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2023年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区中考数学质检试卷（3月份）
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这是一份2023年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区中考数学质检试卷（3月份），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区中考数学质检试卷（3月份）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．﹣
2．（3分）下列手机手势解锁图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6+a3＝a2 B．2x3•3x3＝6x3
C．（﹣x2）3＝﹣x6 D．（a+1）2＝a2+1
4．（3分）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体的主视图和左视图，这些相同的小正方体的个数最多为（ ）
A．12个 B．11个 C．10个 D．9个
5．（3分）一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
6．（3分）一个袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1，2，3，4，摇匀后随机取出一球，记下号码后放回：再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球的号码不大于第一次取出的球的号码的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）若整数k使关于x的一元一次不等式组的解集是x＞2，且使关于y的分式方程﹣＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数k的值之和为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0
8．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P是BD上的一个动点，过点P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F，连接OE，OF，设BP＝x，△OEF的面积为y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）三月植树节期间，某园林公司购买了甲、乙、丙三种树苗进行园林绿化，恰好用去了1500元，已知甲、乙、丙三种树苗的价格分别为50元/棵、30元/棵、10元/棵．该公司要求购买的每种树苗的数量都是10的整数倍且三种树苗都要买，若甲种树苗最多买20棵，则该公司的购买方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
10．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1．有下列结论：①b2＝4ac，②abc＞0，③a＞c，④4a+c＞2b，⑤若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．（3分）我国是时间上严重缺水的国家之一，目前我国年可利用的淡水资源总量为27500亿米3，人均占有淡水资源量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿米3这个数用科学记数法表示为 米3．
12．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F两点均在对角线AC上．要使四边形BEDF为平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是 （写出一个即可）．
14．（3分）如图，用圆心角为120°，半径为3cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 cm．
15．（3分）如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，点D在反比例函数y＝的图象上，若sin∠CAB＝，cos∠OCB＝，则k＝ ．
16．（3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为 ．
17．（3分）如图，直线l1与直线l2所成的角∠B1OA1＝30°，过点A1作A1B1⊥l1交直线l2于点B1，OB1＝2，以A1B1为边在△OA1B1外侧作等边三角形A1B1C1，再过点C1作A2B2⊥l1，分别交直线l1和l2于A2，B2两点，以A2B2为边在△OA2B2外侧作等边三角形A2B2C2，…按此规律进行下去，则第2023个等边三角形A2023B2023C2023的周长为 ．
三、解答题（本题共69分）
18．（10分）（1）计算：（﹣1）2023×0÷（﹣3）2+cos60°tan60°；
（2）因式分解：（x2+y2）2﹣4x2y2．
19．（5分）解方程：5（x﹣1）2＝2（x﹣1）．
20．（8分）某地区在所有中学开展《老师，我想对你说》心灵信箱活动，为师生之间的沟通增设了一个书面交流的渠道．为了解两年来活动开展的情况，某课题组从全地区随机抽取部分中学生进行问卷调查．对“两年来，你通过心灵信箱给老师总共投递过几封信？”这一调查项设有四个回答选项，选项A：没有投过；选项B：一封；选项C：两封；选项D：三封及以上．根据接受问卷调查学生的回答，统计出各选项的人数以及所占百分比，分别绘制成如下条形统计图和扇形统计图：
（1）此次抽样调查了 名学生，条形统计图中m＝ ，n＝ ；
（2）请将条形统计图补全；
（3）接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有 封；
（4）全地区中学生共有110000名，由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有多少名？
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，作OF⊥AB交AC于点F，点E在AB的延长线上，EM经过点C，且∠ACE+∠AFO＝180°．
（1）求证：EM是⊙O的切线；
（2）若∠A＝∠E，⊙O的半径为1，求阴影部分的面积．
22．（10分）在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲乙两人同时出发，甲从A地匀速骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原速的倍原路返回A地，乙匀速步行从B地前往A地，甲、乙两人距各自出发地的路程y（单位：米）与时间x（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）请写出甲从A地到B地的速度为 米/分，乙的速度为 米/分；
（2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．
23．（12分）综合与实践：情景再现：我们动手操作：把正方形ABCD沿对角线剪开就分剪出两个等腰直角三角形，把其中一个等腰直角三角形与正方形ABCD重新组合在一起，图形变得丰富起来，当图形旋转时问题也随旋转应运而生．如图①把正方形ABCD沿对角线剪开，得两个等腰直角三角形△ACD和△BCE．
（1）问题呈现，我们把剪下的两个三角形一个放大另一个缩小拼成如图②所示的图形，①若点P是平面内一动点，AB＝3，PA＝1，则线段PB的取值范围是 ；②直接写出线段AE与DB的关系是 ；
（2）我们把剪下的其中一个三角形放大与正方形组合如图③④⑤所示，点E在直线BC上，FM⊥CD交直线CD于M．①当点E在BC上时，如图③所示，求证：AD＝MF+CE；②当点E在BC的延长线时，如图④所示，则线段AD、MF、CE具有的数量关系为 ；当点E在CB的延长线上时，如图⑤所示，则线段AD、MF、CE具有的数量关系为 ；
（3）在（2）的条件下，连接EM，当，其他条件不变，则线段CE的长为 ．
