专题14 电磁感应中的动力学问题 ——【备考2023】高考物理计算题专题精讲精练学案（原卷版+解析版）

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①磁通量公式：；
②磁通量的变化量：；磁通量的变化率：；
③法拉第电磁感应定律公式：；（为线圈匝数）
④感应电流与感应电动势的关系：；
⑤与线框有关的公式：；；；
⑥恒流电路：。
电磁感应和力学问题的综合，其联系桥梁是磁场对感应电流的安培力，因为感应电流与导体运动的加速度有相互制约的关系，这类问题中的导体一般不是做匀变速运动，而是经历一个动态变化过程再趋于一个稳定状态，故解决这类问题时正确进行动态分析确定最终状态是解题的关键。
1.受力情况、运动情况的动态分析思路
导体受力运动产生感应电动势→感应电流→通电导体受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→……周而复始地循环，直至最终达到稳定状态，此时加速度为零，而速度v通过加速达到最大值，做匀速直线运动或通过减速达到稳定值做匀速直线运动。
2.解决此类问题的基本步骤
（1）用法拉第电磁感应定律和楞次定律（包括右手定则）求出感应电动势的大小和方向。
（2）依据全电路欧姆定律，求出回路中的电流。
（3）分析导体的受力情况（包含安培力，可利用左手定则确定所受安培力的方向）。
（4）依据牛顿第二定律列出动力学方程或平衡方程，以及运动学方程，联立求解。
1.“电—动—电”类型
如图所示水平放置的光滑平行导轨MN、PQ放有长为l、电阻为R、质量为m的金属棒ab。导轨左端接内电阻不计电动势E的电源形成回路，整个装置放在竖直向上的匀强磁场B之中。导轨电阻不计且足够长，并与电键S串接，当刚闭合电键时，棒ab因电而动，其受安培力，方向向右，此时ab具有最大加速度。然而，ab一旦产生速度，则因动而电，立即产生了感应电动势。因速度决定感应电动势，而感应电动势与电池的电动势反接又导致电流减小，从而使安培力变小，故加速度减小，不难分析ab导体做的是一种复杂的变加速运动。但是当，ab速度将达最大值，故ab运动收尾状态为匀速运动，。
2.“动—电—动”类型
如图所示，平行滑轨PQ、MN，与水平方向成角，长度l、质量m、电阻为R的导体ab紧贴滑轨并与PM平行，滑轨电阻不计。整个装置处于与滑轨平面正交、磁感强度为B的匀强磁场中，滑轨足够长。导体ab由静止释放后，由于重力作用下滑，此时具有最大加速度，ab一旦运动，则因动而电，产生感应电动势，在PMba回路中产生电流，磁场对此电流作用力刚好与下滑力方向反向，随ab棒下滑速度不断增大。
，，则电路中电流随之变大，安培阻力变大，直到与下滑力的合力为零，即加速度为零，以的最大速度收尾。

3.单棒切割磁感线的2类常考模型
4.电磁感应中的动力学临界问题的处理方法
此类问题覆盖面广，题型也多样，但解决这类问题的关键在于通过运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度取最大值或最小值的条件等，基本思路是：确定电源（E、r)感应电流运动导体所受的安培力合外力a的变化情况运动状态的分析临界状态。
典例1：（2021·全国·高考真题）如图，一倾角为的光滑固定斜面的顶端放有质量的U型导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻的金属棒的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路；与斜面底边平行，长度。初始时与相距，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小，重力加速度大小取。求：
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
（3）导体框匀速运动的距离。
