2023届云南省三校高三高考备考实用性联考卷（六）数学试题含解析

2023届云南省三校高三高考备考实用性联考卷（六）数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】解一元二次不等式求集合N，应用交集运算求解即可.

【详解】因为，

又，

所以.

故选：C.

2．若复数z满，则z的虚部为（    ）

A． B． C． D．－

【答案】C

【分析】根据复数的除法运算及虚部的概念求解即可.

【详解】由题意，，所以z的虚部为.

故选：C.

3．已知等差数列的前n项和为，若，则＝（    ）

A．112 B． C．28 D．120

【答案】A

【分析】利用等差数列前n项和公式化简已知条件，并用等差数列的性质转化为的形式，即可求和.

【详解】由题意，所以，解得，

又，所以.

故选：A.

4．拟柱体（所有顶点均在两个平行平面内的多面体）可以用辛普森（Simpson）公式求体积，其中h是高，是上底面面积，是下底面面积，是中截面（到上、下底面距离相等的截面）面积，如图所示，在五面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为4的正方形，，且直线EF到底面ABCD的距离为3，则该五面体的体积为（    ）

A．18 B．20 C．24 D．25

【答案】B

【分析】根据题意，利用辛普森（Simpson）公式求解.

【详解】解：如图所示：

分别取边AE，BF，CF，DE的中点G，H，J，K，

由题意知，，

则，

所以，

故选：B

5．已知，则（    ）

A．－ B．－3 C．1 D．

【答案】A

【分析】根据二倍角公式，将齐次分式转化为的方程，再利用两角和的正切公式化简求值.

【详解】

，解得：，

.

故选：A

6．已知，P是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ）

A．9 B．16 C．25 D．50

【答案】C

【分析】由椭圆定义有，再应用基本不等式求最大值，注意取值条件.

【详解】由题意，当且仅当时等号成立，

所以，即，故最大值为.

故选：C

7．函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（    ）

A．

B．，恒成立

C．对任意

D．若，则的最小值为

【答案】D

【分析】A选项，根据函数图象的性质得到解析式，A错误；B选项，计算，故B错误；C选项求出函数的单调递增区间，得到；D选项，根据得到，或，，求出，从而得到的最小值.

【详解】A选项，由图象可知，，

因为，所以，，

将代入解析式，，

因为是函数在上的第一个零点，所以，

故，故，A错误；

B选项，，

故，不恒成立，B错误；

C选项，令，解得，

故函数单调递增区间为，

要想对任意，C错误；

D选项，因为函数的最大值为2，最小值为-2，

，若，则，

，即，解得，

，即，解得，

此时，

故当时，取得最小值，最小值为；

若，则，同理可得的最小值为，故D正确.

故选：D

8．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，A表示事件“第一次向上一面的数字是1”，B表示事件“第二次向上一面的数字是2”，C表示事件“两次向上一面的数字之和是7”，D表示事件“两次向上一面的数字之和是8”，则（    ）

A．C与D相互独立 B．A与D相互独立

C．B与D相互独立 D．A与C相互独立

【答案】D

【分析】根据事件相互独立的定义判断.

【详解】由题意知，

，所以C与D不相互独立，

，所以A与D不相互独立，

，所以B与D不相互独立，

，所以A与C相互独立，

故选：D

【点睛】方法点睛：判断事件A与B是否相互独立，根据事件相互独立的定义关键看是否成立.

二、多选题

9．已知一组数据的平均数是3，方差是2，由这组数据得到另一组新的样本数据，则（    ）

A．两组样本数据的样本平均数相同

B．两组样本数据的样本方差相同

C．样本数据的第30百分位数为

D．将两组数据合成一个样本容量为30的新的样本数据，该样本数据的平均数为3

【答案】BC

【分析】由期望、方差性质求新数据集的平均数和方差判断A、B；应用百分数的求法求的第30百分位数判断C；求出两组数据总和即可求其平均数判断D.

【详解】由，，的平均数是3，方差是2，则的平均数是2，方差是2，A错误，B正确；

由，故第30百分位数为数据集中从小到大排序后第5个数据，而，故所求百分数为，C正确；

两组数据组合后的平均数为，D错误.