24．（14分）综合与探究：如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且A，B两点的横坐标分别是﹣6和2，交y轴于点C，且△ABC的面积为24．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若AD＝2OD，过点D作DE∥AC交y轴于点E，点P是抛物线上AC下方的一动点，连接PD，PE，请直接写出△PDE面积的最大值以及取最大值时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线向右平移4个单位长度，得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1，平移后的抛物线与原抛物线的交点为F．在（2）的条件下，在直线AC上是否存在一点M，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以P，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
2023年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区中考数学质检试卷（3月份）
（参考答案与详解）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．﹣
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：B．
2．（3分）下列手机手势解锁图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、该图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图案是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图案既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6+a3＝a2 B．2x3•3x3＝6x3
C．（﹣x2）3＝﹣x6 D．（a+1）2＝a2+1
【解答】解：A、a6与a3不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、2x3•3x3＝6x6，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（﹣x2）3＝﹣x6，原计算正确，故此选项符合题意；
D、（a+1）2＝a2+2a+1，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
4．（3分）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体的主视图和左视图，这些相同的小正方体的个数最多为（ ）
A．12个 B．11个 C．10个 D．9个
【解答】解：综合主视图和左视图，这个几何体的底层最多有6个，第二层最多应该有4个，第三层最多应该有1个，
因此组成这个几何体最多有11个小正方体．
故选：B．
5．（3分）一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
【解答】解：原数据2，4，4，4，6的平均数为×（2+4+4+4+6）＝4，中位数为4，众数为4，
方差为×[（2﹣4）2+（4﹣4）2×3+（6﹣4）2]＝1.6；
新数据2，4，4，6的平均数为×（2+4+6+4）＝4，中位数为4，众数为4，
方差为×[（2﹣4）2+（4﹣4）2×2+（6﹣4）2]＝2；
故选：D．
6．（3分）一个袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1，2，3，4，摇匀后随机取出一球，记下号码后放回：再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球的号码不大于第一次取出的球的号码的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意画图如下：
由图可得，共有16种等情况数，其中第二次取出的球的号码不大于第一次取出的球的号码的有10种，
所以第二次取出的球的号码不大于第一次取出的球的号码的概率为＝，
故选：D．
7．（3分）若整数k使关于x的一元一次不等式组的解集是x＞2，且使关于y的分式方程﹣＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数k的值之和为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【解答】解：，
解不等式①，得x＞2，
∵关于x的一元一次不等式组的解集是x＞2，
∴k≤2，
分式方程可化为：+＝1，
方程两边都乘以y﹣1，
2y﹣k+y﹣4＝y﹣1，
解得y＝，
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴，，
∴k≥﹣3且k≠﹣1，
∴﹣3≤k≤2且k≠﹣1，
∵k为整数，
∴k为﹣3、﹣2、0、1、2，
∴整数k的值之和为：﹣3﹣2+0+1+2＝﹣2，
故选：B．
8．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P是BD上的一个动点，过点P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F，连接OE，OF，设BP＝x，△OEF的面积为y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：当点P在OB上时，
∵四边形ABCD是正方形，边长为2，
∴AB＝BC＝2，AC⊥BD，∠ACB＝∠CAB＝45°，
∴AC＝2，BO＝DO＝AO＝CO＝，
∵EF∥AC，
∴∠BAC＝∠BEF＝45°，∠BFE＝∠BCA＝45°，∠AOB＝∠EPB＝90°，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∵∠BPE＝90°，
∴BP＝EP＝FP＝x，
∴OP＝﹣x，
∴y＝×EF×OP＝×2x×（﹣x）＝﹣x2+x，（0≤x≤）
当点P在DO上时，同理可得：y＝﹣x2+3x﹣4，（＜x≤2），
故选：C．
9．（3分）三月植树节期间，某园林公司购买了甲、乙、丙三种树苗进行园林绿化，恰好用去了1500元，已知甲、乙、丙三种树苗的价格分别为50元/棵、30元/棵、10元/棵．该公司要求购买的每种树苗的数量都是10的整数倍且三种树苗都要买，若甲种树苗最多买20棵，则该公司的购买方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【解答】解：当购买10棵甲种树苗时，设购买x棵乙种树苗，y棵丙种树苗，
根据题意得：50×10+30x+10y＝1500，
∴y＝100﹣3x，
又∵x，y均为正整数，且均为10的整数倍，
∴或或，
∴当购买10棵甲种树苗时，共有3种购买方案；
当购买20棵甲种树苗时，设购买m棵乙种树苗，n棵丙种树苗，
根据题意得：50×20+30m+10n＝1500，
∴n＝50﹣3m，
又∵m，n均为正整数，且均为10的整数倍，
∴，
∴当购买20棵甲种树苗时，共有1种购买方案．
综上所述，该公司的购买方案共有3+1＝4（种）．
故选：B．
10．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1．有下列结论：①b2＝4ac，②abc＞0，③a＞c，④4a+c＞2b，⑤若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac
所以①错误；
②∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴a、b同号，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，
所以②正确；
③∵x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，
所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝﹣2和x＝0时的函数值相等，即x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，
所以④正确．
⑤∵m＞n＞0，
∴m﹣1＞n﹣1＞﹣1，
由x＞﹣1时，y随x的增大而增大知x＝m﹣1时的函数值大于x＝n﹣1时的函数值，
所以⑤错误；
故选：C．
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．（3分）我国是时间上严重缺水的国家之一，目前我国年可利用的淡水资源总量为27500亿米3，人均占有淡水资源量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿米3这个数用科学记数法表示为 2.75×1012 米3．
【解答】解：27500亿＝2 750 000 000 000＝2.75×1012，
故答案为：2.75×1012．
12．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 x≥1且x≠2 ．
