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2023年小升初数学举一反三重难点培优讲义 专题10《比例的认识及问题解决》
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这是一份2023年小升初数学举一反三重难点培优讲义 专题10《比例的认识及问题解决》，文件包含专题10《比例的认识及问题解决》2022-2023学年小升初数学举一反三重难点培优讲义解析全国通用docx、专题10《比例的认识及问题解决》2022-2023学年小升初数学举一反三重难点培优讲义原卷全国通用docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。
2022-2023学年小升初数学举一反三重难点培优讲义
专题10 比例的认识及问题解决
考点梳理
知识要点
高分妙招
比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例
根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例
比例的基本性质
1.组成比例的四个数，叫做比例的项,两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比
例的内项。
2.比例的基本性质:在比例里，两个外项的积
等于两个内项的积。用式子表示:若a:b=c:d或(b,d不为0),则ad= bc。
1.当比例的形式为
时,a和d仍为外项,b和c仍为内项。
2.根据比例的基本性质不仅能判断两个比是 否能组成比例,还能解比例。
3.根据一个比例，可以另外写出几个不同的比例，但内项的积始终和外项的积相等。
解比例
求比例中的未知项叫做解比例
根据比例的基本性质,已知比
例中的任何三项,就可以求出比例中的另外一个未知项。
正比例与反比例
1.两种相关联的量,一种量变化,另一种量也
随着变化，如果这两种量中相对应的两个
数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的
量，它们的关系叫做正比例关系。用式子
表示为:=k(一定)；
2.两种相关联的量,一种量变化,另一种量也
随着变化，如果这两种量中相对应的两个数
的乘积一定,这两种量就叫做成反比例的
量,它们的关系叫做反比例关系。用式子表
示为:xy=k(一定)。
1.正比例的判定:先判断两种量是不是相关的量,即一种量变化,另一种量也随着变化,再判断这两种量相对应的两个数的比值是否一定。正比例关系的图象是一条经过原点的直线。
2.反比例的判定:先判断两种量是不是相关的量，再判断这两种量相对应的两个数的乘积是否一定。反比例关系的图象是一条光滑的曲线。
正、反比例的应用
解决正、反比例的实际问题的方法:
1.找出题目中两种相关联的量
2.判断它们是不是成正比例或反比例的关系,设未知数
3.根据正比例或反比例的意义列出比例
4.最后解比例
5.检验
6.作答
根据题目中的数量关系,判断两种量是否成比例，列出对应关系解答。
比例尺
1.比例尺:一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
2.公式:图上距离:实际距离=比例尺或=比例尺。
3.比例尺可分为数值比例尺和线段比例尺。
比例尺是比,不能带计量单位。求比例尺时，图上距离和实际距离的单位要统一,比例尺一般写成前项为“1”或后项为“1”的形式。
高频考点01：比例的意义和基本性质
【典例精讲01】（2022•坪山区）下面各式中，能与5：6组成比例的是（ ）
A． B．1.5：1.6 C． D．6：5
【思路点拨】先求出5：6的比值，然后逐项求出每一个比的比值，再根据比例的意义，与5：6的比值相等的两个比就能组成比例。
【规范解答】解：5：6＝；
A.：＝÷＝，＝，能组成比例；
B.1.5：1.6＝，≠；不能组成比例；
C.：＝÷＝，≠，不能组成比例；
D.6：5＝，≠，不能组成比例。
故选：A。
【考点评析】此题考查比例的意义和性质的运用：判断两个比能否组成比例，可以用求比值的方法：两个比的比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例；也可以根据比例的性质：两外项的积等于两内项的积判断。
【举一反三01】．（2022•武进区模拟）下面各比中，（ ）能与：4组成比例。
A．5：4 B．20：1 C．1：20 D．5：
【思路点拨】根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。求各比的比值，比较即可。
【规范解答】解：：4＝÷4＝
A.5：4＝5÷4＝，所以5：4与：4不能组成比例；
B.20：1＝20÷1＝20，所以20：1与：4不能组成比例；
C.1：20＝1÷20＝，所以1：20与：4能组成比例；
D.5：＝5÷＝20，所以5：与：4不能组成比例。
故选：C。
【考点评析】本题主要考查比例的意义的应用。
【举一反三02】（2022•淮上区）a的等于b的，求a与b的最简比。在写出等式a×＝b×后，小华和小明使用了两种不同的方法。
（1）小华假设了一个具体的数值。例如，假设等号两边的积都等于1，那么，a＝ ，b＝ ，a与b的最简比是 6：5 。
（2）小明运用比例的基本性质，根据上面的等式直接写出比例a：b＝ ： ，再化简成最简比就可以。
【思路点拨】（1）假设等号两边的积都等于1，那么a×＝1，b×＝1，分别算出a、b是多少，然后写出a和b的最简比；
（2）根据比例的性质“在比例中，两个外项的积等于两个内项的积”可知，b和是内项，a和是外项。
【规范解答】解：（1）a×＝1
a＝1÷
a＝
b×＝1
b＝1÷
b＝
a：b＝：＝（×4）：（×4）＝6：5
所以小华假设了一个具体的数值，例如，假设等号两边的积都等于1，那么，a＝，b＝，a与b的最简比是6：5。
（2）因为a×＝b×，所以a：b＝：＝（×15）：（×15）＝12：10＝6：5；
所以小明运用比例的基本性质，根据上面的等式直接写出比例a：b＝：，再化简成最简比就可以。
故答案为：；；6：5；：。
【考点评析】此题需要学生熟练掌握比例的意义和基本性质并灵活运用。
【举一反三03】（2022•殷都区）把2.4×5＝2×6改写成比例为 2：2.4＝5：6 。
【思路点拨】逆用比例的基本性质“在比例中，两个外项的积等于两个内项的积”。
【规范解答】解：因为2.4×5＝2×6，所以可以使2.4和5在比例中为内项，2和6在比例中为外项，比例为：2：2.4＝5：6。（答案不唯一）
故答案为：2：2.4＝5：6。（答案不唯一）
【考点评析】此题需要学生熟练掌握比例的基本性质并灵活运用。
高频考点02：正比例和反比例的意义
【典例精讲02】（2022•无棣县）下面表格中，如果a和b成反比例，那么空格中应该填 0.25 ；如果a和b成正比例，那么空格中应该填 0.64 。
a
5
8
b
0.4
【思路点拨】两个相关联的量，若两个量成正比例关系，则其比值一定；若两个量成反比例关系，则其乘积一定。
【规范解答】解：若a和b成反比例，则：
8b＝5×0.4
8b＝2
8b÷8＝2÷8
b＝0.25
若a和b成正比例，则：
5：0.4＝8：b
5b＝0.4×8
5b＝3.2
5b÷5＝3.2÷5
b＝0.64
故答案为：0.25，0.64。
【考点评析】解决本题的关键是根据成哪种比例关系列出比例式，再根据等式的性质解比例。
【举一反三04】（2022•富县）自行车前齿轮转的圈数×前齿轮齿数＝后齿轮转的圈数×后齿轮齿数． √ （判断对错）
【思路点拨】根据反比例的意义，路程相同，前齿轮转的圈数×前齿轮齿数＝后齿轮转的圈数×后齿轮齿数，据此解答即可．
【规范解答】解：根据反比例的意义，路程相同，自行车前齿轮转的圈数×前齿轮齿数＝后齿轮转的圈数×后齿轮齿数．
所以原题说法正确；
故答案为：√．
【考点评析】此题主要考查了比的意义的应用，注意联系生活实际，解答此题的关键是要明确：前齿轮的齿数×前齿轮的圈数＝后齿轮的齿数×后齿轮的圈数．
【举一反三05】（2022•宁强县）某台榨油机的生产时间与产量的关系如下。
生产时间/时
0
1
2
3
4
5
6
产量/吨
0
4
8
12
16
20
24
（1）判断这台榨油机的生产时间与产量是不是成正比例，并说明理由。
（2）根据表中数据，在图中描出这台榨油机的生产时间与产量所对应的点，再把这些点依次连接起来。
（3）这台榨油机4.5时可以榨 18 吨油；榨70吨油需要 17.5 时。
【思路点拨】（1）求出产量与生产时间的比，求出比值后即可判断。
（2）依据表中的数据描点并连线。
（3）根据生产时间、产量和每小时的生产量之间的关系解答。
【规范解答】解：（1）4：1＝8：2＝12：3＝16：4＝20：5＝24：6＝4
产量与生产时间的比值一定，产量与生产时间成正比例。
（2）
（3）4×4.5＝18（吨）
70÷4＝17.5（时）
故答案为：18，7.5。
【考点评析】本题考查了成正比例关系的判断、正比例图像的画法及利用正比例关系解决问题，属于基础知识，需熟练掌握。
【举一反三06】（2020•清丰县）已知x与y成正比例关系，在下表的空格中填写合适的数。
x
1
2
4
5
20
y
2.5
7.5
20
【思路点拨】已知x与y成正比例关系，即x：y的比值一定，根据x：y＝1：2.5＝0.4逐项解答即可。
【规范解答】解：因为x：y＝1：2.5＝0.4
2：y＝0.4
y＝2÷0.4
y＝5
x：7.5＝0.4
x＝7.5×0.4
x＝3
4：y＝0.4
y＝4÷0.4
y＝10
5：y＝0.4
y＝5÷0.4
y＝12.5
x：20＝0.4
x＝20×0.4
x＝8
20：y＝0.4
y＝20÷0.4
y＝50
故答案为：3，8，5，10，12.5，50。
【考点评析】此题考查了正比例关系的运用，也可运用比的性质解答．
高频考点03：正比例
【典例精讲03】（2020•木兰县）下列各题中的两种量，成正比例的是（ ）
A．小东的身高和体重 B．圆的半径和面积
C．圆的半径和周长
【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【规范解答】解：A.身高和体重的比值不一定，所以小东的身高和体重不成比例；
B.圆的面积÷半径＝圆周率×半径，圆周率乘半径的乘积不一定，所以圆的面积和圆的半径不成比例；
C.圆的周长÷圆周率÷2＝半径（一定），所以圆的半径和周长成正比例。
故选：C。
【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。
【举一反三07】（2022•防城港模拟）图是超市出售一种笔的支数和总价的关系图。
（1）图中总价是随着支数的变化而变化，
这两种量成 正 比例。
（2）售出2支笔的总价是 16 元，
售出 4 支笔的总价是32元。
（3）售出了12支笔，总价是 96 元。
【思路点拨】（1）图像是一条直线，所以总价和支数成正比例关系。
（2）从图像中可以看出，每支笔的单价为8元，根据总价＝单价×数量、数量＝总价÷单价解答。
（3）根据总价＝单价×数量解答。
【规范解答】解：（1）图中总价是随着支数的变化而变化，这两种量成正比例。
（2）8×2＝16（元）
32÷8＝4（支）
答：售出2支笔的总价是16元，售出4支笔的总价是32元。
（3）8×12＝96（元）
答：售出了12支笔，总价是96元。
故答案为：正；16，4；96。
【考点评析】本题考查了根据比例图像解决问题，能根据图像分析数量关系是关键。
【举一反三08】（2021•平舆县）车轮周长一定，所行驶的路程和车轮的转数成 正 比例．