典例2：（2021·天津·高考真题）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨、间距，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成角，N、Q两端接有的电阻。一金属棒垂直导轨放置，两端与导轨始终有良好接触，已知的质量，电阻，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小。在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度沿导轨向上开始运动，可达到最大速度。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度。
（1）求拉力的功率P；
（2）开始运动后，经速度达到，此过程中克服安培力做功，求该过程中沿导轨的位移大小x。
典例3：（2022·湖北·高考真题）如图所示，高度足够的匀强磁场区域下边界水平、左右边界竖直，磁场方向垂直于纸面向里。正方形单匝线框abcd的边长L = 0.2m、回路电阻R = 1.6 × 10 - 3Ω、质量m = 0.2kg。线框平面与磁场方向垂直，线框的ad边与磁场左边界平齐，ab边与磁场下边界的距离也为L。现对线框施加与水平向右方向成θ = 45°角、大小为的恒力F，使其在图示竖直平面内由静止开始运动。从ab边进入磁场开始，在竖直方向线框做匀速运动；dc边进入磁场时，bc边恰好到达磁场右边界。重力加速度大小取g = 10m/s2，求：
（1）ab边进入磁场前，线框在水平方向和竖直方向的加速度大小；
（2）磁场的磁感应强度大小和线框进入磁场的整个过程中回路产生的焦耳热；
（3）磁场区域的水平宽度。
典例4：（2022·浙江·高考真题）如图所示，水平固定一半径r=0.2m的金属圆环，长均为r，电阻均为R0的两金属棒沿直径放置，其中一端与圆环接触良好，另一端固定在过圆心的导电竖直转轴OO′上，并随轴以角速度=600rad/s匀速转动，圆环内左半圆均存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场。圆环边缘、与转轴良好接触的电刷分别与间距l1的水平放置的平行金属轨道相连，轨道间接有电容C=0.09F的电容器，通过单刀双掷开关S可分别与接线柱1、2相连。电容器左侧宽度也为l1、长度为l2、磁感应强度大小为B2的匀强磁场区域。在磁场区域内靠近左侧边缘处垂直轨道放置金属棒ab，磁场区域外有间距也为l1的绝缘轨道与金属轨道平滑连接，在绝缘轨道的水平段上放置“［”形金属框fcde。棒ab长度和“［”形框的宽度也均为l1、质量均为m=0.01kg，de与cf长度均为l3=0.08m，已知l1=0.25m，l2=0.068m，B1=B2=1T、方向均为竖直向上；棒ab和“［”形框的cd边的电阻均为R=0.1，除已给电阻外其他电阻不计，轨道均光滑，棒ab与轨道接触良好且运动过程中始终与轨道垂直。开始时开关S和接线柱1接通，待电容器充电完毕后，将S从1拨到2，电容器放电，棒ab被弹出磁场后与“［”形框粘在一起形成闭合框abcd，此时将S与2断开，已知框abcd在倾斜轨道上重心上升0.2m后返回进入磁场。
（1）求电容器充电完毕后所带的电荷量Q，哪个极板（M或N）带正电？
（2）求电容器释放的电荷量；
（3）求框abcd进入磁场后，ab边与磁场区域左边界的最大距离x。
1．（2022·福建·莆田二中模拟预测）如图所示，足够长平行金属导轨倾斜放置，倾角为，宽度为，电阻忽略不计，其上端接一小灯泡，电阻为。导体棒垂直于导轨放置，质量为，电阻为，两端与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为0.5。在整个导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为。将导体棒由静止释放，运动后，小灯泡稳定发光，此后导体棒的运动速度保持不变，（重力加速度取，，），求：
（1）导体棒速度为时棒的加速度大小；
（2）导体棒匀速运动时的速度大小；