【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0且|x|﹣2＝0，
解得x≥1且x≠±2，
所以，x≥1且x≠2．
故答案为：x≥1且x≠2．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F两点均在对角线AC上．要使四边形BEDF为平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是 AE＝CF（答案不唯一） （写出一个即可）．
【解答】解：增加条件：AE＝CF，理由如下：
如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
若AE＝CF，则有AO﹣AE＝CO﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
故答案为：AE＝CF（答案不唯一）．
14．（3分）如图，用圆心角为120°，半径为3cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 2 cm．
【解答】解：设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，
根据题意得2πr＝，
解得r＝1，
即这个圆锥的底面圆的半径为1cm，
所以这个纸帽的高为＝2（cm）．
故答案为：2．
15．（3分）如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，点D在反比例函数y＝的图象上，若sin∠CAB＝，cos∠OCB＝，则k＝ ﹣10 ．
【解答】解：∵矩形ABCD的边AB在x轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，
∴S△BOC＝＝3，
∵cos∠OCB＝＝，
∴设BC＝4x，OC＝5x，则OB＝3x，
∴＝3，解得x＝，
∴BC＝2，OB＝，
∴C（，2），
∵sin∠CAB＝＝，
∴＝，
∴AC＝2，
∴AB＝＝4，
∴OA＝AB﹣OB＝4﹣＝，
∴D（﹣，2），
∵点D在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣×2＝﹣10，
故答案为﹣10．
16．（3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为 6或2或4 ．
【解答】解：如图1：
当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，与∠ABP＝30°矛盾；
如图2：
当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠CBP＝60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴CP＝BC＝6；
如图3：
当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠PBC＝60°﹣30°＝30°，
∴PC＝PB，
∵BC＝6，
∴AB＝3，
∴PC＝PB＝＝＝2；
如图4：
当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠PBC＝60°+30°＝90°，
∴PC＝BC÷cos30°＝4．
故答案为：6或2或4．
17．（3分）如图，直线l1与直线l2所成的角∠B1OA1＝30°，过点A1作A1B1⊥l1交直线l2于点B1，OB1＝2，以A1B1为边在△OA1B1外侧作等边三角形A1B1C1，再过点C1作A2B2⊥l1，分别交直线l1和l2于A2，B2两点，以A2B2为边在△OA2B2外侧作等边三角形A2B2C2，…按此规律进行下去，则第2023个等边三角形A2023B2023C2023的周长为 ． ．
【解答】解：在Rt△OA1B1中，∠B1OA1＝30°，OB1＝2，
∴A1B1＝1，
∵△A1B1C1是等边三角形，
∴△A1B1C1的周长为3；
同理可得△A2B2C2的周长为，
△A3B3C3的周长为；
.....．
．
故答案为：．
三、解答题（本题共69分）
18．（10分）（1）计算：（﹣1）2023×0÷（﹣3）2+cos60°tan60°；
（2）因式分解：（x2+y2）2﹣4x2y2．
【解答】解：（1）原式＝﹣1×1÷9+2××
＝﹣+3
＝2；
（2）原式＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）
＝（x+y）2（x﹣y）2．
19．（5分）解方程：5（x﹣1）2＝2（x﹣1）．
【解答】解：5（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）[5（x﹣1）﹣2]＝0，
∴x﹣1＝0或5（x﹣1）﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝．
20．（8分）某地区在所有中学开展《老师，我想对你说》心灵信箱活动，为师生之间的沟通增设了一个书面交流的渠道．为了解两年来活动开展的情况，某课题组从全地区随机抽取部分中学生进行问卷调查．对“两年来，你通过心灵信箱给老师总共投递过几封信？”这一调查项设有四个回答选项，选项A：没有投过；选项B：一封；选项C：两封；选项D：三封及以上．根据接受问卷调查学生的回答，统计出各选项的人数以及所占百分比，分别绘制成如下条形统计图和扇形统计图：
（1）此次抽样调查了 500 名学生，条形统计图中m＝ 225 ，n＝ 25 ；
（2）请将条形统计图补全；
（3）接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有 425 封；
（4）全地区中学生共有110000名，由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有多少名？
【解答】解：（1）此次调查的总人数为150÷30%＝500（人），
则m＝500×45%＝225，n＝500×5%＝25，
故答案为：500，225，25；
（2）C选项人数为500×20%＝100（人），
补全图形如下：
（3）1×150+2×100+3×25＝425，
答：接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有425封，
故答案为：425；
（4）由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有110000×（1﹣45%）＝60500（名）．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，作OF⊥AB交AC于点F，点E在AB的延长线上，EM经过点C，且∠ACE+∠AFO＝180°．
（1）求证：EM是⊙O的切线；
（2）若∠A＝∠E，⊙O的半径为1，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）证明：连接OC，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF＝90°，
∴∠A+∠AFO＝90°，
∵∠ACE+∠AFO＝180°，∠ACE+∠ACM＝180°，
∴∠AFO＝∠ACM，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO+∠ACM＝90°，
∴∠OCM＝90°，
∴OC⊥ME，
∴EM是⊙O的切线；
（2）∵∠EOC＝2∠A＝2∠E，
又∠EOC+∠E＝∠OCM＝90°，
∴2∠E+∠E＝90°，
∴∠E＝30°，
∴∠EOC＝60°，
∴CE＝OCtan60°＝，
∴S阴影部分＝S△OCE﹣S扇形BOC＝．
22．（10分）在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲乙两人同时出发，甲从A地匀速骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原速的倍原路返回A地，乙匀速步行从B地前往A地，甲、乙两人距各自出发地的路程y（单位：米）与时间x（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）请写出甲从A地到B地的速度为 240 米/分，乙的速度为 60 米/分；
（2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．
【解答】解：（1）由题意得：甲的骑行速度为：1020÷（﹣1）＝240（米/分）；
∵甲从A地到B地，再从B地返回A地，中间休息1分钟，共用时间10﹣1＝9（分钟），
设AB两地之间距离为m米，
由题意得：+＝9，解得m＝1200，
∴AB两地之间距离为1200米，
乙的速度为：1200÷20＝60（米/分）．
故答案为：240，60；
（2）∵甲返回A地时的速度为240×＝300（米/分），