【思路点拨】判定两种相关联的量是否成正、反比例，要看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定就成正比例；如果是乘积一定就成反比例．
【规范解答】解：行驶的路程÷车轮的转数＝车轮的周长（一定），是比值一定，所以成正比例；
故答案为：正．
【考点评析】此题属于根据正、反比例的意义，判断两种相关联的量是成正比例还是成反比例，就看两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做出解答．
【举一反三09】（2022•临县）一辆轿车在公路上行驶的时间和路程的情况如表。
时间/时
0
1
2
3
4
5
6
…
路程/km
0
90
180
270
360
450
540
…
（1）判断轿车行驶的路程与时间是否成正比例，并说明理由。
（2）在图中描出轿车行驶的路程与时间相对应的点，并将这些点连接起来。
（3）这辆轿车3.5时可以行驶 315 km；行驶495km需要 5.5 时。
【思路点拨】（1）判断两个相关联的量是不是成正比例，就看着两个量的比值是不是一定。
（2）根据表中数据描点并连线即可。
（3）根据速度＝路程÷时间、时间＝路程÷速度分别求出两个问题。
【规范解答】解：（1）因为＝＝＝＝＝，所以轿车行驶的路程与时间成正比例。
（2）描点并连线如图：
（3）90÷1＝90
90×3.5＝315（千米）
495÷90＝5.5（时）
答：这辆轿车3.5时可以行驶315km；行驶495km需要5.5时。
【考点评析】此题考查根据统计表中的信息，判断两种相关量的量是不是成正比例关系，绘制成正比例关系的两种量的图象，再根据有关数据，解决问题。
高频考点04：反比例
【典例精讲04】（2021•东莞市）表中，如果a和b成反比例关系，空格里应填（ ）
a
4
6
b
12
A．2 B．8 C．18 D．24
【思路点拨】如果a和b成反比例关系，则a与b的乘积一定，据此列比例式解答。
【规范解答】解：如果a和b成反比例关系，则：
4b＝6×12
4b÷4＝72÷4
b＝18
故选：C。
【考点评析】两种相关联的量成反比例关系，则两种量的乘积一定。
【举一反三10】（2022春•平乡县校级月考）成反比例的量是（ ）
A．A和B互为倒数
B．圆柱的高一定，体积和底面积
C．被减数一定，减数与差
D．除数一定，商和被除数
【思路点拨】判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例．据此逐项分析后再进行选择．
【规范解答】解：A、因为A和B互为倒数，所以A×B＝1（一定），是乘积一定，A和B成反比例；
B、圆柱的体积÷底面积＝高（一定），是比值一定，圆柱的体积和底面积成正比例；
C、减数+差＝被减数（一定），是和一定，减数和差不成比例；
D、被除数÷商＝除数（一定），是比值一定，被除数和商成正比例．
故选：A。
【考点评析】此题属于辨识成反比例的量，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出判断．
【举一反三11】（2022•玉田县）面粉厂要包装一批面粉，每袋面粉的质量和所用的袋数情况如下表：根据所给数据将表格填写完整。
每袋质量（千克）
5
10
15
20
25
所用袋数（袋）
1200
600
400
300
240
【思路点拨】根据表中数据可以判断每袋面粉的质量和所用的袋数成反比例，据此解答。
【规范解答】解：5×1200＝10×600＝15×400，所以每袋面粉的质量和所用的袋数成反比例。
5×1200÷20＝300（袋）
5×1200÷25＝240（袋）
故答案为：300，240。
【考点评析】本题考查了用比例解决实际问题，确定相两个相关联的量是乘积一定还是比值一定是关键。
【举一反三12】（2016•舟山校级模拟）从甲城出发到乙城，汽车的速度与所需的时间成反比例． √ （判断对错）
【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【规范解答】解：汽车的速度×所需的时间＝甲城到乙城的总路程（一定），是乘积一定，所以成反比例；
故答案为：√．
【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
高频考点05：辨识成正比例的量与成反比例的量
【典例精讲05】（2022•惠城区）下面说法中错误的是（ ）
A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例
B．铺地面积一定，方砖的面积与所需的块数成反比例
C．一个圆的面积和它的半径成正比例
D．正方形的周长和它的边长成正比例
【思路点拨】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。平行四边形的面积（一定）＝底×高，铺地的总面积（一定）＝每块方砖的面积×需要的块数，圆的面积÷它的半径＝圆周率×半径，正方形的周长÷边长＝4（一定），结合正比例和反比例的意义即可判断。
【规范解答】解：A．平行四边形的面积（一定）＝底×高，是乘积一定，所以底和高成反比例；原句正确；
B．铺地的总面积（一定）＝每块方砖的面积×需要的块数，是乘积一定，所以方砖的边长与所需的块数成反比例；原句正确；
C．一个圆的面积÷它的半径＝圆周率×半径，半径不一定，则圆周率×半径就不一定，是比值不一定，所以圆的面积和它的半径不成正比例，原句错误；
D．正方形的周长÷边长＝4（一定），是对应的比值一定，所以正方形的周长和边长成正比例，原句正确。
故选：C。
【考点评析】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，还是对应的其它量一定，再做出判断。
【举一反三13】（2022•黔东南州），当A一定时，B与C成 反 比例；当C一定时，A与B成 正 比例．
【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【规范解答】解：，所以A÷C＝B，BC＝A，当A一定时，B与C成反比例；当C一定时，A与B成正比例．
故答案为：反，正．
【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
【举一反三14】（2022•济宁）正方体的一个面的面积和它的表面积成正比例． √ ．（判断对错）
【思路点拨】判断正方体的一个面的面积和它的表面积之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【规范解答】解：正方体的表面积÷一个面的面积＝6（一定），是比值一定，
所以正方体的一个面的面积和它的表面积成正比例；
故答案为：√．
【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
【举一反三15】（2022•华阴市）五一期间，购买华山门票的张数与应付金额如表：
张数/张
0
1
2
3
4
……
应付金额/元
0
180
360
540
720
……
（1）购买门票的张数与应付金额成正比例吗？为什么？
（2）先根据上表描点，再顺次连接各点。
（3）某旅行社五一期间购买了65张华山门票，一共需要多少元？
【思路点拨】（1）求出应付金额与购买门票的张数的比值，确定两种量是不是成正比例。
（2）根据表中数据描点、连线。
（3）根据总价＝单价×数量解答。
【规范解答】解：（1）180÷1＝360÷2＝540÷3＝720÷4＝180
购买门票的金额与购买的张数的比值一定，所以购买门票的张数与应付金额成正比例。
（2）
（3）180×65＝11700（元）
答：购买65张华山门票，一共需要多少11700元。
【考点评析】本题考查了成正比例的量的识别、画正比例图像、根据正比例关系解决问题，综合性较强，需熟练掌握。
高频考点06：解比例
【典例精讲06】（2022•青州市）解比例（方程）。
x：＝：
＝
8x﹣2.4×5＝36
【思路点拨】（1）将比例式化成方程后两边同时除以；
（2）将比例式化成方程后两边同时除以9；
（3）先算2.4×5，然后方程的两边同时加上2.4×5的积，最后两边同时除以8。
【规范解答】解：（1）x：＝：
x＝×
x÷＝÷
x＝2
（2）＝
9x＝0.45×1.6
9x÷9＝0.72÷9
x＝0.08
（3）8x﹣2.4×5＝36
8x﹣12＝36
8x﹣12+12＝36+12
8x÷8＝48÷8
x＝6
【考点评析】本题考查了解方程和解比例，解题过有要利用等式的性质。
【举一反三16】（2022•云南）求未知数x的值。（每题3分，共9分）
1.4x+5.7＝9.2
【思路点拨】（1）方程的两边先同时减去5.7，然后两边同时除以1.4。
（2）方程的两边先同时乘5x，然后两边同时除以（5.6×5）的积。
（3）将比例式化成方程后两边同时除以5。
【规范解答】解：（1）1.4x+5.7＝9.2
1.4x+5.7﹣5.7＝9.2﹣5.7
1.4x÷1.4＝3.5÷1.4
x＝2.5
（2）＝5.6
×5x＝5.6×5x
28x＝14
28x÷28＝14÷28
x＝0.5
（3）x：42＝：5
5x＝42×
5x÷5＝18÷5
x＝3.6
【考点评析】本题考查了解方程和解比例，解题过程需利用等式的性质。
【举一反三17】（2022•惠阳区）解比例．
0.7：18＝21：x
＝
6：x＝：．
【思路点拨】（1）根据比例的基本性质，化成0.7x＝18×21，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.7求解；
（2）根据比例的基本性质，化成7x＝2×42，再根据等式的性质，方程两边同时除以7求解；
（3）根据比例的基本性质，化成x＝6×，再根据等式的性质，方程两边同时除以求解．
【规范解答】解：（1）0.7：18＝21：x
0.7x＝18×21
0.7x÷0.7＝18×21÷0.7
x＝540；
（2）＝
7x＝2×42
7x÷7＝2×42÷7
x＝12；
（3）6：x＝：
x＝6×
x÷＝6×÷
x＝4．
【考点评析】本题考查了学生利用等式的性质和比例的基本性质解方程的能力，注意等号要对齐．
【举一反三18】（2019春•西安期末）解方程或比例．
x+x＝5
x：32＝0.4：6.4
【思路点拨】（1）先化简，再根据等式的性质解答即可；
（2）先根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，变为一般的方程，然后再根据等式的性质解答即可．
【规范解答】解：（1）x+x＝5
x＝5
x÷＝5÷
x＝
（2）x：32＝0.4：6.4
6.4x＝32×0.4
6.4x＝12.8
6.4x÷2＝12.8÷2
x＝2
【考点评析】本题主要考查学生依据等式的性质，以及比例的基本性质解方程的能力，解方程时注意对齐等号；知识点：比例基本的性质是：两内项之积等于两外项之积．
高频考点07：比例的应用
【典例精讲07】（2022•睢县模拟）在一个此例中，两个内项互为倒数数，一个外项是，则另一个外项是 。
如果5a＝9b，那么 b ： a ＝5：9。
【思路点拨】根据比例的基本性质，在一个比例中，两个内项互为倒数，则两个外项也互为倒数，互为倒数的两个数的乘积是1，所以用1除以一个外项就等于另一个外项。
根据比例的性质，9和b是外项，5和a是内项，据此写出比例。
【规范解答】解：1÷＝
答：另一个外项是。
因为5a＝9b，所以b：a＝5：9。
故答案为：；b，a。
【考点评析】本题考查了倒数的意义和比例的基本性质。
