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第六章 圆周运动【思维导图+考点通关】-2022-2023学年高一物理单元复习（人教版2019必修第二册）
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这是一份第六章 圆周运动【思维导图+考点通关】-2022-2023学年高一物理单元复习（人教版2019必修第二册），文件包含第六章圆周运动思维导图+考点通关解析版docx、第六章圆周运动思维导图+考点通关原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
第六章 圆周运动
一、思维导图
二、考点通关
考点1描述匀速圆周运动的特有物理量
物理量
定义
单位(符号)
各物理量的联系
周期
做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间叫作周期，T＝
国际单位：秒(s)
基本关系式：n＝，v＝ωr
导出关系式：ω＝＝2πn，v＝ωr＝＝2πnr
转速
物体转动的圈数与所用时间之比叫作转速，n＝
转每秒(r/s)、转每分(r/min)
频率和转速的比较
当单位时间取1 s时，f＝n，频率和转速对匀速圆周运动来说在数值上是相等的，但频率具有更广泛的意义，两者的单位也不相同
①周期T和转速n一般只能描述匀速圆周运动，对变速圆周运动一般不适用。②线速度v和角速度ω及其关系式v＝ωr不只适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。对于变速圆周运动，线速度v和角速度ω一般指瞬时值。
【典例1】如图所示，一根足够长的绳绕在半径为r的辘轳上，绳的下端挂一质量为m的水桶。悬在井中的水桶突然从静止开始下落做匀加速直线运动，经过时间t，辘轳在极短的时间Δt内转过的角度为Δθ。已知重力加速度为g。则：
(1)水桶下落未碰到水面的过程，辘轳边缘上的点做________(选填“变速”或“匀速”)圆周运动，辘轳转动的角速度________(选填“变大”“不变”或“变小”)。
(2)t时刻水桶的速度大小为________。
(3)绳对水桶的拉力大小为________。
【答案】(1)变速；变大；(2)r；(3)m
【解析】(1)辘轳边缘上的点的线速度大小等于水桶运动的速度大小，所以辘轳边缘上的点做线速度增大的变速圆周运动；根据v＝ωr可知，辘轳转动的角速度变大。
(2)根据角速度的定义可知，t时刻辘轳转动的角速度ω＝，结合v＝ωr可知，t时刻水桶的速度大小为v＝r。
(3)水桶做初速度为零的匀加速直线运动，有v＝at，则a＝＝，水桶受重力mg和拉力F作用，由牛顿第二定律得mg－F＝ma，解得F＝m(g－a)＝m。
规律点拨
v＝ωr适用于一切圆周运动，ω＝、v＝一般只适用于匀速圆周运动。
【变式训练1】关于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A．因为在相等的时间内通过的圆弧长度相等，所以线速度恒定
B．如果物体在0.1 s内转过30°角，则角速度为300 rad/s
C．若半径r一定，则线速度与角速度成反比
D．若半径为r，周期为T，则线速度为v＝
【答案】D
【解析】物体做匀速圆周运动时，线速度大小恒定，方向沿圆周的切线方向，在不断地改变，故A错误；角速度ω＝＝ rad/s＝ rad/s，B错误；线速度与角速度的关系为v＝ωr，由该式可知，r一定时，v∝ω，C错误；由线速度的定义可得，若半径为r，周期为T，则线速度为v＝，D正确。
考点2同轴转动和皮带传动问题
同轴转动
皮带传动
齿轮传动
摩擦传动
装置
A、B两点在同轴的两个圆盘边缘上
两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点
两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
两轮靠摩擦传动，A、B点分别是两轮边缘上的点，传动时两轮没有相对滑动
特点
角速度、周期相同
线速度大小相同
线速度大小相同
线速度大小相同
转动方向
相同
相同
相反
相反
规律
线速度与半径成正比：＝
角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝
角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝
角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝
【典例2】如图所示，自行车后架上装有给车头灯供电的小发电机，小发电机的上端有一个摩擦小轮。行驶过程中，当需要小发电机向车头灯供电时，摩擦小轮压紧车轮，如图所示，此时摩擦小轮在自行车车轮摩擦力的作用下转动，发电机发电，已知此时摩擦小轮与自行车车轮之间不打滑，则( )
A．车轮转动角速度大于大齿轮转动角速度
B．车轮边缘的线速度等于小齿轮边缘的线速度
C．摩擦小轮转动角速度小于小齿轮转动角速度
D．摩擦小轮边缘的线速度小于大齿轮边缘的线速度
【答案】A
【解析】小齿轮和车轮同轴转动，角速度大小相同，车轮半径大于小齿轮半径，由v＝ωr知车轮边缘的线速度大于小齿轮边缘的线速度，故B错误；大齿轮和小齿轮通过链条相连，边缘线速度大小相同，根据v＝ωr可知，小齿轮的角速度大于大齿轮的角速度，故车轮转动角速度大于大齿轮转动角速度，故A正确；摩擦小轮边缘线速度与车轮边缘线速度大小相同，由v＝ωr知摩擦小轮转动角速度大于车轮转动角速度，也就大于小齿轮转动角速度，故C错误；由于小齿轮边缘的线速度小于车轮边缘的线速度，大齿轮和小齿轮通过链条相连，边缘线速度大小相同，故摩擦小轮边缘的线速度大于大齿轮边缘的线速度，故D错误。
【变式训练2】如图是一种叫“指尖陀螺”的玩具，A是陀螺中心，B、C两点到A点的距离分别为1 cm、2.5 cm。当将陀螺绕位于中心A的转轴旋转时，陀螺上的B、C两点的周期分别为TB、TC，角速度分别为ωB、ωC，线速度分别为vB、vC。下列关系正确的是( )
A．TB＝TC，vB>vC
B．TB＝TC，vB＝0.4vC
C．ωB＝ωC，vB＝vC
D．ωB<ωC，vB＝2.5vC
【答案】B
【解析】由于B、C两点是同轴转动，所以ωB＝ωC，根据周期公式T＝，知TB＝TC，由于rB＝0.4rC，所以根据v＝ωr，知vB＝0.4vC，即vB
分析传动问题的关键
分析传动问题时，关键是要明确什么量相等，什么量不相等，在通常情况下，应抓住以下两个关键点：
(1)绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v＝ωr，与半径r成正比。
(2)链条和链条连接的轮子边缘线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω＝，与半径r成反比。
考点3圆周运动的周期性造成的多解问题
圆周运动的周期性和多解性
匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动。因匀速圆周运动具有周期性，使得一个事件可能在前一个周期中发生，也可能在后一个周期中发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的周期时，必须把各种可能都考虑进去。处理这类问题时，关键要把一个物体的运动时间t，与圆周运动的周期T建立起联系，这样才能较快地解决问题。
【典例3】如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上最高点A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系正确的是( )
A．dv＝L2g
B．ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0,1,2，…)
C．v0＝ω
D．dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0,1,2，…)
【答案】B