∴甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y＝1200﹣300（x﹣﹣1）＝﹣300x+3000；
（3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，
如图1所示：∵AB＝1200，AC＝1020，
∴BC＝1200﹣1020＝180，
分5种情况：
①当0＜x≤3时，1020﹣240x＝180﹣60x，
x＝＞3，此种情况不符合题意；
②当3＜x＜﹣1时，即3＜x＜，甲、乙都在A、C之间，
∴1020﹣240x＝60x﹣180，
解得：x＝4，
此种情况符合题意；
③当＜x＜6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，
∴240（x﹣1）﹣1020＝60x﹣180，
解得：x＝6，
此种情况不符合题意；
④当x＝6时，甲到B地，距离C地180米，
乙距C地的距离：6×60﹣180＝180（米），
即x＝6时两人距C地的路程相等，
⑤当x＞6时，甲在返回途中，
当甲在B、C之间时，180﹣300（x﹣6）＝60x﹣180，
解得：x＝6，
此种情况不符合题意，
当甲在A、C之间时，300（x﹣6）﹣180＝60x﹣180，
解得：x＝，
综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或分钟时两人距C地的路程相等．
23．（12分）综合与实践：情景再现：我们动手操作：把正方形ABCD沿对角线剪开就分剪出两个等腰直角三角形，把其中一个等腰直角三角形与正方形ABCD重新组合在一起，图形变得丰富起来，当图形旋转时问题也随旋转应运而生．如图①把正方形ABCD沿对角线剪开，得两个等腰直角三角形△ACD和△BCE．
（1）问题呈现，我们把剪下的两个三角形一个放大另一个缩小拼成如图②所示的图形，①若点P是平面内一动点，AB＝3，PA＝1，则线段PB的取值范围是 2≤PB≤4 ；②直接写出线段AE与DB的关系是 AE＝DB，AE⊥DB ；
（2）我们把剪下的其中一个三角形放大与正方形组合如图③④⑤所示，点E在直线BC上，FM⊥CD交直线CD于M．①当点E在BC上时，如图③所示，求证：AD＝MF+CE；②当点E在BC的延长线时，如图④所示，则线段AD、MF、CE具有的数量关系为 FM＝AD+CE ；当点E在CB的延长线上时，如图⑤所示，则线段AD、MF、CE具有的数量关系为 EC＝AD+FM ；
（3）在（2）的条件下，连接EM，当，其他条件不变，则线段CE的长为 1或7 ．
【解答】（1）①解∵点P是平面内一动点，PA＝l，
∴点P在以A点为圆心，以1为半径的圆上，
∴当点P在线段AB上时，PB有最小值，此时PB＝AB﹣PA＝3﹣1＝2，
当点P在线段BA的延长线上，PB有最大值，此时PB＝AB+AP＝3+1＝4，
∴.2≤PB≤4；
②解：如图②，设BD与CE的交点为K，
∵△ACD和△BCE是等腰直角三角形，
∴AC＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACD+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝DB，∠AEC＝∠DBC，
∵∠BKC+∠DBC＝90°，∠BKC＝∠EKD，
∴∠AEC+∠EKD＝90°，
∴AE⊥BD，
故答案为：2≤PB≤4；AE＝DB，AE⊥BD；
（2）①证明：如图③，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，连接CF，
∵FG⊥BC，
∴∠G＝90°＝∠B，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEG＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∴△ABE≌△EGF（AAS ），
∴AB＝EG，BE＝FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝EG，
又∵∠G＝∠MCG＝∠FMC＝90°，
∵四边形MCGF是矩形，
∴MC＝FG＝BE，
∵BE+EC＝BC，EC+CG＝AB＝BC，
∴BE＝CG，
又∵BE＝FG，
∴CG＝FG
∵四边形MCGF是正方形，
∴MF＝CG，
∴EG＝EC+CG＝EC+MF，
∴AD＝EC+MF；
②解：如图④，过点F作FN⊥BC，交BC的延长线与点N，
∵FN⊥BC，
∴∠N＝90°＝∠B，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEN＝90°，
又∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEN，
∴△ABE≌△ENF（AAS），
∴AB＝EN，
同理①可得四边形MCNF是正方形，
∴MF＝CN，
∴MF＝CE+AD；
③解：如图⑤，过点F作FH⊥BC于点H，
∵FH⊥BC，
∴∠FHB＝90°＝∠ABE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEH＝90°，∠FEH+∠EFH＝90°，
∴∠AEB＝∠EFH，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴EB＝FH，
∴EC＝EB+BC＝FH+BC，
同②可得四边形HFMC是正方形，
∴FM＝FH，
∴EC＝AD+FM；
（3）解：如图③，∵四边形MCGF是正方形，
∴MF＝FG＝CG，
∵S△EMF＝8，
∴×MF•FG＝8，
∴MF＝FG＝4＝CG，
∵AF2＝50，△AFE是等腰直角三角形，
∴EF＝5，
∴EG＝＝＝3，
∴EC＝EG﹣CG＝﹣1（不合题意舍去），
如图④，同理可求FN＝4＝CN，EF＝5，
∴EN＝＝3，
∴CE＝CN﹣EN＝1，
如图⑤，同理可求：FH＝CH＝4，EF＝5，
∴EH＝＝3，
∴EC＝4+3＝7，
综上所述：EC的长为1或7，
故答案为：1或7．
24．（14分）综合与探究：如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且A，B两点的横坐标分别是﹣6和2，交y轴于点C，且△ABC的面积为24．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若AD＝2OD，过点D作DE∥AC交y轴于点E，点P是抛物线上AC下方的一动点，连接PD，PE，请直接写出△PDE面积的最大值以及取最大值时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线向右平移4个单位长度，得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1，平移后的抛物线与原抛物线的交点为F．在（2）的条件下，在直线AC上是否存在一点M，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以P，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵A，B两点的横坐标分别是﹣6和2，
∴A（﹣6，0），B（2，0），AB＝8，
∵△ABC的面积为24，
∴×8×OC＝24，
∴OC＝6，
∴C（0，﹣6），
把A（﹣6，0），B（2，0），C（0，﹣6）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣6；
（2）过D作DK∥y轴交EP于K，如图：
设P（m，m2+2m﹣6），△PDE面积为S，
∵AD＝2OD，AD+OD＝OA＝6，
∴OD＝2，
∴D（﹣2，0），
∵OA＝OC＝6，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵DE∥AC，
∴∠ODE＝∠OAC＝45°＝∠OED，
∴OE＝OD＝2，
∴E（0，﹣2），
由E（0，﹣2），P（m，m2+2m﹣6）可得直线EP解析式为y＝x﹣2，
在y＝x﹣2中，令x＝﹣2得y＝，
∴K（0，），
∴DK＝，
∴S＝DK•|xP﹣xE|＝××（﹣m）＝﹣（m+3）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣3时，S取最大值，最大值为，
此时P（﹣3，﹣），
∴△PDE面积的最大值是，取最大值时点P的坐标为（﹣3，﹣）；
（3）在平面直角坐标系中存在一点N，使得以P，F，M，N为顶点的四边形是菱形，理由如下：
将抛物线y＝x2+2x﹣6向右平移4个单位得y＝（x﹣4）2+2（x+4）﹣6＝x2﹣2x﹣6，
解得，
∴F（0，﹣6），
由A（﹣6，0），C（0，﹣6）得直线AC解析式为y＝﹣x﹣6，
设M（t，﹣t﹣6），N（p，q），
由（2）知P（﹣3，﹣），
①若PF，MN为对角线，则PF，MN的中点重合，且PM＝FM，
∴，
解得t＝﹣；