【举一反三19】（2021•汶上县）甲杯糖水中糖与水的质量之比是1：4，乙杯糖水中糖与水的质量之比是2：7，乙杯中的糖水甜一些。 √ （判断对错）
【思路点拨】求出两种杯中糖与水的比值，比值大的糖水就甜。
【规范解答】解：1：4＝＝0.25
2：7＝≈0.29
0.29＞0.25
答：乙杯中的糖水甜一些。所以原题说法正确。
故答案为：√。
【考点评析】本题考查了比的意义和求比值的问题。
【举一反三20】（2022•鼓楼区）为了抗击疫情，先锋口罩厂计划生产一批口罩，如果每天生产4万只，需要25天才能完成，实际只用20天就完成任务，实际每天生产多少万只口罩？（用比例知识解）
【思路点拨】由题意可知：这批口罩的总量是一定的，则每天生产的量与生产天数成反比例，据此即可列比例求解。
【规范解答】解：设实际每天生产口罩x万只口罩。
20x＝4×25
20x＝100
x＝5
答：实际每天生产5万只口罩。
【考点评析】解答此题的关键是明白：若两个相关联量的乘积一定，则这两个量成反比例，从而可以列比例求解。
【举一反三21】（2021•西安）一个筑路队铺一段铁路，原计划每天铺3.2千米，实际每天比原计划多铺25%，实际铺完这段铁路用了12天，原计划用多少天铺完？（用比例解）
【思路点拨】把原计划每天铺的长度看作单位“1”，则实际每天铺[3.2×（1+25%）]千米；这段铁路的长度一定，则每天铺的长度与铺的天数成反比，据此可列比例解答．
【规范解答】解：设原计划铺x天，
3.2x＝3.2×（1+25%）×12，
3.2x＝4×12，
3.2x＝48，
x＝15；
答：原计划用15天铺完．
【考点评析】解答此题的关键是：先求出实际每天铺的长度，再据这段铁路的长度一定，则每天铺的长度与铺的天数成反比，即可列比例求解
一．选择题
1．（2022•电白区）下面各题，两种量成正比例关系的是（ ）
A．汽车的速度一定，行驶的时间和路程
B．圆的面积与它的半径
C．平行四边形面积一定，它的底和高
D．长方形周长一定，它的长和宽
【思路点拨】A、根据反比例的意义，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，两种相关联的量中相对应的两个数的乘积一定，这两种相关联的成反比例。据此判断。
B、根据圆的面积公式：S＝πr2，因为圆周率一定，所以圆的面积与半径的平方成正比例，圆的面积与半径不成比例。据此判断。
C、根据平行四边形的面积公式：S＝ah，平行四边形面积一定，它的底和高成反比例。据此判断。
D、根据长方形的周长＝（长+宽）×2，所以长方形的周长一定，长和宽不成比例。据此判断。
【规范解答】解：A、汽车的速度一定，行驶的时间和路程成正比例。
B、圆的面积与半径不成比例。
C、平行四边形面积一定，它的底和高成反比例。
D、长方形的周长一定，长和宽不成比例。
故选：A。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握正反比例的意义及应用。
2．（2022•阳信县）下面说法正确的有（ ）个。
①圆的面积与半径成正比例。
②0是整数，但不是负数。
③一个班有男生25人、女生22人，至少有2个女生是同一个月出生的。
④方程一定是等式，等式不一定是方程。
⑤一吨的铁要比一吨的棉花重。
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】①圆的面积÷半径的平方＝π，比值一定，圆的面积和半径的平方成正比例关系；
②0是整数，不是负数；
③一年有12个月，把这12个月看做12个抽屉，把女生的人数看做元素，由此利用抽屉原理即可解答；
④紧扣方程的定义，由此可以解决问题；
⑤单位相同，数量相同所以一样重，据此解答。
【规范解答】解：①圆的面积÷半径的平方＝π，比值一定，圆的面积和半径的平方成正比例关系，故原说法错误；
②0是整数，不是负数，故原说法正确；
③22÷12＝1（人）……10（人）
1+1＝2（人）
至少有2个女生是同一个月出生的，故原说法正确；
④方程一定是等式，等式不一定是方程，故原说法正确；
⑤1吨＝1吨，故原说法错误。
故选：C。
【考点评析】此题考查的知识点较多，有辨别正比例的关系、负数的意义、抽屉原理、方程和质量单位。
3．（2022•黄陵县）下面各组中的两个比，可以组成比例的是（ ）
A．6：3和1.2：6 B．：8和8：
C．9：6和6：4 D．1.2：和：5
【思路点拨】根据比例的基本性质“在比例中，两外项的积等于两内项的积”，分别计算求出两内项的积和两外项的积，如果相等，就说明两个比能组成比例，不相等就不能组成比例。
【规范解答】解：A.因为6×6≠3×1.2，所以6：3和1.2：6不能组成比例；
B.×≠8×8，所以：8和8：不能组成比例；
C.9×4＝6×6，所以9：6和6：4能组成比例；
D.1.2×5≠×，所以1.2：和：5不能组成比例。
故选：C。
【考点评析】此题需要学生熟练掌握比例的基本性质并灵活运用。
4．（2022•巩义市）下面说法错误的是（ ）
A．6，4，2和5这四个数能组成比例
B．6个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人
C．一辆变速自行车，前齿轮的齿数为：48，40；后齿轮的齿数为：28，24，20，18，16，14。一共有12种组合
【思路点拨】A.根据比例的基本性质可以判断四个数是否能组成比例；
B.根据抽屉原理的方法来判断；
C.用前齿轮的齿轮数乘后齿轮的齿轮数，就可以求出有多少种组合。
【规范解答】解：A.6×2≠4×5，所以6，4，2和5这四个数不能组成比例；故选项错误；
B.把4把椅子看作4个抽屉；6个人看作6个元素，最差情况是：每把椅子等分的话，都会获得1个；那还有2个人，随便分给哪两把椅子或者一把椅子都会使得有一把椅子至少坐2个人；故选项说法正确；
C.2×6＝12；所以一辆变速自行车，前齿轮的齿数为：48，40；后齿轮的齿数为：28，24，20，18，16，14，一共有12种组合；故选项说法正确。
故选：A。
【考点评析】此题需要学生熟练掌握比例的基本性质，抽屉原理的运用，以及排列组合。
5．（2022•章丘区模拟）如图所示，圆的面积与长方形面积相等，则阴影部分的周长与圆周长的比是（ ）
A．5：4 B．1：1 C．3：4 D．4：5
【思路点拨】通过观察图形可知，长方形的宽等于圆的半径，根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，据此求出半径，根据圆的面积公式：S＝πr2，长方形的面积公式：S＝ab，那么a＝S÷b，据此求出长方形的长，然后根据长方形的周长公式：C＝（a+b）×2，由此可知，阴影部分的周长等于长方形的两条长加上圆周长的四分之一，把圆的周长看作单位“1”，把圆的周长平均分成4份，则阴影部分的周长相当于（4+1）份，再根据比的意义解答即可。
【规范解答】解：假设圆的周长是12.56厘米，
圆的半径：12.56÷3.14÷2＝2（厘米）
圆的面积：3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
长方形的长：12.56÷2＝6.28（厘米）
阴影部分的周长：6.28×2+12.56÷4
＝12.56+3.14
＝15.7（厘米）
阴影部分的周长与圆的周长的比是：15.7：12.56＝5：4
答：阴影部分的周长与圆的周长的比是5：4。
故选：A。
【考点评析】此题主要考查圆的周长公式、面积公式、长方形的面积公式、周长公式的灵活运用，比的意义及应用，关键是熟记公式。
二．填空题
6．（2022•未央区）如果3a＝4b（a、b都不为0），那么a和b成 正 比例。当b＝0.6时，a＝ 0.8 。
【思路点拨】根据比例的基本性质将3a＝4b化成比例式，求出a：b的值，再确定a和b成正比例还是成反比例；将b＝0.6代入3a＝4b，解关于a的方程即可求出a的值。
【规范解答】解：3a＝4b
a：b＝4：3＝
a与b的比值一定，a与b成正比例。
将b＝0.8代入3a＝4b，则：
3a＝4×0.6
3a÷3＝2.4÷3
a＝0.8
故答案为：正，0.8。
【考点评析】解答本题需熟练掌握辨识成正比例的量和成反比例的量的方法及利用代入法求值的计算方法。
7．（2022•立山区）已知0.6×80＝40×1.2，分别写出两个不同的比例。 0.6：40＝1.2：80，0.6：1.2＝40：80
【思路点拨】根据比例的性质“在比例中，两个外项的积等于两个内项的积”来写出比例。
【规范解答】解：因为0.6×80＝40×1.2，所以0.6：40＝1.2：80，0.6：1.2＝40：80。（此题答案不唯一）
故答案为：0.6：40＝1.2：80，0.6：1.2＝40：80。（此题答案不唯一）
【考点评析】此题需要学生熟练掌握比例的基本性质并灵活运用。
8．（2022•虞城县）a和b均不为0，如果＝b，那么a与b成 正 比例，如果＝，那么a与b成 反 比例。
【思路点拨】两种相关联的量，若它们的比值一定，两种量成正比例关系；若它们的乘积一定，两种量成反比例关系。
【规范解答】解：如果＝b，则＝5，比值一定，a和b成正比例关系。
如果＝，则ab＝14，乘积一定，a和b成反比例关系。
故答案为：正，反。
【考点评析】辨识两种量成正比例关系还是成反比例关系，就看它们是比值一定还是乘积一定。
9．（2022•方城县）一个比例的两个外项的积是最小的质数，其中一个内项是，另一个内项是 5 。
【思路点拨】已知一个比例的两个内项之积是最小的质数2，利用比例的基本性质：内项之积等于外项之积，用内项之积除以一个外项等于另一个外项；即可解答。
【规范解答】解：2÷＝5
所以另一个内项是5。
故答案为：5。
【考点评析】主要考查学生对比例的基本性质的掌握和了解。
10．（2022•长沙）用a、4、5、12四个数可以组成比例，a最大是 15 。
【思路点拨】根据比例的基本性质，“在比例中，两个外项的积等于两个内项的积”，用最大两个数的积÷最小数＝a最大是几。
【规范解答】解：5×12÷4
＝60÷4
＝15
所以a最大是15。
故答案为：15。
【考点评析】关键是掌握并灵活运用比例的基本性质，比例的两内项积等于两外项积。
11．（2022•新密市）在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是2.4，则另一个内项是 。
【思路点拨】由于在比例里两个内项的积等于两个外项的积，根据“在一个比例中，两个外项互为倒数”，可知两个内项也互为倒数乘积是1，再根据“其中一个内项是2.4”，进一步求得另一个内项的数值。
【规范解答】解：两个外项互为倒数，则两个内项也互为倒数乘积是1，
1÷2.4＝
答：另一个内项是。
故答案为：。
【考点评析】此题考查比例的基本性质及倒数的意义的运用。
12．（2018•阆中市）一个数能与3，4，5组成比例，这个数最大是 ．
【思路点拨】要使这个数最大，只要使组成的比例的两内项之积等于两外项之积最大即可．
【规范解答】解：设这个数最大的x，由题意得
3x＝4×5
3x＝20
x＝．
故答案为：．
【考点评析】重点理解只要使组成的比例的两内项之积等于两外项之积最大，那么这个数就最大，进而列方程解答．
三．判断题
13．（2022•惠东县）如果7A＝9B（A、B都不等于0），那么A：B＝9：7。 √ （判断对错）
【思路点拨】根据比例的基本性质，“在比例中，两个外项的积等于两个内项的积”可知，因为7A＝9B，如果A和7为外项，那么9和B是内项。
【规范解答】解：因为7A＝9B，那么A：B＝9：7，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【考点评析】此题需要学生熟练掌握比例的意义和基本性质并灵活运用。