【解析】依题意知飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，飞镖恰好击中A点，说明A正好在最低点被击中，则A点转动的时间t＝(n＝0,1,2，…)，平抛运动的时间t＝，则有＝(n＝0,1,2，…)，B正确；平抛运动的竖直位移为d，则d＝gt2，联合t＝解得dv＝L2g，A错误；d＝gt2，联合t＝(n＝0,1,2，…)，解得dω2＝gπ2·(2n＋1)2(n＝0,1,2，…)，D错误；v0不是圆盘上A点的线速度，v0与ω不满足v＝ωr，C错误。
【变式训练3】如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度及圆盘转动的角速度ω的大小。
【答案】R，2nπ (n＝1,2,3，…)
【解析】设球在空中运动时间为t，此圆盘转过θ角，
则R＝vt，h＝gt2
故小球的初速度v＝R，t＝
由题意知θ＝n·2π(n＝1,2,3，…)
又因为θ＝ωt
则圆盘转动的角速度ω＝＝2nπ(n＝1,2,3，…)。
规律总结
解决圆周运动的多解问题的关键
(1)把一个物体的运动时间t，与圆周运动的周期T建立起联系。
(2)会利用运动规律列出两个运动的时间相等的表达式。
考点4向心力及其方向
1．向心力的方向
无论物体所做圆周运动是否为匀速圆周运动，其所受向心力的方向总是沿着半径指向圆心且时刻改变，故向心力是变力。
2．向心力的作用效果
向心力的作用效果是改变线速度的方向。由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。
3．向心力的来源
向心力并不是像重力、弹力、摩擦力那样作为具有某种性质的力来命名的。它是根据力的作用效果命名的。
(1)向心力可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供。
(2)对于匀速圆周运动，合力提供物体做圆周运动的向心力；对于非匀速圆周运动，其合力不指向圆心，它既要改变线速度大小，又要改变线速度方向，向心力是合力的一个分力。
(3)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，物体所受各力沿半径方向分力的合力为向心力。
【典例4】(多选)如图所示，在粗糙水平木板上放一个物块，使木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，则( )
A．物块始终受到三个力作用
B．物块受到的合力始终指向圆心
C．在c、d两个位置，物块所受支持力N＝mg，摩擦力f为零
D．在a、b两个位置物块所受摩擦力提供向心力，支持力N＝mg
【答案】BD
【解析】物块在竖直平面内做匀速圆周运动，受到的重力与支持力在竖直方向上，c、d两点物块所受的向心力由重力和支持力的合力提供，摩擦力为零，重力与支持力不相等，其他时候要受到摩擦力的作用，故A、C错误；物块在竖直平面内做匀速圆周运动，合力就是向心力，匀速圆周运动的向心力指向圆心，故B正确；在b位置受力如图，因物块做匀速圆周运动，故合力指向圆心，支持力N＝mg，摩擦力f提供向心力，同理可得，在a位置的情形相同，故D正确。
【变式训练4】(多选)下列关于向心力的说法中正确的是( )
A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B．向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力即为其所受的合力
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
【答案】BC
【解析】由于向心力的作用物体做圆周运动，A错误；因向心力始终垂直于速度方向，所以它不改变线速度的大小，只改变线速度的方向，B正确；做匀速圆周运动的物体所受合力指向圆心，完全提供向心力，C正确；变速圆周运动中合力沿半径方向的分力提供向心力，D错误。
规律总结：
向心力可以是弹力、摩擦力，也可以是物体受到的几个力的合力或某个力的分力。匀速圆周运动中合力提供向心力，合力的方向一定指向圆心。
考点5向心力的大小的计算
1．向心力的大小
(1)根据受力分析求得：圆周运动平面上，指向圆心方向的合力即为向心力。
(2)根据圆周运动规律求得：Fn＝mω2r＝m＝m2r＝m(2πn)2r＝mωv。
2．向心力公式的瞬时性
对于匀速圆周运动，向心力大小始终不变，但对非匀速圆周运动(如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动)，其向心力大小随速率v的变化而变化，公式表述的只是瞬时值。
【典例5】图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
(1)绳子拉力的大小；
(2)转盘角速度的大小。
【答案】(1)750N；(2)rad/s
【解析】(1)如图所示，对人和座椅进行受力分析，图中F为绳子的拉力。质点在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上合力为零。
故Fcos37°－mg＝0
解得F＝＝750 N。
(2)人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，
有mgtan37°＝mω2R
分析可知：R＝d＋lsin37°
联立解得ω＝ ＝ rad/s。
【变式训练5】“山东舰”是我国首艘完全自主建造的航空母舰，现已正式入编。如图所示是某次进行小半径转弯训练时，在海平面上画出的圆形航迹。若将此过程看成半径为R、速率为v的匀速圆周运动，“山东舰”质量为m，重力加速度为g。则下列说法正确的是( )
A．海水对“山东舰”的作用力方向竖直向上
B．海水对“山东舰”的作用力与重力的合力不一定指向圆心
C．海水对“山东舰”的作用力大小为m
D．海水对“山东舰”的作用力大小为m
【答案】D
【解析】“山东舰”做匀速圆周运动，由重力和海水对“山东舰”的作用力的合力提供向心力，其受力如图所示，可知合力一定指向圆心，且海水对“山东舰”的作用力方向不是竖直向上，故A、B错误；根据向心力公式有F合＝m，根据平行四边形定则，如图，海水对“山东舰”的作用力大小为F＝＝m ，故C错误，D正确。
规律总结：
匀速圆周运动中力学问题的解题步骤
(1)明确研究对象，确定物体在哪个平面内做匀速圆周运动，明确圆心和半径r。
(2)对研究对象进行受力分析，明确向心力是由什么力提供的。
(3)确定v、ω、T、n等物理量中什么是已知的，选择合适的公式列式求解。
(4)根据F合＝F向列方程，求解。
考点6变速圆周运动和一般曲线运动
1．变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动所受的合力不指向圆心，产生两个方向的效果：
(2)变速圆周运动中某一点的向心力仍可用Fn＝m＝mω2r等公式求解，这时v、ω都是指物体运动到该点的瞬时速度。
2．一般的曲线运动的处理方法
如图所示，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧，只是每一小段圆弧对应的半径不同(对应的半径称为该点的曲率半径)，研究质点在这一小段的运动时，可以采用圆周运动的处理方法进行处理。
【典例6】(多选)“S路”曲线行驶是我国驾驶证考试中的一个项目。某次考试过程中，有两名体重相等的学员分别坐在驾驶座和副驾驶座上，并且始终与汽车保持相对静止，汽车在弯道上行驶时可视作圆周运动，行驶过程中未发生打滑。如图所示，当汽车在水平“S路”图示位置处减速行驶时( )
A．两名学员具有相同的线速度
B．两名学员具有相同的角速度
C．汽车受到的摩擦力与速度方向相反
D．汽车受到的摩擦力指向弯道内侧偏后的方向
【答案】BD
【解析】两名学员绕同一点做圆周运动，则他们的角速度相等，两名学员离圆心的距离不相等，根据v＝rω可知，他们的线速度大小不相等，故A错误，B正确；摩擦力的一部分分力指向轨迹圆心，提供汽车做圆周运动所需向心力，摩擦力的另一部分分力与速度方向反向，使汽车减速，所以摩擦力方向不与速度方向相反，而是指向弯道内侧偏后的方向，故C错误，D正确。