故选：BC

10．已知平面向量，则下列说法正确的是（    ）

A．与的夹角的余弦值为 B．在方向上的投影向量为

C．与垂直的单位向量的坐标为 D．若向量与向量共线，则

【答案】ABD

【分析】对于选项A，可求出，，，根据数量积的公式即可判断出选项A的正误；对于选项B，根据投影向量的计算公式即可判断出选项B的正误；对于选项C，设出坐标，根据题意列出关系式，解出方程组即可判断选项C项的正误；对于选项D，分别求出向量与向量的坐标，根据共线向量的坐标表示，即可求出的值，从而判断出选项D的正误.

【详解】选项A，因，所以，所以选项A正确；

选项B，由投影向量的定义知，在方向上的投影向量为，所以选项B正确；

选项C，设与垂直的单位向量的坐标，则有，

解得或，所以与垂直的单位向量的坐标为或，所以选项C错误；

选项D，显然与不共线.

因为，，

向量与向量共线，

根据共线向量的坐标表示可得，，

整理可得，解得，所以选项D正确.

故选：ABD.

11．如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（    ）

A．点B到平面的距离为

B．直线AP//平面

C．异面直线与所成角的取值范围是[,]

D．三棱锥的体积为定值

【答案】ABD

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式、法向量的性质，结合三棱锥的体积性质逐一判断即可.

【详解】分别以DA、DC、为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，

A：设边长为1，则,，

所以，

因为，所以，即，

又平面，所以直线平面，而为面的一个法向量，

又，则B到平面的距离为，故正确；

B：因为点M在线段上运动，设，则，

由上知：平面的法向量为，

，因为平面，

所以直线平面，故正确；

C：，设异面直线AM与所成角为，

所以，

因为，所以当时，，

当时，，

因为，所以，

综上，，所以，故错误；

D： 因为，点M在线段上运动，

所以点P到直线的距离不变，即△的面积不变，

又点到面距离恒为，所以到面距离不变，即三棱锥的高不变，

所以三棱锥的体积为定值，而，故正确，

故选：ABD

12．已知圆的圆心在直线上，且与相切于点，过点作圆的两条互相垂直的弦AB，CD，记线段AB，CD的中点分别为M，N，则下列结论正确的是（    ）

A．圆的方程为

B．四边形ACBD面积的最大值为

C．弦AB的长度的取值范围为

D．直线MN恒过定点

【答案】ACD

【分析】根据已知条件可求圆心，利用两点间距离公式求出半径，即可得到圆的方程，判断A；由已知可证四边形EMQN为矩形，利用对角线互相平分，即可知MN过EQ中点，进而求出定点，判断D；根据过定点的最长弦为直径，最短弦垂直于直径，即可得到弦AB的长度的取值范围，判断C；设，利用垂径定理分别求出AB，CD的长度，即可得到四边形ACBD面积为关于d的函数，利用函数的性质求最值即可，判断B.

【详解】解：设圆心，

因为与相切于点，直线l的斜率，

则，即，

所以圆心，半径，

因此圆的方程为，A选项正确；

因为线段AB，CD的中点分别为M，N，则，，

又，所以四边形EMQN为矩形，则MN与EQ互相平分

即MN过EQ中点，所以直线MN恒过定点，D选项正确；

当AB过圆心E时，AB的长度最长且为圆的直径4，

当AB垂直于x轴时，AB的长度最短，此时AB经过点P，

所以，则弦AB的长度的取值范围为，C选项正确；

因为四边形EMQN为矩形，则，

设，则，

由垂径定理可得，，

则

，，

令，则，

当时，有最大值，B选项错误；

故选：ACD.

【点睛】本题考查了求圆的方程、两点间的距离公式、圆的切线方程，利用垂直求斜率、过圆内一点弦长的范围，利用垂直对角线求四边形的面积，换元法求二次型函数最值等知识点，该题综合性较强，需要有一定的分析问题和处理问题的能力，属于难题.