14．（2022•鲁山县模拟）小圆周长与半径的比和大圆周长与半径的比不可以组成比例。 × （判断对错）
【思路点拨】圆的周长公式是C＝2πr，所以C：r＝2π，所以所有圆的周长：半径＝2π，那么小圆周长与半径的比和大圆周长与半径的比相等，因此能组成比例。
【规范解答】解：小圆周长与半径的比和大圆周长与半径的比可以组成比例；故原题说法错误。
故答案为：×。
【考点评析】此题需要学生掌握比例的意义和圆的周长公式。
15．（2022•泌阳县模拟）变速自行车蹬同样的圈数时，前后轮齿数比的比值越大，自行车走得越远。 √ （判断对错）
【思路点拨】自行车蹬一圈行进的距离＝（前齿轮齿数×前齿轮圈数）÷后齿轮齿数×2πR 根据公式我们不难发现对于轮胎相同的自行车来说，当前齿轮齿数与后齿轮齿数比值越大时，自行车蹬一圈行进的距离越远；进而得出结论。
【规范解答】解：由分析可知：对于轮胎相同的自行车来说，当前齿轮齿数与后齿轮齿数比值越大时，自行车蹬一圈行进的距离越远；
故答案为：√。
【考点评析】解答此题应结合题意，根据自行车蹬一圈行进的距离的计算方法进行解答。
四．计算题
16．（2022•扬州）解方程或比例。
（4.8+x）÷4＝2.5
x+＝
x：6.5＝4：3.25
【思路点拨】（4.8+x）÷4＝2.5，根据等式的性质2，方程两边同时乘4，再根据等式的性质1，方程两边同时减去4.8即可；
x+＝，根据等式的性质1，方程两边同时减去，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可；
x：6.5＝4：3.25，解比例，原式化为：3.25x＝6.5×4，再根据等式的性质2，方程两边同时除以3.25即可。
【规范解答】解：（4.8+x）÷4＝2.5
（4.8+x）÷4×5＝2.5×4
4.8+x＝10
4.8+x﹣4.8＝10﹣4.8
x＝5.2
x+＝
x+﹣＝﹣
x＝﹣
x＝
x÷＝÷
x＝×
x＝
x：6.5＝4：3.25
3.25x＝6.5×4
3.25x＝26
3.25x÷3.25＝26÷3.25
x＝8
【考点评析】本题是考查解方程，灵活运用等式的性质进行解方程，注意算的时候要细心。
17．（2022•西安）解方程。
：x＝0.5：0.2
20x÷4＝0.25
【思路点拨】（1）将比例式化成方程后两边同时除以0.5即可。
（2）方程两边同时乘4，然后两边同时除以20。
（3）将比例式化成方程后两边同时除以27即可。
【规范解答】解：（1）：x＝0.5：0.2
0.5x＝3×0.2
0.5x÷0.5＝0.7÷0.5
x＝
（2）20x÷4＝0.25
20x÷4×4＝0.25×4
20x÷20＝1÷20
x＝
（3）＝
27x＝7×9
27x÷27＝63÷27
x＝
【考点评析】本题考查了方程的解法，解题过程需利用等式的性质。
五．应用题
18．（2021•府谷县）工人加工一批零件，每小时加工个数与加工时间如表：
每小时加工个数/个
10
20
30
50
…
加工时间/时
60
30
20
12
…
（1）每小时加工个数与加工时间是不是成反比例？说明理由。
（2）如果工人每小时加工40个零件，加工完这批零件需要多少小时？
【思路点拨】判断加工时间与加工数量是否成正比例或反比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例，如果乘积一定，就成反比例。
【规范解答】解：（1）每小时加工个数与加工时间成反比例。
因为10×60＝20×30＝30×20＝50×12＝定值，所以每小时加工个数与加工时间成反比例。
（2）10×60÷40
＝60÷40
＝15（小时）
答：加工完这批零件需要15小时。
【考点评析】熟练掌握反比例的定义，是解答此题的关键。
19．（2022•崂山区）测量小组测量教学楼的影子长是22.5米，同时量得附近一个3米高的篮球架的影子长是4.5米，教学楼高多少米？（用比例知识解答）
【思路点拨】同样条件下，物体的高度与它的影子的比是一定的，也就是说，篮球架与其影子的比和教学楼与其影子的比是相等的，据此即可列比例求解。
【规范解答】解：设教学楼的高度为x米，
则3：4.5＝x：22.5
4.5x＝3×22.5
4.5x＝67.5
x＝15
答：教学楼的高度是15米。
【考点评析】解答此题的关键是明白：同样条件下，物体的高度与它的影子的比是一定的．
20．（2019•天河区模拟）晴晴全家“五一”到中山公园游玩，拍了许多照片，她买了一本相册，如果每页放6张照片，刚好放16页，现在晴晴打算每页只放4张，25页够放下这些照片吗？（用比例解）
【思路点拨】根据照片的数量是一定的，每页放相片的张数×放照片的页数＝照片的数量（一定），由此判断每页放相片的张数与放照片的页数成反比例，设出未知数，列出比例解答即可．
【规范解答】解：设每页只放4张，可以放x页，
4x＝6×16，
x＝，
x＝24，
因为25＞24，
所以25页够放下这些照片，
答：25页够放下这些照片．
【考点评析】解答此题的关键是，根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例；再列出比例解答即可．
六．操作题
21．（2022•薛城区）芳芳用水和蜂蜜为一家人调制了四杯蜂蜜水，蜂蜜和水的配比情况如表。
四杯蜂蜜水的配比情况统计表
第一杯
第二杯
第三杯
第四杯
蜂蜜/mL
12
11
10
14
水/mL
60
44
60
70
（1）其中最甜的一杯给弟弟，弟弟喝的是第 二 杯蜂蜜水，你判断的理由是 蜂蜜和水的配比比值最大 。
（2）同样甜的两杯给爸爸和妈妈，请你根据这两杯蜂蜜水的配比情况把它们组成一个比例 12：60＝14：70 。
【思路点拨】（1）分别写出四杯蜂蜜的配比，求出比值，比值越大的越甜，就是弟弟喝的蜂蜜水；
（2）找出比值两杯蜂蜜比值一样的蜂蜜水，然后写出比例。
【规范解答】解：（1）第一杯：12：60＝12÷60＝；
第二杯：11：44＝11÷44＝；
第三杯：10：60＝10÷60＝；
第四杯：14：70＝14÷70＝；
其中最大，所以第二杯最甜，因此其中最甜的一杯给弟弟，弟弟喝的是第二杯蜂蜜水，我判断的理由是蜂蜜和水的配比比值最大；
（2）由第（1）问的解答可知，第一杯和第二杯的比值都是，所以同样甜的两杯给爸爸和妈妈，根据这两杯蜂蜜水的配比情况把它们组成一个比例是12：60＝14：70。
故答案为：（1）二；蜂蜜和水的配比比值最大；（2）12：60＝14：70。
【考点评析】此题需要学生熟练掌握比例的意义，以及求比值的方法。
七．解答题
22．（2021•邻水县）某工厂每天的烧煤量和烧的天数的情况如表。
每天的烧煤量（吨）
4
6
12
18
烧的天数（天）
9
6
3
2
（1）表中两种量成什么关系？说明理由。
（2）如果每天烧5吨煤，照这样计算，可以烧几天？
（3）如果10天烧完，每天烧多少吨煤？
【思路点拨】（1）根据表可知：每天的烧煤量×烧的天数＝煤的总重（一定），即每天的烧煤量和烧的天数成反比例；据此即可判断；
（2）先求出煤的总重，然后除以5即可；
（3）先求出煤的总重，然后除以3即可。
【规范解答】解：（1）因为4×9＝6×6＝12×3＝18×2，即每天的烧煤量×烧的天数＝煤的总重（一定），所以每天的烧煤量和烧的天数成反比例关系。
（2）4×9÷5＝7.2（天）
答：照这样计算，可以烧7.2天。
（3）4×9÷10
＝36÷10
＝3.6（吨）
答：如果10天烧完，每天烧3.6吨煤。
【考点评析】此题考查正、反比例的意义，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
23．（2022•石泉县）王奶奶家装修房子，用面积是9平方分米的方砖铺地要用160块，如果改用边长为4分米的方砖铺地，要用多少块？（用比例解）
【思路点拨】设用边长为4分米的方砖铺地要用x块，根据房子的面积一定，可以列出比例（4×4）×x＝160×9，解比例即可求解．
【规范解答】解：设用边长为4分米的方砖铺地要用x块，则：
（4×4）×x＝160×9，
16x＝1440，
x＝1440÷16，
x＝90．
答：要用90块．
【考点评析】考查了反比例的应用，本题注意是每块方砖的面积×方砖的块数的乘积一定．
24．（2021•合阳县）某造纸厂造纸吨数和造纸时间如表。
造纸时间/时
0
1
2
3
4
5
6
……
造纸吨数/吨
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
……
（1）造纸吨数与造纸时间是否成正比例关系？为什么？
（2）根据表中的数据，在图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。
（3）该造纸厂4.5小时可以造纸 2.25 吨，造3.75吨纸需要 7.5 小时。
【思路点拨】（1）造纸吨数与造纸时间是否成正比例，就看它们的比值是否一定，根据表中数据求比值判断。
（2）根据表中的数据，在图中描点、连线。
（3）根据造纸吨数＝每小时造纸吨数×造纸时间求4.5小时的造纸吨数，再根据造纸吨数÷每小时造纸吨数＝造纸时间求造3.75吨纸需要的时间。
【规范解答】解：（1）1：0.5＝2：1＝3：1.5＝4：2＝5：2.4＝6：3＝2
比值一定，造纸吨数与造纸时间成正比例关系。
（2）
（3）0.5×4.5＝2.25（吨）
3.75÷0.5＝7.5（时）
答：4.5小时可以造纸2.25吨，造3.75吨纸需要7.5小时。
故答案为：2.25，7.5。
【考点评析】本题考查了正比例关系的判断、正比例图像的绘制、根据正比例解决问题，综合性强，需熟练掌握。
25．（2021•阎良区）某环保节能造纸厂生产总量与所用时间如表。
时间/天
0
1
2
3
4
5
……
生产总量/吨
0
12
24
36
48
60
……
（1）生产总量和时间成正比例关系吗？说明理由。
（2）在图中描出时间与生产总量对应的点，再顺次连接。
（3）8天可以生产 96 吨纸，生产90吨纸需要 7.5 天。
【思路点拨】（1）因为生产总量÷生产的天数＝每天的工作效率（一定），所以生产总量和生产的时间成正比例；
（2）首先根据统计表中的数据在图中描出各点，然后顺次连接各点即可；
（3）每天的生产效率×生产的天数＝生产总量即可解答。
【规范解答】解：（1）12÷1＝12（吨/天）
24÷2﹣12（吨/天）
36÷3＝12（吨/天）
48÷4＝12（吨/天）
60÷5＝12（吨/天）
因为生产总量÷生产的天数＝每天的工作效率（一定），比值一定，所以生产总量和时间成正比例关系；
（2）如图所示：
（3）8×12＝96（吨）
90÷12＝7.5（天）
答：8天可以生产96吨纸，生产90吨纸需要7.5天。
故答案为：96，7.5。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握正比例的意义及应用．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（即两个数的商）一定，这两种就叫做成正比例的量，它们的关系就是正比例关系。
26．（2019•杭州模拟）买来一批煤，计划每天烧吨，可烧20天；实际每天比原来节约20%，这样可以烧多少天？
（用比例解答）
【思路点拨】根据题意知道一批煤的总重量一定，每天烧煤的吨数×烧煤的天数＝一批煤的总重量（一定），所以每天烧煤的吨数与烧煤的天数成反比例，由此找准对应的量，列式解答即可．
【规范解答】解：设这样可以烧x天，
×（1﹣20%）x＝×20
0.2x＝5
x＝25
答：这样可以烧25天．
【考点评析】本题关键是判断出每天烧煤的吨数与烧煤的天数成反比例，注意实际每天烧煤的吨数是×（1﹣20%）吨．