∴M（﹣，﹣），
②若PM，FN为对角线，同理可得：
，
解得t＝或t＝﹣，
∴M（，﹣﹣6）或（﹣，﹣6）；
③若PN，FM为对角线，同理得；
，
解得t＝0（F，M重合，舍去）或t＝﹣，
∴M（﹣，﹣）；
综上所述，M的坐标为（﹣，﹣）或（，﹣﹣6）或（﹣，﹣6）或（﹣，﹣）．
2023年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区中考数学质检试卷（3月份）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．﹣
2．（3分）下列手机手势解锁图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6+a3＝a2 B．2x3•3x3＝6x3
C．（﹣x2）3＝﹣x6 D．（a+1）2＝a2+1
4．（3分）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体的主视图和左视图，这些相同的小正方体的个数最多为（ ）
A．12个 B．11个 C．10个 D．9个
5．（3分）一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
6．（3分）一个袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1，2，3，4，摇匀后随机取出一球，记下号码后放回：再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球的号码不大于第一次取出的球的号码的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）若整数k使关于x的一元一次不等式组的解集是x＞2，且使关于y的分式方程﹣＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数k的值之和为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0
8．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P是BD上的一个动点，过点P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F，连接OE，OF，设BP＝x，△OEF的面积为y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
9．（3分）三月植树节期间，某园林公司购买了甲、乙、丙三种树苗进行园林绿化，恰好用去了1500元，已知甲、乙、丙三种树苗的价格分别为50元/棵、30元/棵、10元/棵．该公司要求购买的每种树苗的数量都是10的整数倍且三种树苗都要买，若甲种树苗最多买20棵，则该公司的购买方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
10．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1．有下列结论：①b2＝4ac，②abc＞0，③a＞c，④4a+c＞2b，⑤若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．（3分）我国是时间上严重缺水的国家之一，目前我国年可利用的淡水资源总量为27500亿米3，人均占有淡水资源量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿米3这个数用科学记数法表示为 米3．
12．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 ．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F两点均在对角线AC上．要使四边形BEDF为平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是 （写出一个即可）．
14．（3分）如图，用圆心角为120°，半径为3cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 cm．
15．（3分）如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，点D在反比例函数y＝的图象上，若sin∠CAB＝，cos∠OCB＝，则k＝ ．
16．（3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为 ．
17．（3分）如图，直线l1与直线l2所成的角∠B1OA1＝30°，过点A1作A1B1⊥l1交直线l2于点B1，OB1＝2，以A1B1为边在△OA1B1外侧作等边三角形A1B1C1，再过点C1作A2B2⊥l1，分别交直线l1和l2于A2，B2两点，以A2B2为边在△OA2B2外侧作等边三角形A2B2C2，…按此规律进行下去，则第2023个等边三角形A2023B2023C2023的周长为 ．
三、解答题（本题共69分）
18．（10分）（1）计算：（﹣1）2023×0÷（﹣3）2+cos60°tan60°；
（2）因式分解：（x2+y2）2﹣4x2y2．
19．（5分）解方程：5（x﹣1）2＝2（x﹣1）．
20．（8分）某地区在所有中学开展《老师，我想对你说》心灵信箱活动，为师生之间的沟通增设了一个书面交流的渠道．为了解两年来活动开展的情况，某课题组从全地区随机抽取部分中学生进行问卷调查．对“两年来，你通过心灵信箱给老师总共投递过几封信？”这一调查项设有四个回答选项，选项A：没有投过；选项B：一封；选项C：两封；选项D：三封及以上．根据接受问卷调查学生的回答，统计出各选项的人数以及所占百分比，分别绘制成如下条形统计图和扇形统计图：
（1）此次抽样调查了 名学生，条形统计图中m＝ ，n＝ ；
（2）请将条形统计图补全；
（3）接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有 封；
（4）全地区中学生共有110000名，由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有多少名？
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，作OF⊥AB交AC于点F，点E在AB的延长线上，EM经过点C，且∠ACE+∠AFO＝180°．
（1）求证：EM是⊙O的切线；
（2）若∠A＝∠E，⊙O的半径为1，求阴影部分的面积．
22．（10分）在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲乙两人同时出发，甲从A地匀速骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原速的倍原路返回A地，乙匀速步行从B地前往A地，甲、乙两人距各自出发地的路程y（单位：米）与时间x（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）请写出甲从A地到B地的速度为 米/分，乙的速度为 米/分；
（2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．
23．（12分）综合与实践：情景再现：我们动手操作：把正方形ABCD沿对角线剪开就分剪出两个等腰直角三角形，把其中一个等腰直角三角形与正方形ABCD重新组合在一起，图形变得丰富起来，当图形旋转时问题也随旋转应运而生．如图①把正方形ABCD沿对角线剪开，得两个等腰直角三角形△ACD和△BCE．
（1）问题呈现，我们把剪下的两个三角形一个放大另一个缩小拼成如图②所示的图形，①若点P是平面内一动点，AB＝3，PA＝1，则线段PB的取值范围是 ；②直接写出线段AE与DB的关系是 ；
（2）我们把剪下的其中一个三角形放大与正方形组合如图③④⑤所示，点E在直线BC上，FM⊥CD交直线CD于M．①当点E在BC上时，如图③所示，求证：AD＝MF+CE；②当点E在BC的延长线时，如图④所示，则线段AD、MF、CE具有的数量关系为 ；当点E在CB的延长线上时，如图⑤所示，则线段AD、MF、CE具有的数量关系为 ；
（3）在（2）的条件下，连接EM，当，其他条件不变，则线段CE的长为 ．
24．（14分）综合与探究：如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且A，B两点的横坐标分别是﹣6和2，交y轴于点C，且△ABC的面积为24．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若AD＝2OD，过点D作DE∥AC交y轴于点E，点P是抛物线上AC下方的一动点，连接PD，PE，请直接写出△PDE面积的最大值以及取最大值时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线向右平移4个单位长度，得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1，平移后的抛物线与原抛物线的交点为F．在（2）的条件下，在直线AC上是否存在一点M，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以P，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