（3）导体棒从静止到匀速的过程中小灯泡产生的焦耳热。
2．（2022·海南·西南大学东方实验中学模拟预测）如图所示，两平行金属导轨间的距离L=0.40 m，金属导轨所在平面与水平面夹角θ=37°，在导轨所在的平面内，分布着磁感应强度B=0.50 T、方向垂直于导轨所在平面的匀强磁场。金属导轨的一端接有电动势E=4.5 V、内阻r=0.50 Ω的直流电源。现把一个质量m=0.040 kg的导体棒ab放在金属导轨上，导体棒恰好静止。导体棒与金属导轨垂直且接触良好，导体棒与金属导轨接触的两点间的电阻R0=2.5 Ω，金属导轨电阻不计，取g=10 m/s2，sin 37°=0.60，cs 37°=0.80。求：
(1)通过导体棒的电流；
(2)导体棒受到的安培力大小；
(3)导体棒受到的摩擦力。
3．（2022·海南海口·模拟预测）如图所示，间距为1m的平行金属导轨固定在绝缘水平桌面上，导轨左端连接有电动势为E=15V，内阻r=1Ω的电源。质量m=0.5kg的金属棒垂直放在导轨上，导轨处在磁感应强度大小为B=1T的匀强磁场中，磁场与金属棒垂直，方向与导轨平面成θ=53°斜向右上。绕过桌边光滑定滑轮的一根细线，一端系在金属棒的中点，另一端吊着一个重物，拉着金属棒的细线水平且与金属棒垂直，金属棒处于静止状态且刚好不向左滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2，金属棒接入电路的电阻R=2Ω，导轨电阻不计，金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ=0.5，sin53°=0.8，cs53°=0.6，求：
（1）悬吊重物的质量；
（2）保持磁感应强度大小不变，将磁场方向迅速改为竖直向上，则磁场方向改为竖直向上的一瞬间，重物的加速度（不考虑电磁感应现象）。
4．（2022·河南·南阳中学模拟预测）电磁刹车是一种新的刹车形式，某实验小组利用遥控塑料小车模型探究电磁刹车的效果.在遥控小车底面安装与小车底面长、宽均相同的N匝矩形导线框abcd，其总电阻为R，其平面与水平地面平行，如图所示，小车在磁场外以恒定功率P做直线运动，受到地面阻力恒为f，进入磁场前已达到最大速度，车头（ab边）刚要进入磁场时牵引力立即变为零，车尾（cd边）刚出磁场时速度恰好为零。已知小车总质量为m，小车底面长为d，宽为L，有界匀强磁场宽度也为d，磁感应强度为B，方向竖直向下，若不考虑其他阻力的影响。求：
（1）小车车头刚进入磁场时，线框所受安培力；
（2）求解电磁刹车过程中产生的焦耳热Q，以及刹车所用的时间t。
5．（2022·浙江·模拟预测）如图所示，间距为的足够长平行导轨所在平面与水平面之间的夹角，将一根长为、质量为的导体棒垂直放置在导轨上，导体棒中通有大小为、方向从a向b的电流。已知导轨与金属棒之间的动摩擦因数为0.5，磁感应强度大小为，求：
（1）若磁场方向竖直向上，则导体棒所受安培力的方向及大小；；
（2）在上一问中，导体棒的加速度大小；
（3）磁场方向、大小均改变，导体棒始终保持静止状态时，求当摩擦力最小时磁感应强度的最小值。
6．（2022·江苏·模拟预测）如图所示，倾角、宽度的光滑导轨，处于竖直向下的匀强磁场中。电源的电动势、内阻，电动机两端所加的电压、消耗的电功率、其线圈的电阻，质量的导体棒与导轨垂直且处于静止状态。重力加速度取，。
（1）求电动机对外做功的功率；
（2）求磁场的磁感应强度的大小；
（3）仅改变磁场，仍使导体棒处于静止状态，求磁感应强度的最小值和方向。
7．（2022·山西·榆次一中模拟预测）如图所示，宽为l的光滑固定导轨与水平面成α角，质量为m的金属杆ab（电阻不计）水平放置在导轨上，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。电源的内阻为r，当变阻器接入电路的阻值为R时，金属杆恰好能静止在导轨上。重力加速度用g表示。求：
（1）金属杆静止时受到的安培力的大小F安；
（2）电源的电动势E；