27．（2019•杭州模拟）一个晒盐场用100克的海水，可以晒出3克盐．如果一块盐田一次放入5000吨的海水，可以晒出多少吨盐？
【思路点拨】根据题意知道，海水的克数和盐的克数的比值一定，所以海水的克数和盐的克数成正比例，由此列式解答即可．
【规范解答】解：设可以晒出x吨盐．
100：3＝5000：x
100x＝3×5000
x＝150；
答：可以晒出150吨盐．
【考点评析】解答此题的关键是，弄清题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，再找准对应量，列式解答即可．
2022-2023学年小升初数学举一反三重难点培优讲义
专题10 比例的认识及问题解决
考点梳理
知识要点
高分妙招
比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例
根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例
比例的基本性质
1.组成比例的四个数，叫做比例的项,两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比
例的内项。
2.比例的基本性质:在比例里，两个外项的积
等于两个内项的积。用式子表示:若a:b=c:d或(b,d不为0),则ad= bc。
1.当比例的形式为
时,a和d仍为外项,b和c仍为内项。
2.根据比例的基本性质不仅能判断两个比是 否能组成比例,还能解比例。
3.根据一个比例，可以另外写出几个不同的比例，但内项的积始终和外项的积相等。
解比例
求比例中的未知项叫做解比例
根据比例的基本性质,已知比
例中的任何三项,就可以求出比例中的另外一个未知项。
正比例与反比例
1.两种相关联的量,一种量变化,另一种量也
随着变化，如果这两种量中相对应的两个
数的比值一定,这两种量就叫做成正比例的
量，它们的关系叫做正比例关系。用式子
表示为:=k(一定)；
2.两种相关联的量,一种量变化,另一种量也
随着变化，如果这两种量中相对应的两个数
的乘积一定,这两种量就叫做成反比例的
量,它们的关系叫做反比例关系。用式子表
示为:xy=k(一定)。
1.正比例的判定:先判断两种量是不是相关的量,即一种量变化,另一种量也随着变化,再判断这两种量相对应的两个数的比值是否一定。正比例关系的图象是一条经过原点的直线。
2.反比例的判定:先判断两种量是不是相关的量，再判断这两种量相对应的两个数的乘积是否一定。反比例关系的图象是一条光滑的曲线。
正、反比例的应用
解决正、反比例的实际问题的方法:
1.找出题目中两种相关联的量
2.判断它们是不是成正比例或反比例的关系,设未知数
3.根据正比例或反比例的意义列出比例
4.最后解比例
5.检验
6.作答
根据题目中的数量关系,判断两种量是否成比例，列出对应关系解答。
比例尺
1.比例尺:一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
2.公式:图上距离:实际距离=比例尺或=比例尺。
3.比例尺可分为数值比例尺和线段比例尺。
比例尺是比,不能带计量单位。求比例尺时，图上距离和实际距离的单位要统一,比例尺一般写成前项为“1”或后项为“1”的形式。
高频考点01：比例的意义和基本性质
【典例精讲01】（2022•坪山区）下面各式中，能与5：6组成比例的是（ ）
A． B．1.5：1.6 C． D．6：5
【思路点拨】先求出5：6的比值，然后逐项求出每一个比的比值，再根据比例的意义，与5：6的比值相等的两个比就能组成比例。
【规范解答】解：5：6＝；
A.：＝÷＝，＝，能组成比例；
B.1.5：1.6＝，≠；不能组成比例；
C.：＝÷＝，≠，不能组成比例；
D.6：5＝，≠，不能组成比例。
故选：A。
【考点评析】此题考查比例的意义和性质的运用：判断两个比能否组成比例，可以用求比值的方法：两个比的比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例；也可以根据比例的性质：两外项的积等于两内项的积判断。
【举一反三01】．（2022•武进区模拟）下面各比中，（ ）能与：4组成比例。
A．5：4 B．20：1 C．1：20 D．5：
【思路点拨】根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。求各比的比值，比较即可。
【规范解答】解：：4＝÷4＝
A.5：4＝5÷4＝，所以5：4与：4不能组成比例；
B.20：1＝20÷1＝20，所以20：1与：4不能组成比例；
C.1：20＝1÷20＝，所以1：20与：4能组成比例；
D.5：＝5÷＝20，所以5：与：4不能组成比例。
故选：C。
【考点评析】本题主要考查比例的意义的应用。
【举一反三02】（2022•淮上区）a的等于b的，求a与b的最简比。在写出等式a×＝b×后，小华和小明使用了两种不同的方法。
（1）小华假设了一个具体的数值。例如，假设等号两边的积都等于1，那么，a＝ ，b＝ ，a与b的最简比是 6：5 。
（2）小明运用比例的基本性质，根据上面的等式直接写出比例a：b＝ ： ，再化简成最简比就可以。
【思路点拨】（1）假设等号两边的积都等于1，那么a×＝1，b×＝1，分别算出a、b是多少，然后写出a和b的最简比；
（2）根据比例的性质“在比例中，两个外项的积等于两个内项的积”可知，b和是内项，a和是外项。
【规范解答】解：（1）a×＝1
a＝1÷
a＝
b×＝1
b＝1÷
b＝
a：b＝：＝（×4）：（×4）＝6：5
所以小华假设了一个具体的数值，例如，假设等号两边的积都等于1，那么，a＝，b＝，a与b的最简比是6：5。
（2）因为a×＝b×，所以a：b＝：＝（×15）：（×15）＝12：10＝6：5；
所以小明运用比例的基本性质，根据上面的等式直接写出比例a：b＝：，再化简成最简比就可以。
故答案为：；；6：5；：。
【考点评析】此题需要学生熟练掌握比例的意义和基本性质并灵活运用。
【举一反三03】（2022•殷都区）把2.4×5＝2×6改写成比例为 2：2.4＝5：6 。
【思路点拨】逆用比例的基本性质“在比例中，两个外项的积等于两个内项的积”。
【规范解答】解：因为2.4×5＝2×6，所以可以使2.4和5在比例中为内项，2和6在比例中为外项，比例为：2：2.4＝5：6。（答案不唯一）
故答案为：2：2.4＝5：6。（答案不唯一）
【考点评析】此题需要学生熟练掌握比例的基本性质并灵活运用。
高频考点02：正比例和反比例的意义
【典例精讲02】（2022•无棣县）下面表格中，如果a和b成反比例，那么空格中应该填 0.25 ；如果a和b成正比例，那么空格中应该填 0.64 。
a
5
8
b
0.4
【思路点拨】两个相关联的量，若两个量成正比例关系，则其比值一定；若两个量成反比例关系，则其乘积一定。
【规范解答】解：若a和b成反比例，则：
8b＝5×0.4
8b＝2
8b÷8＝2÷8
b＝0.25
若a和b成正比例，则：
5：0.4＝8：b
5b＝0.4×8
5b＝3.2
5b÷5＝3.2÷5
b＝0.64
故答案为：0.25，0.64。
【考点评析】解决本题的关键是根据成哪种比例关系列出比例式，再根据等式的性质解比例。
【举一反三04】（2022•富县）自行车前齿轮转的圈数×前齿轮齿数＝后齿轮转的圈数×后齿轮齿数． √ （判断对错）
【思路点拨】根据反比例的意义，路程相同，前齿轮转的圈数×前齿轮齿数＝后齿轮转的圈数×后齿轮齿数，据此解答即可．
【规范解答】解：根据反比例的意义，路程相同，自行车前齿轮转的圈数×前齿轮齿数＝后齿轮转的圈数×后齿轮齿数．
所以原题说法正确；
故答案为：√．
【考点评析】此题主要考查了比的意义的应用，注意联系生活实际，解答此题的关键是要明确：前齿轮的齿数×前齿轮的圈数＝后齿轮的齿数×后齿轮的圈数．
【举一反三05】（2022•宁强县）某台榨油机的生产时间与产量的关系如下。
生产时间/时
0
1
2
3
4
5
6
产量/吨
0
4
8
12
16
20
24
（1）判断这台榨油机的生产时间与产量是不是成正比例，并说明理由。
（2）根据表中数据，在图中描出这台榨油机的生产时间与产量所对应的点，再把这些点依次连接起来。
（3）这台榨油机4.5时可以榨 18 吨油；榨70吨油需要 17.5 时。
【思路点拨】（1）求出产量与生产时间的比，求出比值后即可判断。
（2）依据表中的数据描点并连线。
（3）根据生产时间、产量和每小时的生产量之间的关系解答。
【规范解答】解：（1）4：1＝8：2＝12：3＝16：4＝20：5＝24：6＝4
产量与生产时间的比值一定，产量与生产时间成正比例。
（2）
（3）4×4.5＝18（吨）
70÷4＝17.5（时）
故答案为：18，7.5。
【考点评析】本题考查了成正比例关系的判断、正比例图像的画法及利用正比例关系解决问题，属于基础知识，需熟练掌握。
【举一反三06】（2020•清丰县）已知x与y成正比例关系，在下表的空格中填写合适的数。
x
1
2
4
5
20
y
2.5
7.5
20
【思路点拨】已知x与y成正比例关系，即x：y的比值一定，根据x：y＝1：2.5＝0.4逐项解答即可。
【规范解答】解：因为x：y＝1：2.5＝0.4
2：y＝0.4
y＝2÷0.4
y＝5
x：7.5＝0.4
x＝7.5×0.4
x＝3
4：y＝0.4
y＝4÷0.4
y＝10
5：y＝0.4
y＝5÷0.4
y＝12.5
x：20＝0.4
x＝20×0.4
x＝8
20：y＝0.4
y＝20÷0.4
y＝50
故答案为：3，8，5，10，12.5，50。
【考点评析】此题考查了正比例关系的运用，也可运用比的性质解答．
高频考点03：正比例
【典例精讲03】（2020•木兰县）下列各题中的两种量，成正比例的是（ ）
A．小东的身高和体重 B．圆的半径和面积
C．圆的半径和周长
【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。
【规范解答】解：A.身高和体重的比值不一定，所以小东的身高和体重不成比例；
B.圆的面积÷半径＝圆周率×半径，圆周率乘半径的乘积不一定，所以圆的面积和圆的半径不成比例；
C.圆的周长÷圆周率÷2＝半径（一定），所以圆的半径和周长成正比例。
故选：C。
【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。
【举一反三07】（2022•防城港模拟）图是超市出售一种笔的支数和总价的关系图。
（1）图中总价是随着支数的变化而变化，
这两种量成 正 比例。
（2）售出2支笔的总价是 16 元，
售出 4 支笔的总价是32元。
（3）售出了12支笔，总价是 96 元。
【思路点拨】（1）图像是一条直线，所以总价和支数成正比例关系。
（2）从图像中可以看出，每支笔的单价为8元，根据总价＝单价×数量、数量＝总价÷单价解答。
（3）根据总价＝单价×数量解答。
【规范解答】解：（1）图中总价是随着支数的变化而变化，这两种量成正比例。
（2）8×2＝16（元）
32÷8＝4（支）
答：售出2支笔的总价是16元，售出4支笔的总价是32元。
（3）8×12＝96（元）
答：售出了12支笔，总价是96元。
故答案为：正；16，4；96。
【考点评析】本题考查了根据比例图像解决问题，能根据图像分析数量关系是关键。
【举一反三08】（2021•平舆县）车轮周长一定，所行驶的路程和车轮的转数成 正 比例．
【思路点拨】判定两种相关联的量是否成正、反比例，要看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定就成正比例；如果是乘积一定就成反比例．
