八年级数学竞赛培优专题及答案 02 乘法公式

专题02  乘法公式

阅读与思考

乘法公式是多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在整式的乘除、数值计算、代数式的化简求值、代数式的证明等方面有广泛的应用，学习乘法公式应注意：

1．熟悉每个公式的结构特征；

2．正用   即根据待求式的结构特征，模仿公式进行直接的简单的套用；

3．逆用   即将公式反过来逆向使用；

4．变用   即能将公式变换形式使用；

5．活用   即根据待求式的结构特征，探索规律，创造条件连续综合运用公式．

例题与求解

【例1】 1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两个整数的平方差的个数是         ．

（全国初中数字联赛试题）

解题思路：因，而的奇偶性相同，故能表示成两个整数的平方差的数，要么为奇数，要么能被4整除．

【例2】（1）已知满足等式，则的大小关系是(     )

A．    B．    C．    D．  

（山西省太原市竞赛试题）

（2）已知满足，则的值等于（    ）

A．2       B．3       C．4          D．5      

（河北省竞赛试题）

解题思路：对于（1），作差比较的大小，解题的关键是逆用完全平方公式，揭示式子的非负性；对于（2），由条件等式联想到完全平方式，解题的切入点是整体考虑．

【例3】计算下列各题：

（1） ；     （天津市竞赛试题）

（2）；     （“希望杯”邀请赛试题）

（3）．

解题思路：若按部就班运算，显然较繁，能否用乘法公式简化计算过程，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征．

【例4】设，求的值．                     （西安市竞赛试题）

解题思路：由常用公式不能直接求出的结构，必须把表示相关多项式的运算形式，而这些多项式的值由常用公式易求出其结果．

【例5】观察：

（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；

（2）根据（1），计算的结果（用一个最简式子表示）．

（黄冈市竞赛试题）

解题思路：从特殊情况入手，观察找规律．

【例6】设满足求：

（1）的值；

（2）的值．

（江苏省竞赛试题）

解题思路：本题可运用公式解答，要牢记乘法公式，并灵活运用．

能力训练

A级

1．已知是一个多项式的平方，则        ．       （广东省中考试题）

2．数能被30以内的两位偶数整除的是        ．

3．已知那么        ．    

（天津市竞赛试题）

4．若则        ．

5．已知满足则的值为        ．

（河北省竞赛试题）

6．若满足则等于        ．

7．等于（     ）

A．      B．      C．        D．

8．若，则的值是（     ）

A．正数      B．负数          C．非负数        D．可正可负

9．若则的值是（   ）

A．4  B．19922        C．21992      D．41992    

（“希望杯”邀请赛试题）

10．某校举行春季运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列．如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列．问原长方形队列有多少名同学？                                                                                                                                     （“CASIO”杯全国初中数学竞赛试题）

11．设，证明：是37的倍数．                  （“希望杯”邀请赛试题）

12．观察下面各式的规律：

写出第2003行和第行的式子，并证明你的结论．

B级

1．展开式中的系数，当1，2，3…时可以写成“杨辉三角”的形式（如下图），借助“杨辉三角”求出的值为           ．                                   （《学习报》公开赛试题）

2．如图，立方体的每一个面上都有一个自然数，已知相对的两个面上的两数之和都相等，如果13，9，3的对面的数分别为，则的值为           ．

（天津市竞赛试题）

3．已知满足等式则           ．

4．一个正整数，若分别加上100与168，则可得两到完全平方数，这个正整数为           ．

（全国初中数学联赛试题）

5．已知，则多项式的值为（     ）

A．0  B．1  C．2  D．3

6．把2009表示成两个整数的平方差的形式，则不同的表示法有（    ）

A．16种  B．14种  C．12种  D．10种   

（北京市竞赛试题）

7．若正整数满足，则这样的正整数对的个数是（    ）

A．1  B．2  C．3  D．4   

（山东省竞赛试题）

8．已知，则的值是（    ）

A．3  B．9  C．27  D．81

 （“希望杯”邀请赛试题）

9．满足等式的整数对是否存在？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

10．数码不同的两位数，将其数码顺序交换后，得到一个新的两位数，这两个两位数的平方差是完全平方数，求所有这样的两位数．                 

 （天津市竞赛试题）

11．若，且， 求证：．

12．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如

因此4，12，20这三个数都是神秘数．

（1）28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为和（其中取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？

（3）两个连续奇数的平方差（取正值）是神秘数吗？为什么？               （浙江省中考试题）

专题02 乘法公式

例1  73  提示：满足条件的整数是奇数或是4的倍数．

例2 （1）B  x－y＝（＋4a＋a）＋（－8b＋16）＝＋≥0，x≥y．

（2）B   3个等式相加得：＋＋＝0，a＝3，b＝－1，c＝1．a＋b＋c＝3－1＋1＝3．

例3  （1）  （2）4  （3）－5050

例4    提示：由a＋b＝1，＋＝2得ab＝－，利用＋＝（＋）（a＋b)－ab(＋)可分别求得＋＝，＋＝，＋＝，＋＝，＋＝．

例5 （1）设n为自然数，则n（n＋1)(n＋2)(n＋3）＋1＝

（2）由①得，2000×2001×2002×2003＋1＝．

例6（1）设

－②，得ab＋bc＋ac＝，

∵－3abc＝（a＋b＋c）（－ab－bc－ac），

∴abc＝（）－（a＋b＋c）（－ab－bc－ac）＝×3－×1×（2＋）＝．

（2）将②式两边平方，得

∴

＝4－2

＝4－2＝．

A级

1．0或6  2．26，28   3．2  4．40   5．34  6．0  7．D   8．A  9．C

10. 原有136或904名学生．设

m，n均为正整数，且m＞n，

①－②得（m＋n）（m－n）＝240＝．

，都是8的倍数，则m，n能被4整除，m＋n，m－n均能被4整除．得或，

∴或

8x＝－120＝904或8x＝－120＝136．

11. 因为a＝＋－2＝（－1）＋（－1）＝999 999 999＋37×（＋38＋1），而999 999 999＝9×111 111 111＝9×3×37 037 037＝27×37×1 001 001＝37×（27×1 001 001）．

所以37|999 999 999，且37|37×（＋38＋1），因此a是37的倍数．

12. 第2003行式子为：＝．

第n行式子为：＝．证明略

B级

1．1．094

2．76  提示：由13＋a＝9＋b＝3＋c得a－b＝－4，b－c＝－6，c－a＝10

3．13  4．156   5．D

6. C   提示：（x＋y）（x－y）＝2009＝7×7×41有6个正因数，分别是1，7，41，49，287和2009，因此对应的方程组为：

故（x，y）共有12组不同的表示．

7．B  8．C

9．提示：不存在符合条件的整数对（m，n），因为1954不能被4整除．

10．设所求两位数为，由已知得＝（k 为整数），得而得或

 解得或，即所求两位数为65，56

11. 设,  则由得    ③

 ②③, 得,  即   或

 分别与联立解得或

12.   (1)  ,  故28和2012都是神秘数

 （2）为4的倍数

 （3）神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数. ,故两个连续奇数的平方差不  是神秘数