历年高考数学真题精选23 基本不等式
展开历年高考数学真题精选（按考点分类）
专题23 基本不等式（学生版）
一．选择题（共10小题）
1．（2015•湖南）若实数，满足，则的最小值为
A． B．2 C． D．4
2．（2015•上海）已知，，若，则
A．有最小值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最大值
3．（2015•福建）若直线过点，则的最小值等于
A．2 B．3 C．4 D．5
4．（2014•重庆）若，则的最小值是
A． B． C． D．
5．（2013•山东）设正实数，，满足．则当取得最大值时，的最大值为
A．0 B．1 C． D．3
6．（2013•福建）若，则的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
7．（2012•浙江）若正数，满足，则的最小值是
A． B． C．5 D．6
8．（2010•四川）设，则的最小值是
A．2 B．4 C． D．5
9．（2010•四川）设，则的最小值是
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2010•重庆）已知，，，则的最小值是
A．3 B．4 C． D．
二．填空题（共10小题）
11．（2019•上海）若，，且，则的最大值为 ．
12．（2019•天津）设，，，则的最小值为 ．
13．（2018•天津）已知，，且，则的最小值为 ．
14．（2017•山东）若直线过点，则的最小值为 ．
15．（2014•上海）若实数，满足，则的最小值为 ．
16．（2013•上海）设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为 ．
17．（2013•四川）已知函数在时取得最小值，则 ．
18．（2013•天津）设，，则的最小值为 ．
19．（2013•陕西）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长为 ．
20．（2013•天津）设，，则当 时，取得最小值．
历年高考数学真题精选（按考点分类）
专题23 基本不等式（教师版）
一．选择题（共10小题）
1．（2015•湖南）若实数，满足，则的最小值为
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】，
，，
（当且仅当时取等号），
，
解可得，，即的最小值为，
故选：．
2．（2015•上海）已知，，若，则
A．有最小值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最大值
【答案】A
【解析】，，且，
，
有最小值，
故选：．
3．（2015•福建）若直线过点，则的最小值等于
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】直线过点，
，
所以，
当且仅当即时取等号，
最小值是4，
故选：．
4．（2014•重庆）若，则的最小值是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
．
，
，，．
，
，则
当且仅当取等号．
故选：．
5．（2013•山东）设正实数，，满足．则当取得最大值时，的最大值为
A．0 B．1 C． D．3
【答案】B
【解析】，
，又，，均为正实数，
（当且仅当时取“” ，
，此时，．
，
，当且仅当时取得“”，满足题意．
的最大值为1．
故选：．
6．（2013•福建）若，则的取值范围是
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】，
变形为，即，当且仅当时取等号．
则的取值范围是，．
故选：．
7．（2012•浙江）若正数，满足，则的最小值是
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【解析】正数，满足，
当且仅当时取等号，，即的最小值是5．故选：．
8．（2010•四川）设，则的最小值是
A．2 B．4 C． D．5
【答案】B
【解析】
当且仅当，，时等号成立
如取，，满足条件．
故选：．
9．（2010•四川）设，则的最小值是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
当且仅当取等号
即取等号．
的最小值为4
故选：．
10．（2010•重庆）已知，，，则的最小值是
A．3 B．4 C． D．
【答案】B
【解析】考察基本不等式，
整理得
即，又，
所以
故选：．
二．填空题（共10小题）
11．（2019•上海）若，，且，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】，
12．（2019•天津）设，，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】，，，
则；
，，，
由基本不等式有：，
，，故：；
（当且仅当时，即：，时，等号成立），
故的最小值为；
故答案为：．
13．（2018•天津）已知，，且，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】，，且，
可得：，
则，
当且仅当．即时取等号．
函数的最小值为：．
14．（2017•山东）若直线过点，则的最小值为 8 ．
【答案】8
【解析】直线过点，则，
由，
当且仅当，即，时，取等号，
的最小值为8，
故答案为：8．
15．（2014•上海）若实数，满足，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】，，
当且仅当，即时取等号，故答案为：
16．（2013•上海）设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为 ．
【答案】，
【解析】常数，若对一切正实数成立，故，
又，当且仅当，即时，等号成立
故必有，解得,故答案为，
17．（2013•四川）已知函数在时取得最小值，则 36 ．
【答案】36
【解析】由题设函数在时取得最小值，
，得必定是函数的极值点，（3），
，即，解得．故答案为：36．
18．（2013•天津）设，，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】，，，
，，（当且仅当时取等号），
，故当时，的最小值为．故答案为：．
19．（2013•陕西）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则其边长为 ．
【答案】20
【解析】设矩形高为，由三角形相似得：，且，，，，
，仅当时，矩形的面积取最大值．
故答案为：20．
20．（2013•天津）设，，则当 时，取得最小值．
【答案】
【解析】，，，
设（a），，画出此函数的图象，如图所示．
利用导数研究其单调性得，当时，（a），
（a），
当时，（a），当时，（a），
故函数在上是减函数，在上是增函数，
当时，取得最小值．
同样地，当时，得到当时，取得最小值．
综合，则当时，取得最小值．
故答案为：．
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