【规范解答】解：行驶的路程÷车轮的转数＝车轮的周长（一定），是比值一定，所以成正比例；
故答案为：正．
【考点评析】此题属于根据正、反比例的意义，判断两种相关联的量是成正比例还是成反比例，就看两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做出解答．
【举一反三09】（2022•临县）一辆轿车在公路上行驶的时间和路程的情况如表。
时间/时
0
1
2
3
4
5
6
…
路程/km
0
90
180
270
360
450
540
…
（1）判断轿车行驶的路程与时间是否成正比例，并说明理由。
（2）在图中描出轿车行驶的路程与时间相对应的点，并将这些点连接起来。
（3）这辆轿车3.5时可以行驶 315 km；行驶495km需要 5.5 时。
【思路点拨】（1）判断两个相关联的量是不是成正比例，就看着两个量的比值是不是一定。
（2）根据表中数据描点并连线即可。
（3）根据速度＝路程÷时间、时间＝路程÷速度分别求出两个问题。
【规范解答】解：（1）因为＝＝＝＝＝，所以轿车行驶的路程与时间成正比例。
（2）描点并连线如图：
（3）90÷1＝90
90×3.5＝315（千米）
495÷90＝5.5（时）
答：这辆轿车3.5时可以行驶315km；行驶495km需要5.5时。
【考点评析】此题考查根据统计表中的信息，判断两种相关量的量是不是成正比例关系，绘制成正比例关系的两种量的图象，再根据有关数据，解决问题。
高频考点04：反比例
【典例精讲04】（2021•东莞市）表中，如果a和b成反比例关系，空格里应填（ ）
a
4
6
b
12
A．2 B．8 C．18 D．24
【思路点拨】如果a和b成反比例关系，则a与b的乘积一定，据此列比例式解答。
【规范解答】解：如果a和b成反比例关系，则：
4b＝6×12
4b÷4＝72÷4
b＝18
故选：C。
【考点评析】两种相关联的量成反比例关系，则两种量的乘积一定。
【举一反三10】（2022春•平乡县校级月考）成反比例的量是（ ）
A．A和B互为倒数
B．圆柱的高一定，体积和底面积
C．被减数一定，减数与差
D．除数一定，商和被除数
【思路点拨】判断两种相关联的量是否成反比例，就看这两种量是否是对应的乘积一定，如果是乘积一定，就成反比例，如果不是乘积一定或乘积不一定，就不成反比例．据此逐项分析后再进行选择．
【规范解答】解：A、因为A和B互为倒数，所以A×B＝1（一定），是乘积一定，A和B成反比例；
B、圆柱的体积÷底面积＝高（一定），是比值一定，圆柱的体积和底面积成正比例；
C、减数+差＝被减数（一定），是和一定，减数和差不成比例；
D、被除数÷商＝除数（一定），是比值一定，被除数和商成正比例．
故选：A。
【考点评析】此题属于辨识成反比例的量，就看这两种量是否是对应的乘积一定，再做出判断．
【举一反三11】（2022•玉田县）面粉厂要包装一批面粉，每袋面粉的质量和所用的袋数情况如下表：根据所给数据将表格填写完整。
每袋质量（千克）
5
10
15
20
25
所用袋数（袋）
1200
600
400
300
240
【思路点拨】根据表中数据可以判断每袋面粉的质量和所用的袋数成反比例，据此解答。
【规范解答】解：5×1200＝10×600＝15×400，所以每袋面粉的质量和所用的袋数成反比例。
5×1200÷20＝300（袋）
5×1200÷25＝240（袋）
故答案为：300，240。
【考点评析】本题考查了用比例解决实际问题，确定相两个相关联的量是乘积一定还是比值一定是关键。
【举一反三12】（2016•舟山校级模拟）从甲城出发到乙城，汽车的速度与所需的时间成反比例． √ （判断对错）
【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【规范解答】解：汽车的速度×所需的时间＝甲城到乙城的总路程（一定），是乘积一定，所以成反比例；
故答案为：√．
【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
高频考点05：辨识成正比例的量与成反比例的量
【典例精讲05】（2022•惠城区）下面说法中错误的是（ ）
A．平行四边形的面积一定，底和高成反比例
B．铺地面积一定，方砖的面积与所需的块数成反比例
C．一个圆的面积和它的半径成正比例
D．正方形的周长和它的边长成正比例
【思路点拨】判断两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例，如果是其它的量一定或乘积、比值不一定，就不成比例。平行四边形的面积（一定）＝底×高，铺地的总面积（一定）＝每块方砖的面积×需要的块数，圆的面积÷它的半径＝圆周率×半径，正方形的周长÷边长＝4（一定），结合正比例和反比例的意义即可判断。
【规范解答】解：A．平行四边形的面积（一定）＝底×高，是乘积一定，所以底和高成反比例；原句正确；
B．铺地的总面积（一定）＝每块方砖的面积×需要的块数，是乘积一定，所以方砖的边长与所需的块数成反比例；原句正确；
C．一个圆的面积÷它的半径＝圆周率×半径，半径不一定，则圆周率×半径就不一定，是比值不一定，所以圆的面积和它的半径不成正比例，原句错误；
D．正方形的周长÷边长＝4（一定），是对应的比值一定，所以正方形的周长和边长成正比例，原句正确。
故选：C。
【考点评析】此题属于根据正、反比例的意义，辨识两种相关联的量成不成比例，成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，还是对应的其它量一定，再做出判断。
【举一反三13】（2022•黔东南州），当A一定时，B与C成 反 比例；当C一定时，A与B成 正 比例．
【思路点拨】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【规范解答】解：，所以A÷C＝B，BC＝A，当A一定时，B与C成反比例；当C一定时，A与B成正比例．
故答案为：反，正．
【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
【举一反三14】（2022•济宁）正方体的一个面的面积和它的表面积成正比例． √ ．（判断对错）
【思路点拨】判断正方体的一个面的面积和它的表面积之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例．
【规范解答】解：正方体的表面积÷一个面的面积＝6（一定），是比值一定，
所以正方体的一个面的面积和它的表面积成正比例；
故答案为：√．
【考点评析】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
【举一反三15】（2022•华阴市）五一期间，购买华山门票的张数与应付金额如表：
张数/张
0
1
2
3
4
……
应付金额/元
0
180
360
540
720
……
（1）购买门票的张数与应付金额成正比例吗？为什么？
（2）先根据上表描点，再顺次连接各点。
（3）某旅行社五一期间购买了65张华山门票，一共需要多少元？
【思路点拨】（1）求出应付金额与购买门票的张数的比值，确定两种量是不是成正比例。
（2）根据表中数据描点、连线。
（3）根据总价＝单价×数量解答。
【规范解答】解：（1）180÷1＝360÷2＝540÷3＝720÷4＝180
购买门票的金额与购买的张数的比值一定，所以购买门票的张数与应付金额成正比例。
（2）
（3）180×65＝11700（元）
答：购买65张华山门票，一共需要多少11700元。
【考点评析】本题考查了成正比例的量的识别、画正比例图像、根据正比例关系解决问题，综合性较强，需熟练掌握。
高频考点06：解比例
【典例精讲06】（2022•青州市）解比例（方程）。
x：＝：
＝
8x﹣2.4×5＝36
【思路点拨】（1）将比例式化成方程后两边同时除以；
（2）将比例式化成方程后两边同时除以9；
（3）先算2.4×5，然后方程的两边同时加上2.4×5的积，最后两边同时除以8。
【规范解答】解：（1）x：＝：
x＝×
x÷＝÷
x＝2
（2）＝
9x＝0.45×1.6
9x÷9＝0.72÷9
x＝0.08
（3）8x﹣2.4×5＝36
8x﹣12＝36
8x﹣12+12＝36+12
8x÷8＝48÷8
x＝6
【考点评析】本题考查了解方程和解比例，解题过有要利用等式的性质。
【举一反三16】（2022•云南）求未知数x的值。（每题3分，共9分）
1.4x+5.7＝9.2
【思路点拨】（1）方程的两边先同时减去5.7，然后两边同时除以1.4。
（2）方程的两边先同时乘5x，然后两边同时除以（5.6×5）的积。
（3）将比例式化成方程后两边同时除以5。
【规范解答】解：（1）1.4x+5.7＝9.2
1.4x+5.7﹣5.7＝9.2﹣5.7
1.4x÷1.4＝3.5÷1.4
x＝2.5
（2）＝5.6
×5x＝5.6×5x
28x＝14
28x÷28＝14÷28
x＝0.5
（3）x：42＝：5
5x＝42×
5x÷5＝18÷5
x＝3.6
【考点评析】本题考查了解方程和解比例，解题过程需利用等式的性质。
【举一反三17】（2022•惠阳区）解比例．
0.7：18＝21：x
＝
6：x＝：．
【思路点拨】（1）根据比例的基本性质，化成0.7x＝18×21，再根据等式的性质，方程两边同时除以0.7求解；
（2）根据比例的基本性质，化成7x＝2×42，再根据等式的性质，方程两边同时除以7求解；
（3）根据比例的基本性质，化成x＝6×，再根据等式的性质，方程两边同时除以求解．
【规范解答】解：（1）0.7：18＝21：x
0.7x＝18×21
0.7x÷0.7＝18×21÷0.7
x＝540；
（2）＝
7x＝2×42
7x÷7＝2×42÷7
x＝12；
（3）6：x＝：
x＝6×
x÷＝6×÷
x＝4．
【考点评析】本题考查了学生利用等式的性质和比例的基本性质解方程的能力，注意等号要对齐．
【举一反三18】（2019春•西安期末）解方程或比例．
x+x＝5
x：32＝0.4：6.4
【思路点拨】（1）先化简，再根据等式的性质解答即可；
（2）先根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，变为一般的方程，然后再根据等式的性质解答即可．
【规范解答】解：（1）x+x＝5
x＝5
x÷＝5÷
x＝
（2）x：32＝0.4：6.4
6.4x＝32×0.4
6.4x＝12.8
6.4x÷2＝12.8÷2
x＝2
【考点评析】本题主要考查学生依据等式的性质，以及比例的基本性质解方程的能力，解方程时注意对齐等号；知识点：比例基本的性质是：两内项之积等于两外项之积．
高频考点07：比例的应用
【典例精讲07】（2022•睢县模拟）在一个此例中，两个内项互为倒数数，一个外项是，则另一个外项是 。
如果5a＝9b，那么 b ： a ＝5：9。
【思路点拨】根据比例的基本性质，在一个比例中，两个内项互为倒数，则两个外项也互为倒数，互为倒数的两个数的乘积是1，所以用1除以一个外项就等于另一个外项。
根据比例的性质，9和b是外项，5和a是内项，据此写出比例。
【规范解答】解：1÷＝
答：另一个外项是。
因为5a＝9b，所以b：a＝5：9。
故答案为：；b，a。
【考点评析】本题考查了倒数的意义和比例的基本性质。
【举一反三19】（2021•汶上县）甲杯糖水中糖与水的质量之比是1：4，乙杯糖水中糖与水的质量之比是2：7，乙杯中的糖水甜一些。 √ （判断对错）
【思路点拨】求出两种杯中糖与水的比值，比值大的糖水就甜。
【规范解答】解：1：4＝＝0.25
2：7＝≈0.29
0.29＞0.25
答：乙杯中的糖水甜一些。所以原题说法正确。
