江苏省镇江第一中学2022-2023学年高一下学期3月检测数学试卷(含答案)
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学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、选择题
1、求值( )
A. B. C. D.
2、已知非零向量,,,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
3、已知非零向量,满足,且,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4、为了得到函数的图象,可以将函数的图象( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
5、中,点M为边AC上的点,且,若,则的值是( )
A. B.1 C. D.
6、已知,,,,则的值为( )
A. B. C. D.
7、在中,,,,则( )
A. B. C. D.
8、如图,在平面四边形ABCD中,,,,,若点E为边CD上的动点,则的最小值为( )
A. B. C. D.
9、在中,已知,,,则( )
A. B. C.2 D.
二、多项选择题
10、根据下列条件,能确定向量是单位向量的是( )
A. B.
C. D.
11、在直角梯形中,,,,,E为线段的中点,则( )
A. B.
C. D.
12、在中,角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c.下列命题中正确的是( )
A.若,则一定是锐角三角形
B.若,则一定是直角三角形
C.若,则一定钝角三角形
D.若,则一定是锐角三角形
三、填空题
13、已知向量、满足,,则___________.
14、的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,,,则的面积为__________.
15、已知点O是锐角的外心,,,,若,则______.
16、如图,在四边形中,,,,且,,则实数的值为_________,若M,N是线段上的动点,且,则的最小值为_________.
四、解答题
17、计算:
(1)已知,,求的值;
(2)已知向量,,.若,求.
18、已知D为等边所在平面内的一点,,,且线段BC上存在点E,使得.
(1)试确定点E的位置,并说明理由;
(2)求的值.
19、在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知,,.
(1)求角C的大小;
(2)求的值;
(3)求的值.
20、设.
(1)求的单调增区间及对称中心;
(2)当时,,求cos2x的值.
21、在边长为1的等边三角形ABC中,D为线段BC上的动点,且交AB于点E.且交AC于点F.
(1)求的值;
(2)求的最小值.
22、某中学在学校大门处设计有巨型校徽标志,整体为半圆形,其直径长为4米(如图),徽标的核心部分为梯形,它由三个区域构成:区域Ⅰ为等边三角形,区域Ⅱ为,区域Ⅲ为等腰三角形,其中,点C、D都在半圆弧上,点E在半径上,记.
(1)试用表示区域Ⅱ的面积,并写出的取值范围;
(2)若区域Ⅲ的面积为x平方米,求区域Ⅱ的面积(用x表示),并求徽标核心部分面积的最大值.
参考答案
1、答案:D
解析:.
故选:D.
2、答案:B
解析:如图所示,,,,当时,与垂直,,所以成立,此时,
不是的充分条件,
当时,,,成立,
是的必要条件,
综上,“”是“”的必要不充分条件,
故选:B.
3、答案:B
解析:因为,所以=0,所以,所以=,所以与的夹角为,故选B.
4、答案:D
解析:解:,
故将函数的图象向右平移个单位,可得的图象,
故选:D.
5、答案:D
解析:因为,则,
所以,
且,则,,所以.
故选:D.
6、答案:B
解析:因为,所以,
又,所以;
因为,所以,
又,所以,
所以,
又,
所以
.
故选:B.
7、答案:A
解析:因为,
所以,,选A.
8、答案:A
解析:连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形,而,,所以为等边三角形,.设,
,
所以当时,上式取最小值,选A.
9、答案:A
解析:在中,已知,,,
由余弦定理得:,
故选:A.
10、答案:BCD
解析:解:模为1的向量为单位向量,对于A:,所以,故A错误;
对于B:,则,故为单位向量,故B正确;
对于C:,则,故为单位向量,故C正确;
对于D:,则,故为单位向量,故D正确;
故选:BCD.
11、答案:ABD
解析:A项,,故A正确;
B项,,,故B正确;
C项,因为与反向共线,,所以,故C不正确;
D项,
,故D正确.
故选:ABD.
12、答案:AB
解析:因为,
又中不可能有两个钝角,
故,,,
所以A,B,C都为锐角,A正确;
因为,
由正弦定理得,
即,
所以,即,
因为,
所以,
所以一定是直角三角形,B正确;
因为,
所以,
整理得,
因为,
所以,即,一定是直角三角形,C错误;
因为,
所以,
即,
所以,
所以,
因为,
故,即C为直角,则一定是直角三角形,D错误.
故选:AB.
13、答案:
解析:,,,解得,所以,则.
故答案为:.
14、答案:
解析:由余弦定理得,
所以,
即,
解得,(舍去),
所以,
.
15、答案:
解析:如图,点O在AB、AC上的射影是点D、E,它们分别为AB、AC的中点.
由数量积的几何意义,可得,.
,
依题意有,即.
同理,即.
将两式相加得,所以.
故答案为:.
16、答案:;
解析:,,,
,
解得,
以点B为坐标原点,所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系,
,,
,,A的坐标为,
又,则,设,则(其中),
,,
,
所以,当时,取得最小值.
故答案为:;.
17、答案:(1)
(2)
解析:(1)由可得,,
所以,
因为,所以,,
则.
(2)因为,,,
则,
且,则,可得.
18、答案:(1)E为靠近点B的一个三等分点,理由见解析
(2)
解析:(1)因为,所以,
所以,
从而,
故点E为靠近点B的一个三等分点.
(2)因为,
所以
.
19、
(1)答案:
解析:在中,由,,,
及余弦定理得,
又因为,所以;
(2)答案:
解析:在中,由,,及正弦定理,
可得;
(3)答案:
解析:由知角A为锐角,由,可得,
进而,,
所以.
20、答案:(1)单调递增区间是;对称中心,
(2)
解析:(1)由题意得:,
由,可得;
所以的单调递增区间是;
令,,解得:,,此时函数值为-1,
所以对称中心为,.
(2)
,
,,
当时,,
,
.
21、答案:(1)1
(2)
解析:(1)设,,
为边长为1的等边三角形,,
,,,,
,为边长为的等边三角形,
,
.
(2),,
,
所以当时,的最小值为.
22、答案:(1)
(2),;
解析:(1)题意得,
在中由正弦定理得,
所以,
所以,
因为,解得,
所以.
(2)由题意得,即,
,,则,
又
,
设,则,,
所以,,
显然,
,,
当时,即时最大值为.
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