．
如图，分别过点M，Q作y轴的平行线，交直线OB于点N，K，
∴N（﹣1，﹣1），MN＝6，
∵点Q横坐标为m，
∴Q（m，m2﹣4m），K（m，m），
∴KQ＝m﹣（m2﹣4m）＝﹣m2+5m．
∵S1＝QK（xB﹣xE），S2＝MN（xB﹣xE），
∴＝＝﹣（m2﹣5m）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝时，的最大值为．
提示：本题也可分别过点M，Q作BO的垂线，用m分别表示高线，再求比，也可得出结论．
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