【变式训练6】一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图a所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图b所示，则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( )
A. B．
C. D．
【答案】A
【解析】物体在其轨迹最高点P处只有水平速度，其水平速度大小为v0cosα，在最高点，把物体的运动看成圆周运动的一部分，物体的重力作为向心力，由向心力的公式得mg＝，所以在其轨迹最高点P处的曲率半径是ρ＝，故A正确。
规律总结：
(1)物体做变速圆周运动时，在任何位置均是合力沿半径指向圆心方向的分力提供向心力。
(2)物体做变速圆周运动时必然有一个切向分力改变速度的大小。
考点7匀速圆周运动的加速度方向
1．向心加速度的方向：与向心力的方向相同，总指向圆心，方向时刻改变。
2．向心加速度的作用：向心加速度方向总是与线速度方向垂直，故向心加速度的作用只是改变速度的方向，对速度的大小无影响。
3．圆周运动的性质：圆周运动的向心加速度的方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动。
【典例7】(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是( )
A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
【答案】ABD
【解析】向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，物体做圆周运动时的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心。故A、B、D正确，C错误。
【变式训练7】下列说法中正确的是( )
A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B．向心加速度描述线速度方向变化的快慢
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．匀速圆周运动是匀变速曲线运动
【答案】B
【解析】匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变线速度的方向，A错误，B正确；匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻变化，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动，故C、D错误。
规律总结：
向心加速度的理解
(1)向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢。
(2)向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，且方向在不断改变。
考点8匀速圆周运动的加速度大小
1．向心加速度的大小
(1)公式推导：根据牛顿第二定律F＝ma，向心加速度an＝＝ω2r。
(2)向心加速度的几种表达式：an＝＝ω2r＝r＝4π2n2r＝ωv。
(3)向心加速度与半径的关系
①当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比，如图甲所示。
②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比，如图乙所示。
由anr图像可以看出：向心加速度an与r是成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。
2．向心加速度的注意要点
(1)向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算，包括非匀速圆周运动，但an与v具有瞬时对应性。
(2)向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。向心加速度表示速度方向改变的快慢。
(3)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心。非匀速圆周运动合加速度不指向圆心，但向心加速度一定指向圆心，是专门改变速度方向的。
【典例8】如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍。压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点的向心加速度是12 cm/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度大小是多少？大轮上距轴心距离为的C点的向心加速度大小是多少？
【答案】0.24m/s2，0.04m/s2
【解析】大轮边缘上A点的线速度大小与小轮边缘上B点的线速度大小相等。由aA＝和aB＝得aB＝aA＝24 cm/s2＝0.24 m/s2；C点和A点同在大轮上，角速度相等，由aA＝ω2R和aC＝ω2·得aC＝＝4 cm/s2＝0.04 m/s2。
【变式训练8】(多选)如图所示是静止在地面上的起吊重物的吊车，某次操作过程中，液压杆长度收缩，吊臂绕固定转轴O顺时针转动，吊臂上的M、N两点做圆周运动，此时M点的角速度为ω，ON＝2OM＝2L，则( )
A．M点的速度方向垂直于液压杆
B．N点的角速度为ω
C．M、N两点的线速度大小关系为vN＝4vM
D．N点的向心加速度大小为2ω2L
【答案】BD
【解析】吊臂绕固定转轴O旋转，因此M点的速度方向垂直于吊臂，故A错误；M、N点在吊臂上绕同一固定转轴O旋转，具有相同的角速度，即ωN＝ω，故B正确；根据v＝ωr可知vN＝2vM，故C错误；根据a＝ω2r可知，N点的向心加速度大小为aN＝2ω2L，故D正确。
规律总结：
1.传动问题中比较向心加速度大小时公式的选用
(1)皮带传动问题，两轮边缘线速度大小相等，常选择公式an＝。
(2)同轴转动问题，各点角速度相等，常选择公式an＝ω2r。
2．求向心加速度的两种角度
(1)动力学角度：an＝。
(2)运动学角度：an＝＝ω2r＝r＝4π2n2r。
考点9火车转弯
1．弯道的特点：在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，若火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，如图所示，即mgtanθ＝m，则v0＝ ，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度。
2．速度与轨道压力的关系
(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时火车对内外轨无挤压作用。
(2)当火车行驶速度v>v0时，火车对外轨有挤压作用。
(3)当火车行驶速度v
(1)合力的方向：因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合力应沿水平面指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。
(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力。
【典例9】有一列质量为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。
【答案】(1)1×105N；(2)0.1
【解析】(1)m＝100t＝1×105kg，v＝72km/h＝20m/s，
外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力
所以有：F＝m＝1×105× N＝1×105 N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小为1×105 N。