三、填空题

13．定义在R上的偶函数满足，当时，，___．

【答案】

【分析】由题意可得出函数的周期为，所以，代入即可得出答案.

【详解】因为是偶函数，所以，

则，所以函数的周期为，

所以.

故答案为：

14．将函数的图象绕原点顺时针旋转得到曲线C，则曲线C的焦点坐标为___．

【答案】

【分析】根据旋转，找到双曲线旋转后的渐近线和对称轴，结合双曲线的性质，即可求解焦点坐标.

【详解】函数为双曲线，对称轴为，渐近线为轴和轴，与对称轴的交点坐标为和，顺时针旋转后，对称轴变为轴，渐近线方程为，

双曲线与轴的交点为，所以，，

则，所以曲线的焦点坐标是.

故答案为：

15．已知函数，满足f（x）＜0恒成立的最大整数m的值为___．

【答案】3

【分析】利用公切线与隐零点，将问题转化为关于公切点的对勾函数求值域问题，即可得到答案.

【详解】原不等式等价于，由与的图象平移变换可知，

若满足题意，则只要小于与两个函数相切时的值即可.

设公切点为，则有，所以，

所以，

令，则，故单调递增，

而，

故，使得，所以，

由对勾函数的性质，可得，

故最大整数m取3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查不等式恒成立求参数问题，属于压轴题.常见的方法为：

（1）分离参数为恒成立（）或（）即可；

（2）数形结合，转化为两函数谁在上方问题即可；

（3）讨论最值（或）即可.

（4）有些小题可以直接利用常见的函数放缩（）求解.

四、双空题

16．螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋烧而形成的曲线，如图甲所示．如图乙所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F、G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的四等分点M，N，P，Q，作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案，设正方形ABCD的边长为，后续各正方形的边长依次为；如图乙阴影部分，直角三角形AEH的面积为，后续各直角三角形的面积依次为，则___；记数列的前n项和为，若对于恒成立，则的最大值为___．

【答案】     ##      ##

【分析】先求正方形边长的规律，再求三角形面积的规律，就可以求出数列的通项公式，从而就可以求出的表达式，再用参数分离求的最大值即可.

【详解】由题意，由外到内依次各正方形的边长分别为，则

 ，

，……，

，

于是数列是以4为首项，为公比的等比数列，则.

由题意可得：，即……，

于是.

所以，

，是关于的增函数，所以，

由恒成立得，

令 ，

所以当时单调递增，所以，

所以的最大值为 ，

故答案为：；

【点睛】关键点点睛：本题关键是求出数列的通项公式，先写出数列的前几项，通过找规律发现递推关系从而得到通项公式.

五、解答题

17．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，满足．

(1)求角B的大小；

(2)若，设BD是AC边上的中线，求BD的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用两角和差正余弦公式及正弦定理化简，即可求解；

（2）利用余弦定理求出，再利用平面向量关系化简即可求出结果.

【详解】（1）因为，所以，

由正弦定理得，

即，

化简得，

因为，所以，

所以，所以，

又，所以；

（2）由（1）得，则，

又，所以，即，当且仅当时等号成立，

因为BD是边AC上的中线，所以，

两边平方可得：，

则，所以，

所以中线BD的最大值为.

18．设数列{}的前n项和为，已知，且．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)求数列的前n项和．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）利用等比数列的定义即可证得数列是等比数列；

（2）先求得数列的通项公式，再利用裂项相消法即可求得其前n项和．

【详解】（1）数列{}的前n项和为，

由，可得,

整理得，即，又，

则数列是首项为1公比为2的等比数列.

