信息必刷卷05-2023年高考数学考前信息必刷卷（新高考地区专用）

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2023年高考数学考前信息必刷卷05

新高考地区专用

新高考地区考试题型为8（单选题）＋4（多选题）＋4（填空题）＋6（解答题），其中结构不良型试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及解三角形与数列两大模块，以解答题的方式进行考查。

考查学生知识的应用能力，数学建模的核心素养。能够对已知条件进行综合分析、归纳与抽象，并正确地将实际问题转化为数学模型，再用相关的数学知识，进行合理设计，确定解题方案，进行数学上的计算求解．

以数学文化为背景的新情景问题，此类试题蕴含浓厚的数学文化气息，将数学知识、方法等融为一体，能有效考查学生在新情景下对知识的理解以及迁移到不同情境中的能力，考查学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，例如本卷第16题，以中国传统刺绣工艺为背景，考查数列的知识，难点较大。

本卷中预测考查数学建模的核心素数，例如本卷第20题以苏州博物馆八角亭为背景，考查二面角，线面角的同时，让学生体验数学的立体美。再如第22题以仓储型物流干线为背景，考查学生应用函数知识求解实际应用问题的方法。

1．已知，则z的虚部为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】C

【详解】设，则，因为，即有，

整理得，解得，

所以z的虚部为2．

故选：C

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由题意得，，∴.

故选:D．

3．已知函数，图像上每一点的横坐标缩短到原来的，得到的图像，的部分图像如图所示，若，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】根据

，

可得，故，

所以，故的周期为24，所以，，

故选：A．

4．为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三一班，二班各10名同学的体温记录（从低到高）：

高三一班：36.1，36.2，，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0（单位：℃），

高三二班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，，37.1（单位：℃）

若这两组数据的第25百分位数、第90百分位数都分别对应相等，则为（    ）

A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3

【答案】C

【详解】由，可得第25百分位数分别为和，则；

由，可得第90百分位数分别为和，

则，解得；

故.

故选：C.

5．如图，直三棱柱中，，，，点是的中点，点是线段上一动点，点在平面上移动，则，两点之间距离的最小值为（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【详解】连接交于点，连接，

∵分别为的中点，则，

且平面，平面，

∴平面，

则点到平面的距离相等，设为，则，两点之间距离的最小值为，

即点到平面的距离为，

∵的中点在上，则点到平面的距离为，

由题意可得为，

由，则，解得，

故，两点之间距离的最小值为.

故选：A.

6．如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．若篮球的半径为个单位长度，灯泡与桌面的距离为个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为个单位长度，则此时椭圆的离心率等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】以为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，

由题意知：，，，，

则直线，即，

设，则，

点到直线的距离，解得：，

，即；

设直线，即，

点到直线的距离，解得：或，

又直线，，即直线，

令，解得：，即，

，即；

由得：，椭圆离心率.

故选：D.

7．已知数列满足：当时，，其中为正整数，则使得不等式成立的的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】记数列的前项和为，当时，，

即数列中值为的项数为，

则

，

令，可得，

因为，所以，满足不等式的的最小值为．

因为，，

，故的最小值为．

故选：C.

8．已知，，.其中为自然对数的底数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】由，令，

令，则，

当时，，所以在上单调递增，

又，

所以，又，

所以，在成立，

所以，即，

所以，即，

令，所以，

因为，所以，即，

所以在上单调递减，

所以，即

令，所以，

因为，所以，即，

所以在上单调递减，

所以，即，

所以，在成立，

令，则上式变为，所以，即，

综上，.

故选：B.

9． “50米跑”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项．已知某地区高中女生的“50米跑”测试数据（单位：秒）服从正态分布，且．现从该地区高中女生中随机抽取5人，并记这5人“50米跑”的测试数据落在内的人数为，则下列正确的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【详解】因为服从正态分布，

故，，

则，故A错误，B正确；

5人“50米跑”的测试数据符合二项分布，即，故C正确；

，故D错误；

故选：BC.

10．如图，在直角梯形ABCD中，，，，是的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【详解】如图建立平面直角坐标系，则，

对A，，正确；

对B，，，正确；

对C，，正确；

对D，，，错误.

故选：ABC.

11．在中，所对的边为，，边上的高为，则下列说法中正确的是（    ）

A． B． C．的最小值为 D．的最大值为

【答案】ABD

【详解】设边上的高为，则

，，

，即，A正确；

由余弦定理得：，

又，，

，B正确；

，，，，

；

，，，

，C错误，D正确.

故选：ABD.

12．设，当时，规定，如，．则（    ）

A．

B．

C．设函数的值域为M，则M的子集个数为32

D．

【答案】BCD

【详解】对于A中，例如，则，

可得，所以A错误；

对于B中，由，所以，

所以，所以，所以B正确；

对于C中，因为，可得，

当时，可得，

即函数的值域为，

所以集合的子集个数为，所以C正确；

对于D中，设，

若，可得，所以，，

则，

所以的周期为，

又当时，可得，此时；

，此时；

，此时；

，此时，

所以，结合周期为，即恒为，所以D正确.

故选：BCD.

13．为了研究高三（1）班女生的身高x（单位；cm）与体重y（单位：kg）的关系，从该班随机抽取10名女生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某女生的身高为170cm，据此估计其体重为________________kg．

【答案】54.5

【详解】，，

故，解得：，

故回归直线方程为，则当时，(kg).