故答案为：√。
【考点评析】本题考查了比的意义和求比值的问题。
【举一反三20】（2022•鼓楼区）为了抗击疫情，先锋口罩厂计划生产一批口罩，如果每天生产4万只，需要25天才能完成，实际只用20天就完成任务，实际每天生产多少万只口罩？（用比例知识解）
【思路点拨】由题意可知：这批口罩的总量是一定的，则每天生产的量与生产天数成反比例，据此即可列比例求解。
【规范解答】解：设实际每天生产口罩x万只口罩。
20x＝4×25
20x＝100
x＝5
答：实际每天生产5万只口罩。
【考点评析】解答此题的关键是明白：若两个相关联量的乘积一定，则这两个量成反比例，从而可以列比例求解。
【举一反三21】（2021•西安）一个筑路队铺一段铁路，原计划每天铺3.2千米，实际每天比原计划多铺25%，实际铺完这段铁路用了12天，原计划用多少天铺完？（用比例解）
【思路点拨】把原计划每天铺的长度看作单位“1”，则实际每天铺[3.2×（1+25%）]千米；这段铁路的长度一定，则每天铺的长度与铺的天数成反比，据此可列比例解答．
【规范解答】解：设原计划铺x天，
3.2x＝3.2×（1+25%）×12，
3.2x＝4×12，
3.2x＝48，
x＝15；
答：原计划用15天铺完．
【考点评析】解答此题的关键是：先求出实际每天铺的长度，再据这段铁路的长度一定，则每天铺的长度与铺的天数成反比，即可列比例求解
一．选择题
1．（2022•电白区）下面各题，两种量成正比例关系的是（ ）
A．汽车的速度一定，行驶的时间和路程
B．圆的面积与它的半径
C．平行四边形面积一定，它的底和高
D．长方形周长一定，它的长和宽
【思路点拨】A、根据反比例的意义，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，两种相关联的量中相对应的两个数的乘积一定，这两种相关联的成反比例。据此判断。
B、根据圆的面积公式：S＝πr2，因为圆周率一定，所以圆的面积与半径的平方成正比例，圆的面积与半径不成比例。据此判断。
C、根据平行四边形的面积公式：S＝ah，平行四边形面积一定，它的底和高成反比例。据此判断。
D、根据长方形的周长＝（长+宽）×2，所以长方形的周长一定，长和宽不成比例。据此判断。
【规范解答】解：A、汽车的速度一定，行驶的时间和路程成正比例。
B、圆的面积与半径不成比例。
C、平行四边形面积一定，它的底和高成反比例。
D、长方形的周长一定，长和宽不成比例。
故选：A。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握正反比例的意义及应用。
2．（2022•阳信县）下面说法正确的有（ ）个。
①圆的面积与半径成正比例。
②0是整数，但不是负数。
③一个班有男生25人、女生22人，至少有2个女生是同一个月出生的。
④方程一定是等式，等式不一定是方程。
⑤一吨的铁要比一吨的棉花重。
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】①圆的面积÷半径的平方＝π，比值一定，圆的面积和半径的平方成正比例关系；
②0是整数，不是负数；
③一年有12个月，把这12个月看做12个抽屉，把女生的人数看做元素，由此利用抽屉原理即可解答；
④紧扣方程的定义，由此可以解决问题；
⑤单位相同，数量相同所以一样重，据此解答。
【规范解答】解：①圆的面积÷半径的平方＝π，比值一定，圆的面积和半径的平方成正比例关系，故原说法错误；
②0是整数，不是负数，故原说法正确；
③22÷12＝1（人）……10（人）
1+1＝2（人）
至少有2个女生是同一个月出生的，故原说法正确；
④方程一定是等式，等式不一定是方程，故原说法正确；
⑤1吨＝1吨，故原说法错误。
故选：C。
【考点评析】此题考查的知识点较多，有辨别正比例的关系、负数的意义、抽屉原理、方程和质量单位。
3．（2022•黄陵县）下面各组中的两个比，可以组成比例的是（ ）
A．6：3和1.2：6 B．：8和8：
C．9：6和6：4 D．1.2：和：5
【思路点拨】根据比例的基本性质“在比例中，两外项的积等于两内项的积”，分别计算求出两内项的积和两外项的积，如果相等，就说明两个比能组成比例，不相等就不能组成比例。
【规范解答】解：A.因为6×6≠3×1.2，所以6：3和1.2：6不能组成比例；
B.×≠8×8，所以：8和8：不能组成比例；
C.9×4＝6×6，所以9：6和6：4能组成比例；
D.1.2×5≠×，所以1.2：和：5不能组成比例。
故选：C。
【考点评析】此题需要学生熟练掌握比例的基本性质并灵活运用。
4．（2022•巩义市）下面说法错误的是（ ）
A．6，4，2和5这四个数能组成比例
B．6个人坐4把椅子，总有一把椅子上至少坐2人
C．一辆变速自行车，前齿轮的齿数为：48，40；后齿轮的齿数为：28，24，20，18，16，14。一共有12种组合
【思路点拨】A.根据比例的基本性质可以判断四个数是否能组成比例；
B.根据抽屉原理的方法来判断；
C.用前齿轮的齿轮数乘后齿轮的齿轮数，就可以求出有多少种组合。
【规范解答】解：A.6×2≠4×5，所以6，4，2和5这四个数不能组成比例；故选项错误；
B.把4把椅子看作4个抽屉；6个人看作6个元素，最差情况是：每把椅子等分的话，都会获得1个；那还有2个人，随便分给哪两把椅子或者一把椅子都会使得有一把椅子至少坐2个人；故选项说法正确；
C.2×6＝12；所以一辆变速自行车，前齿轮的齿数为：48，40；后齿轮的齿数为：28，24，20，18，16，14，一共有12种组合；故选项说法正确。
故选：A。
【考点评析】此题需要学生熟练掌握比例的基本性质，抽屉原理的运用，以及排列组合。
5．（2022•章丘区模拟）如图所示，圆的面积与长方形面积相等，则阴影部分的周长与圆周长的比是（ ）
A．5：4 B．1：1 C．3：4 D．4：5
【思路点拨】通过观察图形可知，长方形的宽等于圆的半径，根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷π÷2，据此求出半径，根据圆的面积公式：S＝πr2，长方形的面积公式：S＝ab，那么a＝S÷b，据此求出长方形的长，然后根据长方形的周长公式：C＝（a+b）×2，由此可知，阴影部分的周长等于长方形的两条长加上圆周长的四分之一，把圆的周长看作单位“1”，把圆的周长平均分成4份，则阴影部分的周长相当于（4+1）份，再根据比的意义解答即可。
【规范解答】解：假设圆的周长是12.56厘米，
圆的半径：12.56÷3.14÷2＝2（厘米）
圆的面积：3.14×22
＝3.14×4
＝12.56（平方厘米）
长方形的长：12.56÷2＝6.28（厘米）
阴影部分的周长：6.28×2+12.56÷4
＝12.56+3.14
＝15.7（厘米）
阴影部分的周长与圆的周长的比是：15.7：12.56＝5：4
答：阴影部分的周长与圆的周长的比是5：4。
故选：A。
【考点评析】此题主要考查圆的周长公式、面积公式、长方形的面积公式、周长公式的灵活运用，比的意义及应用，关键是熟记公式。
二．填空题
6．（2022•未央区）如果3a＝4b（a、b都不为0），那么a和b成 正 比例。当b＝0.6时，a＝ 0.8 。
【思路点拨】根据比例的基本性质将3a＝4b化成比例式，求出a：b的值，再确定a和b成正比例还是成反比例；将b＝0.6代入3a＝4b，解关于a的方程即可求出a的值。
【规范解答】解：3a＝4b
a：b＝4：3＝
a与b的比值一定，a与b成正比例。
将b＝0.8代入3a＝4b，则：
3a＝4×0.6
3a÷3＝2.4÷3
a＝0.8
故答案为：正，0.8。
【考点评析】解答本题需熟练掌握辨识成正比例的量和成反比例的量的方法及利用代入法求值的计算方法。
7．（2022•立山区）已知0.6×80＝40×1.2，分别写出两个不同的比例。 0.6：40＝1.2：80，0.6：1.2＝40：80
【思路点拨】根据比例的性质“在比例中，两个外项的积等于两个内项的积”来写出比例。
【规范解答】解：因为0.6×80＝40×1.2，所以0.6：40＝1.2：80，0.6：1.2＝40：80。（此题答案不唯一）
故答案为：0.6：40＝1.2：80，0.6：1.2＝40：80。（此题答案不唯一）
【考点评析】此题需要学生熟练掌握比例的基本性质并灵活运用。
8．（2022•虞城县）a和b均不为0，如果＝b，那么a与b成 正 比例，如果＝，那么a与b成 反 比例。
【思路点拨】两种相关联的量，若它们的比值一定，两种量成正比例关系；若它们的乘积一定，两种量成反比例关系。
【规范解答】解：如果＝b，则＝5，比值一定，a和b成正比例关系。
如果＝，则ab＝14，乘积一定，a和b成反比例关系。
故答案为：正，反。
【考点评析】辨识两种量成正比例关系还是成反比例关系，就看它们是比值一定还是乘积一定。
9．（2022•方城县）一个比例的两个外项的积是最小的质数，其中一个内项是，另一个内项是 5 。
【思路点拨】已知一个比例的两个内项之积是最小的质数2，利用比例的基本性质：内项之积等于外项之积，用内项之积除以一个外项等于另一个外项；即可解答。
【规范解答】解：2÷＝5
所以另一个内项是5。
故答案为：5。
【考点评析】主要考查学生对比例的基本性质的掌握和了解。
10．（2022•长沙）用a、4、5、12四个数可以组成比例，a最大是 15 。
【思路点拨】根据比例的基本性质，“在比例中，两个外项的积等于两个内项的积”，用最大两个数的积÷最小数＝a最大是几。
【规范解答】解：5×12÷4
＝60÷4
＝15
所以a最大是15。
故答案为：15。
【考点评析】关键是掌握并灵活运用比例的基本性质，比例的两内项积等于两外项积。
11．（2022•新密市）在一个比例中，两个外项互为倒数，其中一个内项是2.4，则另一个内项是 。
【思路点拨】由于在比例里两个内项的积等于两个外项的积，根据“在一个比例中，两个外项互为倒数”，可知两个内项也互为倒数乘积是1，再根据“其中一个内项是2.4”，进一步求得另一个内项的数值。
【规范解答】解：两个外项互为倒数，则两个内项也互为倒数乘积是1，
1÷2.4＝
答：另一个内项是。
故答案为：。
【考点评析】此题考查比例的基本性质及倒数的意义的运用。
12．（2018•阆中市）一个数能与3，4，5组成比例，这个数最大是 ．
【思路点拨】要使这个数最大，只要使组成的比例的两内项之积等于两外项之积最大即可．
【规范解答】解：设这个数最大的x，由题意得
3x＝4×5
3x＝20
x＝．
故答案为：．
【考点评析】重点理解只要使组成的比例的两内项之积等于两外项之积最大，那么这个数就最大，进而列方程解答．
三．判断题
13．（2022•惠东县）如果7A＝9B（A、B都不等于0），那么A：B＝9：7。 √ （判断对错）
【思路点拨】根据比例的基本性质，“在比例中，两个外项的积等于两个内项的积”可知，因为7A＝9B，如果A和7为外项，那么9和B是内项。
【规范解答】解：因为7A＝9B，那么A：B＝9：7，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【考点评析】此题需要学生熟练掌握比例的意义和基本性质并灵活运用。
14．（2022•鲁山县模拟）小圆周长与半径的比和大圆周长与半径的比不可以组成比例。 × （判断对错）
【思路点拨】圆的周长公式是C＝2πr，所以C：r＝2π，所以所有圆的周长：半径＝2π，那么小圆周长与半径的比和大圆周长与半径的比相等，因此能组成比例。
【规范解答】解：小圆周长与半径的比和大圆周长与半径的比可以组成比例；故原题说法错误。
故答案为：×。
【考点评析】此题需要学生掌握比例的意义和圆的周长公式。