（2）由（1）得，则，

当时，，

两式相减得，，

又，

则数列{}的通项公式为

则，

则数列的前n项和

．

19．昭通苹果种植历史悠久，可追溯到民国十五年（1926年），法国人贾海义从欧洲引入，种植于昆明并传入昭通，昭通苹果主要品种有金帅，红富士等，经过驯化的富士系列苹果在昭阳区种植产量高、口味好、耐贮藏、含糖量高、风味住，有成熟早、甜度好、香味浓、口感脆等特点，昭通苹果开发公司从进入市场的“昭通苹果”中随机抽检100个，利用等级分类标准得到数据如下：

(1)以表中抽检的样本估计全市“昭通苹果”的等级，现从全市上市的“昭通苹果”中随机抽取10个，求取到4个A级品的概率；

(2)某超市每天都采购一定量的A级“昭通苹果”，超市记录了20天“昭通苹果”的实际销量，统计结果如下表：

今年A级“昭通苹果”的采购价为6元/kg，超市以10元/kg的价格卖出．为了保证苹果质量，如果当天不能卖完，就以4元/kg退回供货商．若超市计划一天购进170kg或180kg“昭通苹果”，你认为应该购进170kg还是180kg？请说明理由．

【答案】(1)

(2)180kg，理由见解析

【分析】（1）首先求A级品的概率，再根据独立重复事件求概率；

（2）分别求出购进170kg和180kg时，两种情况的平均利润，再比较后，即可确定.

【详解】（1）由抽检表中的数据可知，A级品的概率为，

所以10个中有4个A级的概率；

（2）若超市购进时，利润为时，卖出的的千克数为，

则的可能取值为150，160，170，

的可能取值为，，，

,,

,

则的分布列为

,

若超市购进时，利润为时，卖出的的千克数为，

则的可能取值为150，160，170，180

的可能取值为,，，，

,,,

则的分布列为

,

,

所以超市应购进180kg.

20．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为菱形，，△PAC为等边三角形，点Q为棱PB上的动点．

(1)求证：；

(2)若PD⊥平面ABCD，问动点Q在何处时，使得平面AQD与平面CQD的夹角的余弦值为？

【答案】(1)见解析

(2)点是的中点

【分析】（1）通过证明平面，即可根据定义证出；

（2）以O为原点，以OB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴，以过点O垂直平面ABCD所在直线为z轴，建系，根据平面AQD与平面CQD的夹角公式列方程，化简求得.

【详解】（1）连接BD交AC于点O，连接．

是的中点，所以，

由于平面，

所以平面，由于平面，所以.

（2）因为平面ABCD，平面，所以平面平面，

以O为原点，以OB所在直线为x轴，以OC所在直线为y轴，以过点O垂直平面ABCD所在直线为z轴，建立如图所示坐标系．设OB＝1．

，，，，，

设，则，

，

则，

，，

，

设平面AQD的法向量为，

，

故可设，

同理可求得平面的法向量为，

设平面AQD与平面CQD的夹角为，

，则．

即，

即点是的中点.

21．已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，且， （为坐标原点）．

(1)求的值；

(2)设、、、是抛物线上的四个动点，且．记直线、、、的斜率分别为，且．求四边形的面积的最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）首先表示出焦点坐标与准线方程，设，根据抛物线的定义及表示出，即可得解；

（2）设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，表示出，即可得到，从而表示出，同理可得，再由面积公式及基本不等式计算可得.

【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，

设，因为，所以，

又，所以，

所以，所以.

（2）由（1）可知抛物线方程为，

设直线的方程为，则，消去整理得，

所以，

设，，则，，

所以

，

所以，

又，所以，

同理可得，

所以，

当且仅当即时，四边形的面积有最小值，最小值为.

22．设函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若对于任意，都有，求a的取值范围．

【答案】(1)详见解析；

(2)

【分析】（1）利用导函数的几何意义和二次求导即可求得的单调性；

（2）先利用（1）求得在的值域，在依据题给条件列出关于a的不等式组，利用构造函数的方法求得不等式组的解集，进而求得a的取值范围．

【详解】（1），则，

令，则，

则在R上单调递增，

即在R上单调递增，

又，

则当时，单调递增；当时，单调递减.

（2）令，由（1）可得在单调递增，在单调递减，

则在时取得最小值，

又，

，

又由题意得，对于任意，都有，

则，即

令，则，

则当时，，单调递增；当时，，单调递减.

当时, 取得最小值，

又，，

则的解集可记为.

令，则，

则当时，，单调递增；当时，，单调递减.

当时, 取得最小值.

又，，

则的解集可记为，

又的解集为.

则不等式组的解集为.

则a的取值范围为.