(2)火车以此速率通过弯道时，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，
则mgtanθ＝m
由此可得tanθ＝＝0.1。
【变式训练9】(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势。则在该弯道处( )
A．路面外侧高、内侧低
B．车速只要低于v0，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于v0，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，v0的值变小
【答案】AC
【解析】当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，即不受静摩擦力，此时由重力和支持力的合力提供向心力，所以路面外侧高、内侧低，A正确；当车速低于v0时，需要的向心力小于重力和支持力的合力，汽车有向内侧运动的趋势，并不一定会向内侧滑动，B错误；当车速高于v0时，需要的向心力大于重力和支持力的合力，汽车有向外侧运动的趋势，静摩擦力指向内侧，速度越大，静摩擦力越大，只有静摩擦力达到最大以后，车辆才会向外侧滑动，C正确；由mgtanθ＝m可知，v0的值只与路面与水平面的夹角和弯道的半径有关，与路面的粗糙程度无关，D错误。
规律总结：
火车转弯(或汽车转弯)问题实际都是水平面内的匀速圆周运动问题，解决此类问题的关键是分析清楚向心力的来源，然后利用合力提供向心力求解。
考点10汽车过拱形桥和航天器中的失重现象
1．汽车过拱形桥
汽车在最高点满足关系：mg－FN＝m，即FN＝mg－m，由牛顿第三定律可知，汽车对桥面压力为FN′＝mg－m。由此可知汽车对桥面的压力小于车的重力，汽车处于失重状态，并且汽车的速度越大，汽车对桥面的压力越小。当汽车对桥面的压力为零时，处于完全失重状态，即mg＝m，得vm＝，如果汽车的速度超过此速度，汽车将离开桥面做平抛运动，发生危险。
2．汽车过凹形路面
汽车在最低点满足关系：FN－mg＝m，即FN＝mg＋m，由牛顿第三定律可知，汽车对路面压力为FN′＝mg＋m。由此可知汽车对路面的压力大于车的重力，汽车处于超重状态，并且汽车的速度越大，汽车对路面的压力越大，故凹形路面易被压垮，因而现实生活中拱形桥多于凹形桥。
3．绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站处于完全失重状态
航天器绕地球做匀速圆周运动，其重力提供绕地球运动的向心力，而其重力加速度也就成为向心加速度，这个加速度也是向下的，故处于完全失重状态。
以在近地轨道运行的航天器为例，其轨道半径近似等于地球半径R：
(1)质量为M的航天器：航天器的重力提供向心力，满足关系：Mg＝M，则v＝。
(2)质量为m的航天员：航天员的重力和座舱对航天员的支持力的合力提供向心力，满足关系：mg－FN＝。当v＝ 时，FN＝0，即航天员处于完全失重状态。
(3)航天器内的任何物体都处于完全失重状态。
【典例10】如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形路面和凸形桥面，路面和桥面的圆弧半径均为20 m。如果路面和桥面允许承受的压力均不得超过3.0×105 N，则：
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速率行驶，汽车对路面和桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2)
【答案】(1)10m/s；(2)1.0×105N
【解析】(1)汽车在凹形路面底部时，对路面压力最大。
由牛顿第三定律得，此时路面对车的支持力FN＝3.0×105N
由牛顿第二定律得：FN－mg＝m
代入数据解得汽车允许的最大速率v＝10m/s。
(2)汽车在凸形桥面顶部时，对桥面压力最小。
由牛顿第二定律得：mg－FN′＝m
代入数据解得FN′＝1.0×105N
由牛顿第三定律知汽车对路面和桥面的最小压力等于1.0×105 N。
【变式训练10】一辆质量m＝2 t的轿车，驶过半径R＝90 m的一段凸形桥面，g＝10 m/s2，求：
(1)轿车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？(结果保留三位有效数字)
(2)在最高点对桥面的压力等于零时，车的速度大小是多少？
【答案】(1)1.78×104N；(2)30m/s
【解析】(1)轿车通过凸形桥面最高点时，竖直方向受力分析如图所示：
由牛顿第二定律得mg－FN＝m
故桥面对车的支持力大小
FN＝mg－m＝N≈1.78×104N
根据牛顿第三定律，轿车在桥面最高点时对桥面压力的大小为1.78×104N。
(2)轿车在最高点对桥面的压力等于零时，由牛顿第三定律知轿车受到的支持力为零，则向心力Fn＝mg＝m
所以此时轿车的速度大小v′＝＝m/s＝30m/s。
规律总结：
解决汽车过拱形桥和凹形路面的问题的一般步骤
对于汽车过拱形桥和凹形路面的问题，明确汽车的运动情况是解题的关键。具体的解题步骤是：
(1)选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径。
(2)正确分析研究对象的受力情况，明确向心力的来源。
(3)根据平衡条件和牛顿运动定律列方程求解。
考点11离心运动的理解和应用
1．离心运动的理解
(1)若F合＝mω2r或F合＝，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”。
(2)若F合>mω2r或F合>，物体靠近圆心，做近心运动，即“提供”大于“需要”，也就是“提供过度”。
(3)若F合
项目
示意图
原理图
现象及结论
洗衣机脱水
当水滴受到衣服的附着力F不足以提供向心力时，即F
当最大静摩擦力不足以提供向心力时，即fmax
当离心机快速旋转时，缩口处对水银柱的阻力不足以提供向心力，水银柱做离心运动进入玻璃泡内
【典例11】(多选)如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法中正确的是( )
A．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动
C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做近心运动
【答案】BC
【解析】若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pc做近心运动，A错误。若拉力突然变小，小球将做离心运动，又由于力与速度有一定的夹角，故小球将沿轨迹Pb做离心运动，B正确，D错误。若拉力突然消失，小球将沿着P点处的切线Pa做离心运动，C正确。
【变式训练11】如图所示是摩托车比赛转弯时的情形，转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。关于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是( )
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
【答案】B
【解析】摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A错误；摩托车正常转弯时可看作匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，B正确；摩托车将在线速度方向与原圆周运动轨迹之间做离心曲线运动，C、D错误。
规律总结：
离心现象的三点注意事项
(1)离心现象并不是由于存在离心力而产生的，而是由于物体所受的力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力引起的，是惯性的一种表现形式。
(2)做离心运动的物体，并不是沿半径方向向外远离圆心。
(3)物体的质量越大、线速度越大(或角速度越大)时，物体做圆周运动所需要的向心力越大，物体就越容易发生离心现象。