15．（2022•泌阳县模拟）变速自行车蹬同样的圈数时，前后轮齿数比的比值越大，自行车走得越远。 √ （判断对错）
【思路点拨】自行车蹬一圈行进的距离＝（前齿轮齿数×前齿轮圈数）÷后齿轮齿数×2πR 根据公式我们不难发现对于轮胎相同的自行车来说，当前齿轮齿数与后齿轮齿数比值越大时，自行车蹬一圈行进的距离越远；进而得出结论。
【规范解答】解：由分析可知：对于轮胎相同的自行车来说，当前齿轮齿数与后齿轮齿数比值越大时，自行车蹬一圈行进的距离越远；
故答案为：√。
【考点评析】解答此题应结合题意，根据自行车蹬一圈行进的距离的计算方法进行解答。
四．计算题
16．（2022•扬州）解方程或比例。
（4.8+x）÷4＝2.5
x+＝
x：6.5＝4：3.25
【思路点拨】（4.8+x）÷4＝2.5，根据等式的性质2，方程两边同时乘4，再根据等式的性质1，方程两边同时减去4.8即可；
x+＝，根据等式的性质1，方程两边同时减去，再根据等式的性质2，方程两边同时除以即可；
x：6.5＝4：3.25，解比例，原式化为：3.25x＝6.5×4，再根据等式的性质2，方程两边同时除以3.25即可。
【规范解答】解：（4.8+x）÷4＝2.5
（4.8+x）÷4×5＝2.5×4
4.8+x＝10
4.8+x﹣4.8＝10﹣4.8
x＝5.2
x+＝
x+﹣＝﹣
x＝﹣
x＝
x÷＝÷
x＝×
x＝
x：6.5＝4：3.25
3.25x＝6.5×4
3.25x＝26
3.25x÷3.25＝26÷3.25
x＝8
【考点评析】本题是考查解方程，灵活运用等式的性质进行解方程，注意算的时候要细心。
17．（2022•西安）解方程。
：x＝0.5：0.2
20x÷4＝0.25
【思路点拨】（1）将比例式化成方程后两边同时除以0.5即可。
（2）方程两边同时乘4，然后两边同时除以20。
（3）将比例式化成方程后两边同时除以27即可。
【规范解答】解：（1）：x＝0.5：0.2
0.5x＝3×0.2
0.5x÷0.5＝0.7÷0.5
x＝
（2）20x÷4＝0.25
20x÷4×4＝0.25×4
20x÷20＝1÷20
x＝
（3）＝
27x＝7×9
27x÷27＝63÷27
x＝
【考点评析】本题考查了方程的解法，解题过程需利用等式的性质。
五．应用题
18．（2021•府谷县）工人加工一批零件，每小时加工个数与加工时间如表：
每小时加工个数/个
10
20
30
50
…
加工时间/时
60
30
20
12
…
（1）每小时加工个数与加工时间是不是成反比例？说明理由。
（2）如果工人每小时加工40个零件，加工完这批零件需要多少小时？
【思路点拨】判断加工时间与加工数量是否成正比例或反比例，就看这两种量是否是对应的比值一定，如果是比值一定，就成正比例，如果乘积一定，就成反比例。
【规范解答】解：（1）每小时加工个数与加工时间成反比例。
因为10×60＝20×30＝30×20＝50×12＝定值，所以每小时加工个数与加工时间成反比例。
（2）10×60÷40
＝60÷40
＝15（小时）
答：加工完这批零件需要15小时。
【考点评析】熟练掌握反比例的定义，是解答此题的关键。
19．（2022•崂山区）测量小组测量教学楼的影子长是22.5米，同时量得附近一个3米高的篮球架的影子长是4.5米，教学楼高多少米？（用比例知识解答）
【思路点拨】同样条件下，物体的高度与它的影子的比是一定的，也就是说，篮球架与其影子的比和教学楼与其影子的比是相等的，据此即可列比例求解。
【规范解答】解：设教学楼的高度为x米，
则3：4.5＝x：22.5
4.5x＝3×22.5
4.5x＝67.5
x＝15
答：教学楼的高度是15米。
【考点评析】解答此题的关键是明白：同样条件下，物体的高度与它的影子的比是一定的．
20．（2019•天河区模拟）晴晴全家“五一”到中山公园游玩，拍了许多照片，她买了一本相册，如果每页放6张照片，刚好放16页，现在晴晴打算每页只放4张，25页够放下这些照片吗？（用比例解）
【思路点拨】根据照片的数量是一定的，每页放相片的张数×放照片的页数＝照片的数量（一定），由此判断每页放相片的张数与放照片的页数成反比例，设出未知数，列出比例解答即可．
【规范解答】解：设每页只放4张，可以放x页，
4x＝6×16，
x＝，
x＝24，
因为25＞24，
所以25页够放下这些照片，
答：25页够放下这些照片．
【考点评析】解答此题的关键是，根据题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，即两个量的乘积一定则成反比例，两个量的比值一定则成正比例；再列出比例解答即可．
六．操作题
21．（2022•薛城区）芳芳用水和蜂蜜为一家人调制了四杯蜂蜜水，蜂蜜和水的配比情况如表。
四杯蜂蜜水的配比情况统计表
第一杯
第二杯
第三杯
第四杯
蜂蜜/mL
12
11
10
14
水/mL
60
44
60
70
（1）其中最甜的一杯给弟弟，弟弟喝的是第 二 杯蜂蜜水，你判断的理由是 蜂蜜和水的配比比值最大 。
（2）同样甜的两杯给爸爸和妈妈，请你根据这两杯蜂蜜水的配比情况把它们组成一个比例 12：60＝14：70 。
【思路点拨】（1）分别写出四杯蜂蜜的配比，求出比值，比值越大的越甜，就是弟弟喝的蜂蜜水；
（2）找出比值两杯蜂蜜比值一样的蜂蜜水，然后写出比例。
【规范解答】解：（1）第一杯：12：60＝12÷60＝；
第二杯：11：44＝11÷44＝；
第三杯：10：60＝10÷60＝；
第四杯：14：70＝14÷70＝；
其中最大，所以第二杯最甜，因此其中最甜的一杯给弟弟，弟弟喝的是第二杯蜂蜜水，我判断的理由是蜂蜜和水的配比比值最大；
（2）由第（1）问的解答可知，第一杯和第二杯的比值都是，所以同样甜的两杯给爸爸和妈妈，根据这两杯蜂蜜水的配比情况把它们组成一个比例是12：60＝14：70。
故答案为：（1）二；蜂蜜和水的配比比值最大；（2）12：60＝14：70。
【考点评析】此题需要学生熟练掌握比例的意义，以及求比值的方法。
七．解答题
22．（2021•邻水县）某工厂每天的烧煤量和烧的天数的情况如表。
每天的烧煤量（吨）
4
6
12
18
烧的天数（天）
9
6
3
2
（1）表中两种量成什么关系？说明理由。
（2）如果每天烧5吨煤，照这样计算，可以烧几天？
（3）如果10天烧完，每天烧多少吨煤？
【思路点拨】（1）根据表可知：每天的烧煤量×烧的天数＝煤的总重（一定），即每天的烧煤量和烧的天数成反比例；据此即可判断；
（2）先求出煤的总重，然后除以5即可；
（3）先求出煤的总重，然后除以3即可。
【规范解答】解：（1）因为4×9＝6×6＝12×3＝18×2，即每天的烧煤量×烧的天数＝煤的总重（一定），所以每天的烧煤量和烧的天数成反比例关系。
（2）4×9÷5＝7.2（天）
答：照这样计算，可以烧7.2天。
（3）4×9÷10
＝36÷10
＝3.6（吨）
答：如果10天烧完，每天烧3.6吨煤。
【考点评析】此题考查正、反比例的意义，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断．
23．（2022•石泉县）王奶奶家装修房子，用面积是9平方分米的方砖铺地要用160块，如果改用边长为4分米的方砖铺地，要用多少块？（用比例解）
【思路点拨】设用边长为4分米的方砖铺地要用x块，根据房子的面积一定，可以列出比例（4×4）×x＝160×9，解比例即可求解．
【规范解答】解：设用边长为4分米的方砖铺地要用x块，则：
（4×4）×x＝160×9，
16x＝1440，
x＝1440÷16，
x＝90．
答：要用90块．
【考点评析】考查了反比例的应用，本题注意是每块方砖的面积×方砖的块数的乘积一定．
24．（2021•合阳县）某造纸厂造纸吨数和造纸时间如表。
造纸时间/时
0
1
2
3
4
5
6
……
造纸吨数/吨
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
……
（1）造纸吨数与造纸时间是否成正比例关系？为什么？
（2）根据表中的数据，在图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。
（3）该造纸厂4.5小时可以造纸 2.25 吨，造3.75吨纸需要 7.5 小时。
【思路点拨】（1）造纸吨数与造纸时间是否成正比例，就看它们的比值是否一定，根据表中数据求比值判断。
（2）根据表中的数据，在图中描点、连线。
（3）根据造纸吨数＝每小时造纸吨数×造纸时间求4.5小时的造纸吨数，再根据造纸吨数÷每小时造纸吨数＝造纸时间求造3.75吨纸需要的时间。
【规范解答】解：（1）1：0.5＝2：1＝3：1.5＝4：2＝5：2.4＝6：3＝2
比值一定，造纸吨数与造纸时间成正比例关系。
（2）
（3）0.5×4.5＝2.25（吨）
3.75÷0.5＝7.5（时）
答：4.5小时可以造纸2.25吨，造3.75吨纸需要7.5小时。
故答案为：2.25，7.5。
【考点评析】本题考查了正比例关系的判断、正比例图像的绘制、根据正比例解决问题，综合性强，需熟练掌握。
25．（2021•阎良区）某环保节能造纸厂生产总量与所用时间如表。
时间/天
0
1
2
3
4
5
……
生产总量/吨
0
12
24
36
48
60
……
（1）生产总量和时间成正比例关系吗？说明理由。
（2）在图中描出时间与生产总量对应的点，再顺次连接。
（3）8天可以生产 96 吨纸，生产90吨纸需要 7.5 天。
【思路点拨】（1）因为生产总量÷生产的天数＝每天的工作效率（一定），所以生产总量和生产的时间成正比例；
（2）首先根据统计表中的数据在图中描出各点，然后顺次连接各点即可；
（3）每天的生产效率×生产的天数＝生产总量即可解答。
【规范解答】解：（1）12÷1＝12（吨/天）
24÷2﹣12（吨/天）
36÷3＝12（吨/天）
48÷4＝12（吨/天）
60÷5＝12（吨/天）
因为生产总量÷生产的天数＝每天的工作效率（一定），比值一定，所以生产总量和时间成正比例关系；
（2）如图所示：
（3）8×12＝96（吨）
90÷12＝7.5（天）
答：8天可以生产96吨纸，生产90吨纸需要7.5天。
故答案为：96，7.5。
【考点评析】此题考查的目的是理解掌握正比例的意义及应用．两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（即两个数的商）一定，这两种就叫做成正比例的量，它们的关系就是正比例关系。
26．（2019•杭州模拟）买来一批煤，计划每天烧吨，可烧20天；实际每天比原来节约20%，这样可以烧多少天？
（用比例解答）
【思路点拨】根据题意知道一批煤的总重量一定，每天烧煤的吨数×烧煤的天数＝一批煤的总重量（一定），所以每天烧煤的吨数与烧煤的天数成反比例，由此找准对应的量，列式解答即可．
【规范解答】解：设这样可以烧x天，
×（1﹣20%）x＝×20
0.2x＝5
x＝25
答：这样可以烧25天．
【考点评析】本题关键是判断出每天烧煤的吨数与烧煤的天数成反比例，注意实际每天烧煤的吨数是×（1﹣20%）吨．
27．（2019•杭州模拟）一个晒盐场用100克的海水，可以晒出3克盐．如果一块盐田一次放入5000吨的海水，可以晒出多少吨盐？
【思路点拨】根据题意知道，海水的克数和盐的克数的比值一定，所以海水的克数和盐的克数成正比例，由此列式解答即可．
【规范解答】解：设可以晒出x吨盐．
100：3＝5000：x
100x＝3×5000
x＝150；
答：可以晒出150吨盐．
【考点评析】解答此题的关键是，弄清题意，先判断哪两种相关联的量成何比例，再找准对应量，列式解答即可．
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