2023年黑龙江省齐齐哈尔市铁锋区中考数学质检试卷（3月份）
（参考答案与详解）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）﹣的相反数是（ ）
A．2023 B． C．﹣2023 D．﹣
【解答】解：﹣的相反数是，
故选：B．
2．（3分）下列手机手势解锁图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、该图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图案是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图案既是中心对称图形又是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a6+a3＝a2 B．2x3•3x3＝6x3
C．（﹣x2）3＝﹣x6 D．（a+1）2＝a2+1
【解答】解：A、a6与a3不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、2x3•3x3＝6x6，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（﹣x2）3＝﹣x6，原计算正确，故此选项符合题意；
D、（a+1）2＝a2+2a+1，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：C．
4．（3分）如图是由一些相同的小正方体组成的几何体的主视图和左视图，这些相同的小正方体的个数最多为（ ）
A．12个 B．11个 C．10个 D．9个
【解答】解：综合主视图和左视图，这个几何体的底层最多有6个，第二层最多应该有4个，第三层最多应该有1个，
因此组成这个几何体最多有11个小正方体．
故选：B．
5．（3分）一组数据：2，4，4，4，6，若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（ ）
A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差
【解答】解：原数据2，4，4，4，6的平均数为×（2+4+4+4+6）＝4，中位数为4，众数为4，
方差为×[（2﹣4）2+（4﹣4）2×3+（6﹣4）2]＝1.6；
新数据2，4，4，6的平均数为×（2+4+6+4）＝4，中位数为4，众数为4，
方差为×[（2﹣4）2+（4﹣4）2×2+（6﹣4）2]＝2；
故选：D．
6．（3分）一个袋子中装有4个相同的小球，它们分别标有号码1，2，3，4，摇匀后随机取出一球，记下号码后放回：再将小球摇匀，并从袋中随机取出一球，则第二次取出的球的号码不大于第一次取出的球的号码的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意画图如下：
由图可得，共有16种等情况数，其中第二次取出的球的号码不大于第一次取出的球的号码的有10种，
所以第二次取出的球的号码不大于第一次取出的球的号码的概率为＝，
故选：D．
7．（3分）若整数k使关于x的一元一次不等式组的解集是x＞2，且使关于y的分式方程﹣＝1有非负整数解，则符合条件的所有整数k的值之和为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【解答】解：，
解不等式①，得x＞2，
∵关于x的一元一次不等式组的解集是x＞2，
∴k≤2，
分式方程可化为：+＝1，
方程两边都乘以y﹣1，
2y﹣k+y﹣4＝y﹣1，
解得y＝，
∵关于y的分式方程有非负整数解，
∴，，
∴k≥﹣3且k≠﹣1，
∴﹣3≤k≤2且k≠﹣1，
∵k为整数，
∴k为﹣3、﹣2、0、1、2，
∴整数k的值之和为：﹣3﹣2+0+1+2＝﹣2，
故选：B．
8．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P是BD上的一个动点，过点P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F，连接OE，OF，设BP＝x，△OEF的面积为y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：当点P在OB上时，
∵四边形ABCD是正方形，边长为2，
∴AB＝BC＝2，AC⊥BD，∠ACB＝∠CAB＝45°，
∴AC＝2，BO＝DO＝AO＝CO＝，
∵EF∥AC，
∴∠BAC＝∠BEF＝45°，∠BFE＝∠BCA＝45°，∠AOB＝∠EPB＝90°，
∴∠BEF＝∠BFE，
∴BE＝BF，
∵∠BPE＝90°，
∴BP＝EP＝FP＝x，
∴OP＝﹣x，
∴y＝×EF×OP＝×2x×（﹣x）＝﹣x2+x，（0≤x≤）
当点P在DO上时，同理可得：y＝﹣x2+3x﹣4，（＜x≤2），
故选：C．
9．（3分）三月植树节期间，某园林公司购买了甲、乙、丙三种树苗进行园林绿化，恰好用去了1500元，已知甲、乙、丙三种树苗的价格分别为50元/棵、30元/棵、10元/棵．该公司要求购买的每种树苗的数量都是10的整数倍且三种树苗都要买，若甲种树苗最多买20棵，则该公司的购买方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【解答】解：当购买10棵甲种树苗时，设购买x棵乙种树苗，y棵丙种树苗，
根据题意得：50×10+30x+10y＝1500，
∴y＝100﹣3x，
又∵x，y均为正整数，且均为10的整数倍，
∴或或，
∴当购买10棵甲种树苗时，共有3种购买方案；
当购买20棵甲种树苗时，设购买m棵乙种树苗，n棵丙种树苗，
根据题意得：50×20+30m+10n＝1500，
∴n＝50﹣3m，
又∵m，n均为正整数，且均为10的整数倍，
∴，
∴当购买20棵甲种树苗时，共有1种购买方案．
综上所述，该公司的购买方案共有3+1＝4（种）．
故选：B．
10．（3分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1．有下列结论：①b2＝4ac，②abc＞0，③a＞c，④4a+c＞2b，⑤若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac
所以①错误；
②∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴a、b同号，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，
所以②正确；
③∵x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，
所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝﹣2和x＝0时的函数值相等，即x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，
所以④正确．
⑤∵m＞n＞0，
∴m﹣1＞n﹣1＞﹣1，
由x＞﹣1时，y随x的增大而增大知x＝m﹣1时的函数值大于x＝n﹣1时的函数值，
所以⑤错误；
故选：C．
二、填空题（每小题3分，满分21分）
11．（3分）我国是时间上严重缺水的国家之一，目前我国年可利用的淡水资源总量为27500亿米3，人均占有淡水资源量居全世界第110位，因此我们要节约用水，27500亿米3这个数用科学记数法表示为 2.75×1012 米3．
【解答】解：27500亿＝2 750 000 000 000＝2.75×1012，
故答案为：2.75×1012．
12．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 x≥1且x≠2 ．
【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0且|x|﹣2＝0，
解得x≥1且x≠±2，
所以，x≥1且x≠2．
故答案为：x≥1且x≠2．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，E，F两点均在对角线AC上．要使四边形BEDF为平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是 AE＝CF（答案不唯一） （写出一个即可）．
【解答】解：增加条件：AE＝CF，理由如下：