第六章 圆周运动
一、思维导图
二、考点通关
考点1描述匀速圆周运动的特有物理量
物理量
定义
单位(符号)
各物理量的联系
周期
做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间叫作周期，T＝
国际单位：秒(s)
基本关系式：n＝，v＝ωr
导出关系式：ω＝＝2πn，v＝ωr＝＝2πnr
转速
物体转动的圈数与所用时间之比叫作转速，n＝
转每秒(r/s)、转每分(r/min)
频率和转速的比较
当单位时间取1 s时，f＝n，频率和转速对匀速圆周运动来说在数值上是相等的，但频率具有更广泛的意义，两者的单位也不相同
①周期T和转速n一般只能描述匀速圆周运动，对变速圆周运动一般不适用。②线速度v和角速度ω及其关系式v＝ωr不只适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动。对于变速圆周运动，线速度v和角速度ω一般指瞬时值。
【典例1】如图所示，一根足够长的绳绕在半径为r的辘轳上，绳的下端挂一质量为m的水桶。悬在井中的水桶突然从静止开始下落做匀加速直线运动，经过时间t，辘轳在极短的时间Δt内转过的角度为Δθ。已知重力加速度为g。则：
(1)水桶下落未碰到水面的过程，辘轳边缘上的点做________(选填“变速”或“匀速”)圆周运动，辘轳转动的角速度________(选填“变大”“不变”或“变小”)。
(2)t时刻水桶的速度大小为________。
(3)绳对水桶的拉力大小为________。
【答案】(1)变速；变大；(2)r；(3)m
【解析】(1)辘轳边缘上的点的线速度大小等于水桶运动的速度大小，所以辘轳边缘上的点做线速度增大的变速圆周运动；根据v＝ωr可知，辘轳转动的角速度变大。
(2)根据角速度的定义可知，t时刻辘轳转动的角速度ω＝，结合v＝ωr可知，t时刻水桶的速度大小为v＝r。
(3)水桶做初速度为零的匀加速直线运动，有v＝at，则a＝＝，水桶受重力mg和拉力F作用，由牛顿第二定律得mg－F＝ma，解得F＝m(g－a)＝m。
规律点拨
v＝ωr适用于一切圆周运动，ω＝、v＝一般只适用于匀速圆周运动。
【变式训练1】关于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是( )
A．因为在相等的时间内通过的圆弧长度相等，所以线速度恒定
B．如果物体在0.1 s内转过30°角，则角速度为300 rad/s
C．若半径r一定，则线速度与角速度成反比
D．若半径为r，周期为T，则线速度为v＝
【答案】D
【解析】物体做匀速圆周运动时，线速度大小恒定，方向沿圆周的切线方向，在不断地改变，故A错误；角速度ω＝＝ rad/s＝ rad/s，B错误；线速度与角速度的关系为v＝ωr，由该式可知，r一定时，v∝ω，C错误；由线速度的定义可得，若半径为r，周期为T，则线速度为v＝，D正确。
考点2同轴转动和皮带传动问题
同轴转动
皮带传动
齿轮传动
摩擦传动
装置
A、B两点在同轴的两个圆盘边缘上
两个轮子用皮带连接，A、B两点分别是两个轮子边缘的点
两个齿轮轮齿啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
两轮靠摩擦传动，A、B点分别是两轮边缘上的点，传动时两轮没有相对滑动
特点
角速度、周期相同
线速度大小相同
线速度大小相同
线速度大小相同
转动方向
相同
相同
相反
相反
规律
线速度与半径成正比：＝
角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝
角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝
角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝
【典例2】如图所示，自行车后架上装有给车头灯供电的小发电机，小发电机的上端有一个摩擦小轮。行驶过程中，当需要小发电机向车头灯供电时，摩擦小轮压紧车轮，如图所示，此时摩擦小轮在自行车车轮摩擦力的作用下转动，发电机发电，已知此时摩擦小轮与自行车车轮之间不打滑，则( )
A．车轮转动角速度大于大齿轮转动角速度
B．车轮边缘的线速度等于小齿轮边缘的线速度
C．摩擦小轮转动角速度小于小齿轮转动角速度
D．摩擦小轮边缘的线速度小于大齿轮边缘的线速度
【答案】A
【解析】小齿轮和车轮同轴转动，角速度大小相同，车轮半径大于小齿轮半径，由v＝ωr知车轮边缘的线速度大于小齿轮边缘的线速度，故B错误；大齿轮和小齿轮通过链条相连，边缘线速度大小相同，根据v＝ωr可知，小齿轮的角速度大于大齿轮的角速度，故车轮转动角速度大于大齿轮转动角速度，故A正确；摩擦小轮边缘线速度与车轮边缘线速度大小相同，由v＝ωr知摩擦小轮转动角速度大于车轮转动角速度，也就大于小齿轮转动角速度，故C错误；由于小齿轮边缘的线速度小于车轮边缘的线速度，大齿轮和小齿轮通过链条相连，边缘线速度大小相同，故摩擦小轮边缘的线速度大于大齿轮边缘的线速度，故D错误。
【变式训练2】如图是一种叫“指尖陀螺”的玩具，A是陀螺中心，B、C两点到A点的距离分别为1 cm、2.5 cm。当将陀螺绕位于中心A的转轴旋转时，陀螺上的B、C两点的周期分别为TB、TC，角速度分别为ωB、ωC，线速度分别为vB、vC。下列关系正确的是( )
A．TB＝TC，vB>vC
B．TB＝TC，vB＝0.4vC
C．ωB＝ωC，vB＝vC
D．ωB<ωC，vB＝2.5vC
【答案】B
【解析】由于B、C两点是同轴转动，所以ωB＝ωC，根据周期公式T＝，知TB＝TC，由于rB＝0.4rC，所以根据v＝ωr，知vB＝0.4vC，即vB
分析传动问题的关键
分析传动问题时，关键是要明确什么量相等，什么量不相等，在通常情况下，应抓住以下两个关键点：
(1)绕同一轴转动的各点角速度ω、转速n和周期T相等，而各点的线速度v＝ωr，与半径r成正比。
(2)链条和链条连接的轮子边缘线速度的大小相等，不打滑的摩擦传动两轮边缘上各点线速度大小也相等，而角速度ω＝，与半径r成反比。
考点3圆周运动的周期性造成的多解问题
圆周运动的周期性和多解性
匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其中一个做匀速圆周运动，另一个做其他形式的运动。因匀速圆周运动具有周期性，使得一个事件可能在前一个周期中发生，也可能在后一个周期中发生，这就要求我们在确定做匀速圆周运动物体的周期时，必须把各种可能都考虑进去。处理这类问题时，关键要把一个物体的运动时间t，与圆周运动的周期T建立起联系，这样才能较快地解决问题。
【典例3】如图所示，一位同学做飞镖游戏，已知圆盘的直径为d，飞镖距圆盘L，且对准圆盘上最高点A点水平抛出，初速度为v0，飞镖抛出的同时，圆盘绕垂直圆盘过盘心O的水平轴匀速转动，角速度为ω。若飞镖恰好击中A点，则下列关系正确的是( )
A．dv＝L2g
B．ωL＝π(1＋2n)v0(n＝0,1,2，…)
C．v0＝ω
D．dω2＝gπ2(1＋2n)2(n＝0,1,2，…)
【答案】B
【解析】依题意知飞镖做平抛运动的同时，圆盘上A点做匀速圆周运动，飞镖恰好击中A点，说明A正好在最低点被击中，则A点转动的时间t＝(n＝0,1,2，…)，平抛运动的时间t＝，则有＝(n＝0,1,2，…)，B正确；平抛运动的竖直位移为d，则d＝gt2，联合t＝解得dv＝L2g，A错误；d＝gt2，联合t＝(n＝0,1,2，…)，解得dω2＝gπ2·(2n＋1)2(n＝0,1,2，…)，D错误；v0不是圆盘上A点的线速度，v0与ω不满足v＝ωr，C错误。
【变式训练3】如图所示，半径为R的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正上方h处沿OB方向水平抛出一小球，要使球与盘只碰一次，且落点为B，求小球的初速度及圆盘转动的角速度ω的大小。
【答案】R，2nπ (n＝1,2,3，…)
【解析】设球在空中运动时间为t，此圆盘转过θ角，
则R＝vt，h＝gt2
故小球的初速度v＝R，t＝
由题意知θ＝n·2π(n＝1,2,3，…)
又因为θ＝ωt
