广东省广州市2023届高三数学二模试卷（Word版附答案）

秘密★启用前 试卷类型：B

2023年广州市普通高中毕业班综合测试（二）

数学

本试卷共5页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.若a为实数，且，则（    ）

A.2 B.1 C.-1 D.-2

2.已知集合，，则集合的元素个数为（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

3.已知两个非零向量，满足，，则（    ）

A. B. C. D.

4.已知，，，则（    ）

A. B. C. D.

5.木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50的球O的球面上，且一个底而的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（    ）

A. B. C. D.

6.已知椭圆C：（），过点且方向量为的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为（    ）

A. B. C. D.

7.已知函数，若恒成立，且，则的单调递增区间为（    ）

A.（） B.（）

C.（） D.（）

8.已知偶函数与其导函数的定义域均为，且也是偶函数，若，则实数a的取值范围是（    ）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则下列结论正确的是（    ）

A.该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.08

B.该零件是次品的概率为0.03

C.如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98

D.如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为

10.已知函数的定义域是（a，），值域为，则满足条件的整数对可以是（    ）

A. B. C. D.

11.已知双曲线：（）的左，右焦点分别为，，过的直线l与双曲线的右支交于点B，C，与双曲线的渐近线交于点A，D（A，B在第一象限，C，D在第四象限），O为坐标原点，则下列结论正确的是（    ）

A.若轴，则的周长为6a

B.若直线交双曲线的左支于点E，则

C.面积的最小值为

D.的取值范围为

12.已知正四面体的长为2，点M，N分别为和的重心，P为线段上一点，则下列结论正确的是（    ）

A.若取得最小值，则

B.若，则平面

C.若平面，则三棱锥外接球的表面积为

D.直线到平面的距离为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为____________.

14.已知，的展开式中存在常数项，写出n的一个值为____________.

15.在数列中，，，若，则正整数____________.

16.在平面直角坐标系中，定义为，两点之间的“折线距离”.已知点，动点P满足，点M是曲线上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为___________，的最小值为___________.（第一个空2分，第二个空3分）

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

设是数列的前n项和，已知，.

（1）求，；

（2）令，求.

18.（12分）

一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入x（单位：千万元）对每件产品成本y（单位：元）的影响，对近10年的年技术创新投入和每件产品成本（，2，3，…，10）的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，，，.

（1）根据散点图可知，可用函数模型拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程；

（2）已知该产品的年销售额m（单位：千万元）与每件产品成本y的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大？

（注：年利润=年销售额一年投入成本）

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为：，.

19.（12分）

记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）求A；

（2）若点D在边上，且，，求.

20.（12分）

如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面.

（1）求证：平面平面；

（2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.

21.（12分）

已知点，P为平面内一动点，以为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C.

（1）求C的方程；

（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于的直线交x轴于点N.当四边形的面积最小时，求l的方程.

22.（12分）

已知函数，.

（1）当时，，求实数a的取值范围；

（2）已知，证明：.