故答案为：54.5

14．如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切与圆外切．则动圆圆心的轨迹的方程为___________.

【答案】

【详解】因为圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为，

设动圆的半径为，

因为动圆与圆内切，与圆外切，

所以，，

于是，

所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，

从而，所以.

所以动圆圆心的轨迹的方程为．

故答案为：.

15．随着疫情解除，经济形势逐渐好转，很多公司的股票价格开始逐步上升．经调查，A公司的股价在去年年初（时）的股价是每股5元人民币，到了年末（时）涨到了每股6元人民币．经过建立模型分析发现，在第t个月的时候，A公司的股价可以用函数来表示，其中k为常数．假设A公司的股价继续按照上述的模型持续增长，则当A公司的股价涨到10元时，t的值约为______（结果精确到个位数，参考数据：，，．）

【答案】42

【详解】解：因为A公司的股价在时是每股5元人民币，所以，所以．

经过12个月后，得到，所以．

根据题意，要股价涨到10元，则，所以，

所以．

故答案为：42.

16．刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案--即图中的阴影部分.它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形，取正三角形各边的三等分点，得到第一个阴影三角形；在正三角形中，再取各边的三等分点，得到第二个阴影三角形；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则______;图中螺旋形图案的面积为______.

【答案】         

【详解】解：设正三角形的边长为，后续各正三角形的边长依次为，，，设第一个阴影三角形面积为,后续阴影三角形面积为

由题意知，，，所以为以为首项，为公比的等比数列，

所以，

所以，

所以；

所以，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，故图中阴影部分面积为，

故答案为：；.

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

(1)求角C的大小；

(2)若，求c的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）由已知及正弦定理，得，

即，

∴．

又∵，

∴；

（2）由（1）及正弦定理得，

∵，

∴，

∴．

∵，∴，，

∴，

∴．

18．（12分）已知正项数列的前n项和为，且 ，， ．

(1)求；

(2)在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列 ，求的前100项和.

【答案】(1)，

(2)186

【详解】（1）因为，当时，

，                        

因为，所以，故．

当时，适合上式，

所以，.

（2）（方法1）因为，，

所以当时，．

所以

所以数列：1，1，2，1，2，2，1，2，2，2，……，

设，则，

因为，所以.                       

所以的前100项是由14个1与86个2组成．

所以.                             

（方法2）设，则，

因为，所以.                             

根据数列的定义，知

.

19．（12分） “稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量”“当你为未来付出踏踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现”……当读到这些话时，你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．为了解某普通高中学生的阅读时间，从该校随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求的值；

(2)为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人，记周平均阅读时间在内的学生人数为，求的分布列和数学期望；

(3)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，用表示这名学生中恰有名学生周平均阅读时间在内的概率，其中．当最大时，写出的值．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；数学期望

(3)

【详解】（1），.

（2）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，

人中，周平均阅读时间在的人数为人；在的人数为人；在的人数为人；

则所有可能的取值为，

；；；；

的分布列为：

数学期望.

（3）用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取名学生，周平均阅读时间在内的概率；

则，

若最大，则最大，当时，取得最大值.

20．（12分）在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体，，，，底面，四边形是边长为2的正方形且平行于底面，，，的中点分别为，，，．

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值；

(3)一束光从玻璃窗面上点射入恰经过点（假设此时光经过玻璃为直射），求这束光在玻璃窗上的入射角的正切值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【详解】（1）过点作的平行线，由题意可知以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，，，，，．

设平面的法向量为，，，，，令，则，

∵，

∴，平面.

（2）根据图形易知平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，

则.

所以平面与平面夹角的余弦值.

（3），入射角为，

，因为，

所以，.

故这束光在玻璃窗上的入射角的正切值为.

21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆：焦距为2，过点的直线与椭圆交于两点.当直线过原点时，.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若存在直线，使得，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【详解】（1）因为直线过原点时，，设，

由可得：，即设不妨点在第一象限，

所以，

代入椭圆的方程，可得，

又由题意可知，，且，解得，，

所以椭圆的标准方程为；

（2）易知直线的斜率存在，设：，

与椭圆的方程联立，

消去，整理得，

由题意可知，，

整理得，解得，

设，，则，，①

由题意，，

将①代入上式，整理得，有，

由，则，故，即.

22．（12分）我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元429年-500年）计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫（公元1540年-1610年）用一生精力计算出了圆周率的35位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新．例如：我们很容易能利用计算器得出函数的零点的近似值，为了实际应用，本题中取的值为-0.57．哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线，其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为，其在处的切线为，现计划再建一条总干线，其中m为待定的常数．

注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．

(1)求出的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方；

(2)在直角坐标系中，设直线，计划将仓库中直线与之间的部分设为隔离区，两条运货总干线、分别在各自的区域内，即曲线上的点不能越过直线，求实数m的取值范围．

【答案】(1)，证明见解析.

(2)

【详解】（1）解：由函数，可得，

则且，

所以的方程为，即

因为函数的零点的近似值，即，所以，

可得

又因为，所以的直线方程为

令

其中，则，令，解得，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当时，函数取得极大值，也为最大值，即，

所以在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方.

（2）解：由曲线且，

令，

要使得两条运货总干线、分别在各自的区域内，则满足恒成立，

又由，令，可得，即，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

当时，函数取得最小值，

最小值为，

令，即，

即，

即，

因为，可得，

又因为函数的零点的近似值，即，所以，

则，

又由，所以，

所以实数的取值范围是.