2023届上海市青浦区高三下学期4月学业质量调研（二模）数学试卷含答案

  2022学年第二学期高三年级学业质量调研

数 学 试 卷 

              （时间 120 分钟，满分 150 分）        Q2023.04

学生注意：

1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分．

2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题．

3． 可使用符合规定的计算器答题．

一. 填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6每题4分，第7-12每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1．若空间中两条直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为___________．

2．已知复数满足，则___________．

3．已知向量和，则在方向上的投影是___________．

4．过点，与直线垂直的直线方程为___________．

5．已知集合，，若，则实数的取值范围为____．

6．已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的体积为，则球的表面积为__________．

7．已知函数的图像如图所示，则不等式

的解集是___________．

8．已知函数是定义在上的奇函数，且满足

，，则___________．

9．如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶间的距离.已知两山的海拔高度分别是米和米，现选择海平面上一点为观测点，从A点测得点的仰角点的仰角以及，则等于__________米.

10．已知数列满足，若满足且对任意，都有，则实数的取值范围是___________．

11．如图，已知，分别是椭圆的

左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且

，则椭圆C的离心率为________．

12．已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为___________．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14每题4分，第15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13．设、是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基的是（   ）．

（A）和 （B）和

（C）和 （D）和

14．已知n为正整数，则“n是3的倍数”是“的二项展开式中存在常数项”的（   ）条件．

（A）充分非必要  （B）必要非充分  （C）充要  （D）既不充分也不必要

15．某产品的广告费（单位：万元）与销售额（单位：万元）的统计数据如下表

根据上表可得回归方程中，据此模型可预测当广告费为6万元时，销售额约为（   ）．

（A）63．6万元 （B）65．5万元 （C）67．7万元 （D）72．0万元

16．已知数列满足，，存在正偶数n使得，且对任意正奇数n有，则实数的取值范围是（   ）．

（A） （B） （C） （D）

三．解答题（本大题共有5题,满分78分），解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤.

17.(本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分)

已知函数的表达式为.

（1）求函数的最小正周期及图像的对称轴的方程；

（2）求函数在上的值域.

18. (本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分)

如图，在直三棱柱中，底面△是等腰直角三角形，，为侧棱的中点．

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值．

19.(本题满分14分，第1小题2分，第2小题6分，第3小题6分)

在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：）的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人．

（1）求频率分布直方图中实数a，b的值；

（2）每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；

（3）依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数X的分布和数学期望．

20.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)

如图，已知是抛物线上的三个点，且直线分别与抛物线相切，F为抛物线的焦点．

（1）若点C的横坐标为，用表示线段CF的长；

（2）若，求点C的坐标；

（3）证明：直线与抛物线相切．

21.(本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分)

设是定义域为的函数，当时，

记．

（1）已知在区间I上严格增，且对任意，，有，

证明：函数在区间I上严格增；

（2）已知，且对任意，当时，有，若当时，函数取得极值，求实数a的值；

（3）已知，，，且对任意，当时，有，证明：．

参考答案

一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.

1．平行或相交；    2．；

3．；    4．；

5．；    6．；

7．；  8．；

9. ；     10. ；

11．；     12. .

二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

13.     ；14. ； 15．   ；16. .

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

17.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题8分，第（2）小题6分.

解：（1）由已知

则函数的最小正周期为，

令，得，

即函数的对称轴方程为；

（2）由（1），

，，

，，

即在上的值域为.

18．（本题满分14分）第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分.

解：（1）因为底面△是等腰直角三角形，且，

所以，，

因为平面，所以，又

所以，平面．

（2）以为原点，直线，，为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，

 由（1），是平面的一个法向量，

，，设平面的一个法向量为，则有

即 令，则，，

所以，

设与的夹角为，则，

所以，

所以，二面角的正弦值为．

19.(本题满分14分）本题共2小题，第（1）小题2分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.

解：（1）由,解得

,解得.

（2）从7名学生中任选2人进行电话访谈种数:，

记任选2人有男生为事件,则，

记任选2人有女生为事件,则，

则.

（3）用按比例分层抽样的方式从每天学习时间在[6.0,6.5)和的学生中抽取8人,

抽中的8人每天学习时间在的人数为人.

抽中的8人每天学习时问在的人数为人.

设从8人中抽取的3人每天学习时间在的人数为,则

的分布为:

的数学期望为.

或

20.(本题满分16分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分.

解：（1）因为点C的横坐标为，所以，

又的准线，．

（2）显然直线的斜率都存在，

设，过点C的抛物线的切线方程为，

由得，

令，则k的两个解分别为直线斜率．

∵ ∴，，∴．

（3）设，直线，

即．

由得，

已知直线与抛物线相切，所以

直线与抛物线相切，同理可得  

又是方程，即的两根，

所以，，即，

这表明直线AB与抛物线相切．

21.(本题满分18分）本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.

解：（1）不妨设，∵在I上严格增，

∴对任意，，有，

又，∴，

∴在区间I上严格增．

（2）由（1）可知：当在区间I上严格增时，在I上严格增；

当在区间I上严格减时，在I上严格减．

又当时，取得极值，当时，也取得极值．

，，可得

当时，，在左右附近两侧异号，满足条件．

．

（3）当时，由条件知，∴，

，∴，∴．

当时，对任意，有，

即，

又∵的值域为，．

当时，对任意，有，

，又∵值域为．

综上可知，对任意，．