则圆盘转动的角速度ω＝＝2nπ(n＝1,2,3，…)。
规律总结
解决圆周运动的多解问题的关键
(1)把一个物体的运动时间t，与圆周运动的周期T建立起联系。
(2)会利用运动规律列出两个运动的时间相等的表达式。
考点4向心力及其方向
1．向心力的方向
无论物体所做圆周运动是否为匀速圆周运动，其所受向心力的方向总是沿着半径指向圆心且时刻改变，故向心力是变力。
2．向心力的作用效果
向心力的作用效果是改变线速度的方向。由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，向心力不改变线速度的大小，只改变线速度的方向。
3．向心力的来源
向心力并不是像重力、弹力、摩擦力那样作为具有某种性质的力来命名的。它是根据力的作用效果命名的。
(1)向心力可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供。
(2)对于匀速圆周运动，合力提供物体做圆周运动的向心力；对于非匀速圆周运动，其合力不指向圆心，它既要改变线速度大小，又要改变线速度方向，向心力是合力的一个分力。
(3)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，物体所受各力沿半径方向分力的合力为向心力。
【典例4】(多选)如图所示，在粗糙水平木板上放一个物块，使木板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab为水平直径，cd为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，则( )
A．物块始终受到三个力作用
B．物块受到的合力始终指向圆心
C．在c、d两个位置，物块所受支持力N＝mg，摩擦力f为零
D．在a、b两个位置物块所受摩擦力提供向心力，支持力N＝mg
【答案】BD
【解析】物块在竖直平面内做匀速圆周运动，受到的重力与支持力在竖直方向上，c、d两点物块所受的向心力由重力和支持力的合力提供，摩擦力为零，重力与支持力不相等，其他时候要受到摩擦力的作用，故A、C错误；物块在竖直平面内做匀速圆周运动，合力就是向心力，匀速圆周运动的向心力指向圆心，故B正确；在b位置受力如图，因物块做匀速圆周运动，故合力指向圆心，支持力N＝mg，摩擦力f提供向心力，同理可得，在a位置的情形相同，故D正确。
【变式训练4】(多选)下列关于向心力的说法中正确的是( )
A．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力
B．向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心力即为其所受的合力
D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定充当向心力
【答案】BC
【解析】由于向心力的作用物体做圆周运动，A错误；因向心力始终垂直于速度方向，所以它不改变线速度的大小，只改变线速度的方向，B正确；做匀速圆周运动的物体所受合力指向圆心，完全提供向心力，C正确；变速圆周运动中合力沿半径方向的分力提供向心力，D错误。
规律总结：
向心力可以是弹力、摩擦力，也可以是物体受到的几个力的合力或某个力的分力。匀速圆周运动中合力提供向心力，合力的方向一定指向圆心。
考点5向心力的大小的计算
1．向心力的大小
(1)根据受力分析求得：圆周运动平面上，指向圆心方向的合力即为向心力。
(2)根据圆周运动规律求得：Fn＝mω2r＝m＝m2r＝m(2πn)2r＝mωv。
2．向心力公式的瞬时性
对于匀速圆周运动，向心力大小始终不变，但对非匀速圆周运动(如用一根绳拴住小球绕固定圆心在竖直平面内做的圆周运动)，其向心力大小随速率v的变化而变化，公式表述的只是瞬时值。
【典例5】图甲为游乐园中“空中飞椅”的游戏设施，它的基本装置是将绳子上端固定在转盘的边缘上，绳子的下端连接座椅，人坐在座椅上随转盘旋转而在空中飞旋。若将人和座椅看成一个质点，则可简化为如图乙所示的物理模型，其中P为处于水平面内的转盘，可绕竖直转轴OO′转动，设绳长l＝10 m，质点的质量m＝60 kg，转盘静止时质点与转轴之间的距离d＝4.0 m，转盘逐渐加速转动，经过一段时间后质点与转盘一起做匀速圆周运动，此时绳与竖直方向的夹角θ＝37°，不计空气阻力及绳重，且绳不可伸长，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2，求质点与转盘一起做匀速圆周运动时：
(1)绳子拉力的大小；
(2)转盘角速度的大小。
【答案】(1)750N；(2)rad/s
【解析】(1)如图所示，对人和座椅进行受力分析，图中F为绳子的拉力。质点在水平面内做匀速圆周运动，在竖直方向上合力为零。
故Fcos37°－mg＝0
解得F＝＝750 N。
(2)人和座椅在水平面内做匀速圆周运动，重力和绳子拉力的合力提供向心力，
有mgtan37°＝mω2R
分析可知：R＝d＋lsin37°
联立解得ω＝ ＝ rad/s。
【变式训练5】“山东舰”是我国首艘完全自主建造的航空母舰，现已正式入编。如图所示是某次进行小半径转弯训练时，在海平面上画出的圆形航迹。若将此过程看成半径为R、速率为v的匀速圆周运动，“山东舰”质量为m，重力加速度为g。则下列说法正确的是( )
A．海水对“山东舰”的作用力方向竖直向上
B．海水对“山东舰”的作用力与重力的合力不一定指向圆心
C．海水对“山东舰”的作用力大小为m
D．海水对“山东舰”的作用力大小为m
【答案】D
【解析】“山东舰”做匀速圆周运动，由重力和海水对“山东舰”的作用力的合力提供向心力，其受力如图所示，可知合力一定指向圆心，且海水对“山东舰”的作用力方向不是竖直向上，故A、B错误；根据向心力公式有F合＝m，根据平行四边形定则，如图，海水对“山东舰”的作用力大小为F＝＝m ，故C错误，D正确。
规律总结：
匀速圆周运动中力学问题的解题步骤
(1)明确研究对象，确定物体在哪个平面内做匀速圆周运动，明确圆心和半径r。
(2)对研究对象进行受力分析，明确向心力是由什么力提供的。
(3)确定v、ω、T、n等物理量中什么是已知的，选择合适的公式列式求解。
(4)根据F合＝F向列方程，求解。
考点6变速圆周运动和一般曲线运动
1．变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动所受的合力不指向圆心，产生两个方向的效果：
(2)变速圆周运动中某一点的向心力仍可用Fn＝m＝mω2r等公式求解，这时v、ω都是指物体运动到该点的瞬时速度。
2．一般的曲线运动的处理方法
如图所示，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧，只是每一小段圆弧对应的半径不同(对应的半径称为该点的曲率半径)，研究质点在这一小段的运动时，可以采用圆周运动的处理方法进行处理。
【典例6】(多选)“S路”曲线行驶是我国驾驶证考试中的一个项目。某次考试过程中，有两名体重相等的学员分别坐在驾驶座和副驾驶座上，并且始终与汽车保持相对静止，汽车在弯道上行驶时可视作圆周运动，行驶过程中未发生打滑。如图所示，当汽车在水平“S路”图示位置处减速行驶时( )
A．两名学员具有相同的线速度
B．两名学员具有相同的角速度
C．汽车受到的摩擦力与速度方向相反
D．汽车受到的摩擦力指向弯道内侧偏后的方向
【答案】BD
【解析】两名学员绕同一点做圆周运动，则他们的角速度相等，两名学员离圆心的距离不相等，根据v＝rω可知，他们的线速度大小不相等，故A错误，B正确；摩擦力的一部分分力指向轨迹圆心，提供汽车做圆周运动所需向心力，摩擦力的另一部分分力与速度方向反向，使汽车减速，所以摩擦力方向不与速度方向相反，而是指向弯道内侧偏后的方向，故C错误，D正确。
【变式训练6】一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图a所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫作A点的曲率圆，其半径ρ叫作A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图b所示，则在其轨迹最高点P处的曲率半径是( )