如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
若AE＝CF，则有AO﹣AE＝CO﹣CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF为平行四边形，
故答案为：AE＝CF（答案不唯一）．
14．（3分）如图，用圆心角为120°，半径为3cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是 2 cm．
【解答】解：设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，
根据题意得2πr＝，
解得r＝1，
即这个圆锥的底面圆的半径为1cm，
所以这个纸帽的高为＝2（cm）．
故答案为：2．
15．（3分）如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，点D在反比例函数y＝的图象上，若sin∠CAB＝，cos∠OCB＝，则k＝ ﹣10 ．
【解答】解：∵矩形ABCD的边AB在x轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，
∴S△BOC＝＝3，
∵cos∠OCB＝＝，
∴设BC＝4x，OC＝5x，则OB＝3x，
∴＝3，解得x＝，
∴BC＝2，OB＝，
∴C（，2），
∵sin∠CAB＝＝，
∴＝，
∴AC＝2，
∴AB＝＝4，
∴OA＝AB﹣OB＝4﹣＝，
∴D（﹣，2），
∵点D在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣×2＝﹣10，
故答案为﹣10．
16．（3分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6．若点P在直线AC上（不与点A，C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为 6或2或4 ．
【解答】解：如图1：
当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，与∠ABP＝30°矛盾；
如图2：
当∠C＝60°时，∠ABC＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠CBP＝60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴CP＝BC＝6；
如图3：
当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠PBC＝60°﹣30°＝30°，
∴PC＝PB，
∵BC＝6，
∴AB＝3，
∴PC＝PB＝＝＝2；
如图4：
当∠ABC＝60°时，∠C＝30°，
∵∠ABP＝30°，
∴∠PBC＝60°+30°＝90°，
∴PC＝BC÷cos30°＝4．
故答案为：6或2或4．
17．（3分）如图，直线l1与直线l2所成的角∠B1OA1＝30°，过点A1作A1B1⊥l1交直线l2于点B1，OB1＝2，以A1B1为边在△OA1B1外侧作等边三角形A1B1C1，再过点C1作A2B2⊥l1，分别交直线l1和l2于A2，B2两点，以A2B2为边在△OA2B2外侧作等边三角形A2B2C2，…按此规律进行下去，则第2023个等边三角形A2023B2023C2023的周长为 ． ．
【解答】解：在Rt△OA1B1中，∠B1OA1＝30°，OB1＝2，
∴A1B1＝1，
∵△A1B1C1是等边三角形，
∴△A1B1C1的周长为3；
同理可得△A2B2C2的周长为，
△A3B3C3的周长为；
.....．
．
故答案为：．
三、解答题（本题共69分）
18．（10分）（1）计算：（﹣1）2023×0÷（﹣3）2+cos60°tan60°；
（2）因式分解：（x2+y2）2﹣4x2y2．
【解答】解：（1）原式＝﹣1×1÷9+2××
＝﹣+3
＝2；
（2）原式＝（x2+y2+2xy）（x2+y2﹣2xy）
＝（x+y）2（x﹣y）2．
19．（5分）解方程：5（x﹣1）2＝2（x﹣1）．
【解答】解：5（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）[5（x﹣1）﹣2]＝0，
∴x﹣1＝0或5（x﹣1）﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝．
20．（8分）某地区在所有中学开展《老师，我想对你说》心灵信箱活动，为师生之间的沟通增设了一个书面交流的渠道．为了解两年来活动开展的情况，某课题组从全地区随机抽取部分中学生进行问卷调查．对“两年来，你通过心灵信箱给老师总共投递过几封信？”这一调查项设有四个回答选项，选项A：没有投过；选项B：一封；选项C：两封；选项D：三封及以上．根据接受问卷调查学生的回答，统计出各选项的人数以及所占百分比，分别绘制成如下条形统计图和扇形统计图：
（1）此次抽样调查了 500 名学生，条形统计图中m＝ 225 ，n＝ 25 ；
（2）请将条形统计图补全；
（3）接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有 425 封；
（4）全地区中学生共有110000名，由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有多少名？
【解答】解：（1）此次调查的总人数为150÷30%＝500（人），
则m＝500×45%＝225，n＝500×5%＝25，
故答案为：500，225，25；
（2）C选项人数为500×20%＝100（人），
补全图形如下：
（3）1×150+2×100+3×25＝425，
答：接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有425封，
故答案为：425；
（4）由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有110000×（1﹣45%）＝60500（名）．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，作OF⊥AB交AC于点F，点E在AB的延长线上，EM经过点C，且∠ACE+∠AFO＝180°．
（1）求证：EM是⊙O的切线；
（2）若∠A＝∠E，⊙O的半径为1，求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）证明：连接OC，
∵OF⊥AB，
∴∠AOF＝90°，
∴∠A+∠AFO＝90°，
∵∠ACE+∠AFO＝180°，∠ACE+∠ACM＝180°，
∴∠AFO＝∠ACM，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∴∠ACO+∠ACM＝90°，
∴∠OCM＝90°，
∴OC⊥ME，
∴EM是⊙O的切线；
（2）∵∠EOC＝2∠A＝2∠E，
又∠EOC+∠E＝∠OCM＝90°，
∴2∠E+∠E＝90°，
∴∠E＝30°，
∴∠EOC＝60°，
∴CE＝OCtan60°＝，
∴S阴影部分＝S△OCE﹣S扇形BOC＝．
22．（10分）在一条笔直的公路上依次有A、C、B三地，甲乙两人同时出发，甲从A地匀速骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原速的倍原路返回A地，乙匀速步行从B地前往A地，甲、乙两人距各自出发地的路程y（单位：米）与时间x（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）请写出甲从A地到B地的速度为 240 米/分，乙的速度为 60 米/分；
（2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量x的取值范围）；
（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．
【解答】解：（1）由题意得：甲的骑行速度为：1020÷（﹣1）＝240（米/分）；
∵甲从A地到B地，再从B地返回A地，中间休息1分钟，共用时间10﹣1＝9（分钟），
设AB两地之间距离为m米，
由题意得：+＝9，解得m＝1200，
∴AB两地之间距离为1200米，
乙的速度为：1200÷20＝60（米/分）．
故答案为：240，60；
（2）∵甲返回A地时的速度为240×＝300（米/分），
∴甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y＝1200﹣300（x﹣﹣1）＝﹣300x+3000；
（3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，
如图1所示：∵AB＝1200，AC＝1020，
∴BC＝1200﹣1020＝180，
分5种情况：
①当0＜x≤3时，1020﹣240x＝180﹣60x，
