2024高考数学一轮总复习（导与练）第六章第6节　复　数

第6节　复　数

 [选题明细表]

1.已知a∈R,i是虚数单位,若复数z=a2-1+(a+1)i为纯虚数,则a等于(　D　)

A.0    B.1或-1     C.-1    D.1

解析:由题意即a=1.

2.(2023·广东广州模拟)已知(2+i)z=1-3i,则复数z的虚部是(　D　)

A.-     B.-i 

C.        D.-

解析:由题意得z===--i,所以z的虚部为-.

3.(2022·湖南郴州月考)若复数z的共轭复数满足(2-i)=i(i为虚数单位),则|z|等于(　A　)

A.    B.     C.      D.

解析:由题意,===-+i,则z=--i,

因此|z|==.

4.(2022·山东日照期中)已知复数z=,则下列结论正确的是(　D　)

A.z在复平面内对应的点位于第三象限

B.z的虚部是i

C.=1+i(是复数z的共轭复数)

D.|z|=

解析:z==-1+i,对应点(-1,1)在第二象限,虚部为1,

=-1-i,|z|==,故A,B,C错误,D正确.

5.(2021·全国乙卷)设2(z+)+3(z-)=4+6i,则z等于(　C　)

A.1-2i B.1+2i 

C.1+i    D.1-i

解析:设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,代入2(z+)+3(z-)=4+6i,可得4a+6bi=4+6i,所以a=1,b=1,故z=1+i.

6.(2022·重庆二诊)复数z在复平面内对应的点的坐标为(-3,4),i为虚数单位,则等于(　C　)

A.-+i    B.-+i

C.-+i    D.+i

解析:由题意z=-3+4i,所以====-+i.

7.(2022·江西上饶联考)已知复数z=-3i3,则z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　D　)

A.第一象限    B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

解析:z=-3i3=+3i=1-i+3i=1+2i,故=1-2i,对应点坐标为(1,-2),

所以在复平面内对应的点位于第四象限.

8.(2022·辽宁鞍山二模)已知i为虚数单位,则=　　   　　.

解析:===1+2i.

答案:1+2i

9.已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),且=3+2i,则a=　　　,

b=　　　　. 

解析:由题意,=(3+2i)(1-i)=5-i,

故z=5+i,故a=5,b=1.

答案:5　1

10.(2023·山东潍坊模拟)已知复数z满足z+3=4+5i,则在复平面内复数z对应的点在(　A　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析:设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,由z+3=4+5i,

得a+3+bi=4a+(5-4b)i,

则得

则在复平面内z对应的点(1,1)位于第一象限.

11.已知复数z满足|z-1|=|z-i|,则在复平面上z对应点的轨迹为(　A　)

A.直线 B.线段

C.圆    D.等腰三角形

解析:设复数z=x+yi(x,y∈R),根据复数的几何意义知,|z-1|表示复平面内点P(x,y)与点A(1,0)的距离,|z-i|表示复平面内点P(x,y)与点B(0,1)的距离,因为|z-1|=|z-i|,即点P(x,y)到A,B两点间的距离相等,所以点P(x,y)在线段AB的垂直平分线上,所以在复平面上z对应点的轨迹为直线.

12.设z1,z2是复数,则下列命题中的假命题是(　D　)

A.若|z1-z2|=0,则=

B.若z1=,则=z2

C.若|z1|=|z2|,则z1·=z2·

D.若|z1|=|z2|,则=

解析:A中,|z1-z2|=0,则z1=z2,故=,成立.B中,z1=,则=z2成立.C中,|z1|=|z2|,则|z1|2=|z2|2,即z1·=z2·,C正确.D不一定成立,如z1=1+i,z2=2,则|z1|=2=|z2|,但=-2+2i,=4,≠.

13.已知复数z=,是z的共轭复数,则z=　　     　　. 

解析:由z==-+i,

得=--i,

所以z=(-+i)(--i)=+=.

答案:

14.已知a∈R,若为实数,则a=　　　　,||=　　　　. 

解析:===+i,

因为为实数,

所以=0,所以a=-.

所以||=.

答案:-　

15.在①|z|=,且z2的虚部是2;②z=;③=,z为的共轭复数.这三个条件中任选一个,补充在下面问题中并作出解答.

已知i为虚数单位,复数z满足　　　　,设z,z2,z-z2在复平面上对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积. 

解:选①.设z=a+bi(a,b∈R),

则z2=a2-b2+2abi,

由题意得a2+b2=2且2ab=2,

解得a=b=1或a=b=-1,

所以z=1+i或z=-1-i.

当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,

所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),

所以S△ABC=1.

当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,

所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),

所以S△ABC=1.

综上,△ABC的面积为1.

选②.z===1+i,z2=2i,

z-z2=1-i,

所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),

所以S△ABC=1.

选③.===1-i,其共轭复数为z=1+i,

故z2=2i,z-z2=1-i,

所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),

所以S△ABC=1.