A. B．
C. D．
【答案】A
【解析】物体在其轨迹最高点P处只有水平速度，其水平速度大小为v0cosα，在最高点，把物体的运动看成圆周运动的一部分，物体的重力作为向心力，由向心力的公式得mg＝，所以在其轨迹最高点P处的曲率半径是ρ＝，故A正确。
规律总结：
(1)物体做变速圆周运动时，在任何位置均是合力沿半径指向圆心方向的分力提供向心力。
(2)物体做变速圆周运动时必然有一个切向分力改变速度的大小。
考点7匀速圆周运动的加速度方向
1．向心加速度的方向：与向心力的方向相同，总指向圆心，方向时刻改变。
2．向心加速度的作用：向心加速度方向总是与线速度方向垂直，故向心加速度的作用只是改变速度的方向，对速度的大小无影响。
3．圆周运动的性质：圆周运动的向心加速度的方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动。
【典例7】(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是( )
A．向心加速度的方向始终与线速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
【答案】ABD
【解析】向心加速度的方向沿半径指向圆心，线速度方向则沿圆周的切线方向，所以向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；一般情况下，物体做圆周运动时的向心加速度与切向加速度的合加速度的方向不指向圆心。故A、B、D正确，C错误。
【变式训练7】下列说法中正确的是( )
A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B．向心加速度描述线速度方向变化的快慢
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．匀速圆周运动是匀变速曲线运动
【答案】B
【解析】匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变线速度的方向，A错误，B正确；匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻变化，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动，故C、D错误。
规律总结：
向心加速度的理解
(1)向心加速度只描述线速度方向变化的快慢，沿切线方向的加速度描述线速度大小变化的快慢。
(2)向心加速度的方向始终与线速度方向垂直，且方向在不断改变。
考点8匀速圆周运动的加速度大小
1．向心加速度的大小
(1)公式推导：根据牛顿第二定律F＝ma，向心加速度an＝＝ω2r。
(2)向心加速度的几种表达式：an＝＝ω2r＝r＝4π2n2r＝ωv。
(3)向心加速度与半径的关系
①当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比，如图甲所示。
②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比，如图乙所示。
由anr图像可以看出：向心加速度an与r是成正比还是反比，要看ω恒定还是v恒定。
2．向心加速度的注意要点
(1)向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算，包括非匀速圆周运动，但an与v具有瞬时对应性。
(2)向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小。向心加速度表示速度方向改变的快慢。
(3)无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心。非匀速圆周运动合加速度不指向圆心，但向心加速度一定指向圆心，是专门改变速度方向的。
【典例8】如图所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍。压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点的向心加速度是12 cm/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度大小是多少？大轮上距轴心距离为的C点的向心加速度大小是多少？
【答案】0.24m/s2，0.04m/s2
【解析】大轮边缘上A点的线速度大小与小轮边缘上B点的线速度大小相等。由aA＝和aB＝得aB＝aA＝24 cm/s2＝0.24 m/s2；C点和A点同在大轮上，角速度相等，由aA＝ω2R和aC＝ω2·得aC＝＝4 cm/s2＝0.04 m/s2。
【变式训练8】(多选)如图所示是静止在地面上的起吊重物的吊车，某次操作过程中，液压杆长度收缩，吊臂绕固定转轴O顺时针转动，吊臂上的M、N两点做圆周运动，此时M点的角速度为ω，ON＝2OM＝2L，则( )
A．M点的速度方向垂直于液压杆
B．N点的角速度为ω
C．M、N两点的线速度大小关系为vN＝4vM
D．N点的向心加速度大小为2ω2L
【答案】BD
【解析】吊臂绕固定转轴O旋转，因此M点的速度方向垂直于吊臂，故A错误；M、N点在吊臂上绕同一固定转轴O旋转，具有相同的角速度，即ωN＝ω，故B正确；根据v＝ωr可知vN＝2vM，故C错误；根据a＝ω2r可知，N点的向心加速度大小为aN＝2ω2L，故D正确。
规律总结：
1.传动问题中比较向心加速度大小时公式的选用
(1)皮带传动问题，两轮边缘线速度大小相等，常选择公式an＝。
(2)同轴转动问题，各点角速度相等，常选择公式an＝ω2r。
2．求向心加速度的两种角度
(1)动力学角度：an＝。
(2)运动学角度：an＝＝ω2r＝r＝4π2n2r。
考点9火车转弯
1．弯道的特点：在实际的火车转弯处，外轨高于内轨，若火车转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，如图所示，即mgtanθ＝m，则v0＝ ，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度。
2．速度与轨道压力的关系
(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时火车对内外轨无挤压作用。
(2)当火车行驶速度v>v0时，火车对外轨有挤压作用。
(3)当火车行驶速度v
(1)合力的方向：因为火车转弯的圆周平面是水平面，不是斜面，所以火车的向心力即合力应沿水平面指向圆心，而不是沿轨道斜面向下。
(2)规定速度的唯一性：火车轨道转弯处的规定速率一旦确定则是唯一的，火车只有按规定的速率转弯，内外轨才不受火车的挤压作用。速率过大时，由重力、支持力及外轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力；速率过小时，由重力、支持力及内轨对轮缘的挤压力的合力提供向心力。
【典例9】有一列质量为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m。(g取10 m/s2)
(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；
(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，我们可以适当倾斜路基，试计算路基倾斜角度θ的正切值。
【答案】(1)1×105N；(2)0.1
【解析】(1)m＝100t＝1×105kg，v＝72km/h＝20m/s，
外轨对轮缘的侧压力提供火车转弯所需要的向心力
所以有：F＝m＝1×105× N＝1×105 N
由牛顿第三定律可知铁轨受到的侧压力大小为1×105 N。
(2)火车以此速率通过弯道时，重力和铁轨对火车的支持力的合力正好提供向心力，如图所示，
则mgtanθ＝m
由此可得tanθ＝＝0.1。