x＝＞3，此种情况不符合题意；
②当3＜x＜﹣1时，即3＜x＜，甲、乙都在A、C之间，
∴1020﹣240x＝60x﹣180，
解得：x＝4，
此种情况符合题意；
③当＜x＜6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，
∴240（x﹣1）﹣1020＝60x﹣180，
解得：x＝6，
此种情况不符合题意；
④当x＝6时，甲到B地，距离C地180米，
乙距C地的距离：6×60﹣180＝180（米），
即x＝6时两人距C地的路程相等，
⑤当x＞6时，甲在返回途中，
当甲在B、C之间时，180﹣300（x﹣6）＝60x﹣180，
解得：x＝6，
此种情况不符合题意，
当甲在A、C之间时，300（x﹣6）﹣180＝60x﹣180，
解得：x＝，
综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或分钟时两人距C地的路程相等．
23．（12分）综合与实践：情景再现：我们动手操作：把正方形ABCD沿对角线剪开就分剪出两个等腰直角三角形，把其中一个等腰直角三角形与正方形ABCD重新组合在一起，图形变得丰富起来，当图形旋转时问题也随旋转应运而生．如图①把正方形ABCD沿对角线剪开，得两个等腰直角三角形△ACD和△BCE．
（1）问题呈现，我们把剪下的两个三角形一个放大另一个缩小拼成如图②所示的图形，①若点P是平面内一动点，AB＝3，PA＝1，则线段PB的取值范围是 2≤PB≤4 ；②直接写出线段AE与DB的关系是 AE＝DB，AE⊥DB ；
（2）我们把剪下的其中一个三角形放大与正方形组合如图③④⑤所示，点E在直线BC上，FM⊥CD交直线CD于M．①当点E在BC上时，如图③所示，求证：AD＝MF+CE；②当点E在BC的延长线时，如图④所示，则线段AD、MF、CE具有的数量关系为 FM＝AD+CE ；当点E在CB的延长线上时，如图⑤所示，则线段AD、MF、CE具有的数量关系为 EC＝AD+FM ；
（3）在（2）的条件下，连接EM，当，其他条件不变，则线段CE的长为 1或7 ．
【解答】（1）①解∵点P是平面内一动点，PA＝l，
∴点P在以A点为圆心，以1为半径的圆上，
∴当点P在线段AB上时，PB有最小值，此时PB＝AB﹣PA＝3﹣1＝2，
当点P在线段BA的延长线上，PB有最大值，此时PB＝AB+AP＝3+1＝4，
∴.2≤PB≤4；
②解：如图②，设BD与CE的交点为K，
∵△ACD和△BCE是等腰直角三角形，
∴AC＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACD+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，
∴∠ACE＝∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝DB，∠AEC＝∠DBC，
∵∠BKC+∠DBC＝90°，∠BKC＝∠EKD，
∴∠AEC+∠EKD＝90°，
∴AE⊥BD，
故答案为：2≤PB≤4；AE＝DB，AE⊥BD；
（2）①证明：如图③，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，连接CF，
∵FG⊥BC，
∴∠G＝90°＝∠B，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEG＝90°，
∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEG，
∴△ABE≌△EGF（AAS ），
∴AB＝EG，BE＝FG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝EG，
又∵∠G＝∠MCG＝∠FMC＝90°，
∵四边形MCGF是矩形，
∴MC＝FG＝BE，
∵BE+EC＝BC，EC+CG＝AB＝BC，
∴BE＝CG，
又∵BE＝FG，
∴CG＝FG
∵四边形MCGF是正方形，
∴MF＝CG，
∴EG＝EC+CG＝EC+MF，
∴AD＝EC+MF；
②解：如图④，过点F作FN⊥BC，交BC的延长线与点N，
∵FN⊥BC，
∴∠N＝90°＝∠B，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEN＝90°，
又∵∠BAE+∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝∠FEN，
∴△ABE≌△ENF（AAS），
∴AB＝EN，
同理①可得四边形MCNF是正方形，
∴MF＝CN，
∴MF＝CE+AD；
③解：如图⑤，过点F作FH⊥BC于点H，
∵FH⊥BC，
∴∠FHB＝90°＝∠ABE，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEH＝90°，∠FEH+∠EFH＝90°，
∴∠AEB＝∠EFH，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴EB＝FH，
∴EC＝EB+BC＝FH+BC，
同②可得四边形HFMC是正方形，
∴FM＝FH，
∴EC＝AD+FM；
（3）解：如图③，∵四边形MCGF是正方形，
∴MF＝FG＝CG，
∵S△EMF＝8，
∴×MF•FG＝8，
∴MF＝FG＝4＝CG，
∵AF2＝50，△AFE是等腰直角三角形，
∴EF＝5，
∴EG＝＝＝3，
∴EC＝EG﹣CG＝﹣1（不合题意舍去），
如图④，同理可求FN＝4＝CN，EF＝5，
∴EN＝＝3，
∴CE＝CN﹣EN＝1，
如图⑤，同理可求：FH＝CH＝4，EF＝5，
∴EH＝＝3，
∴EC＝4+3＝7，
综上所述：EC的长为1或7，
故答案为：1或7．
24．（14分）综合与探究：如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），且A，B两点的横坐标分别是﹣6和2，交y轴于点C，且△ABC的面积为24．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若AD＝2OD，过点D作DE∥AC交y轴于点E，点P是抛物线上AC下方的一动点，连接PD，PE，请直接写出△PDE面积的最大值以及取最大值时点P的坐标；
（3）如图2，将原抛物线向右平移4个单位长度，得到新的抛物线y＝a1x2+b1x+c1，平移后的抛物线与原抛物线的交点为F．在（2）的条件下，在直线AC上是否存在一点M，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以P，F，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵A，B两点的横坐标分别是﹣6和2，
∴A（﹣6，0），B（2，0），AB＝8，
∵△ABC的面积为24，
∴×8×OC＝24，
∴OC＝6，
∴C（0，﹣6），
把A（﹣6，0），B（2，0），C（0，﹣6）代入y＝ax2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣6；
（2）过D作DK∥y轴交EP于K，如图：
设P（m，m2+2m﹣6），△PDE面积为S，
∵AD＝2OD，AD+OD＝OA＝6，
∴OD＝2，
∴D（﹣2，0），
∵OA＝OC＝6，
∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
∵DE∥AC，
∴∠ODE＝∠OAC＝45°＝∠OED，
∴OE＝OD＝2，
∴E（0，﹣2），
由E（0，﹣2），P（m，m2+2m﹣6）可得直线EP解析式为y＝x﹣2，
在y＝x﹣2中，令x＝﹣2得y＝，
∴K（0，），
∴DK＝，
∴S＝DK•|xP﹣xE|＝××（﹣m）＝﹣（m+3）2+，
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣3时，S取最大值，最大值为，
此时P（﹣3，﹣），
∴△PDE面积的最大值是，取最大值时点P的坐标为（﹣3，﹣）；
（3）在平面直角坐标系中存在一点N，使得以P，F，M，N为顶点的四边形是菱形，理由如下：
将抛物线y＝x2+2x﹣6向右平移4个单位得y＝（x﹣4）2+2（x+4）﹣6＝x2﹣2x﹣6，
解得，
∴F（0，﹣6），
由A（﹣6，0），C（0，﹣6）得直线AC解析式为y＝﹣x﹣6，
设M（t，﹣t﹣6），N（p，q），
由（2）知P（﹣3，﹣），
①若PF，MN为对角线，则PF，MN的中点重合，且PM＝FM，
∴，
解得t＝﹣；
∴M（﹣，﹣），
②若PM，FN为对角线，同理可得：
，
解得t＝或t＝﹣，
∴M（，﹣﹣6）或（﹣，﹣6）；
③若PN，FM为对角线，同理得；
，
解得t＝0（F，M重合，舍去）或t＝﹣，
∴M（﹣，﹣）；
综上所述，M的坐标为（﹣，﹣）或（，﹣﹣6）或（﹣，﹣6）或（﹣，﹣）．
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