（3）若保持其它条件不变，仅改变匀强磁场的方向，求由静止释放的瞬间，金属杆可能具有的沿导轨向上的最大加速度a。
8．（2022·山东·模拟预测）如图所示，足够长、电阻可以忽略的矩形金属框架abcd水平放置，ad与 bc之间的距离为 L=1m，定值电阻阻值 R1=R2=2.0Ω。垂直于框架放置一根质量m=0.2kg、电阻 r=1.0Ω 的金属棒ef，距离框架左侧x=0.5m，棒ef与导轨间的动摩擦因数μ=0.5，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g=10m/s2。
(1)若在abcd区域存在竖直向上的匀强磁场，某时刻开始磁感应强度随时间变化，变化的规律为B12t（T），保持电键 S断开，则需要经过多长时间导体棒ef开始运动，此时磁感应强度为多大？
(2)若保持(1)问中棒ef刚要开始运动时的磁感应强度不变，闭合电键 S，同时对ef施加一水平向右的恒定拉力F=4N，求此后运动过程中，回路消耗的最大电功率。
9．（2022·上海市南洋模范中学模拟预测）如图（a），倾角为θ=37°、间距为L=0.5m的足够长的平行金属导轨底端接有阻值为R=1.2Ω的电阻，一质量为m=0.1kg，电阻为r=0.4Ω的金属棒ab垂直于导轨放置，与导轨间的动摩擦因数为μ=0.5。建立原点位于导轨底端、方向沿导轨向上的坐标轴x，在区间内有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B=1.6T。从x=0处开始计时，金属棒ab受到沿x轴正方向的外力F作用下由静止开始沿斜面向上运动，其速度v与位移x关系满足图（b）。当金属棒进入磁场后马上撤去外力F，金属棒ab继续向上运动，且在运动过程中始终保持与导轨垂直，与导轨接触良好，重力加速度大小为g=10m/s2，sin37°=0.6，cs37°=0.8。求：
（1）当金属棒ab刚进入磁场时，求金属棒ab两端的电压U，并指出通过金属棒上的电流方向；
（2）请在框内画出金属棒在磁场上滑过程中加速度a与速度v的图线；
（3）以起点为重力零势能点，计算金属棒在运动过程机械能的最大值。
10．（2022·上海市市西中学二模）如图所示，固定平行光滑金属导轨与水平面的夹角均为，导轨间距为L，电阻不计且足够长，导轨上相隔为d的平行虚线MN与PQ间有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。长为2d的绝缘杆将一导体棒和一边长为d的正方形导线框连在一起组成固定装置，总质量为m，导体棒中通以大小恒为I的电流。现将整个装置置于导轨上，线框下边与PQ重合，由静止释放后装置沿斜面下滑，导体棒运动到MN处恰好第一次开始返回，经过若干次往返后，最终装置在斜面上做周期不变的往复运动。导体棒在整个运动过程中始终与导轨垂直。
（1）在装置第一次下滑的过程中，先后做怎样的运动？（本小题无需说明理由）
（2）求在装置第一次下滑过程中，装置减少的机械能及导线框中产生的热量Q框；
（3）装置最终在斜面上做稳定的往复运动的最大速率vm；
（4）若已知装置最终在斜面上做稳定的往复运动的周期为T，请画出装置从最高点开始的一个运动周期内的v－t图像。
模型
说明
轨道倾斜光滑，倾角为α，棒cd质量为m，回路电阻为R，两导轨相距L。
轨道竖直光滑，棒cd质量为m，回路电阻为R，两导轨间距为L。
力学观点
开始时a=gsinα，棒cd的速度ν↑⇒感应电动势E=BLv↑⇒I↑⇒安培力F安=BIL↑，由mgsinα-F安=ma知a↓，当a=0时，v最大， 。
开始时a=g，棒cd的速度v↑⇒感应电动势E=BLv↑⇒I↑⇒安培力F安=BIL↑，由mg-F安=ma知a↓，当a=0时，v最大，。
运动学图像
能量问题
重力做的功（或减少的重力势能）一部分转化为棒的动能，一部分转化为内能：。
重力做的功（或减少的重力势能）一部分转化为棒的动能，一部分转化为内能：
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