【变式训练9】(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带。如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势。则在该弯道处( )
A．路面外侧高、内侧低
B．车速只要低于v0，车辆便会向内侧滑动
C．车速虽然高于v0，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D．当路面结冰时，与未结冰时相比，v0的值变小
【答案】AC
【解析】当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，即不受静摩擦力，此时由重力和支持力的合力提供向心力，所以路面外侧高、内侧低，A正确；当车速低于v0时，需要的向心力小于重力和支持力的合力，汽车有向内侧运动的趋势，并不一定会向内侧滑动，B错误；当车速高于v0时，需要的向心力大于重力和支持力的合力，汽车有向外侧运动的趋势，静摩擦力指向内侧，速度越大，静摩擦力越大，只有静摩擦力达到最大以后，车辆才会向外侧滑动，C正确；由mgtanθ＝m可知，v0的值只与路面与水平面的夹角和弯道的半径有关，与路面的粗糙程度无关，D错误。
规律总结：
火车转弯(或汽车转弯)问题实际都是水平面内的匀速圆周运动问题，解决此类问题的关键是分析清楚向心力的来源，然后利用合力提供向心力求解。
考点10汽车过拱形桥和航天器中的失重现象
1．汽车过拱形桥
汽车在最高点满足关系：mg－FN＝m，即FN＝mg－m，由牛顿第三定律可知，汽车对桥面压力为FN′＝mg－m。由此可知汽车对桥面的压力小于车的重力，汽车处于失重状态，并且汽车的速度越大，汽车对桥面的压力越小。当汽车对桥面的压力为零时，处于完全失重状态，即mg＝m，得vm＝，如果汽车的速度超过此速度，汽车将离开桥面做平抛运动，发生危险。
2．汽车过凹形路面
汽车在最低点满足关系：FN－mg＝m，即FN＝mg＋m，由牛顿第三定律可知，汽车对路面压力为FN′＝mg＋m。由此可知汽车对路面的压力大于车的重力，汽车处于超重状态，并且汽车的速度越大，汽车对路面的压力越大，故凹形路面易被压垮，因而现实生活中拱形桥多于凹形桥。
3．绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站处于完全失重状态
航天器绕地球做匀速圆周运动，其重力提供绕地球运动的向心力，而其重力加速度也就成为向心加速度，这个加速度也是向下的，故处于完全失重状态。
以在近地轨道运行的航天器为例，其轨道半径近似等于地球半径R：
(1)质量为M的航天器：航天器的重力提供向心力，满足关系：Mg＝M，则v＝。
(2)质量为m的航天员：航天员的重力和座舱对航天员的支持力的合力提供向心力，满足关系：mg－FN＝。当v＝ 时，FN＝0，即航天员处于完全失重状态。
(3)航天器内的任何物体都处于完全失重状态。
【典例10】如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形路面和凸形桥面，路面和桥面的圆弧半径均为20 m。如果路面和桥面允许承受的压力均不得超过3.0×105 N，则：
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速率行驶，汽车对路面和桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2)
【答案】(1)10m/s；(2)1.0×105N
【解析】(1)汽车在凹形路面底部时，对路面压力最大。
由牛顿第三定律得，此时路面对车的支持力FN＝3.0×105N
由牛顿第二定律得：FN－mg＝m
代入数据解得汽车允许的最大速率v＝10m/s。
(2)汽车在凸形桥面顶部时，对桥面压力最小。
由牛顿第二定律得：mg－FN′＝m
代入数据解得FN′＝1.0×105N
由牛顿第三定律知汽车对路面和桥面的最小压力等于1.0×105 N。
【变式训练10】一辆质量m＝2 t的轿车，驶过半径R＝90 m的一段凸形桥面，g＝10 m/s2，求：
(1)轿车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？(结果保留三位有效数字)
(2)在最高点对桥面的压力等于零时，车的速度大小是多少？
【答案】(1)1.78×104N；(2)30m/s
【解析】(1)轿车通过凸形桥面最高点时，竖直方向受力分析如图所示：
由牛顿第二定律得mg－FN＝m
故桥面对车的支持力大小
FN＝mg－m＝N≈1.78×104N
根据牛顿第三定律，轿车在桥面最高点时对桥面压力的大小为1.78×104N。
(2)轿车在最高点对桥面的压力等于零时，由牛顿第三定律知轿车受到的支持力为零，则向心力Fn＝mg＝m
所以此时轿车的速度大小v′＝＝m/s＝30m/s。
规律总结：
解决汽车过拱形桥和凹形路面的问题的一般步骤
对于汽车过拱形桥和凹形路面的问题，明确汽车的运动情况是解题的关键。具体的解题步骤是：
(1)选取研究对象，确定轨道平面、圆心位置和轨道半径。
(2)正确分析研究对象的受力情况，明确向心力的来源。
(3)根据平衡条件和牛顿运动定律列方程求解。
考点11离心运动的理解和应用
1．离心运动的理解
(1)若F合＝mω2r或F合＝，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”。
(2)若F合>mω2r或F合>，物体靠近圆心，做近心运动，即“提供”大于“需要”，也就是“提供过度”。
(3)若F合
项目
示意图
原理图
现象及结论
洗衣机脱水
当水滴受到衣服的附着力F不足以提供向心力时，即F
当最大静摩擦力不足以提供向心力时，即fmax
当离心机快速旋转时，缩口处对水银柱的阻力不足以提供向心力，水银柱做离心运动进入玻璃泡内
【典例11】(多选)如图所示，光滑水平面上，质量为m的小球在拉力F作用下做匀速圆周运动。若小球运动到P点时，拉力F发生变化，下列关于小球运动情况的说法中正确的是( )
A．若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
B．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pb做离心运动
C．若拉力突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
D．若拉力突然变小，小球将沿轨迹Pc做近心运动
【答案】BC
【解析】若拉力突然变大，小球将沿轨迹Pc做近心运动，A错误。若拉力突然变小，小球将做离心运动，又由于力与速度有一定的夹角，故小球将沿轨迹Pb做离心运动，B正确，D错误。若拉力突然消失，小球将沿着P点处的切线Pa做离心运动，C正确。
【变式训练11】如图所示是摩托车比赛转弯时的情形，转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。关于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是( )
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
【答案】B
【解析】摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A错误；摩托车正常转弯时可看作匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，B正确；摩托车将在线速度方向与原圆周运动轨迹之间做离心曲线运动，C、D错误。
规律总结：
离心现象的三点注意事项
(1)离心现象并不是由于存在离心力而产生的，而是由于物体所受的力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力引起的，是惯性的一种表现形式。
(2)做离心运动的物体，并不是沿半径方向向外远离圆心。
(3)物体的质量越大、线速度越大(或角速度越大)时，物体做圆周运动所需要的向心力越大，物体就越容易发生离心现象。
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